人教版九年级数学下册28.2 ：解直角三角形 精练题(含答案)

28.2解直角三角形(第一课时)精练题
1.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米
B ．83米
C ．
83
米 D ．
43
米 分析：本题考查的是利用解直角三角形的有关知识解决实际问题。

它可以归结为： 在Rt ΔABC 中，已知∠A=60°,CB=4,求斜边AB 的长。

由AB
BC
A =
sin 得：3
3
860sin 4sin ===
︒A BC AB 正确答案：C
2、如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 米（结果用含α的三角比表示）．
分析：本题考查的是利用解直角三角形的有关知识解决实际问题，本题可以归结为
在Rt ΔABC 中，已知∠A=α°,AB=20,求对边BC 的长
由AB
BC
=αsin 得：ααsin 20sin ==AB BC 正确答案：αsin 20
3、如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：
（1） 未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？ （2） 收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号） 思路分析：第一小题考查的内容是：在直角三角形的中， 已知锐角及对边，求斜边的问题。

在Rt ΔCAB,,BC
AC
CBA =
∠sin ∴10sin =∠=ABC AC BC 。

第二小题考查的勾股定理的应用：收绳8秒后，BC=6，AC=5，∴11562222=-=-=
AC BC AB
正确答案：解（1）如图，在Rt △ABC 中，BC
AC
＝sin30° ∴ BC ＝
︒
sin305
＝10米
（2）收绳8秒后，绳子BC 缩短了4米，只有6米，
α
A
C
B
第2题图
这时，船到河岸的距离为112536562
2=-=-米．
4、如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，
现准备把坡角降为5°．
（1）求坡高CD ；
（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（精确到0.1米）．
分析：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的具体应用。

在Rt ΔCDB 中，∠D=90°，
BC=10米，利用BC
CD
CBD =
∠sin ，得：︒=12sin BC CD 1.221.010=⨯≈米，当坡角 降为5°时，在Rt ΔCDA 中，AD CD CAD =∠tan ，可以求得：︒=5tan CD AD 2.1
23.33
0.09≈≈
故：23.339.813.5313.5
AB AD BD =-≈-=≈
正确答案：（1）在BCD Rt ∆中，︒=12sin BC CD 1.221.010=⨯≈（米）． （2）在BCD Rt ∆中，︒=12cos BC BD
8.998.010=⨯≈（米）； 在ACD Rt ∆中，︒=
5tan CD AD 2.1
23.330.09≈≈（米）， 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈（米）
． 答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米
28.2
解直角三角形(第二课时)精练题
1如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得︒=∠︒=∠35,52CAD BAD ，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)
思路分析：本题考查的知识是利用解直角三角形的知识解决生活中 的实际问题。

结合图形，知：BC=BD-CD 。

而在ACD Rt ∆中
AD
CD
CAD =
∠tan ，∴︒⨯=∠=35tan 6tan CAD AD CD ≈4.2 同理，在BAD Rt ∆中，BD ≈7.68 ∴BC ≈3.5 米 正确答案： 3.5
2、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于C 处折断倒下，树顶落在地面B 处，测得B
（第4题）
D
C
B
A
51
处与树的底端A 相距25米，∠ABC=24°. (1)求大树折断倒下部分BC 的长度；（精确到1米） （2）问大树在折断之前高多少米?（精确到1米）
思路分析：本题可以化归为在直角三角形中，已知一锐角及邻边，求对边及斜边的问题。

由锐角三角函数的概念知：已知一锐角及邻边，求对边可以用正切，求斜边，即可以利用勾股定理，也可以用该锐角的余弦。

答案：解：如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°,∠ABC=24°,AB=25米
（1）∵cos ∠
ABC=
BC
AB
∴BC=ABC AB ∠cos =0
24
cos 25
≈27（米） 即大树折断倒下部分BC 的长度约为27米. (2)∵tan ∠ABC=
AB
AC
∴AC=AB·tan ∠ABC=25·tan24°≈11.1(米） ∴BC+AC≈27+11.1≈38（米）即大树折断之前高约为38米.
3、如图，两条笔直的公路AB 、CD 相交于点O ，∠AOC 为36°.指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的距离为18千米.一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进.王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话.通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话.【参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73.】
分析：要判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话，只须计算出点M 到DC 的最近距离，因此，我们可以将这个问题转化为在直角三角形中，已知一锐角及斜边求对边问题来解决。

正确答案：过M 点作ME ⊥DC 于E 点 在Rt ΔOME 中，sin ∠MOE=
OM
ME
,ME=OMsin ∠MOE= 10.62 Θ ME=10.62>10 ∴不能通话 4、在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离． （图1）现测得30AC =m ，70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两个凉亭之间的距离．
思路分析：由已知的条件可以看出，ABC ∆不是特殊的三角形，因此要测出两凉亭之间的距离，必须将它转化为在直角三角形中求解，因此，我们可以通过添加如图所示的辅助线， 这样，AB=BD- AD ，而线段BD 和AD 的长就可以利用解直角三角形的有关知识来解决。

答案：解：如图，过C 点作CD 垂直于AB 交BA 的延长线于点D
在Rt CDA △中，
3018018012060AC CAD CAB =∠=-∠=︒-︒=︒，°
CD AC ∴=·sin 30CAD ∠=·sin 60=°AD AC =·cos 30CAD ∠=·cos 60°=15. 又在Rt CDB △中，
22270BC BD BC CD ==Q ，-，
65BD ∴==.
651550AB BD AD ∴=-=-=， 答：A B ，两个凉亭之间的距离为50m.
28.2解直角三角形(第三课时)精练题
1、王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60 o
, 又知水平距离BD=10m ，楼高AB=24 m ，则树高CD 为（ ）
A ．m
B．m
C．m D．9m
分析：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点，解决
这种类型题目的关键是：（1）转化实际问题为数学问题（2）重点画出符合题意的几何图形（3）找出题目中每句话对应的是图中的哪个角，哪条边（包括已知的所求的），（4）做辅助
线进而利用解直角三角形的正切函数知识解决问题。

此题
CD=24-10tan60°=
m 正确答案：A
2、一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米，太阳光线与地面的夹角
60ACD ∠=°，则AB 的长为（ ）
A ．12
米 B
C
D
分析：此题是上一个题的延伸，在考查上述知识外，对题目的内涵进一步的挖掘，即太阳光线处处平行，由此可将CD 平移至AB 所在的直角三角形中， 再利用特殊角的正切即可算出AB=tan60°
=
米。

答案选B.
3、如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米． （1）求乙建筑物的高DC ；
（2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC （结果精确到0.01米）．
1.414 1.732）
分析：此题是考查三角函数在实际生活中测物高的应用，在已有的草图中，涉及到仰角的有
α
β
D
乙
C
B
A 甲
关概念，做AE ⊥CD 于E ，进一步数形结合，此题不能只解一个直角三角形，而是对其所求的量进行分解，先在Rt AED ∆中用DE=x 和仰角正切值表示出AE ，再把此部分量归结在RT DCB ∆中，再用60°的仰角的正切的概念列出方程，并解方程,最后对其计算出来的结果按要求取近似值.
正确答案:(1)过点A 作AE ⊥CD 于E ，根据题意，得
60,30,DBC DAE αβ∠=∠=︒∠=∠=︒
AE=BC ，EC=AB=36米，设DE=x ，则DC=DE+EC=X+36, 在RT AED ∆，tan tan 30DE
DAE AE
∠=︒=， ∴3AE x =，∴3BC AE x == 在RT DCB ∆中，tan tan 60DC
DBC BC ∠=︒= ， ∴33x
=， ∴336,18,x x x =+= ∴DC=54(米) (2)．∵3,18BC AE x x ==
=，∴31818 1.73231.18BC =⨯=⨯≈(米)
4、铁岭某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．
（1）求ADB ∠的度数；
（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）
分析：正确理解仰角，坡角的概念是解决问题的关键，用数形结合的方法，尝试通过添加辅助线，构造直角三角形，恰当地选择锐角三角函数表示出边角关系并最终解决实际问题。

注意此题结果应按要求保留根号。

正确答案:
解：（1）∵DC CE ⊥，∴90BCD ∠=°． 又∵10DBC ∠=°，
A
C
D
E
F
B
∴80BDC ∠=°， ∵85ADF ∠=°，
∴360809085105ADB ∠=---=°°°°°． （2）过点D 作DG AB ⊥于点G ．
在Rt GDB △中，401030GBD ∠=-=°°°， ∴903060BDG ∠=-=︒°° 又∵100BD =， ∴11
1005022
GD BD =
=⨯=． 3
cos301005032
GB BD ==⨯
=g °． 在Rt ADG △中，1056045GDA ∠=-=︒°° ∴50GD GA ==，
∴50503AB AG GB =+=+（米） 答：索道长50503+米．
28.2
解直角三角形（第四课时）精练题
1、在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为 （A ）
km 3310 （B ）km 3
3
5 （B ）（C ）km 25 （D ）km 35
分析：本题是考察学生应用解直角三角形的知识解决
具体问题。

依题意，BA=5，可以求得：∠BCA =90°，利用AB
AC
COSA =
，A C
D
E
F B
G
3
3
1030cos 5cos =
⨯==︒A AB AC
【答案】A
2、如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402海里的A 处，它沿正南方向航
行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB 为 _____________海里（结果保留根号）．
分析：要解决这个问题，必须在正确理解方位角的基础上，利用解直角 三角形的知识，根据已知的边、角，求出未知的边。

如图： AB=AC+BC 在Rt ΔAPC 中，AP=240，︒
=∠45APC ，利用正弦得：
4045cos 240=︒=AC ∴PC=40 在 Rt ΔBPC 中，∠B=30° 利用锐角B 的正切得：34030
tan 40
tan ===
︒
B P
C BC ∴AB= (
)40340+
正确答案：(
)40340+
3．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号）
分析：首先要把此题转化为数学问题，如图所示：轮船与灯塔C 的距离归结为求CD 的长利用速度与时间的乘积，我们可以计算出线段AB 的长，再利用直角三角形的性质，结合方
程即可求解.
正确答案：由题意得306030CAB CBD ACB ∠=∠=∴∠=°，°，°，
BCA CAB ∴∠=∠，20240BC AB ∴==⨯=．
90sin CD
CDB CBD BC
∠=∴∠=Q °，． C
D
B
A
北
60°
30°
3sin 602CD BC ∴=
=°，33
4020322
CD BC ∴=⨯=⨯=（海里）． ∴此时轮船与灯塔C 的距离为203海里．
4如图1所示，A ．B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）
图1 图2
分析：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，实际上只要解决点P 到AB 的距离。

如果点P 到AB 的距离大于50KM ，就不会，否则，就会。

而解决PC （如图2），需要利用解直角三角形的相关知识，结合方程来解决。

正确答案：如图2：过点P 作PC AB ⊥，C 是垂足， 则30APC ∠=°，45BPC ∠=°，
tan30AC PC =g °，tan 45BC PC =g °， AC BC AB +=Q ，
tan30tan 45100PC PC ∴+=g g °°，
31100PC ⎫∴=⎪⎪⎝⎭
， 50(33)50(3 1.732)63.450PC ∴=⨯->≈≈，
答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
A
B
F
E
P
C。