高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线的综合问题 第2课时 定点、定值、探索性问题

第2课时 定点、定值、探索性问题

圆锥曲线中的定点问题(师生共研)

(2020·某某模拟)过抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C

于A ，B 两点，且|AB |＝8.

(1)求直线l 的方程；

(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． 【解】 (1)由y 2

＝4x 知焦点F 的坐标为(1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 代入抛物线方程y 2

＝4x ，得k 2x 2

－(2k 2

＋4)x ＋k 2

＝0， 由题意知k ≠0，

且Δ＝[－(2k 2

＋4)]2

－4k 2

·k 2

＝16(k 2

＋1)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2

＋4

k

2，x 1x 2＝1.

由抛物线的弦长公式知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，则2k 2

＋4

k

2＝6，

即k 2

＝1，解得k ＝±1.

所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)．

(2)由(1)及抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝

y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214

＝4

y 2－y 1

， 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝

4

y 2－y 1

(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 2

1＝4x －4x 1.

因为y 2

1＝4x 1，y 2

2＝4x 2，x 1x 2＝1，所以(y 1y 2)2

＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)．

所以直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0， 对任意y 1，y 2∈R ，有⎩⎪⎨

⎪⎧x ＋1＝0，y ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，

即直线BD 恒过定点(－1，0)．

求解圆锥曲线中定点问题的两种方法

(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．

(2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k 当成变量，将变量x ，y 当成常数，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，

得到方程组⎩

⎪⎨⎪⎧f （x ，y ）＝0g （x ，y ）＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点

具备一定的限制条件，可以特殊解决．

(2020·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)上动点P 到两焦点

F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，

以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若直线PA ，PB 分别交直线x ＝6于不同的两点

M ，N ，则以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明

理由．

解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，解得a ＝2.

若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，则点P 只能在椭圆的上、下顶点，

不妨设点P 运动到椭圆的上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c ，0)，则直线PF 1：bx －cy ＋

bc ＝0.

由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ， 所以

bc b 2＋c 2＝c

a

， 又a 2

＝b 2

＋c 2

，故b 2

＝1.故椭圆C 的方程为x 2

4＋y 2

＝1.

(2)由题意知，直线PA ，PB 的斜率存在且都不为0， 设直线PA 的斜率为k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2， 又A (－2，0)，B (2，0)，

所以k PA ·k PB ＝k ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20

x 20－4＝1－

x 20

4x 20－4＝－1

4

，

则k PB ＝－1

4k

.

所以直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)， 令x ＝6，得y ＝8k ，则M (6，8k )； 直线PB 的方程为y ＝－1

4k (x －2)，

令x ＝6，得y ＝－1

k

，

则N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫6，－1k .

因为8k ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1k ＝－8＜0，所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点，

设点G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ， 在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理，得

|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·⎪⎪⎪⎪

⎪⎪－1k ＝8，

因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，

所以以线段MN 为直径的圆恒过点(6－22，0)，点(6＋22，0)．

圆锥曲线中的定值问题(多维探究) 角度一 定线段的长

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，且经过点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，354.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若直线l 与椭圆C 相切，过点F 作FQ ⊥l ，垂足为Q ，求证：|OQ |为定值(其中O 为坐标原点)．

【解】 (1)由题意可知椭圆C 的左焦点为F ′(－1，0)，则半焦距c ＝1. 由椭圆定义可知 2a ＝|PF |＋|PF ′|＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3542

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫0－3542

＝4， 所以a ＝2，b 2

＝a 2

－c 2

＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1. (2)证明：①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝±2，点Q 的坐标为(－2，0)或