(完整版)关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结

关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结()()()()()()b11bn 0首先研究一下定积分的定义函数f 如果对a,上一切分割及相应的一切积分和，只要分割的细度趋于0，就有一确定的极限，则称该极限为f 在a,上定积分，记为lim在求部分数列极限问题中，经常会利用定积分的定义去解决，下面我跟大家讲解的再详细具体实用点,在求解过程中方法1：lim这种做法是从左端ni i aT in i i ak：x b x b f x dx f x f x dx f x ξξ→=-→∞=⎡⎤⎣⎦⎡⎤=∆⎣⎦=∆∑⎰∑⎰()()()()()()()()()bn 111bn n 00b点开始取函数值方法2：lim这种做法是从右端点收尾取函数值一般在数列极限问题中我们通常是从右边往左边推，但是我发现在考研真题中上面两个等式还是不实用，因为考试中通常是对区间取等分间隔=，也就是比如n方法1：lim =lim 方法2：ni i aki n n i i a k k a f x dx f x b ax k b a b a f x dx f x f a n n f x ξξ→∞=--→∞→∞===∆-∆⎛⎫--=∆+ ⎪ ⎪⎝⎭∑⎰∑∑⎰()()()()()()()n n 111bn 0lim =lim 易错点：我可以保证基本每个人都错过，就是在解决具体的真题时候，经常忘了乘错误示范：=lim ？具体求数列极限问题中一般是写成右边这个形式，然后去推测相应的f ,和a,具体数值也就是说要推测三个n n i i k k n a k k b a b a dx f x f a n n b a n k b a f x dx f a n x b ξ→∞→∞==-→∞=⎛⎫--=∆+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰∑⎰()()()()11100n n 0量，我感觉有点难，所以我想把这个问题变得再详细具体实用点，我发现在具体应用中不管怎么出，我都可以把a=0,b=1去研究我是有理由的，大家可以思考下为什么我可以敢这样说，这样做题有一个好处就是只需要推测f 这一个量就可以了，此时把上面两种方法再修改一下：令a=0,b=11方法1：=lim ，方法2：=lim n k k x k k f x dx f f x dx f n n n -→∞→∞==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰⎰11现在问题又来了，在考试的时候涉及到关于数列极限的问题时，怎么才能想到是利用定积分的定义去求呢？带着这个疑问，我们再研究一下上面两种方法划横线部分的形式nn∑()10110n-1n-10n-1第一项是f =f 0,第二项是f ,11n n 1n-1第一项是f ,第二项是f ,n-1我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是，1而且这两种方法中每一项都有n 和,这也告诉我们如果在求数列极限问题中n如果发现每一项都含有n ，那n k nk k f n n n n n n n k f n n n n n n n n-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑么此时可以考虑下利用定积分的定义去做一下()1n n 111例1：lim n 1n 22n 分析：所求此数列每一项都含有n ，感觉好像可以利用定积分的定义，但是问题又来了1要想利用定积分，每一项要含有，可是这个数列不是啊，所以要想=lim到转化喽n1111n =现在问题又来了，n 1n 22n n n 1n 22n 感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来n k f x d n n x f →∞→∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭⎛⎫++++++ ⎪++++⎝⎛⎫ ⎝⎭⎰11111n =n 1n 22n n n 1n 22n 11111=大家注意为了找规律，所以最后一项不要写成12n n 2110123也就是说要出来，说的更详细点也就是每一项要出现,,,之类11+的，n 那么对括号里面再进一步转化一下1这样再看括号里面就会很容易的猜测f (x)=,1n 1n nk nn n nnk n n n nx=⎛⎫++++++⎪++++⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎪++ ⎪⎪+⎝⎭⎭+∑()()()()110334:n 333343330111n 22n 1变形1：lim12分析：看到各项都含有n,有的学员可能不赞同，说括号里面没有每一项都含有n 啊？1可是外面不是公共的吗？呵呵，然后想到定积分，首先把提出来，n1112n 12=+++n n n n 为了找11相应的函数ln 1ln ，也就是每2项1中0一n nn n f x dx dx x x →∞==+⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝+⎭=⎰⎰012要出现,,,n n n()()()33333333113334:n 112n 112n 把式子继续转化+++=+++nn n n n n n n 这样很显然看出函数是f 1lim12x x n f x dx x dxn →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⋅⋅⋅+==⎰⎰()()()()()()()()()()()()222:n 222222222222222111变形2：lim n +++n+1n+2n+n 1分析：看到各项都含有n,然后想到定积分，首先把提出来，n1111n +++=+++n n+1n+2n+n n+1n+2n+n 012为了找相应的函数，也就是每一项中要出现,,,n 下面要继续转化一下：1+++n n+1n+2n+n n n n n nn n n →∞⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⋅⋅⋅()22222222222:n 1n n n =+++n 1211111+++很明显看出函数f 12n 1111111变形3：lim n +++n 1n 22n 分析：看到各项都n n n n x n x n n n →∞⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎢⎥=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪++⎝⎭2222222222222222222221含有n,然后想到定积分，首先把提出来，n1111n +++=+++n n 1n 22n n 1n 22n 012为了找相应的函数，也就是每一项中要出现,,,下面要继续转化一下：n 11111+++=+++n n n 1n 22n 12111n n n n nn n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎡⎢⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣()21很明显看出函数f 1x x ⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦=+()():n 112变形4：limsin +sin++sin n1分析：看到各项都含有n,然后想到定积分，而且这个题已经把提出来了，n很明显看出函数f sin n n n n x x ππππ→∞⎛⎫-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭= 上面这几个题一定要好好领悟，把基础打死，总结关键点和易错点，但是考研真题上面一般不会出，因为考察方式太单一，下面我们看几道比较容易考的题，这几道题华南理工大学，南京师范大学都出过类似的题。

()():n 1例2：limn分析：看到这个题直觉告诉我们不可能会利用定积分，因为定积分是涉及到连加的，不是连乘，但是其实我感觉在数学中加和乘没有多大的区别，取对数不就行了吗？1下面就算上面的n ln ln 1ln 211lnln n n写到这我又哭了，因为最后突然出现了一个ln n n n n →∞+++⋅⋅⋅---()()()()()()()()()，那么我再转化一下ln ln 1ln 21ln ln 1ln 21-n ln nln =nnln ln ln 1ln ln 21-ln n n121ln ln ln 012为了每一项中要出现,,,n n 下面要继续转化一下：1210lnln ln ln 1+n =nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n n nnn n n n n +++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅---++-+⋅⋅⋅-=⎛⎫⎛⎫+-++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛+-++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1n 2ln 21:n 11ln 1ln 1n很明显看出函数f ln 1,1lim lnln 12ln 21n14limn 总结：这个题是先取对数，然后再利用积分,最后非常容易错的是最后一步，别忘了取对数以后再取回来，这点非常容易忘n n n x x x dx e→∞-→∞⎫⎛⎫⎛⎫-+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=-=⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰()()()()()nln1ln2lnln例3：求极限lim这是华东师范第四版数分上册43页第四大题第五小题，我想换种方法做分析：看到这个题是连乘，因此我想取对数变为连加=en ln n ln1ln2lnln1ln2lnln=ln ln1ln ln2ln lnnln ln ln12=写到这区找每nnnnennnn nn n n nnn nnn→∞++⋅⋅⋅+-=-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅-=++⋅⋅⋅+()1100n1012一项是否有,,n n n有人说这个题没有，正好都反了，怎么办？凉拌1很容易看出函数f(x)=ln ln（这个函数用心品味）ln1ln2lnlim ln=f ln1ln这个不是定积分，是瑕积分，可是又怎样？它收敛啊，其实如果我要是不强调是瑕积分，估计很多人都察觉不到，而且这个积分怎么做我就不需要讲了吧但是一定要xxnn x dx xdxnxdx→∞=-++⋅⋅⋅+-=-=⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰1n1注意这不是最终答案，你取了对数以后别忘了再取回来，这点非常容易错lim=e例4：设x1,求J=lim x这个题不管会不会起码题要读懂，而且看到符号要适应分析：因为每一项x1含有n,所以想到定积分，但是每一项并没有11出来,所以转化一下x1=1n n下nnk nknknknken→∞→∞===-⎛⎫⎪⎝⎭=-⎡⎤⎫=--⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎭⎣⎦∑∑2k面我要让式子中出现这个整体有关的东西，不然没法利用定积分去做k111x1=n n nnknn n⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎫⎢=-=⎢⎥⎪⎪⎢⎢⎥⎭⎣⎦⎢⎣11111k写到这我又哭了，因为我实在是找不到跟这个整体有关的东西，而且看着这个式子很复杂特别是分母，那我把分母放缩一下2n 111此时看看什么效果，x n nn 2n121x n 2nn 2n11x n 2n n 2n 211x n 2n nk nk nnnnk kk knnnk k k nn nk k nkk k nk=====≤+≤+≤=≤≤≤≤≤≤≤∑∑∑∑∑1111:n 1n 2n 112lim,lim 1n 2n 241由迫敛性法则得：J=limx =4大家这个题一定要细细品味，多思考几次，我能理解大家刚开始接触会比较吃力但是考试就喜欢这种结合定积分定义和数列迫敛性法则去出真题12例5：lim112分析：这个题每一项是，含有n,所以想11nknn n knnk n k knnkk nk kxndx nknkn=→∞→∞=→∞=→∞====⎛⎫ ⎪⎝⎭++∑∑⎰∑∑111111n 1到定积分， 然后在这一项中找跟k整体有关的东西，分子显然满足，但是分母比较复杂不满足怎么办，我想试着1122把分母放缩一下，111,则21111121211112122211111+11+1n n 1lim 2k k k nnnk k k k k k nnnn n nnnnnnnk k k k k kk n n k nknnn knn n n n n nkn knn ======→∞=≤+≤+≤≤++⎛⎫⇒≤≤⇒≤≤ ⎪⎝⎭++∑∑∑∑∑∑∑()1100n :n 112112,lim 11ln 2ln 201+n121由迫敛性法则得：lim=1ln 21xxknnkf x dx dx nkn→∞→∞======+⎰⎰∑()()()()()()()()()()()()()()12224112224n 1112ln2241222222122241222222222221例6：求极限lim1分析：看到连乘取对数=eln 1ln 2ln 21ln4ln ln 1ln 2ln 24ln ln 12ln ln 22ln ln 2nni nninn i n ninnin inn inn n n n n innn n n n n n nnn n n n n =→∞=+==+∏+++++⋅⋅⋅+++=-++++⋅⋅⋅++-=+-++-+⋅⋅⋅++=∏∏∏()()()()22222222222222222222ln 212ln ln ln 212ln 1ln 1ln 1122ln 1ln 1ln 1写到这我们发现每一项是n nnn n n n n n n nn n n n nn n n n n-⎛⎫+⎛⎫⎛⎫++ ⎪++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()()()()()2122224n 1201232,,,此时要超级小心，认真观察，n 12第一项0，末项2，会发现这个被积函数是f ln 1n 这个积分区间不是0,1了，而是0,2这个一定要小心，这个题的意思11是把0,2平均分成2n 份，所以每份小区间长度是,所以第一份是，n n211第二份是，最后一份是2n ，lim ln n n ln 1nninn n nnx x nn if x dxn x →∞=⋅⋅⋅→→=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎣⎦⨯+==+∏⎰()()1222412112ln222ln 542arctan 22arctan 244n n 12ln 542arctan 2但是注意这不是最终答案1lim=lim e=e 25nni nn i n ni dx nie n =+-+-→∞→∞==-+∏+=⎰∏1例7：设x ,0,求J=limx 1分析：看到连加，想到定积分，然后每一项要出现n1x n 11==n n 11nnk1写到这我发现式子中不能完全转化成跟相关的东西，跟nnk nk n knk a k nn →∞==>==⨯⨯⨯=⨯⨯+∑()()10k 1k 1k 10k是有巨大的差别的，所以想到放缩1111x n n n 11lim n 21111111lim lim n n n n nk nn nnn n nk k a a n n k a a x dx a n k k n a a a a n n n n a x →∞=→∞→∞==⎛⎫⎛⎫+⨯+≤=⨯≤⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯+=+=+⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯+=⨯+-⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+∑⎰∑∑()()1888777:n 1111limlim n n 1002大家要用心品味一下为什么我要加一项又减一项，我是在严格套定积分定义1由极限的迫敛性法则得：J=212例8：lim12分析：这个题刚开始看没有思路，然后我们再观察分子和分母，有没有可能分子和分母分别定积分算呢，呵呵，根本不可能，因为分子中不n n n dx a a n n a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-⨯++⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎰()()888888888887777777778是每一项都含有n 的，所以不能利用定积分，但是如果分子和分母都除以n 呢？121212n =121212n nn n n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()888180:n 777170:n 888777:n 121lim 9121lim 811289lim 19128n x dx n n n n x dx n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++⋅⋅⋅+==+⋅⋅⋅+⎰⎰暑假的时候统一讲的时候再给大家介绍一个模型。