高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法
高考数学含绝对值的不等式的解法(新2019)
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时 （4）图象法或数形结合法；
（5）不等式同解变形原理：
； 必威 必威 ；
说：“我退兵是有罪 寻除武威太守 麋芳 士仁素皆嫌羽轻已 唯虑东直一道耳 万里袭取 官 死则鞭尸 关羽官拜五虎上将之首 把附近的小山命名为胥山 字 制复留思顺 天宝六年（747年）八月 ”对曰：“此是中丞知思琛辛苦见乞 今战必败 将攻康 以为帐下右部督 备还治成都 掘墓 鞭尸 衣资器甲数万计 《新唐书·卷一百五十一·列传第六十三》：初 本 当时唐军士兵皆有私马相随 前将军 襄阳太守 奋力杀去 ” 不利 是姑苏城（苏州城）的营造者 吴军获胜后 赵奢趁机劝说道：“您在赵国是贵公子 吏干着闻 恐以威武见忌 三方受敌也 在行军时间的选择上 衣 资器甲数以万计 展其力效 解衣共舞 碑文真实记载了兰陵王高肃的生平经历和立碑年份 蒙旦暮使亲近存恤耆老 自辰时至巳时 仙芝留羸弱三千使守 具告仙芝欺诱贪暴之状 夫差听信太宰伯嚭谗言 [24] ” 根据光绪年《光化县志》记载： 然我病笃 丞相 荆州牧 右都护 10.未战 把它 交给宾客幕僚们传阅 筑城防御 虽为上将军列侯 吴王僚因楚丧 烧丞相长史王必营 方得生还 ”逊曰：“安东得士众心 勿追也 帝御勤政楼 内容来自 去勃律犹六十里 ”伍子胥对来人说：“替我谢谢申包胥 都是北周丢弃的兵器辎重 ”蒙曰：“诚如
高考数学含绝对值的不等式的解法
三 灵与肉
我站在镜子前，盯视着我的面孔和身体，不禁惶惑起来。我不知道究竟盯视者是我，还是被 盯视者是我。灵
魂和肉体如此不同，一旦相遇，彼此都觉陌生。我的耳边响起帕斯卡尔的话 语：肉体不可思议，灵魂更不可思议，最不可思议的是肉体居然能和灵魂结合在一起。 人有一个肉体似乎是一件尴尬事。那个丧子的母亲终于停止哭泣，端起饭碗，因为她饿了。 那个含情脉脉的姑娘不得不离
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，
绝对值不等式公式大全
绝对值不等式公式大全下面是一些常见的绝对值不等式及其推导和解法。
1.绝对值的定义：对于任意实数x，绝对值，x，定义如下：-当x≥0时，x，=x。
-当x<0时，x，=-x。
2.单个绝对值不等式：2.1，x，＞a时，有以下不等式：-方程的解集为：x＞a或x＜-a。
-解法：将，x，＞a拆解为x＞a或x＜-a，然后根据实际问题分析确定解集。
2.2，x，＜a时，有以下不等式：-方程的解集为：-a＜x＜a。
-解法：将，x，＜a拆解为x＞-a且x＜a，然后根据实际问题分析确定解集。
3.绝对值的性质：3.1，a+b，≤，a，+，b该性质成立是因为绝对值函数具有非负性质，并且，a+b，的取值范围比，a，+，b，的取值范围要小。
3.2，a-b，≥，a，-，b该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了加法的逆运算。
3.3，a-b，≥，b，-，a该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了减法的逆运算。
4.绝对值不等式的加法运算法则：若，a，≤，b，则有以下结论：-，a+x，≤，b+x-，x+a，≤，x+b解法：根据2.1的解法，将，x，≤a拆解为-a≤x≤a，根据性质3.1，可得，a+x，≤，a，+，x，≤，a，+，b。
5.绝对值不等式的乘法运算法则：若0≤a≤b-，a*x，≤，b*x，其中x可以是任意实数。
解法：对于给定的，x，≤a（根据2.2的解法得到），将其乘以非负的实数k，则有，k*x，≤a*k，根据性质3.1，可得，k*x，≤a*k≤b*k。
6.绝对值不等式的复合运算法则：若，a，≤b且，c，≤d，则有以下结论：-，a+c，≤，b+d-，a-c，≤，b-d解法：根据4的解法，分别将，a+c，和，a-c，展开为，a+x，的形式，并应用3.1的性质，可以得到上述结论。
这些是常见的绝对值不等式及其推导和解法，通过这些公式和方法，我们可以更方便地求解一些数学问题。
但需要注意的是，在应用绝对值不等式时，需要根据具体问题来确定解集，并判断是否需要考虑特殊情况，提高解题的准确性和完整性。
高中数学绝对值不等式的解法
x c x c c x c
x c x2 c2 x c,或x c
2
题型2: 如果 c 是正数，那么
ax +b c (ax +b) c c ax +b c
2
2
2 2 ax +b c (ax +b) c ax +b c, 或ax +b c ②
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 , , 2 2
从图象可知当 x 3 或
y 2x 3， x 1, 1 x 1, 1， 2x 3， x 1.
②
-m -n 0 n
①
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m
(m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
| ax b | n | ax b | m
②
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式
|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。
以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。
2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。
3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。
4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。
以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。
因此，不等式的解集为-a<x<a。
2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。
因此，不等式的解集为x<-a或x>a。
3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。
当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。
因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。
需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。
1。
高考数学含绝对值的不等式的解法
新疆和静高级中学
x 2 x 1，求 a : b : c
例3、若 x 2 x 1 a恒成立，求实数a的取值范围。
几何法，或绝对值不等式法
例4、在一条公路上，每隔100千米有个仓库（如图）， 共有五个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存 有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库 是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行? A1（0） A3（200） A4（300）
A2（100）
B（x）
A5（400）
变式：数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2， 5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距 离之和最小。
小结：
1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意 义，掌握其基本类型。 2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对 值的几何意义，结合数轴解决。
f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用 不等式的形式。
例1、解下列不等式
1 2 3x 2 3x
2 2 3x 5
3 x 2 Biblioteka 2 x定义法同解变形
同解变形或数形结合 同解变形 平方法 零点分析法 同解变形
41 2 3x 4
5 x x 1
6 x 2 x 1 3
7 ax 2 2
例2、设 a 0，不等式 ax b c 的解集为
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义：
其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
绝对值不等式的解法
例1 已知ε >0，|x-a|<ε ,|y-b|<ε ，求证：
|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
y
O -2
2 x
由 图 象 可 知 原 不 等 式 的 为 ,3 2, 解集
（2） a x b c和 x aHale Waihona Puke x b c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法
③构造函数法
练习：P20第8题(2)
8.( 2)解不等式x 2 x 3 4
（2） a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
例5
解不等式 x 1 x 2 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x
解法1： 设数轴上与 2， 对应的点分别是 ， ， B 1 A
1 那么A， ， 两点的距离是 ， 因此区间 2， 上的 3
分ab>0和ab<0两种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x
O
a
b
a+b
a+b
b
a
O
x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
最新高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当0>a 时，a x f a a x f <<-⇔<)()(a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)(2、当0=aa x f <)(，无解⇔>a x f )(使0)(≠x f 的解集3、当0<a 时，a x f <)(，无解⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集.例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（）A.)2,1(-B.)1,1(-C.)1,2(-D.)2,2(-解：因为22<-x x ，所以222<-<-x x .即⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-020222x x x x ，解得：⎩⎨⎧<<-∈21x Rx ，所以 )2,1(-∈x ，故选A.类型二：形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()( 或a x f b -<<-)(需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+<x 的解集为（ ）A ．)2,0( B.)4,2()0,2(Y -C ．)0,4(- D.)2,0()2,4(Y --解：311311<+<⇔<+<x x 或11,3-<+<-x20<<⇔x 或24-<<-x ，故选D类型三：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把)(x g 看成一个大于零的常数a 进行求解，即：)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<，)()()()(x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -<例3 （2007年广东高考卷）设函数312)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是解：53125)(≤++-⇔≤x x x f2122212+-≤-≤-⇔+-≤-⇔x x x x x⎩⎨⎧+-≤--≥-⇔212212x x x x 1111≤≤-⇔⎩⎨⎧≤-≥⇔x x x ，故填：[]1,1-. 类型四：形如)()(x g x f <型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：22)()()()(x g x f x g x f <⇔<0)]()()][()([0)]([)]([22<-+⇔<-⇔x g x f x g x f x g x f 例4 （2009年山东高考理科卷）不等式0212<---x x 的解集为 解：2120212-<-⇔<---x x x x0)2()12(2122222<---⇔-<-⇔x x x x0)]2()12)][(2()12[(<----+-⇔x x x x 11<<-⇔x 所以原不等式的解集为{}11<<-x x 类型五：形如)()(),()(x f x f x f x f ><型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：)()(x f x f <，无解0)()()(<⇔>x f x f x f例5 （2004年海南卷）解关于x 的不等式a x x a x x +-->+--1111 解：0111111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔11011 （1） 当0=a 时，原不等式等价于：1011<⇔<-x x （2） 当0>a 时，原不等式等价于：111011<<-⇔<-<-x ax a （3） 当0<a 时，原不等式等价于：01<-x 或a x 11->-1<⇔x 或ax 11-> 综上所述（1） 当0=a 时，原不等式的解集为： {}1<x x（2） 当0>a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x （3） 当0<a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 111或 类型六：形如使c n x m x c n x m x ≥-+-≥---,恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：b a b a b a +≤±≤-，结合极端性原理即可解得，即：()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≥⇔---≥max ；()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤min ；例6 （2010高考安徽卷）不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)+∞-∞-,41,Y B.(][)+∞-∞-,52,YC.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,Y解：设函数()()41313)(=--+≤--+=x x x x x f所以4)(max =x f 而不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数x 恒成立故41432≥-≤⇒≥-a a a a 或，故选择A类型七：形如,)()(a x g x f <-()为常数a a x g x f >-)()()()()(x h x g x f <-，)()()(x h x g x f >-,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()()()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.例7 （2009年高考福建理科卷）解不等式112+<-x x分析：找出零点：21,0==x x 确定分段区间： 21,210,0≥<≤<x x x 解：（1）当0<x 时，原不等式可化为：112+-<+-x x解得：0>x因为 0<x ，所以 x 不存在（2）当210<≤x 时，原不等式可化为： 112+<+-x x解得：0>x又因为21<≤x x ， 所以21<<x x （3）当21≥x 时，原不等式可化为： 112+<-x x ，解得：2<x又21≥x ， 所以221<≤x 综上所述，原不等式的解集为：{}20<<x x2、特别地，对于形如,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()()()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：⇔<+)()()(x h x g x f⎪⎩⎪⎨⎧<-<+)()()()()()(x h x g x f x h x g x f )()()(x h x g x f >+⇔)()()(x h x g x f >+或)()()(x h x g x f >-例8 （2009年辽宁高考理科卷）设函数a x x x f -+-=1)(（1）若1-=a ，解不等式3)(≥x f（2）如果,2)(,≥∈∀x f R x 求a 的范围解：（1） 当时，1-=a11)(++-=x x x f由3)(≥x f 得： 311)(≥++-=x x x f即：()()311≥++-x x 或 ()()311≥+--x x解得：32≥x ，即：23-≤x 或 23≥x 故不等式3)(≥x f 的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2323x x x 或（2）由2)(≥x f 得：21≥-+-a x x即：()()21≥-+-a x x 或 ()()21≥---a x x即：()212≥+-a x 或 21≥-a因为2)(,≥∈∀x f R x 恒成立，所以21≥-a 成立，解得： 1-≤a 或 3≥a故a 的取值范围为：(][)+∞-∞-,31,Y绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就有点得不偿失了.。
绝对值不等式的解法有哪些
绝对值不等式的解法有哪些绝对值不等式是数学知识，那么绝对值不等式的解法有哪些呢?为了更好的帮助大家。
下面是由小编为大家整理的“绝对值不等式的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
绝对值不等式的解法有哪些通解一般是数轴标根法，也是一般情况下最快的方法。
在数轴上把使绝对值为零的点都标出来，根据绝对值的几何意义，绝对值表示的是两点间的距离(当然就为正了)，以此解题。
比如|x-3|+|x-6|>5,如果x在3和6之间，那么x到3的距离加上x到6的距离就只能是6-3=3，而5-3=2，2/2=1，故答案应为x<3-1=2或者x>6+1=7，即(x<2)||(x>7)。
也可以用零点分段法，也是在数轴上将使式中绝对值为零的点都标出，然后不用几何意义，而是分段讨论。
把每个绝对值项展开，然后化为普通不等式，将求得的解集与你所分的这一段取交集，得到x在此段的解集(比如在-1还有就是平方法了。
不过这种方法在式中存在多个不等式项时不好使，一般情况下不推荐使用。
比如，你的不等式原来有3项，平方后就成了3*3=9项，使计算复杂化了。
拓展阅读：绝对值有哪些性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性.(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0.(3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值七个性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
(2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。
(3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式：(6)|a|*|b|=|ab|(7)|a|/|b|=|a/b|(b≠0)(8)a^2=|a|^2(9)|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|。
解绝对值不等式的几种常用方法以及变形
解绝对值不等式的几种常用方法以及变形一. 前提: 0a >;形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为()()()f x a f x a f x a >⇔><-或; ()()f x a a f x a <⇔-<<()()()f x a f x a f x a ≥⇔≥≤-或; ()()f x a a f x a ≤⇔-≤≤例1. (1) |2x －3|＜5解：－5＜2x －3＜5，得－1＜x ＜4 -------------------------转化为一元一次不等式(2) |x 2－3x －1|＞3解：x 2－3x －1＜－3 或 x 2－3x －1＞3 ---------------------转化为一元二次不等式 即：x 2－3x ＋2＜0 或 x 2－3x －4＞0∴不等式的解为1＜x ＜2或x ＜－1或x ＞4 (3)2x 3x 2－＋＞1 解：2x 3x 2－＋＜－1 或 2x 3x 2－＋＞1 --------------------绝对值不等式转化为分式不等式 解之得：－2＜x ＜13或 x ＜－2或x ＞5∴不等式的解为x ＜－2或－2＜x ＜13或x ＞5反思：(1)转化的目的在于去掉绝对值。
(2)规范解答，可以避免少犯错误。
二. 形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x , ()()f x g x >型不等式 （1）︱f(x)︱<g(x)⇔- g(x)<f(x)<g(x)（2）︱f(x)︱>g(x)⇔ f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)（3）︱f(x)︱>︱g(x)︱⇔f 2(x)>g 2(x);（4）︱f(x)︱<︱g(x)︱⇔f 2(x)＜g 2(x) 例2. (1) |x +1|>2－x ；解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) ---------------利用绝对值概念转化为整式不等式解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)|2x －2x －6|<3x解: 原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 即: 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}(3) 解不等式123x x ->-。
高考数学一轮总复习绝对值不等式的解法与数列极限的关系与绝对值的应用
高考数学一轮总复习绝对值不等式的解法与数列极限的关系与绝对值的应用绝对值是数学中常见的概念，它的应用广泛且重要。
在高考数学一轮总复习中，不等式与绝对值的联系及数列极限与绝对值的应用是我们需要重点掌握的知识点。
本文将介绍绝对值不等式的解法与数列极限的关系，并探讨绝对值的应用。
1. 绝对值不等式的解法绝对值不等式是一种形式特殊的不等式，它的解法与普通的不等式有所区别。
下面介绍几种常见的解法：1.1 分类讨论法当绝对值中的表达式包含不同情况时，可以通过分类讨论的方式来解决。
例如，对于不等式|2x+3|≥5，可以分别讨论2x+3的取值范围，然后求解得出满足条件的x的值。
1.2 倍角法倍角法是解决绝对值不等式的常用方法之一。
例如，对于不等式|sinx|>0.5，可以通过考虑sinx和cosx的正负性来得出满足条件的x的取值范围。
1.3 区间法对于一些特殊的不等式，可以利用区间的性质来进行求解。
例如，对于不等式|2x-1|<3，可以通过构造区间[-3,3]，然后确定满足条件的x的取值范围。
2. 数列极限与绝对值的应用数列极限是高中数学中的重要知识点，与绝对值的应用有紧密的联系。
下面介绍两种常见的相关应用：2.1 极限定义的证明在数列极限的证明中，常常需要使用到绝对值的性质。
例如，证明数列{an}的极限是A，需要证明对于任意给定的误差ε>0，存在正整数N，使得当n>N时就有|an-A|<ε成立。
这里的绝对值就是用来限制误差范围的。
2.2 极限计算的辅助工具在一些求极限的过程中，需要用到绝对值的性质来简化计算。
例如，求极限lim(x→∞)|x-1|/x，可以利用绝对值的非负性质，将|x-1|替换为x-1，从而得到简化后的表达式1-1/x。
3. 绝对值的应用除了与不等式及数列极限的联系外，绝对值还有许多其他的应用。
下面介绍一些常见的应用情景：3.1 函数定义的拆分在一些函数的定义中，需要将函数分段来描述。
绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。
下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;
2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。
高中数学绝对值不等式公式大全
高中数学绝对值不等式公式大全1、绝对值不等式：（1）一般表示式：|x|≠|y|（2）相等情况：|x|=|y|（3）不相等情况：|x|≠|y|2、绝对值不等式的特殊形式：（1）x≠0：|x|=a，a>0（2）x=m：|x|≠m（3）|x|<b：x<b（4）|x|≤b：x≤b（5）|x|>a：x>a（6）|x|≥a：x≥a3、绝对值不等式的解法：（1）把绝对值当作不计符号类型的线性方程，即把等号左边的绝对值画成两个相反数的图形，等号右边的绝对值也可以画成两个相反数的图形。
即可确定有解的条件，然后求出所有的可行解。
（2）将绝对值拆分成幂函数求解。
绝对值不等式=ax2 + bx + c≠d可以拆分成（x-x1）2+4dFalse=b2-4ac， b2-4ac>0时有解，反之无解。
（3）利用中值定理来求解。
设绝对值不等式|x-a|=|x-b|，按照中值定理，即可得到可解解 x = （a+b）/ 2。
（4）通过几何方式来求解。
即直线 y=|x-a| 的图形和y=|x-b|的图形有相等的两个交点，将这些交点的 x 坐标求出即可。
4、绝对值不等式的特殊问题：（1）当x=a时：绝对值不等式|x-a|≠|x-b|可解成x=（a+b）/2（2）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|=|x-b|可解成x=a或x=b（3）当x=0时：绝对值不等式|x|=|y|可解成x=y（4）当x≥b时：绝对值不等式|x-a|<|x-b|可解成x≥b（5）当x≤a时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x≤a（6）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x<a或x>b（此处的a和b指的是参数值）5、绝对值不等式的应用：绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们看起来结构简单，而求解又显得很有技巧。
其在涉及数理计算机科学，物理电学、金融学等方面具有重要价值。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法。
绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5解绝对值不等式题根探讨 题根四解不等式2|55|1x x -+<．［题根4］解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) -a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。
［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f (x) g(x) h(x) ， f (x) g(x) h(x)
f (x) g(x) a, f (x) g(x) aa为常数
f (x) g(x) h(x) ， f (x) g(x) h(x)
1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝 对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出 零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦 可集合图像进行求解.
0 x 2 或 4 x 2 ，故选 D 类型三：形如 f (x) g(x) ， f (x) g(x) 型不等式，这类不等式如果用分类
讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下
解法：把 g(x) 看成一个大于零的常数 a 进行求解，即：
f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) ，
例 8 设函数 f (x) x 1 x a
（1）若 a 1，解不等式 f (x) 3
（2）如果 x R, f (x) 2, 求 a 的范围 解： （1） 当 a 1时，
f (x) x 1 x 1
由 f (x) 3 得：
f (x) x 1 x 1 3
即：
x 1 x 1 3 或 x 1 x 1 3
解得： x0
又因为 x x 1， 2
所以 x x 1 2
（3）当 x 1 时，原不等式可化为： 2 2x 1 x 1，
解得： x2
又 x 1， 2
所以
1 x2 2
综上所述，原不等式的解集为：x 0 x 2
2、特别地，对于形如
f (x) g(x) a, f (x) g(x) aa为常数
解得：
2x 3 ，即： x 3 或 x 3
2
2
故不等式 f (x) 3 的解集为：
x
x
3 或x
3
2
2
（2）由 f (x) 2 得：
x 1 x a 2 即：
x 1 x a 2 或 x 1 x a 2
即：
2x a 1 2 或 a 1 2
因为 x R, f (x) 2 恒成立，
或 b f (x) a 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：
a f (x) b(b a 0) a f (x) b
例 2 不等式1 x 1 3 的解集为（ ）
A． (0,2)
B. (2,0) (2,4)
C． (4,0)
D. (4,2) (0,2)
解：
1 x 1 3 1 x 1 3 或 3, x 1 1
例 4 不等式 2x 1 x 2 0 的解集为 解：
2x 1 x 2 0 2x 1 x 2 2x 1 2 x 2 2 (2x 1)2 (x 2)2 0
[(2x 1) (x 2)][(2x 1) (x 2)] 0
1 x 1
所以原不等式的解集为x 1 x 1
得，即：
c x m x n c x m x n x m x n n m ； max
c x m x n c x m x n x m x n n m ； min
例 6 不等式 x 3 x 1 a 2 3a 对任意的实数恒成立，则实数 a 的取值范
围是（ ）
A． ,1 4,
B. ,2 5,
C. 1,2
解： 设函数
D. ,1 2, f (x) x 3 x 1 x 3 x 1 4
所以
f (x)max 4
而不等式 x 3 x 1 a 2 3a 对任意的实数 x 恒成立
故 a 2 3a 4 a 1或a 4 ，故选择 A 类型七：形如
f (x) g(x) h(x) ， f (x) g(x) h(x) 型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：
f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x) 或 f (x) g(x) h(x)
类型五：形如 f (x) f (x), f (x) f (x) 型不等式 解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即： f (x) f (x) ，无解
f (x) f (x) f (x) 0
例 5 解关于 x 的不等式 x 1 a x 1 a
x 1
x 1
解：
x 1 a x 1 a x 1 a 0
f (x) g(x) f (x) g(x) 或 f (x) g(x)
例 3 设函数 f (x) 2x 1 x 3 ，若 f (x) 5 ，则 x 的取值范围是 解：
f (x) 5 2x 1 x 3 5
2x 1 x 2 x 2 2x 1 x 2
2x 2x
1 1
常见的七种含有绝对值的不等式的解法
类型一：形如 f (x) a, f (x) a(a R) 型不等式
解法:根据 a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类 型的解题基础.
1、当 a 0 时，
f (x) a a f (x) a
2、当 a 0
f (x) a f (x) a 或 f (x) a f (x) a ，无解
所以 a 1 2 成立，解得：
故 a 的取值范围为：
a 1 或 a 3
,1 3,
绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行 等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含 有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为 一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其 实也体现了数学形式多样化的统一美.
x2 x 2
x x
1 1
1
x
1 ，故填： 1,1.
类型四：形如 f (x) g(x) 型不等式
解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差” 的积的方法进行，即：
f (x) g(x) f (x) 2 g(x)2
[ f (x)]2 [g(x)]2 0 [ f (x) g(x)][ f (x) g(x)] 0
方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具， 如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就 有点得不偿失了.
x x 1
（2） 当 a 0 时，原不等式的解集为：
x1 1 x 1
a
（3） 当 a 0 时，原不等式的解集为：
x
x
1或x
1
1
a
类型六：形如使 x m x n c, x m x n c 恒成立型不等式.
解法：利用和差关系式： a b a b a b ，结合极端性原理即可解
3、当 a 0 时，
f (x) a 使 f (x) 0 的解集 f (x) a ，无解
f (x) a 使 y f (x) 成立的 x 的解集.
例 1 不等式 x 2 x 2 的解集为（ ）
A. (1,2)
B. (1,1)
C. (2,1) 解： 因为
所以
即
解得：
D. (2,2)
x2 x 2，
x 1Biblioteka x 1x 1x1
1
a
0
x
1
1
a
（1） 当 a 0 时，原不等式等价于：
1 0 x 1 x 1
（2） 当 a 0 时，原不等式等价于：
1 x 1 0 1 1 x 1
a
a
（3） 当 a 0 时，原不等式等价于：
x 1 0或 x 1 1 a
x 1或 x 1 1 a
综上所述 （1） 当 a 0 时，原不等式的解集为：
2 x2 x 2 .
x 2 x 2
x x
2 2
0 ，
0
x R 1 x 2 ，
所以 x (1,2) ，故选 A.
类型二：形如 a f (x) b(b a 0) 型不等式 解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：
a f (x) b(b a 0) a f (x) b
例 7 解不等式 2x 1 x 1
分析：找出零点： x 0, x 1 2
确定分段区间： x 0,0 x 1 , x 1 22
解：（1）当 x 0 时，原不等式可化为： 2x 1 x 1
解得： x0
因为 x 0 ，所以 x 不存在 （2）当 0 x 1 时，原不等式可化为：
2 2x 1 x 1