摩尔库伦主应力表达式

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莫尔-库伦失效准则(2012)

莫尔-库伦失效准则Joseph F. Labuz •Arno Zang1、概述莫尔-库伦失效准则是一组在主应力空间内描述各向同性材料破坏状态的线性方程，中间主应力σ2产生的一切影响都可以忽略不计。

莫尔-库伦失效准则可以被写作最大主应力和最小主应力的函数或者任意主应力和破坏面上剪应力的函数。

当所有的主应力都是压力时，试验结果证明这个准则十分适用于单轴抗压强度远大于单轴抗拉强度的岩石材料，例如C0/T>10的情况。

由于理论上应有的单轴抗拉强度在试验中是被假定不考虑的，因此当有拉应力作用时，需要对准则做一些修正。

莫尔-库伦失效准则可以被认为是莫尔和库伦的共同贡献。

莫尔的条件是基于破坏只取决于σ1和σ3，破坏包络线的形状以及作用在破坏面上的相应σ和τ都可能是线性或者非线性这一假设（莫尔1900）。

库伦的条件是基于确定使材料在某个平面发生破坏的σ—τ临界关系而绘制的一组线性破坏包络线（库伦1776）。

保罗（1968）描述了一组考虑中间主应力影响的线性破坏包络线，Meyer和Labuz于2012年对其进行了补充。

2、背景库伦，在他的挡土墙研究中提出这样的关系：丨τ丨=S0+σtanφ（1）其中，S0是固有的剪切强度，也称内聚力，φ是内摩擦角，μ=tanφ为内摩擦系数。

与特雷斯卡准则只有一个材料系数不同，这个准则包含两个材料常数（Nadai1950）。

如图1所示，式（1）在莫尔图中表示为一条与σ轴倾角成φ角度的直线。

通过建立与该直线相切的莫尔圆（表示破坏时的应力状态），利用三角关系，可以得出由主应力表示的式（1）的变形：（σ1—σ3）=（σ1+σ3）sin φ+2S0 cos φ（2）莫尔破坏准则的一种形式就是：τm= f（σm）（3）其中，τm=（σ1—σ3）/2，σm=（σ1+σ3）/2。

已知式（3）所给的关系，莫尔包络线就可在图 1 σ—τ图中画出来，应力状态达到临界则发生破坏，直径（σ1—σ3）的圆与破坏包络线τ=g（σ）相切。

摩尔库伦屈服准则三维-概述说明以及解释

摩尔库伦屈服准则三维-概述说明以及解释1.引言1.1 概述摩尔库伦屈服准则是材料力学中一项重要的准则，用于描述材料在受到外力作用下变形和破坏的行为。

该准则由奥地利工程师摩尔库伦于1920年提出，经过多年的实验验证和理论推导，被广泛应用于材料科学与工程领域。

摩尔库伦屈服准则基于以下假设：材料在受力时，当其承受的正应力达到一定临界值时，就会发生可见的变形或破坏。

这个临界值称为屈服强度，是材料的一个重要力学性质。

摩尔库伦屈服准则从力学的角度出发，将材料的破坏看作是某一点处的应力超过了材料的屈服强度。

在实际应用中，我们可以通过在材料表面施加不同的载荷，然后测量应力和应变的关系来确定材料的屈服强度。

摩尔库伦屈服准则的应用非常广泛，涵盖了各个工程领域。

例如，它可以用于金属材料的设计和评估，帮助工程师选择合适的材料以承受特定的载荷。

此外，它还可以应用于弹性材料、塑性材料、复合材料等不同类型的材料，为工程设计和材料选择提供依据。

尽管摩尔库伦屈服准则在材料科学与工程领域具有广泛的应用，但其也存在一些局限性。

首先，该准则假设材料处于单轴应力状态，即只考虑一种应力方向的作用。

然而，在实际工程中，材料通常会承受多种应力方向的作用，这就需要根据实际情况进行修正和扩展。

此外，摩尔库伦屈服准则也未考虑到一些其他因素，如材料的疲劳性能、高温环境下的行为等，因此在实际应用中需要结合其他理论和实验数据进行综合考虑。

总之，摩尔库伦屈服准则是描述材料变形和破坏行为的一种重要方法。

它为工程师提供了一个分析和评估材料性能的工具，同时也为材料科学研究提供了理论基础。

然而，在实际应用中仍需要注意其局限性，并结合其他理论和实验数据进行综合考虑，以更准确地评估材料的力学性能。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以是对整篇文章的大致安排和组织方式的介绍。

以下是一个可能的内容示例："1.2 文章结构本文将主要围绕着摩尔库伦屈服准则展开深入探讨。

摩尔-库仑模型与其在FLAC3D中的应用

摩尔-库仑模型及其在FLAC3D 中的应用摘要: 本文首先阐述了塑性流动理论的增量方程，结合摩尔库仑破坏准则和拉伸破坏准则形成了FLAC 3D中采用的摩尔库仑本构模型，并指出不同的应力计算值I ij σ条件下N ij σ的计算方法。

最后通过模型试验与解析方法进行对比，发现FLAC 3D计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变性较大时逐渐出现一定偏差。

关键词: 摩尔-库仑模型，增量方程，流动法则，FLAC 3D1. 塑性流动理论的增量方程一般情况下，破坏准则可表示为()0n f σ=（1）式中，f 为已知屈服函数，用来判定塑性流动开始产生。

在主应力空间中，为一曲面，落在曲面内的应力点为弹性状态。

塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和：e p i i i εεε∆=∆+∆（2）弹性应变增量和弹性应力增量的关系表示为：()e i i n S σε∆=∆ （3）式中，i S 为弹性应变增量的线性方程。

流动法则规定了塑性应变增量向量的方向，即与塑性势面的方向垂直，表示为：p i igελσ∂∆=∂（4）得到的新的应力矢量应满足屈服方程：()0n n f σσ+∆=（5）式（5）提供了一个估计塑性应变增量矢量的表达式。

将式（2）代入式（3），且考虑到i S 为线性函数，得：()()p i i n i n S S σεε∆=∆-∆（6）再将流动法则（4）代入得：()()i i n i ngS S σελσ∂∆=∆-∂（7）假定破坏函数()n f σ为线性函数，式（5）可表示为：*()()0n n f f σσ+∆= （8）式中，*f 代表函数f 减去其常量值，*(.)(.)(0)n f f f =-。

对于位于屈服面上的应力点，()0n f σ=，式（8）可转化为，**(())(())0n n n ngf S f S ελσ∂∆-=∂（9）此时，定义新的应力分量为：N i i i σσσ=+∆（10）()I i i i n S σσε=+∆ （11）根据式（11），可得：*()(())I n n n f f S σε=∆ （12）综合式（9），（12），可得λ：*()(())(0)In n n n f f S g f σλσ=∂∂-（13）根据应力增量表达式（7），估算应力（11），新的应力（10）可表示为：()N I i i i ngS σσλσ∂=-∂（14） 2. 莫尔库伦模型（IN FLAC3D ）莫尔库伦模型的破坏包线包括两部分，一段剪切破坏包线和一段拉伸破坏包线。

摩尔库伦本构模型

摩尔库伦本构模型摩尔库伦本构模型是一个用于描述材料的力学行为的理论模型，通过将材料的应力与应变之间的关系表示出来，帮助我们理解材料的变形和力学性质。

在本文中，我将深入探讨摩尔库伦本构模型的原理、应用以及其在不同领域中的重要性。

首先，让我们来了解一下摩尔库伦本构模型的基本原理。

该模型建立在两个关键概念上：弹性变形和塑性变形。

弹性变形是指材料在受到外部力作用后，能够恢复到原始形状的性质。

而塑性变形则是指材料在受到外部力作用后，无法完全恢复到原始形状的性质。

在摩尔库伦本构模型中，用应力（stress）来表示外部力对材料的作用，而应变（strain）则表示材料的形变程度。

该模型使用应力-应变曲线来描述材料的力学性质，并根据曲线的形状将材料分为不同的类型，如弹性材料、刚性材料和塑性材料等。

摩尔库伦本构模型的应力-应变曲线通常分为两个阶段：线性弹性阶段和塑性阶段。

在线性弹性阶段，材料的应力与应变呈线性关系，这意味着材料在这个阶段内具有理想的弹性行为。

然而，一旦应力超过材料的屈服点，材料将进入塑性阶段，应力和应变之间的关系不再是线性的。

材料在塑性阶段内会发生一些不可逆的变形，例如材料的延展性增加或变薄。

在实际应用中，摩尔库伦本构模型被广泛用于材料力学的研究和设计中。

通过使用该模型，工程师可以对材料的力学性能进行准确的预测和分析，从而帮助他们选择合适的材料和优化设计。

该模型还可以应用于材料的加工过程中，通过控制应力和应变的分布来改善产品的质量和性能。

此外，摩尔库伦本构模型在材料科学和工程领域中的重要性不仅仅局限于力学性质的研究。

它还可以用于描述材料的热力学行为、电磁性质以及化学反应等方面。

例如，通过将应力-应变曲线与温度和时间的变化相结合，可以研究材料的热膨胀性质和热传导性能。

总结起来，摩尔库伦本构模型是一个重要的力学模型，用于描述材料的应力-应变关系和力学性质。

它可帮助我们理解材料的变形行为，为材料的选择、设计和加工提供依据。

一个新的D-P类准则及其应用

一个新的D-P类准则及其应用曾新发;彭振斌;何杰;彭凯【摘要】基于Mohr-Coulomb(M-C)准则及平面应变条件,建立了非关联流动法则的D-P准则.该准则引入了塑性体积应变,所求的塑性体积应变增量和M-C准则相等,在π平面上,当应力罗德角小于零时,建议的D-P准则与以往的外角外接圆及内切圆相比,能更好地反映土体应力应变的实际特性.在边坡稳定分析中,相比其他D-P 类准则,建议的D-P准则计算得到的边坡稳定安全系数与条分法结果十分吻合.在地基极限荷载的求解上,所得的极限荷载与滑移线场与Prandtl理论解趋于一致.【期刊名称】《东北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(034)012【总页数】5页(P1787-1791)【关键词】屈服准则;剪胀角;非关联流动法则;塑性势函数【作者】曾新发;彭振斌;何杰;彭凯【作者单位】中南大学地球科学与信息物理学院,湖南长沙410083;中南大学地球科学与信息物理学院,湖南长沙410083;湖南工业大学土木工程学院,湖南株洲412007;中国水电顾问集团中南勘测设计研究院,湖南长沙410014【正文语种】中文【中图分类】TU411.3极限荷载下滑移线场的解答有逾百年的历史，但对速度滑移线场及速度的求解还存在一些问题[1-2].求解一般采用正交流动法则，而岩土材料不服从上述法则.此外，关联流动法则下，速度矢量方向与速度滑移线成角(为内摩擦角)，这与速度矢量方向应在速度滑移线的切向方向相悖.目前岩土材料常采用摩尔-库仑准则(M-C)和德鲁克-普拉格准则(D-P)，M-C准则能较好地反映岩土材料拉压特性，但是在三维应力空间中屈服面存在奇异点导致数值计算不收敛，前人对此作了一些修正[3-6].经典D-P准则[7]在π平面上是M-C准则的内切圆，其他D-P类准则还有M-C 外角外接圆、内角外接圆、摩尔库仑等效面积圆[8]及张鲁渝的摩尔匹配圆[9]等.在边坡稳定分析中，经典D-P计算的塑性区域一般偏大，摩尔库仑等效面积圆与摩尔匹配圆计算的安全系数偏差分别在6%及3%左右.但摩尔匹配圆认为塑性体变为零，这与岩土材料在剪切过程中会产生一定体变相矛盾.有鉴于此，本文建立了非关联流动法则下D-P准则.理论和有限元数值分析结果表明，在边坡稳定分析中，该准则实现了与M-C准则精确匹配，在计算地基极限承载力等受压剪的问题方面，实现了与Prandtl解及应力滑移场的吻合.1 新D-P屈服准则的建立1.1 主要方程的推导在三维应力空间中D-P准则可写为(1)式中：I1,J2分别表示应力张力第一不变量、应力偏量第二不变量；aφ,k是材料参数.M-C准则与D-P准则应用广泛，但也各有其优缺点.本文在两者基础上，推导出一个新的非关联的D-P准则.众所周知，当σ1≥σ2≥σ3时，M-C准则写成主应力表达式为(2)式中：c,φ分别为黏聚力和内摩擦角.所谓屈服，对于弹塑性材料而言，就是材料发生塑性应变；对于理想弹塑性材料而言，屈服就意味着材料的破坏.可以这样理解，在非关联流动法则下，假定M-C准则的塑性势函数QMC与屈服函数FMC有类似的形式：(3)式中Ψ为剪胀角.同样，在非关联流动法则下，假定D-P准则的塑性势函数QDP与屈服函数FDP 有类似的形式：(4)式中aψ为材料参数，是关于ψ的函数.由塑性理论，M-C准则与D-P准则的塑性应变可分别写成(5)式中：为塑性应变增量的分量；σij为应力张量分量；dλ为比例系数.对式(3)求导有(6)令由式(4)得(7)式中si为偏应力张量.假定由M-C准则确定的主应变增量与由D-P准则确定的主应变增量相等：(8)将式(6)，(7)代入式(8)得(9)另有补充方程：s1+s2+s3=0.(10)由式(9)，(10)得aψ=sinψ/3.(11)在非关联流动法则下，剪胀角与内摩擦角的关系为ψ=φ/2[1]，将其代入式(11)得(12)为了确定式(1)中的参数aφ,k，由平面应变条件有在主应力空间中，应力偏量第二不变量：J2= [(σ11-σ22)2+(σ33-σ22)2+(13)由式(4)，(5)及有(14)进一步有s33=σ33-I1/3,(15)(16)由式(16)及I1=σ11+σ22+σ33得(17)进一步有(18)令(19)式中R代表摩尔圆的半径.将式(17)～(19)代入式(2)：(20)整理得(21)根据摩尔库伦准则，在破坏状态有(22)比较式(21)及(22)可得(23)将式(11)代入式(23)有(24)式(24)即为非关联流动法则的D-P准则.非关联流动法则下，塑性应变增量由塑性剪应变分量与塑性体应变分量组成，由可知该准则考虑了塑性体应变对屈服的影响.当塑性体应变为零时，可得aψ=0，代入式(23)有aφ=1/3sinφ,k=ccosφ.(25)式(25)为张鲁渝的摩尔匹配D-P准则.1.2 π平面上M-C与D-P的关系在偏平面上，摩尔库仑准则与D-P准则有如下关系，见图1.为方便起见，图1中只绘出了摩尔外角外接圆(DP1)、摩尔等效面积圆(DP2)、张鲁渝摩尔匹配圆(DP3)及本文的DP4.图1 π 平面上D-P准则与M-C准则的关系Fig.1 M-C criterion and D-P criteria on π plane需要指出的是，本文提出的DP4准则的aφ,k是在破坏状态及平面应变条件下得到的，对于理想弹塑性材料而言，也就是一个破坏准则.对于非平面应变条件，也可以作为近似计算.在平面应变条件下，应力罗德角θ大约在-13.0°～-20°之间[10-11]，有关研究表明，当应力罗德角θ接近-30°时，土体的实际破坏面略大于M-C破坏面[12]，然而由图1不难看出，当应力罗德角θ接近-30°时，本文建议的DP4准则略大于M-C屈服面，刚好可以反映土体的这一特性.2 算例分析2.1 边坡稳定有限元分析本文采用强度折减法[13]，参考文献[13]的算例进行该准则的可靠性验算.均质边坡，坡高H=20 m，土容重25 kN/m3，黏聚力42 kPa，内摩擦角17°，弹性模量1000 kPa，泊松比为0.3，坡度为45°，有限元计算网格如图2所示，作为对比，进行了不同坡高的计算，连同极限平衡条分法(Spencer法)的计算结果汇总如表1所示.图2 边坡稳定计算有限元网格Fig.2 Mesh for analysis of slope stabilization 表1 计算的安全系数对比Table 1 The comparison of calculated safe factors计算条件H=20mH=30mH=40mDP11.3681.1190.994DP21.1280.9230.820DP31.0680. 8680.771DP41.0590.8630.767Spencer法1.0620.8660.762|FDP1-FS|/FS28.8%29.3%30.5%|FDP2-FS|/FS6.2%6.6%7.6%|FDP3-FS|/FS0.6%0.2%1.2%|FDP4-FS|/FS0.3%0.3 %0.7%由表1可知，与Spencer 法相比，DP1所得的结果偏大，采用摩尔库仑等效面积圆DP2的结果误差在6%附近，采用摩尔匹配圆DP3准则的误差在1%左右，本文建议的DP4准则误差在0.5%左右.计算表明，采用本文建议的DP4准则较DP3准则得到的最危险滑移面更加接近Spence法的结果，如图3所示.图3 边坡滑动面的预测结果Fig.3 The predicted slip surface of slope2.2 地基承载力分析Prandtl在1920年依据塑性理论，对于一承受竖向均布荷载的半无限刚塑性无重地基，得到的地基承载力的理论解为qu=ccotφ[exp(πtanφ)tan2(π/4+φ/2)-1].(26)当φ=0时，qu=(2+π)c.式中：c为黏聚力;φ为摩擦角.其滑动区域由主动区(Ⅰ)、径向剪切区(Ⅱ)及被动区(Ⅲ)构成，见图4.图中，α表示Rankine 主动区(Ⅰ)与水平面的夹角，被动区与水平面的夹角为β，h为Rankine主动区深度，B为均布荷载的宽度，L为水平向塑性区范围.图4 Prandtl 理论解的几何模型Fig.4 The geometric pattern for Prandtl solution在地基承载力计算中，极限承载力采用有限元增量加载法[14]，计算的网格如图5所示，不同的准则可按文献[14]的方法进行等效转换.D-P屈服准则条件下计算的结果见表2，塑性区应力滑移线场中相关参数可以测量得出.图5 地基有限元网格Fig.5 Finite element mesh of foundation由表2可以看出，DP1计算的极限荷载与理论解相差较大，而DP3计算的结果与理论解基本一致；在变形方面，如水平向塑性区范围，DP1计算的结果与Prandtl 解比较接近，最大相差3.3%；DP3的结果相对偏差较大，最大相差21.1%.采用本文建议的DP4准则计算的承载力与变形结果与理论解十分接近，最大差分别为2%，3%.表2 有限元计算结果与Prandtl解比较Table 2 Comparative results between Prandtl and FEM solutionsφ/(°)计算条件极限承载力Pu/kPaα/(°)β/(°)hL0Prandtl51.445.045.00.50B1.00BDP160.245.548.20.52B1.03BDP352.245.544.00.49B0.98BDP452.245.544.00.49B0.98B15Prandtl109.8 52.537.50.65B1.99BDP1180.152.036.50.68B2.00BDP3110.052.045.00.71B1.57BDP4112.153.037.00.66B2.01B30Prandtl301.460.030.00.87B4.29BDP1445. 362.532.51.03B4.15BDP3310.463.445.01.00B3.51BDP4304.961.229.80.91B4. 30B3 结论1) 基于非关联流动法，建立了DP4准则，并在平面应变条件下得到了准则的参数aφ,k.该准则引入了体变，更加符合岩土材料的特性，所求的塑性体积应变增量和M-C准则相等.2) 计算表明，在边坡稳定分析中，与以往的D-P准则相比，该准则所得的安全稳定系数与极限平衡法更加接近.3) 在关联流动法则下，采用DP1计算的变形与Prandtl解相对较为接近，但承载力与Prandtl解相差很大.采用DP3所得的极限承载力的结果与Prandtl解较接近，但在变形(如塑性区的范围)方面，结果与理论解偏差过大.4) 本文建议的非关联流动准则(DP4)，无论是极限荷载还是滑动面破坏变形特性，所得的结果与Prandtl精确解极为接近.参考文献：[1] Zhao L H,Yang F.Construction of improved rigid blocks failure mechanism for ultimate bearing capacity calculation based on slip-linefield theory[J].Journal of Central South University,2013,20(4):1047-1057. 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10分钟认识剑桥模型

10分钟认识剑桥模型王川第一节：认识“临界状态”首先，大家一定接受以下两张图（无数实验已经证明过）：图1 摩尔库伦强度理论图2 土的压实曲线（e为孔隙比，p’为有效应力）那么，如果把τ换成偏应力q（其中q=σ1-σ3），把σ换成平均主应力p（其中p=(σ1+2σ3)/3，p’表示其有效应力），就得到三轴实验中的p-q曲线：图3 p-q曲线土样的体积由固体颗粒和空隙组成，由于固体颗粒不可压缩，故土样体积的变化完全取决于空隙的变化，即土样体积v和孔隙率e描述的物理意义等价。

那么，将图2中e替换为v，就得到v-logp曲线：图4 v-logp曲线与图1和图2一样，图3和图4同样经历了无数实验的验证，属于“事实”。

基于图3和图4的定量分析以及实验观察，可以得出一个结论，这个结论就是临界状态（critical state）：无论土样的初始状态和经历的应力路径如何，在剪切的最终阶段，只有剪应变在持续增加，而土样所受的有效应力和体积趋于不变。

临界状态由图3和图4同时确定，因此图3和图4中的曲线也叫临界状态线CSL （Critical State Line）。

将临界状态现象翻译成数学语言：（1）体积不变对应于，为p’引起的体积的改变；（2）剪应变在变对应于，为q引起的剪应变；（3）有效应力不变等价于q与p’的比值为常量。

若令在一般情况下，有（被叫做应力比），则可以定义临界状态下的应力比：（被叫做临界状态应力比）。

从图3中能看出，M为常量，即“有效应力不变”。

◆第二节：剑桥模型假设（1）所有的剪应变都不可恢复，即（为弹性剪应变），（为塑性剪应变）。

（2）假定塑性变性能增量可表示为：（这一假设看不懂没关系，继续往后看）。

（3）相关联流动法则：（与塑性力学中关联流动一致）。

◆第三节：剑桥模型推导从能量角度推导屈服函数：应变能的增量等于主应力p’和偏应力q所做的功，即（式1）因为：（此处用了假设1）所以：（式2）（此处用了假设2）由式1和式2得：（式3）根据（假设1），整理式3得：d为剪胀系数，表示塑性应变的方向（因为d体现了与的相对大小，与塑性力学中流动法则表达得意义一致）；为剪胀方程。

摩尔库伦弹塑性模型简介

6.3 Mohr －Coulumb 弹塑性模型简介6.3.1 弹性－理想塑性材料的力学行为弹塑性的基本准则是应变和应变增量可分解为弹性和塑性两部分:pe εεε+= •••+=pe εεε（3.1）利用Hook 定律将应力速率和弹性应变速率联系起来。

将式（3.2）带入Hook 定律可得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==••••p eeeD D εεεσ,(3.2)根据经典塑性理论（Hill ，1950），塑性应变速率与屈服函数对于应力的导数成正比。

因此，塑性应变速率可表示为与屈服面垂直的矢量。

这一理论的经典形式采用了相关联的流动法则。

对于莫尔一库仑模型的屈服函数，相关联的流动法则计算出的土体的剪胀角偏大，因此，除屈服函数之外，引进了塑性势函数g 。

f g ≠的情形被称为不相关联的流动法则。

一般地，塑性应变速率可写作:,σλε∂∂=•g p（3.3）式中：λ是硬化参数，如材料只发生弹性变形，0=λ，然而在塑性变形的情况下λ是一个正值：0=λ 当0<f 或0'≤∂∂•εσeT D f （弹性）0>λ 当0=f 或0'>∂∂•εσeT D f （塑性）有效应力增量和应变速率之间的关系为：••⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=εσσασe T e e D f g D d D '',（3.5a ）''σσ∂∂∂∂=g Df d eT （3.5b ）式中α作为转换参数。

如果是弹性材料，0=α；如果材料表现出塑性，α为一非零常数。

以上所述的塑性理论仅限于光滑屈服面，并且不包含莫尔一库仑模型中所涉及到的多重屈服面。

为了解释这样的屈服面中包含两个或多个塑性势函数的流动法则，Koiter(l 960)和其他学者将塑性理论进行了推广。

+∂∂+∂∂=•'22'11σλσλεg g p（3.6）类似得，几个准独立的屈服函数（ 21,f f ）用来确定硬化参数（ 21,λλ）的大小。

莫尔-库伦强度理论

☺基本假设：岩石强度值与中间主应力无关，破坏面方向基本平行于中间主应力作用方向。
☺基本思想：岩石在不同的正应力和剪应力组合下，丧失承载力沿某个面发生破裂。
f ( )
o
0.主要内容
➢平面应力状态 ➢莫尔强度理论 ➢莫尔-库伦强度理论 ➢深度分析 ➢应用
0.主要内容
➢平面应力状态 ➢莫尔强度理论
岩土力学
莫尔-库伦强度理论
0.主要内容
➢平面应力状态 ➢莫尔强度理论 ➢莫尔-库伦强度理论 ➢深度分析 ➢应用
0.主要内容
➢平面应力状态
➢莫尔强度理论 ➢莫尔-库伦强度理论 ➢深度分析 ➢应用
1.平面应力状态-计算图式
y
yx
xy
n
xy
n
x
n
x
xy
x
n
yx y
图1、平面应力状态
yx y
☺最后可得出
tan c
4.深度分析-主应力表达式
1 3
sin
c
cot
2
1
3
2
1 3
1 3 2c cot
tan c
o
c cot
c 1
1 2 2
1 2 2
1
1 1
sin sin
3
2c cos 1 sin
令， = 1 sin ; 1 sin
c
2c cos 1 sin
1
1= 3 c
cos2 sin2
cos 2
2
tg 45
1 sin 2
sin
2
cos
2
2
cos sin
22
sin cos
22

莫尔—库伦理论1

( ) ( ) σ1 = σ3 ∙ tan2
φ
45° + 2
+ 2ctan
φ
45° + 2
（4）
这可以从图 6 中的几何关系求得。作 EO 平行 BC，通过最小主应
力σ3 的坐标点 A 作一圆与 EO 相切于 E 点，与σ轴交于 I 点。
图 6 粘性土与粉土极限平衡条件推导示意图
由前可知
( ) OI = σ1' = σ3 = tan2
2. 土的极限平衡条件——莫尔—库伦破坏准则
为了建立实用的土体极限平衡条件，将土体中某点的莫尔应
力圆和土体的抗剪强度与法向应力关系曲线(简称抗剪强度线)画在同
一个直角坐标系中，这样，就可以判断土体在这一点上是否达到极限
平衡状态。
4
由前述可知，莫尔应力圆上的每一点的横坐标和纵坐标分别表示土体中某点在相应平面上的正应力σ和剪应力τ，如果莫尔应力圆位于抗剪强度包线的下方[图 4（a）]即通过该点任一方向的剪应力τ都小于土体的抗剪强度τf，则该点土不会发生剪切破坏，而处于弹性平衡状态。若莫尔应力圆恰好与抗剪强度线相切[图 4（b）]，切点为 B，则表明切点 B 所代表的平面上的剪应力τ与抗剪强度τf 相等，此时，该点土体处于极限平衡状态。
莫尔—库伦理论
长期以来，人们根据对材料破坏现象的分析，提出了各种不同的强度理论。其中适用于土的强度理论有多种，不同的理论各有其优缺点。在土力学中被广泛采用的强度理论要推莫尔—库伦强度理论。
1773 年，法国学者库伦(Coulomb)根据砂土的试验结果，提出土的抗剪强度τf 在应力变化不大的范围内，可表示为剪切滑动面上法向应力σ的线性函数。即
φ 45° +

双轴应力状态下的主应力计算

双轴应力状态下的主应力计算在工程领域中，我们经常需要分析材料或结构在不同应力状态下的性能。

其中，双轴应力状态是一种常见的情况，指的是材料或结构同时承受两个不同的应力。

在这种情况下，计算主应力是非常重要的。

主应力是指在某一点上材料或结构所受到的最大和最小应力。

计算主应力的公式是通过应力变换公式得到的。

具体而言，对于双轴应力状态，我们可以使用著名的莫尔圆公式来计算主应力。

莫尔圆公式是由德国科学家奥托·莫尔提出的，它描述了材料或结构在双轴应力状态下的主应力分布。

根据莫尔圆公式，主应力可以通过以下公式计算得到：σ1 = (σx + σy) / 2 + √((σx - σy) / 2)² + τxy²σ2 = (σx + σy) / 2 - √((σx - σy) / 2)² + τxy²其中，σ1和σ2分别是主应力1和主应力2，σx和σy分别是双轴应力状态下的两个应力分量，τxy是剪应力分量。

通过莫尔圆公式，我们可以计算出双轴应力状态下的主应力。

首先，我们需要确定双轴应力状态下的应力分量。

这可以通过实验或分析得到。

然后，我们将这些应力分量代入莫尔圆公式中，即可得到主应力1和主应力2的数值。

在实际工程中，计算主应力是非常重要的。

它可以帮助我们了解材料或结构在双轴应力状态下的强度和稳定性。

通过计算主应力，我们可以评估材料或结构是否能够承受双轴应力状态下的负荷，并进行相应的设计和优化。

双轴应力状态下的主应力计算是工程领域中的重要内容。

通过莫尔圆公式，我们可以准确地计算出主应力，从而评估材料或结构的性能。

这对于工程设计和分析具有重要的指导意义，能够确保材料或结构在实际应用中的安全性和可靠性。

摩尔-库仑模型与其在FLAC3D中的应用

最后通过模型试验与解析方法进行对比，发现FLAC 3D计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变性较大时逐渐出现一定偏差。

关键词: 摩尔-库仑模型，增量方程，流动法则，FLAC 3D1. 塑性流动理论的增量方程一般情况下，破坏准则可表示为()0n f σ= （1）式中，f 为已知屈服函数，用来判定塑性流动开始产生。

在主应力空间中，为一曲面，落在曲面内的应力点为弹性状态。

塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和：e p i i i εεε∆=∆+∆ （2）弹性应变增量和弹性应力增量的关系表示为：()e i i n S σε∆=∆ （3）式中，i S 为弹性应变增量的线性方程。

流动法则规定了塑性应变增量向量的方向，即与塑性势面的方向垂直，表示为：p i igελσ∂∆=∂ （4）得到的新的应力矢量应满足屈服方程：()0n n f σσ+∆= （5）式（5）提供了一个估计塑性应变增量矢量的表达式。

将式（2）代入式（3），且考虑到i S 为线性函数，得：()()p i i n i n S S σεε∆=∆-∆ （6）再将流动法则（4）代入得：()()i i n i ngS S σελσ∂∆=∆-∂ （7）假定破坏函数()n f σ为线性函数，式（5）可表示为：*()()0n n f f σσ+∆= （8）式中，*f 代表函数f 减去其常量值，*(.)(.)(0)n f f f =-。

对于位于屈服面上的应力点，()0n f σ=，式（8）可转化为，**(())(())0n n n ngf S f S ελσ∂∆-=∂ （9）此时，定义新的应力分量为：N i i i σσσ=+∆ （10） ()I i i i n S σσε=+∆ （11）根据式（11），可得：*()(())I n n n f f S σε=∆ （12）综合式（9），（12），可得λ：*()(())(0)In n n n f f S g f σλσ=∂∂- （13）根据应力增量表达式（7），估算应力（11），新的应力（10）可表示为：()N I i i i ngS σσλσ∂=-∂ （14） 2. 莫尔库伦模型（IN FLAC3D ）莫尔库伦模型的破坏包线包括两部分，一段剪切破坏包线和一段拉伸破坏包线。

摩尔-库伦定律

摩尔（Mohr）继续库伦的早期研究工作，提出材料的破坏是剪切破坏的理论，认为在破裂面上，法向应力与抗剪强度 f 之间存在着函数关系，即：
f f ( )
这个函数所定义的曲线，称为摩尔破坏包线，或抗剪强度包线。
实验证明，一般土，在应力变化范围不很大的情况下，摩尔破坏包线可以用库伦强度公式来表示，即土的抗剪强度与法向应力成线性函数的关系。这种以库伦公式作为抗剪强度公式，根据剪应力是否达到抗剪强度作为破坏标准的理论就是摩尔-库伦破坏理论。
破坏准则：破坏时的应力组合关系就称为破坏准则。
而生产实践所广泛采用的破坏准则即摩尔-库伦破坏准则。
5.2 土的抗剪强度规律和极限平衡条件
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806) 法国军事工程师在摩擦、电磁方面
奠基性的贡献
1773年发表土压力方面论文，成为经典理论。
后来，由于有效应力原理的发展，人们认识到只有有效应力的变化才能引起强度的变化，因此上述库伦公式改写为：对于砂土：
f tan ( u ) tan
1 1
1
对于粘性土：
f c tan c ( u ) tan
1 1 1 1
1
也称为有效应力抗剪强度公式。
5.2.1 摩尔-库伦破坏理论
1776年法国科学家库伦（C.A.Coulomb）总结土的破坏现象和影响因素，提出土的破坏公式为：
根据砂土试验结果得到: f= tan
(5-1)
对于粘性土，可给出更为普遍的表达式： f= c+ tan (5-2) 以上两式统称为库仑定律；也称为总应力抗剪强度公式。
[解] （1）摩尔应力圆如图：

摩尔库伦屈服准则三维

摩尔库伦屈服准则三维全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：摩尔库伦屈服准则三维是一种应用于材料力学领域的重要原理，它指出了材料在应力作用下会出现塑性变形的规律。

作为材料科学中的基础理论之一，摩尔库伦屈服准则三维在工程设计和材料加工中具有重要的指导意义。

本文将对摩尔库伦屈服准则三维的概念、原理和应用进行详细介绍。

摩尔库伦屈服准则是由奥地利工程师摩尔库伦在19世纪提出的，其基本原理是根据材料的塑性变形规律，即在应力超过一定临界值时材料会产生可逆变形。

摩尔库伦屈服准则三维是在该原理的基础上加入了三维应力状态的考虑，进一步完善了该理论。

在三维应力状态下，材料的屈服行为会受到各向异性的影响，因此需要建立适合于三维应力状态的屈服准则。

摩尔库伦屈服准则三维的基本表达式可以表示为：\sqrt{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2} \leq k\sigma_1、\sigma_2、\sigma_3分别表示三个主应力的大小，k 为屈服界限的常数。

当应力状态满足该不等式时，材料处于弹性状态；当不等式被打破时，材料开始发生塑性变形。

这一准则的三维形式更贴近实际工程问题，并能更准确地描述材料的屈服行为。

摩尔库伦屈服准则三维的应用范围非常广泛，特别适用于复杂应力状态下的材料屈服分析。

在工程设计中，通过对不同应力状态下的材料屈服准则进行分析，可以预测材料在复杂加载条件下的变形行为，为工程结构的设计和优化提供重要参考。

在材料加工领域，摩尔库伦屈服准则三维也可以用来指导材料的成形工艺，提高材料的加工性能和耐久性。

除了应用于材料力学领域，摩尔库伦屈服准则三维还可以拓展到其他领域的研究中。

在地震工程中，可以利用该准则来分析地震时结构体的受力情况，评估结构的抗震性能；在医学工程中，也可以应用该准则来研究人体组织在受外部力作用下的变形情况，为医疗设备的设计提供依据。

写一篇关于摩尔库伦准则在岩土工程中的应用的两千字读书报告 -回复

写一篇关于摩尔库伦准则在岩土工程中的应用的两千字读书报告-回复题目：摩尔库伦准则在岩土工程中的应用摩尔库伦准则（Mohr-Coulomb criterion）是岩体力学中一种常用的破坏准则，用于描述材料的破坏行为。

它是由德国人奥托·摩尔库伦和法国人库尔朗·库仑在19世纪末发展起来的，随后被广泛应用于岩土工程中。

本文将从摩尔库伦准则的基本原理、应用范围以及工程实践中的具体应用等方面，详细探讨摩尔库伦准则在岩土工程中的应用及其意义。

一、摩尔库伦准则的基本原理摩尔库伦准则是在岩体的应力平面上建立的一种线性破坏准则，其基本原理是假定材料在破坏前后的状态可用一条线性的破坏面来描述。

这条破坏面由两个分别对应材料抗压和抗剪的主应力所决定。

破坏面的表达式为：τ= c + σn*tan(φ)其中，τ为岩体上某一平面上的剪应力，c为摩尔库伦剪强度参数，σn为法向应力，φ为内摩尔摩擦角。

准则的基本方程表明，当剪应力达到或超过摩尔库仑剪强度时，材料开始破坏。

二、摩尔库伦准则的应用范围摩尔库伦准则在岩土工程中的应用较为广泛，主要体现在以下几个方面：1. 地质工程地质工程中的地下工程施工和隧道掘进等常常需要对岩土体进行岩石力学参数的估计，摩尔库伦准则可以通过室内试验和现场监测数据，确定岩石物理力学参数和稳定破坏准则，为工程设计和施工提供可靠的依据。

2. 边坡稳定性分析边坡稳定性分析是岩土工程中的重要应用领域之一。

通过摩尔库伦准则，可以计算边坡稳定的安全系数，并判断边坡是否会发生破坏。

同时，可以通过调整边坡的几何尺寸和岩土体的力学参数，提高边坡的稳定性，减少破坏风险。

3. 基坑开挖在城市建设中，基坑开挖是必不可少的一项工程。

摩尔库伦准则可以用于计算开挖工程中的土体稳定性问题，如确定开挖坑壁的稳定性、推算地面下沉量等。

合理应用摩尔库伦准则，可以避免基坑工程中的安全事故和财产损失。

三、摩尔库伦准则在工程实践中的应用1. 材料强度参数测定工程实践中，需要对岩石样品进行室内试验，测定材料的强度参数和破坏准则，作为岩土工程设计和施工的依据。

摩尔-库伦模型的材料参数

摩尔-库伦模型的材料参数1.弹性体积模量物体在P0的压力下体积为V0。

若压力增加(P0→P0+dP)，则体积减小dV。

则有K=dP/(-dV/V0)，K被称为该物体的体积模量(modulus of volume elasticity)。

如在弹性范围内，则专称为体积弹性模量。

体积模量是一个比较稳定的材料常数。

因为在各向均压下材料的体积总是变小的，故K值永为正值，单位Pa。

体积模量的倒数称为体积柔量。

体积模量K和拉伸模量(或称弹性模量)E、泊松比μ之间有关系：E=3K(1-2μ)。

2.内聚力内聚力（the cohesion value)又叫粘聚力，是在同种物质内部相邻各部分之间的相互吸引力，这种相互吸引力是同种物质分子之间存在分子力的表现。

岩石力学和土力学中，τ=c+σtanφ,即摩尔剪切理论，c即为内聚力，φ为内摩擦角，τ为剪应力。

3.剪胀角剪胀角是用来表示材料在剪切过程中体积变化率的一个物理量。

剪切过程中产生的位移分为法向位移和切向位移，剪胀角的正切值为法向位移同切向位移的比值。

4. 内摩擦角作为岩(土)体的两个重要参数之一的内摩擦角，是土的抗剪强度指标，是工程设计的重要参数。

土的内摩擦角反映了土的摩擦特性，一般认为包含两个部分：土颗料的表面摩擦力，颗粒间的嵌入和联锁作用产生的咬合力。

内摩擦角是土力学上很重要的一个概念。

内摩擦角最早出现在库仑公式中，也就是土体强度决定于摩擦强度和粘聚力，摩擦强度又分为滑动摩擦和咬合摩擦，两者共同概化为摩擦角。

经典的表达式就是库伦定律τ=σtanφ+c其中，对于黏性土，c不为0，对于砂土，c为0，φ、c可以通过三轴试验得出，（或直剪）。

在不同围压下，得到破坏时的最大主应力和最小主应力，做出应力圆，至少在三种不同的围压下，这样可以做出三个应力圆，作三个圆的公切线，斜率即为内摩擦角。

内摩擦角在力学上可以理解为块体在斜面上的临界自稳角，在这个角度内，块体是稳定的；大于这个角度，块体就会产生滑动。

摩尔库伦定律简单

f f ( )
这个函数所定义的曲线，称为摩尔破坏包线，或抗剪强度包线。
第8页/共20页
实验证明，一般土，在应力变化范围不很大的情况下，摩尔破坏包线可以用库伦强度公式来表示，即土的抗剪强度与法向应力成线性函数的关系。
这种以库伦公式作为抗剪强度公式，根据剪应力是否达到抗剪强度作为破坏标准的理论就是摩尔-库伦破坏理论。
对于砂土：
f 1 tan 1 ( u) tan 1
对于粘性土：
f c1 1 tan 1 c1 ( u) tan 1
也称为有效应力抗剪强度公式。
第7页/共20页
摩尔（Mohr）继续库伦的早期研究工作，提出材料的破坏是剪切破坏的理论，认为在破裂面上，法向应力与抗剪强度 f 之间存在着函数关系，即：
塑性破坏
第12页/共20页
讨论极限平衡状态下大、小主应力关系：
sin O A
O O
而
OA
1 2
(1
3)
OO
c
c
tan
1 2
(1
3
)
故
1 2
( 1
3
)
c
c
tan
1 2
( 1
3
)
sin
第13页/共20页
经过三角变换可得：
1 3 tan2 (45
) 2c tan(45
2
)
2
以及
3 1 tan2 (45
2
2
小于已知值580kPa,破坏状态！？？？
第18页/共20页
（5）破坏面与大主应力作用面的夹角为
f 45
22 2
56
（5
（5
也可先假定1，计算破坏时3f，结果一样。

基于摩尔-库伦准则的岩石材料加(卸)载分区破坏特征

基于摩尔-库伦准则的岩石材料加(卸)载分区破坏特征张国军;张勇【摘要】材料内一点的应力状态可以用摩尔圆来表示,而同一点的不同的应力状态可以用坐标系内应力圆的不断变化来表示,应力圆的变换主要可以分为“平移”、“翻转”、“半径扩大”“半径缩小”4种方式,这4种方式几乎包含了岩石材料的所有加(卸)载过程;加(卸)载速率可以用来表征不同应力状态间的转化的快慢程度,加(卸)载速率并不是单纯的单位时间的变化快慢,可以是单位空间尺度的变化,如单位长度、单位深度等;基于摩尔-库伦准则对岩石材料“双向受压”、“双向受拉”和“一拉一压”3种状态下的加卸载过程进行了分析,并获得了与之对应的临界破坏方程,在此基础上,通过引入时间加权平均加(卸)载速率,进一步分析了岩石材料破坏与时间加权平均加(卸)载速率之间的关系,并以时间加权平均加(卸)载速率为基础对岩石材料破坏与否进行了分区;采用FLAC3D对7种不同加载路径下常规三轴数值模拟实验,模拟所获得材料发生破坏时最大主应力峰值与理论计算结果吻合度高达98％;同时又进行7种轴向与径向加载速率之比、4种加载速率条件下常规三轴数值模拟试验.结果表明,只有当轴向和径向加载速率之比处于一定范围时,材料才会发生破坏,加载速率与材料破坏时最大主应力峰值正相关,与最大主应力和最小主应力之比负相关.【期刊名称】《煤炭学报》【年(卷),期】2019(044)004【总页数】10页(P1049-1058)【关键词】摩尔圆;摩尔-库伦准则;加(卸)载速率;加(卸)载速率之比;临界破坏;分区破坏【作者】张国军;张勇【作者单位】中国矿业大学(北京)能源与矿业学院,北京100083;中国矿业大学(北京)共伴生能源精准开采北京市重点实验室,北京100083;中国矿业大学(北京)能源与矿业学院,北京100083;中国矿业大学(北京)共伴生能源精准开采北京市重点实验室,北京100083;中国矿业大学(北京)煤炭安全开采与地质保障国家级实验教学示范中心,北京100083【正文语种】中文【中图分类】TD313摩尔圆是用来表征空间内一点应力、应变状态的几何方法[1]，在同一坐标系内由一系列的极限摩尔圆包络线构成了库伦包络线[2]，摩尔圆与库伦包络线两者有机结合形成了如今的摩尔-库伦破坏准则，作为一种判别岩石材料破坏与否标准[3]，并被广泛的应用于解决各种工程问题[4]。