图象追及问题

运动图象、追及相遇问题

一．运动图象

1.表示函数关系可以用公式，也可以用图像。图像也是描述物理规律的重要方法，不仅在力学中，在电磁学中、热学中也是经常用到的。图像的优点是能够形象、直观地反映出函数关系。

2.位移和速度都是时间的函数，因此描述物体运动的规律常用位移一时间图像(s—t图)和速度一时间图像(v一t图)。

3. 对于图像要注意理解它的物理意义，即对图像的纵、横轴表示的是什么物理量，图线的斜率、面积、特殊点、截距代表什么意义都要搞清楚。形状完全相同的图线，在不同的图像(坐标轴的物理量不同)中意义会完全不同。

例1如图所示的位移(x)－时间(t)图象和速度(v)－时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )

A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动

B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程

C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远

D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等

突破训练1物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图甲、乙所示，则

这两个物体的运动情况是 ( )

A ．甲在整个t ＝6 s 时间内有来回运动，它通过的总位移为零

B ．甲在整个t ＝6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m

C ．乙在整个t ＝6 s 时间内有来回运动，它通过的总位移为零

D ．乙在整个t ＝6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m

突破训练2 某跳伞运动员从悬停在高空的直升机上跳下，他从跳离飞机到落地的过程中在

空中沿竖直方向运动的v －t 图象如图所示，则下列关于他的运动情况分析正确的是

( )

A ．0～10 s 加速度向下，10 s ～15 s 加速度向上

B ．0～10 s 、10 s ～15 s 内都在做加速度逐渐减小的变速运动

C ．0～10 s 内下落的距离大于100 m

D ．10 s ～15 s 内下落的距离大于75 m

二.追及与相遇问题

在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置.

1． 分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．

(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；

(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口． 2．能否追上的判断方法

物体B 追赶物体A ：开始时，两个物体相距x 0.若v A ＝v B 时，x A ＋x 0

v A ＝v B 时，x A ＋x 0＝x B ，则恰好不相撞；若v A ＝v B 时，x A ＋x 0>x B ，则不能追上．

3． 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．

例2.一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2

的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v 0＝6 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：

(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远最远距离是多大 (2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大 解析

法一 用临界条件求解．

(1)当汽车的速度为v ＝6 m/s 时，二者相距最远，所用时间为t ＝v a

＝2 s

最远距离为Δs ＝v 0t －12

at 2

＝6 m.

(2)两车距离最近时有v 0t ＝12

at 2

解得t ＝4 s

汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 法二 用图象法求解．

(1)汽车和自行车的v －t 图象如图所示，由图象可得t ＝2 s 时，二者相距最远．最远

距离等于图中阴影部分的面积，即Δs ＝1

2

×6×2 m ＝6 m.

(2)两车距离最近时，即两个v －t 图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v ＝12 m/s.

法三 用数学方法求解．

(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为

Δs ＝v 0t －12

at 2

因二次项系数小于零，

当t ＝－v 0

2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12a ＝2 s 时有最大值，

最大值Δs m ＝v 0t －12at 2＝6×2 m －12×3×22

m ＝6 m.

(2)当Δs ＝v 0t －12

at 2

＝0时相遇

得t ＝4 s ，汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 答案 (1)2 s 6 m (2)12 m/s ——分析追及、相遇问题的常用方法

(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景．

(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．

(3)极值法：设相遇时间为t ，根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰．

(4)图象法：将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．

1．解题思路和方法

2．解题技巧

(1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．

(2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、

“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．

突破训练5A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度为v A＝10 m/s，B车在后，其速度为v B＝30 m/s.因大雾能见度低，B车在距A车700 m时才发现前方有A 车，这时B车立即刹车，但要经过1 800 m B车才能停下．问A车若按原速度前进，两

车是否会相撞说明理由．

巩固练习

1．一遥控玩具汽车在平直路上运动的位移—时间图象如图所示，则

( )

A．15 s内汽车的位移为300 m

B．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2

C．20 s末汽车的速度为－1 m/s

D．前25 s内汽车做单方向直线运动

2．日本在2013年9月中旬用“艾普西龙”号固体燃料火箭成功发射了一颗卫星．此前多次发射均告失败．若某次竖直向上发射时火箭发生故障，造成火箭的v－t图象如图所示，则下述说法正确的是( )

A．0～1 s内火箭匀速上升

B．1 s～2 s火箭静止不动

C．3 s末火箭回到出发点

D．5 s末火箭恰好回到出发点

3.(2013·新课标Ⅰ·19)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x－t)图线，由图可知( )

A．在时刻t1，a车追上b车

B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反

C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大

D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大

4． (2013·海南单科·4)一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图所示．下