函数的对称性和周期性

函数的对称性和周期性

一、单个函数的对称性

性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线

2

a b

x +=

的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==

故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。

由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2

a b

x +=对称。 （注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2

a b +，2c

）对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点

（2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时，

1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-

即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。 由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知 函数()y f x =的图象关于点（2

a b +，2c

）对称。（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。）

性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2

b a

x -=

对称。 证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2

b a

x -=

对称点（1b a x --，y 1）。

由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+= 故点（1b a x --，y 1）在函数()y f b x =-上。 由点11(,)x y 是函数()y f a x =+图象上任一点 因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2

b a

x -=

对称。 二、周期性

1、一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。 推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期

2.若T 是周期，则(0,)kT k k Z ≠∈也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数()f x C =；

3、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。 证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--=

∴函数()y f x =的一个周期为2A 。

4、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1

(A)()

f x f x +=

，则函数()y f x =的一个周期为2A 。 证明：1

(2)()()()

f x A f x A A f x f x A +=++=

=+。

5、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1

()()

f x A f x +=-

，则函数()y f x =的一个周期为2A 。 证明：1

(2)()()()

f x A f x A A f x f x A +=++=-

=+。

6、已知函数()f x 的定义域为N ，且对任意正整数x ,都有()()()(0)f x f x a f x a a =++-≠则函数的一个周期为

6a

证明：()()()f x f x a f x a =++- （1）

()()(2)f x a f x f x a +=++ （2）

两式相加得：()(2)f x a f x a -=-+ ()(3)(6)f x f x a f x a =-+=+

三、对称性和周期性之间的联系

性质1：函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-()a b ≠，求证：函数()y f x =是周期函数。 证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-

()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-

∴(2)(2)f a x f b x -=- ∴()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。

性质2：函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=()a b ≠时，函数()y f x =是周期函数。（函数()y f x =图象有两个对称中心（a ，2c ）、（b ，2

c ）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）

证明：由()()f a x f a x c ++-=⇒()(2)f x f a x c +-=

()()f b x f b x c ++-=⇒()(2)f x f b x c +-= 得(2)(2)f a x f b x -=- 得()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是以22b a -为周期的函数。

性质3：函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。

证明：()()2()(2)2f a x f a x c f x f a x c ++-=⇒+-= ()()()(2)f b x f b x f x f b x +=-⇒=- (4())(2(42))f b a x f b a b x -+=---

(42)(2(22))2(22)f a b x f a b a x c f b a x --=--+=--+ 2(2(2))2(2)c f b a x c f a x =---=-- 2(2())22()()c c f x c c f x f x =--=-+=

推论：若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(4a b -是

它的一个周期

证明：由已知()(2),()(2).f x f a x f x f b x =-=--

()(2)[2(2)][2()]

[22()][2(2)]

[22(2)][4()],4().

f x f a x f b a x f b a x f a b a x f a b x f b a b x f b a x b a ∴=-=---=--+=----=---=--+=-+-周期为 举例:sin y x =等.

性质4：若函数()f x 对定义域内的任意x 满足：()()f x a f x a +=-,则2a 为函数()f x 的周期。（若()f x 满足

()()f x a f a x +=-则()f x 的图象以x a =为图象的对称轴，应注意二者的区别)

证明：()()f x a f x a -=+ ()(2)f x f x a ∴=+

性质5：已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以2a 为周期的函数 证明：()()f a x b f x +=-

(2)(())()(())()f x a f x a a b f x a b b f x f x +=++=-+=--=