菲涅尔衍射

☃ 泰伯自成像实质：它是刚刚透过光栅的光场被分解为0级和
1级的三个平面波在菲涅尔区的叠加结果。自成像也只发生在 三个平面波场的菲涅尔衍射区内，其泰伯距离是有限的。
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Homework (12-8)
• 12-29， 12-31
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6
二、菲涅尔透镜
1、菲涅尔透镜
已知菲涅尔圆孔衍射P0点复振幅为：
E~ E~1 E~2 E~3 E~4 1n E~n
若制成一个特殊的光阑将奇数波带或偶数波带阻挡， 则剩下的各波带在P0产生的复振幅将同相位叠加。光 强将会大大增加。
7
定义：将奇数波带或偶数波带挡住的特殊光阑称为菲涅 尔波带。由于它的聚光作用类似于一个普通透镜，故称 为菲涅尔透镜。

1 2

1 2
cos 2
1 d
x1

exp
i

k 2z
x

x1 2

y

y1 2
dx1dy1

作变量代换
x x1 ， 并由积分
e
ik 2z

y

y1
2
dy1

iz
1 2
得：

E~ x, y
eikz
iz
e e 1
2
i
2
1 d
x
iz
1 d
2

代入原式得：
E~(x, y
)

1

e
iz
1 d
2
cos 2
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x
d
15
E~(x, y
)

1

eiz

1 d
2
cos 2
x
d
☃当
z 2md2 m 0, 1
时，

菲涅尔衍射复振幅分布与光栅透射系数相同。
☃ 满足光栅自成像的距离z称为泰伯距离。
3、当圆孔非常大时， P0点的复振幅等于第1波带产生复振幅的一半， 强度为第1波带强度的1/4。（符合直线传播定律）
4
2、圆孔衍射图样
y1 C’ Σ
K
z1+λ/2 x1
z1 +λ
z1 z1
z1 +3λ/2
y x
P
P0
E
随P点离开P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的对 称性，距离P0相同的点P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
4
2z

2 d

分别积分得：
ik 2 e 2z d
iz
1 2


ei
2
1 d
x
ei
k 2z
2
d
iz
e e 1
2
i 2
1 d
x
iz
1 d
2


e i 2
1 d
x ei
k 2z
2
d
E~2

~ E1
2
~ E3
,
~~ E~ E1 En
22
~ E3

E~2
2
E~4
,

n为奇数时取正， n为偶数时取负。
讨论：
1、 P0的振幅与强度与衍射屏所包含的波带数有关，当波带数为奇 数时，强度较大，反之强度较小。
2、对于一定大小的衍射孔和光波波长，波带数取决于距离z1，因此 沿光轴移动接收屏，可见P0忽明忽暗交替变化。
设光栅的振幅透射系数为
x1,y1
2
t(x1, y1) 1 cos d x1
z
若单位平面波垂直照射，刚刚透过光栅的光场为： E~(x1, y1) t(x1, y1)
13
被光栅调制的光场 E~(x1, y1) 传播到菲涅尔衍射区到达距离z
时的复振幅分布为：
E~x, y eikz iz
各波带的面积近似相等
由
E~ j
C Aj rj
1 cos
2
知各波带在P0产生的复振幅有以下关系：
E~1 E~2 E~3
则各波带在P0产生的复振幅为：
E~ E~1 E~2 E~3 E~4 1n E~n
3
因Ei单调下降，且变化缓慢，所以近似有：
以获得高衍射效率、高光强的主焦点。
11
三、泰伯（Talbot）效应
现象：当用单色平面波垂直照明具有周期结构的衍射 屏时，将会在衍射屏后菲涅尔衍射区内某个距离 上出现该物体的几何像。 x x'
z
定义：不用透镜可对周期性物体成像的方法成为泰伯效应或泰伯 自成像（Selfimaging）。
12
说明： （以振幅型正弦光栅为例）
5
3、圆屏衍射图样
~ E~ E1
2
y1 C
x1 r0 +λ/2
R0
r0+
y x
P0
讨论：
Σ
K
E
1、圆屏较小时，轴上点P0总是亮点；
2、随P点离开P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的 对称性，距离P0相同的点P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
3、圆屏较大时，P0点的光强度接近于0。
iz
1 2


1

1
ei2
1 d
x


1
ei2
1 d
x



exp
i
k
2 4
4
2z

2 d

14
E~ x, y
eikz
iz
1 2


1

1
ei2
1 d
x


1
ei2
1 d
x



exp
i
k
2 4
其中：
f
z1

j2 j
10
4、菲涅尔透镜的成像特点
1）菲涅尔透镜除主焦点P0外，还存在光强较小的次焦
点P1 P2 P3… ，它们距波带片的距离分别为f/3、
f/5、f/7、 … 2）还存在一系列与实焦点对称的虚焦点P’0 P’1 P’2 P’3… 3）菲涅尔透镜的焦距与波长成反比。 4）采用二元光学方法补偿波带相位，且增大台阶数可
第八节 菲涅尔衍射
( Fresnel Diffraction )
一、菲涅尔波带法及圆孔、圆屏的菲涅尔衍射
1、菲涅尔波带法
y1
x1 z1 +λ
C
z1+λ/2
z1
Σ K
z1 +3λ/2
y x
P0 E
1
从中心C向外第 j 波带在P0产生的复振幅为
~ Ej
C Aj rj
1 cos
2
设第 j 波带的半径为ρj，由图得：
菲涅尔波带
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2、菲涅尔透镜的焦距
若波带片是对应距离为z1的轴上点P0设计的, 当单色光 垂直照射波带片时，P0 为一亮点，称为波带片的焦点， z1 即为波带片的焦距。
由公式 j jz1
得：
f
z1

j2 j
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3、菲涅尔透镜的成像关系
s l
波带片
s' l'
11 1 l' l f
1
j


z1

j
2
2

2
z
2 1


1

jz1
1
j
4z1

2
当 z1 时 j jz1
y1
x1 z1 +λ C z1+λ/2
z1
Σ K
z1 +3λ/2
y x
P0 E
2
Aj 2 j 2 j1 z1