第六讲 三角形

第六讲 三角形
知识点1：轴反射和轴对称图形
1、轴反射和轴对称图形：
（1）如果一个图形沿着____折叠，直线两旁的部分能够____，那么，这个图形叫作____，这条直线叫做它的____.
（2）如果一个图形关于某一条直线做______，能够与另一个图形____，那么就说这两个图形关于这条直线____，也称这两个图形______，这条直线也叫作_____．
（3）互相重合的两个点，其中一点叫作另一个点关于这条直线的_____．
2、轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段____，对应角相等____，对应点所连的线段被对称轴______.
（2）两个图形关于某直线对称，如果对应线段的延长线相交，那么交点在____上.
3、线段的垂直平分线：（垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）．）
（1）如果两点A 、A’关于直线 l 对称，则 l 是线段AA’的_______.
反之，如果直线 l 是线段AA’的垂直平分线，则点A 、A’关于直线 l ____.
（2）线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离____．（垂直平分线性质定理）
（3）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离_____.
（4）到线段两端距离相等的点在线段的_____上.
4、角平分线的性质定理及逆定理：(1)角平线上的点到角两边的距离_____.
(2)反之，到角两边距离相等的点在_______上.
5、画一个图形的对称轴时，可连结任意一对对称点，再作这条线段的____即可.画已知图形的轴对称图形的方法：
画已知图形的轴对称图形时，只要分别作出某些点关于对称轴的____，再连结这些____，就可以得到原图形的轴对称图形.
知识点1：三角形
1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2、三角形的表示：
3、三角形的分类： ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)
(等边三角形等腰三角形不等边三角形 4、三角形的重要线段
①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心
②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心
③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)
三角形 (按角分) 三角形 (按边分)
5、三角形的三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
6、三角形具有稳定性
7、三角形的内角和定理及性质： 定理：三角形的内角和等于180°.
推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

8、多边形的外角和恒为360°，内角和为：
知识点1：等腰三角形和等边三角形
1、等腰三角形的重要性质：
（1）等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相____，简称为“_____”.
（2）等腰三角形是轴对称图形，____是它的对称轴.
（3）等腰三角形的两底角____，简称“_____”．
2、等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对边也_____，简称为“_____”.
3、等边三角形的性质：
（1）等边三角形的三个内角____，且都等于___.
（2）等边三角形是_____图形，其____有___条.
（3）等边三角形每条边上的中线、高和它所对角的平分线_____.
4、等边三角形的判定：
（1）三条____都相等的三角形是等边三角形.
（2）三个____都相等的三角形是等边三角形.
有两个内角是___的三角形是等边三角形.
（3）有一个内角是___的等腰三角形是等边三角形.
《轴对称和轴对称图形》练习
一．选择题
（2）下列图形是轴对称图形的是（ ）
（A ）任意三角形 （B ）有一个角等于︒60的三角形 （C ）等腰三角形 （D ）直角三角形
（3）P 为ABC ∆内一点，且PC PB PA ==，则P 点是（ ）
（A ）三条中线的交点 （B ）三条高的交点
（C ）三个角的平分线的交点 （D ）三边垂直平分线的交点
（5）正五角星的对称轴有（）
（A ）1条 （B ）2条 （C ）5条 （D ）10条
（7）下列四个图形①等腰三角形 ②等边三角形 ③等腰直角三角形 ④直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（8）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）
（A ）线段 （B ）角 （C ）三角形 （D ）等腰直角三角形
1、在下列图形中，是轴对称图形的是( )
A 、锐角三角形
B 、射线
C 、线段
D 、直角三角形
2、等边三角形的对称轴有( )
A 、一条
B 、二条
C 、三条
D 、一条或三条
3、下列图形中不是轴对称图形的是( )
A 、有两个角相等的三角形 C 、有两个角分别为050与080的三角形
B 、有一角为045的直角三角形 D 、有两个角分别为055与065的三角形
1. 下列图案是我国几家银行的标志，其中不是．．
轴对称图形的是（ ）
4 . 如图,直线L 1，L 2，L 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，•要求它到三
条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A ．一处
B ．二处
C ．三处
D ．四处
5 . 等腰三角形的对称轴是（ ）
A ．顶角的平分线
B ．底边上的高
C ．底边上的中线
D ．底边上的高所在的直线
6 . 如图，AB AC BD BC ==，，若40A ∠=，则ABD ∠的度数是（ ）
A ．20
B ．30
C ．35
D ．40 2. 如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是( )
A ．
B ． C. D.
7 . 下列说法不成立的是( )
A.若两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线
B.两图形若关于某直线对称，则两图形能重合.
C.等腰三角形是轴对称图形
D.线段的对称轴只有一条
8 . .如图,在四边形ABCD 中,边AB 与AD 关于AC 对称,则下面结论正确的是( )
①CA 平分∠BCD ；②AC 平分∠BAD ；③DB ⊥AC ；④BE=DE.
A.②
B.①②
C.②③④
D.①②③④
D 9. 哪一面镜子里是他的像（ ）
10 .一个等腰三角形但不是等边三角形,它的角平分线、高线、中线总数共（ ）条
A ．9 B. 7 C. 6 D.
3
2、下列命题中正确的命题有（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
B A D C
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA=PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1、下列说法错误的是（ ）
A ．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是他们的对称轴
B ．面积相等的两个四边形对称
C ．成轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合
D ．关于某直线对称的两个图形完全相同
2、在线段、两条相交直线、等腰三角形和圆四个图形中，是轴对称图形的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．4个
D ．3个
3、若三角形一边的垂直平分线过另一边中点，则该三角形必为( )
A ．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
4、三角形内到三条边的距离相等的点是（ ）
A 、三角形的三条角平分线的交点
B 、三角形的三条高的交点
C 、三角形的三条中线的交点
D 、三角形的三边的垂直平分线的交点
5、如右下图，DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆ABD 的周长为（ ）厘米。

A ．16 B ．28 C ．26 D ．18
6、在等腰三角形ABC 中AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分
为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A. 7
B. 11
C.7或11
D.7或10
7、等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于（ ）
A.顶角
B.顶角的一半
C.顶角的2倍 D 底角的一半
二．填空题
11. 观察下面的英文字母，其中是轴对称图形的有_____个.
A ，C ，D ，E ，F ，H ，J ，S ，M ，Y ，Z
12 . 等腰三角形的一个内角是700，则它的另外两个角的度数分别是_____.
13 . 如图，三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=40度，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，∠DBC 等于_____度.
14. 如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°,∠2＝46°,则x ＝ .
16. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,点D 到AB 的距离为5cm,则CD=_____cm.
15. 如图，镜子中号码的实际号___________.
17. 已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 18 ．如图是一个轴对称图形，AD 所在的直线是对称轴，仔细观察图形，回答下列问题： A B C D
（1） 线段BO 、CF 的对称线段是_____________；
（2）△ACE 的对称三角形是______________.
9、如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，
①若AB=20，BD=12，DC ＝__________；
②若△DBC 的周长为20，△ABC 的周长为32，则AB=________．
第8题 第9题 第10题 第11题
10、如图，AB=AC,BD=BC,若∠A=40°，则∠ABD 的度数是______
11、 如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E,236cm S ABC =∆，AB=18cm,BC=12cm,则
DE=______．
12、在△ABC 中，∠C = 90°，角平分线AD 分对边
BD ：DC = 2：3，BC=15 cm ，D 到AB 的距离是
___________cm 。

13、等腰三角形的一边长为４ｃｍ，另一边长为９ｃｍ，
则它的周长为＿＿＿＿；等腰三角形的一边长为１０ｃ
ｍ，另一边长为８ｃｍ，则它的周长为＿＿＿＿＿。

14、1）作出如图关于黑线轴对称的力图形
2）把原图形先向下平移六个单位，再向
右平移四个单位。

23. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，且∠2＝25°，求∠BAC 和∠B 的度数.
24. 如图，△ABC 中，∠BAC=1100，DE 、FG 分别为AB 、AC
的垂直平分线，E 、G 分别为垂足.
(1) 求∠DAF 的度数.
(2)如果BC ﹦10cm ，求△DAF 的周长.
14、如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，
试说明：AM 平分∠DAB.
D
C
15、如图，已知△ABC 中，∠1=∠2，AB=AC=BC ，ED=EB ，试说明：CE=CD ．
16、如图所示，D 为等腰△ABC 的腰BC 延长线上一点，E 为另一腰
AC 上的一点，CD=CE ，DE 的延长线角AB 于F ，试说明：DF ⊥AB.
1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ， ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ．
试说明：（1） ∠EDC ＝∠ECD ； (2)OC ＝OD ； (3)OE 是CD 的垂直平分线．
2、直角三角形ABC 中，∠A=90度，DE 是BC 边上的垂直平分线，如果CE 恰好是∠ACB 的平分线。

①求∠B 的度数。

②如果DE=4，求S ABC =？
3、如图所示，AP 、CP 分别为△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线，它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，试说明：BP 平分∠MBN 。

C
B
认识三角形练习题
1，一个木工师傅现有两根木条，它们长分别为50cm，70cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架，设第三根木条为xcm，则x的取值范围是.
2，如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为_________，
如果第三边长为偶数，则次三角形的周长为_________.
3，如果一个等腰三角形的两已知边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长为_________
4．等腰三角形的周长为14cm，腰长为xcm，则x的取值范围是________．5．一个等腰三角形两边的长分别是15cm和8cm则它的周长是__________
7、若等腰△ABC周长为26，AB=6 , 它的腰长_____
8.已知△ABC中，AB=3,BC=6，另一边CA的长是正整数，则CA的可能取值为_________。

9，现有长度为2cm,3cm,4cm,5cm的木棒，从中任取三根，
能组成_________个三角形的个数。

1．在△ABC中，若∠B=∠C=40º，则∠A= _____
2．在△ABC中，∠ABC=90º，∠C=43º，则∠A=______.
3，在△ABC中，AD是角平分线，若∠B=50º，∠C=70 º，则∠ADC=_________.
4，如果△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则此三角形按角分类应为_________.
5.在△ABC中:(1)∠C=90°,∠A=30°,则∠B=_______;(2)∠A=50°,∠B=∠C,则∠B=_____
6.根据图中已知角的度数，求出其中∠α的度数. (1)∠α=___；(2)∠α=__；
(3)∠α=____ A
B C
D
110 o 70 o α(2)(3)
50
o 35 o α
(1)
7、在△ABC 中（1）若∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，则△ABC 是_________三角
形．
（2）若∠A+∠B=∠C ，则△ABC 是___三角形．
（3）若∠A=21∠B=31
∠C ，则△ABC 是__三角形． （4） 若∠A=2∠B=6∠C ，则△ABC 是_________三角形．
（5）若∠A=∠B=∠C ，则△ABC 是_________三角形．
8，在△ABC 中，若∠B=∠C=40º，则∠A=_________ .
9，在△ABC 中，∠ABC=90º，∠C=43º，则∠A=_________ .
10．在△ABC 中，∠A －∠B ＝30°、∠C ＝4∠B ，则∠C ＝________．
13.如图所示,在△ABC 中,AE 是中线，AD 是角平分线，
AF 是高．则⑴BE ＝______＝
12_______； ⑵∠BAD ＝_________＝12
_________； ⑶∠AFB ＝_________＝90；
⑷ABC S ＝__________．
18．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100０，则=x
2.如果三条线段a,b,c 能组成三角形，那么它们的长度比
可能是（ ）
A .1：2：4
B 1：3：4
C 3：4：7
D 2：3：4
3．一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少为 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4，三角形中最大的内角不能小于（ ）A.30º B.45º C.60º D.90º
6.给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是
A.∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3
B.∠A+∠B=∠C
E C 100 0 x 0 4 3 2 1
C B A 第（18）
C.∠A=21∠B=31
∠C D.∠A=2∠B=3∠C
7.在一个三角形的三个内角中，说法正确的是
A.至少有一个直角
B.至少有一个钝角
C.至多有两个锐角
D.至少
有两个锐角
8.锐角三角形中，任意两个内角之和必大于
A.120°
B.100°
C.90°
D.60° 9.在△ABC 中，∠A ＝31∠B ＝51
∠C ，则△ABC 是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都不对
4．能将三角形面积平分的是三角形的（ ）
A 、 角平分线
B 、 高
C 、 中线
D 、外角平分线
19. 如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2, ∠3=∠4,∠BAC =63°, 求∠DAC 的度数.
20. 如图，若∠A ＝70°，∠ACD ＝40°，∠ABE ＝30°，求∠BDC 、∠BFC 的度数．
针对性练习：
1、能把一个任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是三角形的（ ）
A 、角平分线
B 、中线
C 、高
D 、两边中点连线
1、下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( ) B C E B C
B A
C E B A C E A 4321
D C B A B
C
A.是边BB′上的中线
B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线
D.以上三种
3、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A.1cm,2cm,3cm
B.1cm,2cm,4cm;
C.2cm,3cm,4cm
D.2cm,3cm,6cm
4、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( )
A.9
B.12
C.15
D.12或15
5、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形;
C.直角三角形
D.钝角或直角三角形
6、已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( )
A.100°
B.120°
C.140°
D.160°
7、在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则
∠A=_______度.
8、如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,且∠B=36°,
∠C=76°,求∠EAD的度数。

9、如图，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，交BC的延长线于点F，∠B=63°，∠ACB=75°，∠AED=46°,求∠BDF的度数。