人教课标版高中数学必修2《球的体积和表面积》教学设计

1.3.3球的体积和表面积

一、教学目标 （一）核心素养

在掌握球体表面积及体积过程中，培养学生空间想象能力和思维能力，让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣. （二）学习目标

1.了解球的表面积与体积公式,

2.通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系

3.会用球的表面积和体积公式进行计算；会求一些简单几何体的表面积和体积. （三）学习重点

球的表面积与体积的计算 （四）学习难点 简单组合体的体积计算 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务

（1）读一读：阅读教材第27页至第28页.填空： 球的体积：3

43V R

=π

球的表面积：24S R =π 2.预习自测

（1）设球的半径长cm 8，则球的表面积为 . 【答案】()

2256cm π 【知识点】球的表面积公式

【解题过程】()222448256S =R cm π=⨯π⨯=π球

【思路点拨】运用球的表面积公式求解.

（2）若球的体积为336cm π，则球的表面积为 . 【知识点】球的表面积公式和体积公式. 【解题过程】3

32243634363

V R cm ,R cm,S R ,cm =

π=∴==ππ又所以表面积为.

【答案】()

236cm π

（3）球的直径伸长为原来的2倍，体积变为原来的______倍. 【答案】8

【知识点】球的体积公式

【解题过程】设伸长前体积为1V ，伸长后为2V ，则：

()3

331244428333V R V R R =

π=π=π⨯，，21

8V V ∴= 【思路点拨】直接用公式 (二)课堂设计 1.知识回顾

柱体、锥体、台体表面积和体积的计算方法及三者间的关系. 2.问题探究

活动①互动交流、初步实践

引入：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？

(1)讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？

球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数. （证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公式） (2)给出公式：

33

4

R V π=球 ； 24R S π=球 （R 为球的半径）

→讨论：公式的特点？

【设计意图】分组讨论，加深记忆，掌握球的表面积和体积公式. 活动② 例题示范、巩固新知

例1如下图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：

（1）球的体积等于圆柱体积的

3

2； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

【知识点】主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算 【数学思想】空间想象

【解题过程】（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为R 2.

则有334R V π=球，3222R R R V ππ=⋅=圆柱，所以圆柱球V V 3

2

=.

（2）因为24R S π=球，2422R R R S ππ=⋅=圆柱侧，所以圆柱侧球S S =. 【思路点拨】明确组合体的结构特征 【答案】见解题过程

同类训练 圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm .

【知识点】球

【数学思想】空间想象

【解题过程】 设球的半径为rcm ，则r r r r 633

4

8232⨯=⨯+⨯πππ.解得4=r .

【思路点拨】三个小球的体积和水的体积之和等于圆柱的体积 【答案】4

例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）

A.π6

B.π34

C.π64

D.π36

【知识点】球的截面问题 【数学思想】空间想象

【解题过程】设截面圆的圆心为'O ，M 为截面圆上任一点， 则2'=OO ，1'=M O ，

()3122

=+=

∴OM ，即球的半径为3

()π

π3433

4

3

==∴V

【思路点拨】有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决. 【答案】B

同类训练 如图一个水平放置的无盖透明的正方体容器，高cm 12，将一个球放在容器口，在向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为cm 8，如果不计容器厚度，则球的体积为 3cm .

【知识点】球的体积和表面积 【数学思想】空间想象

【解题过程】根据几何意义得出：边长为12的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为6

∵球面恰好接触水面时测得水深为cm 8， ∴4812=-=d ，∴球的半径为()2264+-=

R R ，即2

13=R

∴球的体积为33

6219721334cm ππ=⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯

【思路点拨】根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积 【答案】

62197π

例3 一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（ ）

A.3

4π

+

B.3

8π

+

C.384π+

D.3

88π

+ 【知识点】几何体的三视图及空间几何体的体积 【数学思想】空间想象

【解题过程】由三视图可知，此几何体为组合体，下面是棱长为2的正方体，上

面是球体的41

，且球的半径为1，所以该机器零件的体积为

3

813441233π

π+=⨯⨯+=V

【思路点拨】求简单组合体体积时，可直接利用公式求解 【答案】B

同类训练 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，半径长度为2，则该几何体的表面积是（ ）

A.π17

B.π18

C.π20

D.π28 【知识点】由三视图求面积、体积. 【数学思想】空间想象

【解题过程】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：