指数函数性质的应用

指数函数性质的应用

1.求定义域值域

例1．求下列函数的定义域及值域：

（1）

1

21

8x

y-=；

（2）

x

y51

2-=；

（3）

2617

1

()()

2

x x

f x-+

=

；

（4

）

y=

；

（5）

[]的最值求函数2,3

,1

2

4-

∈

+

-

=x

y x

x

2、图象的平移变换

例2、若函数1()3x f x a

-=+恒过定点P ，试求点P 的坐标。

例3、说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出他们的图象：

（1）12-=x y ; （2）22+=x y ;

（3）12

x y +=; （4）22-=x y ; （5）

221x y -=+.

图象的平移变换法则：

当h>0时：

y=f(x)+h

↑上

y=f(x+h) 左 y=f(x) 右y=f(x-h)

↓下

y=f(x)-h

练习：说出下列函数图象与

1

y

x

=

图象之间的关系：

（1）

1

1

y

x

=

+；（2）

1

=

y

；

（3）

1

1+

=

x

y

；（4）

2

1-

=

x

y

；

（5）

2

3

1+

=

-

x

y

.

3、奇偶性分析及应用

例4、已知x x f x ⋅+-=)2

1121()(， （1）求函数)(x f 的定义域；

（2）判断)(x f 的奇偶性。

（3）求证：()0f x >。

练习：已知)10()(≠>-⋅=-a a a a k x f x x 且为奇函数，则k = 。

4、实际应用

指数函数应用广泛，如银行复利、人口增长、细菌繁衍、分期付款、土地流失等，这些问题有些模型是指数函数x a y =，有些则是指数型函数

x ka

y =或b ka y x +=，要具体问题具体分析。

例5、截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，

则有13(11%)13 1.01x x

y =⨯+=⨯（亿），当x = 20时，20

13 1.0116y =⨯≈（亿）。

所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿。

小结：在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型：设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则 (1)()x y N p x N =+∈。我们把形如x y ka =（,0k R a ∈>且1a ≠）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型。

练习：

（1）如果人口年平均增长率提高1个百分点，那么20年，33年后我国的人口数是多少？

（2）如果年均增长率保持在2%，试计算2020 ~ 2100年，每隔5年相应的人口数。

（3）我国人口数的增长呈现什么趋势？

（4）如何看待我国的计划生育政策？