一个纳什均衡存在的简单证明

一个纳什均衡存在的简单证明(《Advanced Microeconomic theory 》,Jehle

and Reny )

第一步，定义调整（向量）函数：:f M M →，M 是L 个博弈者混合策略的乘积空间。简单起见，每个博弈人的纯策略都是n 个。定义博弈者i 的某个纯策略的选取的概率为

''1max(0,(,)())()1max(0,(,)())

ij i i i ij n

i i i j m u j m u m f m u j m u m --=+-=

+-∑ (1)

很显然

1

()1n

ij

j f

m ==∑ 。请问式子（1）的经济含义?

1(,,)L f f f =L ，其中1(,,)i i in f f f =L ，相似的有1(,,)L m m m =L ,1(,,)i i in m m m =L 。

请问这些符号的经济含义？

第二步，应用布劳威尔不动点定理得到向量函数f 有不动点ˆˆ()f m

m =，把向量函数的不动点写成分量形式得到ˆˆ()ij ij f m m =（注意等式两边的ˆm 和ˆij m ）。

第三步，根据式子（1），ˆˆ()ij ij f m

m =可以展开为 ''1ˆˆˆmax(0,(,)())ˆˆˆ1max(0,(,)())ij i i i ij n

i i i j m

u j m u m m

u j m

u m --=+-=+-∑ (2)

整理得到

''1

ˆˆˆˆˆmax(0,(,)())max(0,(,)())n

ij i i i i i i j m

u j m u m u j m u m --=-=-∑ (3) （3）两边同乘ˆˆ(,)()i i i u j m

u m --，并对j 加总得到 ''1

1

1

ˆˆˆˆˆ[(,)()]max(0,(,)())ˆˆˆˆ[(,)()]max(0,(,)())n

n

ij

i

i

i i i i j j n

i i i i i i j m

u j m u m

u j m u m u j m

u m u j m u m --==--=--=--∑∑∑ (4)

因（4）左边1

1

ˆˆˆˆˆˆˆ[(,)()](,)()()0n n

ij i i i ij i i i i j j m

u j m u m m u j m u m u m --==-=-=-=∑∑，有 1

ˆˆˆˆ0=[(,)()]max(0,(,)())n

i i i i i i j u j m

u m u j m u m --=--∑ (5)

根据（5）式，不可能有ˆˆ(,)()0i i i u j m

u m -->，因为这样必然使得（5）右边严格大于零。因此ˆˆ(,)()0i i i u j m u m --≤，说明不动点ˆm 是NE （为什么）。