一元二次函数求极值

一元二次方程的解法公式法

一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。

（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。

公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。

一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。

例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。

2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。

（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。

2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。

3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。

物理中求极值的常用方法

物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。

学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-ab2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法利用Δ＝b 2-4ac ≥0。

(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。

若y ≤A ，则y max ＝A 。

3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。

（2）当x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值均值定理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。

当a ＝b 时， (a+b) max ＝2)(2b a +。

5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=21Asin2α，在α=45o 时，y 有极值2A 。

对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。

二次函数求极值公式

二次函数求极值公式
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$ 是常数，且$a \neq 0$。

要求二次函数的极值（最大值或最小值），可以使用以下公式：
1. 首先，计算二次函数的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。

2. 如果$\Delta > 0$，则二次函数有两个不相等的实根，此时极值点为抛物线的顶点，顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$。

-如果$a > 0$，则顶点为最小值点，最小值为$f(-\frac{b}{2a})$。

-如果$a < 0$，则顶点为最大值点，最大值为$f(-\frac{b}{2a})$。

3. 如果$\Delta = 0$，则二次函数有唯一实根，此时极值点为抛物线的顶点，顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$。

-如果$a > 0$，则顶点为最小值点，最小值为$f(-\frac{b}{2a})$。

-如果$a < 0$，则顶点为最大值点，最大值为$f(-\frac{b}{2a})$。

4. 如果$\Delta < 0$，则二次函数没有实根，此时函数在定义域内没有极值点。

这些公式可以帮助你找到二次函数的极值点和极值。

力学求极值常用方法

力学求极值常用方法一．运用二次函数求极值（顶点坐标法，配方法，判别式法）三种方法等效，适用于有二次函数的式子。

典型一元二次函数y的顶点坐标法？ax2？bx？Cb4ac?b2若a?0,则当x??时,y有极小值，为ymin?；2a4ab4ac？B2如果a？0，当x？？当y有一个最大值，即ymax？；2a4a例1．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始行驶。

恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。

汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解决方案：时间t后，自行车以匀速移动，其位移为S1？VT，当汽车匀速加速时，其位移为：S2？12点22分1232?s?s?s?vt?at?6t?t两车相距为：1222这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故δs有最大值。

当tsm?b?6??2(s)时，?s有最大值2a2?(?3/2)4ac?b24a?0?624?(?3/2)?6(m)二、用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为“y=asin?cos?”的形式，则y=asin2α，在?=45o时，y有极值。

对于复杂的三角函数，如y=asinθ+bcosθ，当需要极值时，应先将不同名称的三角函数sin与COSθ相加，成为同名的三角函数，如sin（θ+ф）a212例2。

如图1（1）所示，当斜面与底边θ形成夹角时，底边AB与B一样恒定。

物体沿此平滑斜坡从顶部滑动到底部所需的最短时间有多大？设夹角为θ时，斜面长为s，物体质量为m，沿斜面方向的加速度为a，所用时间为t，AMGB图1（2）avθbFnccb图一（1）θb受力分析如图一（2）所示，据题意有：s?…………①acos?1由运动学和牛顿第二定律有：s?at2…………②2mgsinθ=ma…………③联立①②③式解得：t?2s?a2b?gsin?cos?4bgsin2?可见，在90°≥θ≥0°内，当sinθ=1时，即2θ=90°，θ=45°时，有最短时间：tmin?4bg例3．如图4所示。

二次函数最大值与最小值公式

二次函数最大值与最小值公式
二次函数最大值与最小值
二次函数，也称二次多项式，是一类在近几十年十分热门的函数，它的定义域是实数集，其表达式通常如下形式：
y=ax2+bx+c (a≠0)
又可以把这个函数写成如下形式：
y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1,x2是二次函数的两个极值点，是它最大值或最小值取得条件。

那么对这个函数，最大值和最小值的求法有如下数学表达式：
若a>0，函数在x1处取最小值ymin=a(x1-x2)(x2-x1)=ax12-bx1-c；函数在
x2处取最大值ymax=ax22-bx2-c。

若a<0，函数在x1处取最大值ymax=a(x1-x2)(x2-x1)=ax12-bx1-c；函数在
x2处取最小值ymin=ax22-bx2-c。

如果我们把上面的公式整理一下，就可以得到最大值与最小值的公式：
当a>0时，ymax=ax22-bx2-c ,ymin=ax12-bx1-c；
当a<0时，ymax=ax12-bx1-c ,ymin=ax22-bx2-c。

以上就是关于二次函数最大值与最小值的公式，它们可以通过这个公式计算出最大值或最小值的坐标点，也可以计算出函数的最大值或最小值的大小。

在学习数学的过程中，计算这类函数最大最小值对于我们来说一定很有必要，常熟记此类公式，以便在需要的时候使用。

一元二次求最大值公式

一元二次求最大值公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元二次求最大值公式是数学中的一个重要概念，常常用于解决最优化问题和寻找峰值等情况。

在数学上，一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

而一元二次方程的最大值，则是指二次函数在其定义域内的最大值，通常通过求导来找到最大值点。

在一元二次方程中，我们通过计算二次项系数a来判断开口向上还是向下。

若a>0，则开口向上，此时二次函数的最小值即为顶点；若a<0，则开口向下，此时二次函数的最大值即为顶点。

要求一元二次方程的最大值，只需将二次项系数a取负号，即转化为-a来求解。

一元二次方程的最大值可以通过求导的方法来求解。

假设给定一个一元二次方程y = ax^2 + bx + c，首先求导得到y' = 2ax + b。

接着令y' = 0，得到x = -b/2a，即得到最大值点的横坐标。

将x代入原方程即可求得最大值。

对于一些特殊的一元二次方程，我们可以直接通过顶点公式求出最大值。

一元二次函数y = ax^2 + bx + c的最大值为c - b^2/4a。

这个公式通过二次函数的完全平方式得到，直接用于求解二次函数的最大值点，更加简洁。

在现实生活中，一元二次求最大值公式常常用于解决一些实际问题。

比如工程问题中需要求解最大承重，经济学中的最大利润，以及物理学中的最大速度等等，都可以通过一元二次求最大值公式来解决。

一元二次求最大值公式是数学中一个重要的概念，可以帮助我们解决各种实际问题。

通过求导或者顶点公式，我们可以找到一元二次函数的最大值点，从而得到最优解。

希望大家能够掌握这个公式，应用到实际生活中，解决一些实际问题。

第二篇示例：一元二次求最大值公式是求解二次函数在定义域内取得最大值的方法。

在数学上，一元二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

解二次函数的三种方法

解二次函数的三种方法一、根据二次函数函数表示式求解方法二次函数函数表示式是$y = ax^2 + bx + c$，其中a，b，c都是常数。

以此公式求一般二次函数的几何意义主要包括：判断拐点、确定单调性（即函数的上下单调性，对称轴，极值）和计算函数的极限值：（1）判断拐点可以用一元二次函数的判别式来判断拐点，它的形式为：$D = b^2 - 4ac$，如果$D>0$，则这个函数有唯一的拐点，即$(-b \pm \sqrt{D})/2a$；如果$D=0$，则这个函数有一个重拐点，即$(-b \pm \sqrt{D})/2a$；如果$D<0$，则这个函数没有拐点。

（2）确定单调性即确定函数$y=ax^2+bx+c$在任意一点上的单调性，主要就是通过求a的取值来判断：当a>0时，此函数是一个开口向上的抛物线，即在a>0的任一x处的函数值都大于其附近的函数值，此时此二次函数是单调递增的；（3）确定对称轴由于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$有关于$x$轴的对称性，因此我们可以求出它的对称轴。

其斜率为：$m=-b/2a$，求出斜率之后，根据斜率公式可以得到对称轴的方程为：$y+b/2a=ax^2$，即$x = -b/2a，y = -b/4a$。

（4）确定极值在求极值之前，首先需要找到函数的极值点，要找到极值点首先要求求导，函数$y=ax^2+bx+c$的一阶导数为：$y'=2ax+b$，称$2ax+b=0$为导函数的根，即为求极值点。

它的极值值可以通过函数的表达式替换形式求得，即用$2ax+b=0$的根代替$x$求函数$y=ax^2+bx+c$的值就是该函数的极值。

（5）计算函数的极限一元二次函数的极限的形式为：$\lim\limits_{x \to-\infty}ax^2+bx+c=+\infty$，$\lim\limits_{x \to+\infty}ax^2+bx+c = +\infty$，可以根据极限的运算规则去计算极限。

物理中求极值的常用方法

物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。

因为极值问题围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。

学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b 2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-ab2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法利用Δ＝b 2-4ac ≥0。

(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。

若y ≤A ，则y max ＝A 。

3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。

（2）当x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值均值定理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。

当a ＝b 时， (a+b) max ＝2)(2b a +。

5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=21Asin2α，在α=45º时，y 有极值2A 。

对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cosθ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。

求解物理极值的几种数学方法

求解物理极值的几种数学方法作者：郑金来源：《理科考试研究·高中》2012年第02期一、利用二次函数或判别式求极值一元二次函数y=Ax2+Bx+C的图象为抛物线，顶点坐标为x=-B2A，y=4ac-b24a.若A>0，开口向上，则存在最小值；若A0，则方程有两个实数解，抛物线与x轴有两个交点；若x例1将小球从水平地面上方高度为h处以速率v0抛出，求水平位移的最大值及抛射角.解析小球以初速度v0从原点向各个方向做匀速运动，同时向下做自由落体运动，把小球向下做自由落体运动视为地平面以加速度a=g向上运动，如图2所示，小球经过时间t的轨迹方程为x2+y2=(v0t)2.地平面经过时间t的轨迹方程为y=12gt2-h.两个运动方程的交点即为小球的落地点，此时x的值即为小球的水平射程.联立方程得x2+y2=2v20g(y+h)，即x2=-y2+2v20gy+2v20gh.这是关于变量y的一元二次函数，当y=v20g时，x的最大值为xmax=v0v20+2ghg.例2如图3所示.用细绳悬挂一质量为M的光滑大圆环，在大圆环上套着两个质量均为m 的小球，若两小球同时从最高点A释放，试求：m至少为M的多少倍才能把大圆环抬起来? 此时每个小球绕大环的圆心转过的角度为多少？解析设小球滑到某一位置所对应大环的半径跟竖直方向的夹角为θ时的速度为v，大环半径为R，小球受到大环的压力斜向下，如图3所示.对小球由牛顿第二定律有N=mgcosθ=mv2R①对小球由机械能守恒定律有mgR(1-cosθ)=12mv2②分析大环受力如图4所示.要使其上升，即大环对细绳无拉力，应有2Ncosθ=Mg③联立以上三式得2mg(2-3cosθ)cosθ=Mg④变形为一元二次方程的形式6mcos2θ-4mcosθ+M=0⑤因cosθ是实数，则判别式Δ=b2-4ac≥0，可得m≥32M，即m最小值为m=32M.由④式得cosθ=13，则θ=arccos13.二、利用异形双曲线求极值对于函数y=ax+bx(a>0,b>0)，在区间(-∞,+∞)上的图象是如图5所示的异形双曲线，其渐近线方程为y=ax和y=bx.由均值不等式c+d2≥cd可知，当且仅当ax=bx，即x=±ba时，函数y取极值±2ab.由图象可知函数在第一象限的单调性为：在区间(0,b[]a］上是减函数；在区间［ba,+∞)上是增函数.例3某列车允许的最大加速度为am，最大速度为vm，设在水平直线上的甲乙两站相距为s，试求列车从甲站出发到乙站停止，所用的最短时间是多少？解析设列车加速过程的加速度为a1，匀速运动过程的速度为v，减速运动过程的加速度大小为a2，加速运动过程的时间为t1=va1，位移为s1=v22a1；减速运动过程的时间t2=va2，位移s2=v22a2；则匀速运动过程的时间t3=s-s1-s2v=sv-v2a1-v2a2.所以总时间t3=sv+12(va1+va2).可知，当a1=a2=am时t有最小值，则t3=vam+sv，t-v图象如图6所示.(1)若vm≥sam，则曲线顶点为最小值，tmin=2ab=2sam，此时v=sam;(2)若vm＜sam时，则曲线端点为最小值，此时v=vm,tmin=vmam+svm.三、利用均值不等式求极值两正个数的算术平均数不小于几何平均数，即x+y2≥xy.例4一艘帆船在静水中由于风力的推动顺风而行，帆面的面积为S，风速为v0，船速为v，空气流的密度为ρ，设风垂直吹向帆面，且吹在帆面后的速度与帆面相同，求帆船匀速前进时帆面受到的平均力为多大？船航行的速度为多大时，风力对船做功的功率最大？若空气柱与帆弹性碰撞，如何？解析设在一小段时间Δt内，空气流相对于帆的速度为v0-v，则空气流的质量Δm=ρS(v0-v)Δt.以地面为参考系，则这些空气经Δt时间速度由v0变为v，对空气柱由动量定理有F·Δt=m·Δv=ρS(v0-v)Δt·(v0-v)，得F=ρS(v0-v)2.若以帆船为参考系，则空气柱的速度由(v0-v)变为零.这时空气柱受到帆的作用力，根据牛顿第三定律可知，空气柱对帆的作用力大小为F.因此风的功率为P=Fv=ρS(v0-v)2v.由于(v0-v)+(v0-v)+2v=2v0为恒量，由均值不等式可知，当(v0-v)=2v时，即当v=v03时，风力的功率最大.Pm=427ρSv30.四、利用三角函数求极值可根据三角函数的值域求极值；有时利用公式y=asinθ+bcosθ=a2+b2sin(θ+).例5如图7所示.一倾角为θ的传送带上方P点为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P点与传送带之间建立一光滑轨道，使原料从P点沿管道能以最短时间到达传送带上，则管道与竖直方向的夹角β应等于多少？解设点P到传送带的垂直距离为d，OB与垂线夹角为α，则β=θ-α.粉尘沿光滑轨道做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a=gcosβ.由运动学公式s=12at2可知，管道的长度即粉尘的位移为s=PB=12gcosβ·t2.而s=dcosα，则t2=2dgcos(θ-α)cosα.利用积化和差公式得t2=4dg［cosθ-cos(2α-θ)］.当2α-θ=0时，cos(2α-θ)取最大值1，则时间取最小值，可知α=θ2.因此β=θ-α=θ2.最短时间为t=2hcosθg(cosθ+1).五、利用矢量图解法求极值例6如图8所示.质量为m的带电小球，用细线悬挂于水平方向的匀强电场中，平衡后细线偏离竖直方向一个角度θ，当电场方向改变时，可使细线与竖直方向的夹角增大，问该角度达到最大时，电场强度方向与水平方向夹角为多大？解析利用矢量图解法分析，受力如图9所示.重力大小方向都不变，电场力大小不变，方向改变，画出矢量三角形如图12所示.旋转电场力F矢量，矢量末端轨迹为圆弧，当细线拉力与电场力垂直时，拉力与圆弧相切，此时细线偏转角最大，可知此时电场强度方向与水平方向夹角即细线与竖直方向夹角为βm=arcsinFmg=arcsin(tanθ).六、利用图象法求极值例7如图10所示.两平行金属板上下正对水平放置，并接到电源上，O1、O2分别为两个金属板的中点，现将两极板在极短时间内都分别绕过O1、O2的水平轴逆时针方向转动一个小角度θ，试定量分析两极板上的带电量将如何变化？解析根据电容公式C=εrS4πkd，设极板长度为a，宽度为b，开始正对面积为S=ab；后来两极板不正对了，或者说正对面积变小了，此时两极板的正对面积为S′=ab-bdsinθ，间距为d′=dcosθ，则此时电容为C′=εr(ab-bdsinθ)4πkdcosθ.所以带电量为q=C′U=εrUb(a-dsinθ)4πkdcosθ=εrUb(ad-sinθ)4πkcosθ.由于εrUb4πk是常数，只需研究f(θ)=ad-sinθcosθ，可变形为f(θ)=ad-sinθ0-(-cosθ)，表示定点A(0，ad)与动点B(-cosθ,sinθ)连线的斜率.而动点B(-cosθ,sinθ)的轨迹是单位圆在第二象限内的14圆周，如图11所示.可知直线与单位圆相切时斜率有最小值，此时sinθ=da，则θ=arcsinda.f(θ)有最小值，即随着θ的增大，f(θ)先减小，后增大.也就是说，当0七、利用导数法求极值例8对于例题4，若认为空气柱与帆弹性碰撞，那么风力的最大功率是多少呢？解析空气反弹速度为2(v0-v)，对空气柱由动量定理有F·Δt=m·Δv=ρS(v0-v)Δt·3(v0-v)，即F=3ρS(v0-v)2.这是空气柱受到帆的作用力，根据牛顿第三定律可知，空气柱对帆的作用力大小为F.因此风的功率为P=Fv=3ρS(v0-v)2v=3ρS(v20v-2v0v2+v3).取导数有P′=3ρS(v20-4v0v+3v2)，令P′=0得v20-4v0v+3v2=0，由此得v=16(4v0±2v0)，即v=v03，或v=v0(舍去)，所以，当v=v03时，风力的功率最大Pm=427ρSv30.。

求极值的方法

物理解题中求极值的常用方法北京教育学院东城分院王钢运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。

学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b 2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-a b 2时,y 有极大值，为y max =ab ac 442-； 2、利用一元二次函数判别式求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法利用Δ＝b 2-4ac ≥0。

(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。

若y ≤A ，则y max ＝A 。

3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。

（2）当x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值均值定理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。

当a ＝b 时， (a+b) max ＝2)(2b a +。

5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=21Asin2α，在α=45º时，y 有极值2A 。

对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。

二次函数区间最值问题

二次函数区间最值问题二次函数在数学中是非常重要的一种函数类型。

它具有许多特殊的性质，例如顶点，对称轴和开口方向等。

在求解二次函数最值问题时，我们需要注意一些特殊情况，并运用二次函数的性质进行判断和求解。

一、二次函数的基本形式二次函数是指含有二次项的一元二次方程。

一般表示为y=ax^2+bx+c（a≠0）。

其中，a代表开口方向和轴对称的大小，正数表示开口向上，负数表示开口向下；b代表对称轴与y轴的交点，c代表二次函数与y轴的交点。

二、求解二次函数的最大值和最小值对于给定二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），我们需要求出它的最大值和最小值。

为了求解这个问题，我们需要掌握以下两种方法：方法一：利用二次函数的对称性求解二次函数的对称轴公式为x=-b/2a，对称轴将二次函数分成两个对称部分。

在对称轴的左侧和右侧二次函数的值是相等的。

因此我们只需要计算对称轴左侧（或右侧）的值即可。

当二次函数开口向上时，它的最小值就在对称轴上。

当二次函数开口向下时，它的最大值就在对称轴上。

因此我们可以根据开口方向来判断出最大值和最小值的位置。

同时我们还可以使用完全平方公式来求出二次函数的最大值和最小值：对于开口向上的二次函数y=ax^2+bx+c，最小值为：y=[4ac-b^2]/4a对于开口向下的二次函数y=ax^2+bx+c，最大值为：y=[4ac-b^2]/4a这个公式可以提高计算的速度，同时也可以通过它的形式来理解二次函数的最大值和最小值。

方法二：利用导数求解导数是求解最值问题中非常实用的工具。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，它的导数为y'=2ax+b。

因此当y'=0时，二次函数y取得极值，将y'=0代入原函数，我们可以得到极值为：y=-b^2/4a+c因为这个式子中，b^2/4a代表着对称轴的位置，因此这个公式也是方法一的变形。

在这个公式中，我们直接可以求出函数的最大值或最小值。

三、计算例题实例一：求解二次函数y=2x^2+4x+1的最小值和最大值。

二次函数最值公式

二次函数最值公式
1 二次函数
二次函数常见形式为：y=ax²+bx+c(a≠0)，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数主要用来分析平面上物体的位置把握、研究加速度的变化等问题。

2 二次函数的最值问题
二次函数有最大值和最小值两种，而求出最大值和最小值的核心就是求函数的极值点，即求二次函数最值公式。

2.1 求出最值公式
当ax²+bx+c(a≠0)为二次函数时，最值公式如下：
极大值：x=-b/2a
极小值：x=-b/2a
此外，在求函数的极值点时，还可以根据a的正负号分析出极小值和极大值的存在性：
a>0时，极小值存在，极大值不存在；
a<0时，极小值不存在，极大值存在。

2.2 二次函数最值的应用
（1）在物理学中可以用来模拟波形，比如用来模拟圆周运动中小
球轨迹。

（2）二次函数也可以用来解释高考全国统一考试，因为考点水平
取决于年度基础知识，越近出题越难，可用一元二次函数拟合。

（3）二次函数最值还适用于经济学中分析企业销售的价格、产量，以及用于分析物价曲线和供求关系。

二次函数的最值公式

二次函数的最值公式
二次函数最值是指一个函数在某个时刻处于最高或最低点，其一般表示形式为f(x) = ax² + bx + c。

最值可以用 D=b2-4ac 来计算。

如果D>0，二次函数有两个极值，即最大值fmax和最小值fmin，分别满足fmax = (2a)对极值点的平方 + b 加上 b的符号积 - c，以及 fmin = (2a)对极值点的平方 + b 减去 b的符号积 - c。

而极值点则是满足 (2a)Xp+b=0的即
xp=(-b)/2a。

这意味着，当 a>0 时，函数的最大值出现在比 a 的值小的区域，而最小值出现在比 a 的值大的区域；当 a<0 时，正好相反。

有时，此处有定义域限制，我们可以通过定义域来判断最值。

综上可见，由二次函数的最值公式可以求出一个函数在某个特定点的最大最小值。

其中，D值的正负性可以判断函数是否存在无极值区间。

当然，D等于0时，意味着函数只有一个极值，即函数在某一点处呈现“拐点”，有可能是关于这一点对称的函数。

总而言之，二次函数的最值公式描述了一个函数在某一点处最大最小值的情况，是函数解析的重要内容。

物理中求极值的常用方法

物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。

学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数 y=ax 2+bx+c, b 4ac 一 b 2若 a>0,则当 x=-时,y 有极小值，为 y min =；b 4ac 一 b 2若 a<0,则当 x=-时,y 有极大值，为 y max =；2、利用一元二次函数判别式求极值对于二次函数 y=ax 2+bx+c ，用判别式法利用Δ＝b 2-4ac ≥0 。

(式中含 y) 若 y ≥A ，则 y min ＝A 。

若 y ≤A ，则 y max ＝A 。

3、利用配方法求极值对于二次函数 y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为 y=(x-A)2+常数： (1) 当 x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为 y = －( x －A)2+常数。

(2) 当 x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值a +b 均值定理可表述为> ab ，式中 a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

2当 a ＝b 时， (a+b)min ＝2 ab 。

当 a ＝b 时， (a+b) max ＝。

5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为 “y=Asin a cos a ”的形式，则 y= 1 Asin 2α，在a =45º时， y 有极值 A。

2 2对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数 sin θ和 cos θ，变成同名的三角函数，比如 sin ( θ+ф) 。

一元二次函数及其图像

04
求零点问题：利用二次函数求解方程的零点问题
平移
平移的概念：将函数图像沿x 轴或y轴移动一定距离
平移的方法：确定平移的方向和距离，然后对函数解析式进行相应的变换
平移的性质：平移不改变函数的形状，只改变函数的位置
平移的应用：解决实际问题中函数图像的平移问题
伸缩
01
02
03
04
旋转
05
一元二次函数的单调性由a的值决定：当a>0 时，函数在x轴上方的单调递增；当a<0时，函数在x轴下方的单调递减。
特殊类型
01
抛物线： y=ax^2+bx+c，其中a≠0
02
双曲线： y=ax^2+bx+c，其中a=0
03
直线：y=bx+c，其中a=0，b≠0
04
常数函数：y=c，其中a=b=0
对称性：中心对称、轴对称、原点对称等
2
渐近线：与x轴、y轴的交点、斜率等
5
开口方向：向上、向下、向左、向右等
3
截距：与x轴、y轴的交点、截距值等
6
101
标准形式
一元二次函数的一般形式： ax^2 + bx
+c=0
标准形式：y = ax^2 +
bx + c
其中，a、b、 c为常数，a
≠0
当a > 0时，图像为向上开
口的抛物线
当a < 0时，图像为向下开
口的抛物线
b^2 - 4ac决定了图像的开口方向和大小
顶点式
01
02
一元二次函数的顶点式：y=a(xh)^2+k

一元二次方程极值公式

一元二次方程极值公式好的，以下是为您生成的文章：在我们的数学世界里，一元二次方程就像一个神秘的小城堡，而其中的极值公式则是打开城堡中宝藏的关键钥匙。

记得我曾经教过一个学生，叫小李。

他呀，聪明有余，但耐心不足。

刚开始接触一元二次方程的时候，那叫一个头疼。

特别是遇到求极值的问题，总是抓耳挠腮。

咱们先来说说一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。

而求极值的公式就是：对于一元二次函数 y = ax² + bx + c，其极值为(4ac - b²) / 4a 。

这个公式看起来有点复杂，是吧？可别被它吓到。

咱们来仔细瞧瞧。

比如说，有个方程 y = 2x² + 4x - 1 ，这里 a = 2 ，b = 4 ，c = -1 。

那咱们套进公式里算算，先算 b² - 4ac ，就是 4² - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 。

然后极值就是 (4×2×(-1) - 24) / (4×2) = (-8 - 24) / 8 = -32 / 8 = -4 。

小李一开始总是算错，不是这里符号搞错，就是那里计算失误。

我就一点点给他指出来，让他重新算。

后来他自己也着急了，课间休息的时候都还在那琢磨。

咱们再深入点，为啥这个公式能求出极值呢？其实啊，这背后是有数学原理的。

通过配方法，可以把一元二次方程化成顶点式，然后就能找到极值啦。

在实际生活中，一元二次方程的极值公式也大有用处呢。

比如说，一家商店要卖某种商品，进价、售价和销售量之间的关系可以用一元二次方程来表示，通过极值公式就能算出怎样定价能获得最大利润。

小李后来慢慢掌握了这个公式，做题的正确率越来越高，脸上的笑容也越来越多。

我看着他的进步，心里别提多高兴了。

总之，一元二次方程的极值公式虽然有点小复杂，但只要咱们耐心琢磨，多做练习，就一定能把它拿下，让它成为我们数学学习中的得力小助手！。

如何找到一元二次函数的最值

如何找到一元二次函数的最值最值是二次方程的最高或者最低点。

如果你想找到一元二次方程的最值，你可以使用最值公式，或完成的配方。

下文是如何做到这一点的方法。

方法1使用“最值”的公式1 找到a，b和c的值。

在一元二次方程里，二次项系数=a，一次项系数= b，常数项= c。

假设你面对的下面的方程：y=x2 + 9x + 18。

在这个例子里，a= 1，b= 9，c= 18。

2 使用最值公式来找到的顶点的x对应的值。

这个顶点也是二次方程曲线的对称点。

找到这个二次方程式的顶点的x值的公式为是x=-b/2a。

把数据带入公式求得 x的值。

下面是计算过程：x=-b/2ax=-(9)/(2)(1)x=-9/23 把x的值带入方程求的y的值。

现在你已经知道x的值了，那么只需带入方程就能得到y的值。

这样你就得到了函数的顶点，“(x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]”。

当然这只是意味着得到的x值，你必须要找到的y值，然后根据公式，然后将它放回方程。

这里教你你如何做到这一点：y = x2 + 9x + 18y = (-9/2)2 + 9(-9/2) +18y = 81/4 -81/2 + 18y = 81/4 -162/4 + 72/4y = (81 - 162 + 72)/4y = -9/44 写下你得到的x和y的值。

现在你知道x = -9/2，y = -9/4，那么你就能计算出x和y是(-9/2, -9/4)。

方程的顶点是(-9/2, -9/4)。

如果你要在画出这个函数的曲线，那你就发现，这个顶点就是函数的最值。

方法2配方法1 写下方程。

配方法是另一种计算极值的方法。

用这种方法，你最后会发现，就算不用带入法，你也能得出x和y的值。

假设你在计算下面的方程：“x2 + 4x + 1 = 0。

”2 把方程的每一项除以二次项系数。

这个例子里，二次项系数是1，所以那就可以跳过这一步了。

因为每一项除以1后方程是不变的。