工科数学分析上学期AB卷期末考试题及答案2套

,考试作弊将带来严重后果！

期末考试

《工科数学分析》试卷A

1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；

5分，共10分） （1）)(lim 22x x x x x --++∞

→ （2）x

x x ln 1

)

(cot lim +→

（10分）设1

lim )(2212+++=-∞→n n n x bx

ax x x f 为连续函数, 试确定常数a 和b .

（10分）设参数方程⎩⎨⎧=+=t

y t x arctan )1ln(2确定了函数0)(>=x f y , 求

x y

d d 与22d d x

y

, 并判定函数)(x f 的单调性及凸性. （10分）造一个容积为V 的圆柱形无盖水池, 问高h 及底半径r

为多少时, 可使其表面积最小? （10分）设0>x 时, 方程11

2=+

x

kx 有且仅有一个解, 求k 的取值范围.

（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）

（1）⎰+x x x )1(d 3 （2）⎰-+2

2

6d )cos (sin π

πx x x x

七．（10分）设⎰+∞

-=0

d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推

公式, 并求n I 的值.

八．（10分）求抛物线px y 22=在点),2

(p p 处法线与抛物线围成的图

形的面积.

九.（10分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有二阶导数且0)(≥''x f , 如果

A x

x f x =→)

(lim

, 试证明对任意),(+∞-∞∈x , 有Ax x f ≥)(. 十．（10分）设01>x , )(211n

n n x a

x x +=

+, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.

《工科数学分析》试卷A 答案

一. （1）解：12lim

)(lim 2

2

22=-++=--++∞

→+∞

→x

x x x x

x x x x x x

（2）解：)1)1sin (cot 1lim exp()ln cot ln lim exp()(cot lim 200ln 1

0x

x x x

x x x x x x -==++

+→→→ e

1

)1exp()cos sin lim exp(0=-=-=+→x x x x

二. 解: ⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧>-=-+-=++<+=1

|| ,/11 ,2/)1(1

,2/)1(1|| ,)(2x x x b a x b a x bx ax x f , 由于)(x f 为连续函数, 故

)1()1()1(f f f ==+-, )1()1()1(-=-=-+-f f f

即

1=+b a , 1-=-b a

解之得.1 ,0==b a

三. 解: t t t t x y 21)1/(2)1/(1d d 2

2=++=, 32

2

22241)1/(2/121d d t

t t t t x y +-=+-=. 因0)(>x f , 故0>t , 从而0d d >x

y

, 0d d 2

2

四. 解: 表面积2222r r V r rh S πππ+=+=, 令0222=+-='r r

V

S π, 得32/πV r =, 此时3/4πV h =. 因S 有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当32/πV r =, 3/4πV h =时, 表面积最小. 五. 解: 令11)(2-+

=x kx x f , 则3

2

)(x

k x f -='. 0≤k 时, )(x f 在),0(+∞单调下降. 又

+∞=+→)(lim 0

x f x , -∞=+∞

→)(lim x f x (0

→x f x (0=k )

因此, 当0≤k 时, )(x f 在),0(+∞只有一个零点, 即原方程在),0(+∞内只有一个解. 当0>k 时, )(x f 有唯一驻点30/2k x =, 且)(x f 在

),(0+∞x 与),0(0x 内分别单调增加和单调减少. 注意到此时

+∞=+→)(lim 0

x f x , +∞=+∞

→)(lim x f x

故当且仅当0)(0=x f 即39

2

=

k 时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在),0(+∞内有且仅有一个解. 六. 解: (1) 令6x t =, 于是

C

x x C t t dt t dt t t t t dt t x x x +-=+-=+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰)arctan (6 )arctan (6)11

1(616)1(6)1(d 662223253

(2)

⎰⎰⎰⎰

-===+-

-

20

20

22

2

2

6

dcos 2d sin 2d sin d )cos (sin πππ

πππx x x x x x x x x x x x

.2d cos 2cos 220

2

/0

=+-=⎰π

πx x x x 七. 因为

10

10

10

d e 0d e |

e d e -+∞

--+∞--∞+-+∞

-=+=+-==⎰⎰⎰n x n x

n x n x n n nI x x n x nx x x x I

于是容易知道1!I n I n =. 又因为

1|e 0d e |

e d e 00

1=-=+-==∞

+-+∞

-∞

+-+∞

-⎰⎰x x x x

x x x x I , 故有!.n I n =

八. 因p y y 22=', 故1|2

=='=y p

y p x , 从而可知抛物线在点),2(p p 的法线方程为

)2(p x p y --=-或y p

x -=2

3.

除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为)3,2

9

(p p -, 所以所求

图形的面积

2323

16

d )223(p y p y y p A p

p =--=⎰-

九. 0)

(lim

)(lim )0(0

===→→x x

x f x f f x x , A x

x f x f x f f x x ==-='→→)

(lim )0()(lim

)0(00

. 由泰勒公式, ),(+∞-∞∈∀x , 0≠x , 有

Ax x f x f x f f x f ='≥''+'+=)0(!

2)()0()0()(2

ξ