函数的对称性和周期性

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函数对称性和周期性的一些重要结论

函数对称性和周期性的一些重要结论1.函数的对称性函数的对称性可以分为自对称和互对称。

其中，自对称指函数图像关于某一条直线对称，互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。

自对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x = 0.满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。

互对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。

满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。

满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。

满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。

2.函数的周期性函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质，其中T为函数的周期。

常见的函数周期有以下几种：周期为T的函数，其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。

周期为2T的函数，其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。

周期为2T的奇函数，其图像关于原点对称，即满足f(x+2T) = -f(x)。

周期为2T的偶函数，其图像关于y轴对称，即满足f(x+2T) = f(x)。

3.函数的一些结论周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。

两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x)，g(x) = (c/2) - h(x)，其中h(x)为周期为T的函数。

如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。

如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点上下平移b个单位。

(完整版)常见函数对称性和周期性

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=。

函数周期性与对称性

函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04．设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。

在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。

一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。

在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。

1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。

其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。

1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。

定义域上的这条轴称为对称轴。

轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。

1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。

中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。

二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。

对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。

具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。

结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。

它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性一、函数的对称性1、对于函数()()x g x f ,，若())(x g x f -=，则关于对称；若())(x g x f -=，则关于对称；若())(x g x f -=，则关于对称；若()()x g x f ,互为反函数，则()()x g x f ,关于对称。

2、)(x f 和)(x f 的图象3、关于谁对称，谁不变。

以点()y x ,为例：4、满足条件)()(x b f a x f -=+的函数图象关于直线对称；点()y x ,关于直线a x y +±=的对称点为()()a x a y +±-±,，曲线()0,=y x f 关于直线a x y +±=的对称曲线为()()a x a y f +±-±,；曲线()0,=y x f 关于点()b a ,的对称曲线的方程为()02,2=--y b x a f 。

二、函数的周期性1、定义：注：周期性是函数的整体性质2、周期性的性质（1）反周期：当)()(x f t x f -=+时，t 为)(x f 的反周期，t 与周期T 的关系)(x f 以t 为反周期⇒)(x f 以T 为周期。

（2）当)(1)(,)(1)(x f t x f x f t x f -=+=+时，周期T 为（3）当)()(t x f t x f -=+时，周期为，当)()(t x f t x f --=+时，周期为（4）周期性与对称性的关系若函数)(x f 关于直线a x =和b x =对称，则)(x f 必为周期函数，为它的一个周期。

特别的，当)(x f 关于直线a x =对称，且)(x f 为偶函数时，它的周期为若函数)(x f 关于点()0,a 和点()0,b 对称，则函数)(x f 必为周期函数，为它的一个周期。

特别的，当)(x f 关于点()0,a 对称，且)(x f 为奇函数时，它的周期为若函数)(x f 关于点()0,a 和直线b x =对称，则函数)(x f 必为周期函数，为它的一个周期。

函数对称性周期性结论

函数对称性周期性结论
函数对称性周期性结论（Function Symmetry Periodicity Theorem）是指在数学函数理论中，一般情况下当函数的图像具有对称性时，该函数的周期性也同样成立。

这一定理适用于任何一个函数，无论它是可导数、可积分、在复平面上，甚至是复数函数。

换句话说，函数对称性周期性结论认为，如果一个函数具有左右对称性，或者其图像具有旋转对称性，那么该函数就是周期函数。

具体来说，此结论指出，若一函数f(x)具有左右对称性，即存在常数a 使得f(x + a) = f(-x + a)，则f(x)必然具有周期性；若该函数具有旋转对称性，即存在常数b使得f(x + b) = f(b - x)，则f(x)也必然具有周期性。

这一结论可以进一步引出反函数、导数和积分存在对称性的周期性结论。

换句话说，即假定某个函数f(x)具有左右对称性，或旋转对称性，它的反函数、导数和积分，一定也都有相应的周期性特征。

此外，函数对称性周期性结论还推导出另外一条重要结论，即具有左右对称性的函数，只要它的对称轴不穿越原点，它的导数和积分也能满足相应的对称性周期性结论。

函数对称性周期性结论的实际应用场景主要集中在图像处理、音频处理、信号处理等众多领域，用于检测和生成规律性的数学函数、复数函数的图像平面及其他特征。

总之，函数对称性周期性结论可以帮助我们将数学函数的对称性、周期性等定性特征进行定量分析，具有重要的理论意义和实际应用价值。

函数的周期性与对称性

【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ，则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ）内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析式答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析式解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为所求结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称

(完整版)函数周期性与对称性常见结论

(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。

这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。

本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。

一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。

二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。

函数对称性与周期性

函数对称性与周期性知识归纳：一．函数自身的对称性结论结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b －y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论1：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0推论2：的图象关于点对称．推论3：的图象关于点对称．推论4：的图象关于点对称．结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b－x)那么函数本身的图像关于直线x = 对称，反之亦然。

证明：已知对于任意的都有f(a+) =f(b－)=令a+=, b－=则Ａ（，），Ｂ（，）是函数y=f(x)上的点显然，两点是关于x= 对称的。

反之，若已知函数关于直线x = 对称，在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（）那么（）关于x = 对称点（a+ b－,）也在函数上故f()=f(a+ b－)f(a+(-a))=f(b-(-a))所以有f (a +x) = f (b－x)成立。

推论1：函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)推论2：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)结论3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

高中数学函数图像的对称与周期性

高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。

对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。

一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。

这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。

这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。

这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。

周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。

我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。

2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。

非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。

我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。

三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。

完整版)函数的周期性与对称性总结

完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。

2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。

如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。

2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。

3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。

4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。

5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。

6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。

7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。

8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。

9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。

10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。

(完整版)函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。

周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。

对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

一、一个函数关于两个点对称。

命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。

又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。

从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。

命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么：当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。

函数的周期性和对称性

称轴。
cor.若函数f (x) 满足 f (x) f (2a x) ，那么函数以x a为对称轴。
即：x a为 f (a x) f (a x)
对称轴
f (x) f (2a x)
Y
A(a x, f (a x))
A
B
O
X=a
B(a x, f (a x))
3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。
性质1.若函数f (x) 以 x a, x b（a b）为对称轴，那么此
函数是周期函数，周期T= 2 a b
证明：由f (x)图象有两条对称轴x a，x b
f (a x) f (a x)，f (b x) f (b x)
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
f(2009)＝f(334×6＋5)＝f(5)，而 f(5)＝f(3＋2)＝－f12＝－2－1 3＝－(2＋ 3)．故填－(2＋ 3)．
[答案] －(2＋ 3)
[反思感悟] 根据 f(x＋3)＝－1fx，可得到 f(x)为周期为 6 的函数.
【典例 2】已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的 x，都有 f(x＋1)＝－f(1－x)，且方程 f(x)＝0 在(－1,1)上只有一个根，则方程 f(x＋1)＝0 的第 2000 个根是多少．(从 x 轴右半轴开始从左到右数起)．
T 3a
(8) f ( x a) 1 f ( x)(9) f ( x a) f ( x) f ( x-a)

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性补充高一数学知识点——函数的对称性与周期性一、对称性（轴对称、中心对称）函数的对称性是指函数自身具有的对称性，可以分为轴对称和中心对称两种类型。

命题1：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。

特别地，当f(x) = f(-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称；当f(a+x) = f(a-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

命题2：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b/c,0)成中心对称图形。

特别地，当f(x) + f(-x) = 0时，函数y=f(x)的图象关于原点对称；当f(x) + f(2a-x) = 2b时，函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。

二、周期性1.定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，则称T为这个函数的一个周期。

2.如果函数f(x)是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么f(x)=f(-x)。

关于函数的周期性的几个重要性质：1）如果y=f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x±nT)=f(x)(n∈Z)。

2）如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a；如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a/T。

三、例题讲解例1]若f(x+a)=f(x)-f(x-a)，则f(x)的周期T=6a，请推导。

例2]设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=-5.5.例3]已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(105.5)=103.5.例4]设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x)图象关于直线x=1/2对称，y=f(x+1)的图象关于y轴对称。

第七讲函数之周期性与对称性

第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

9、假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

函数的对称性与周期性

在区间[ , ] 上零点的个数为_________.
(2).已知函数 y f (x) 满足 f (x 2) f (x) ,且 x [0,2] 时, f (x) (x 1)2 ,若令函数
g(x) f (x) log5 | x 1| ,则函数 y g(x) 的左右零点之和为(
)
i 1
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
例
5. 已知函数
f
(x)

| |
x 2 |, x 0 log2 x |, x 0
，
若
关
于
x
的方程
f (x) a
有四个不同的解
x1, x2 , x3, x4 且 x1 x2 x3 x4 ,求 x1x2 x3x4 的取值范围.
(减)，则 y f (x) 在 (a kT , b kT ), (k Z ) 上单调增(减).
例 10.(1). 函数 y f (x) 满足 f (x) f (4 x) ，当 x [0,4)时，f (x) x2 1 ，求
f (2014) _______.
g(x)
f
(x) ，当
x a 时，g(x) g(2a x) ，若关于 x 的方程 g(x) x a 0 有且仅有一个实数根，则 a
的取值范围为( )
A. (,0] (2,) C. (,1] (2,)
B. (,0] (9 ,) 4
D. (,1] (9 ,) 4
一般地 , 若函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) c , 则函数的图象关于点 ( a b , c ) 对称.