矩阵特征值与特征向量的求法

矩阵特征值与特征向量的求法
一、矩阵特征值与特征向量的定义
矩阵特征值（eigenvalue）是指一个矩阵在某个非零向量上的线性变换结果等于该向量的常数倍，这个常数就是该矩阵的特征值。

而对应于每个特征值，都有一个非零向量与之对应，这个向量就是该矩阵的特征向量（eigenvector）。

二、求解矩阵特征值与特征向量的方法
1. 特征多项式法
通过求解矩阵A减去λI（其中λ为待求解的特征值，I为单位矩阵）的行列式det(A-λI)=0来求解其特征值。

然后将每个特征值代入到(A-λI)x=0中，即可求得对应的特征向量x。

2. 幂法
幂法是一种迭代方法，通过不断地将A作用于一个初始向量x上，并将结果归一化，最终得到收敛到最大（或最小）特征值所对应的特征向量。

具体步骤如下：
(1) 选取任意一个非零初始向量x；
(2) 将Ax除以x中最大元素得到新的向量y=A*x/max(x)；
(3) 将y归一化得到新的向量x=y/||y||；
(4) 重复步骤2-3，直到收敛。

3. QR分解法
QR分解是将矩阵A分解为Q和R两个矩阵的乘积，其中Q是正交矩阵（即Q^T*Q=I），R是上三角矩阵。

通过不断地对A进行QR分解，并将得到的Q和R相乘，最终得到一个上三角矩阵T。

T的对角线元
素就是A的特征值，而对应于每个特征值，都可以通过反推出来QR
分解中的Q所对应的特征向量。

4. Jacobi方法
Jacobi方法也是一种迭代方法，通过不断地施加相似变换将A转化为对角矩阵D。

具体步骤如下：
(1) 选取任意一个非零初始矩阵B=A；
(2) 找到B中绝对值最大的非对角元素b(i,j)，记其位置为(i,j)；
(3) 构造Givens旋转矩阵G(i,j,k)，使其作用于B上可以消去b(i,j)，
即B=G^T*B*G；
(4) 重复步骤2-3，直到所有非对角元素均趋近于0。

三、总结
以上介绍了求解矩阵特征值与特征向量的四种方法：特征多项式法、
幂法、QR分解法和Jacobi方法。

不同的方法适用于不同类型的矩阵，选择合适的方法可以大大提高计算效率。

在实际应用中，我们可以根
据具体问题的需要来选择合适的方法。