第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案
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第三章矩阵的初等变
换与线性方程组习题
含答案
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第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.4.1 基础练习
1．已知
121
011
251
-
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
-
⎝⎭
A，求()
R A.
2．已知
32101
03210
00002
00000
-
⎛⎫
⎪
-
⎪
=
⎪
-
⎪
⎪
⎝⎭
B，求()
R B.
3．若矩阵,,
A B C满足=
A BC，则（）. (A)()()
R R
=
A B (B) ()()
R R
=
A C
(C)()()
R R
≤
A B (D) ()max{(),()}
R R R
≥
A B C
4．设矩阵X满足关系2
=+
AX A X，其中
423
110
123
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
-⎝⎭
A，求X.
5．设矩阵
101
210
325
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
--
⎝⎭
A，求1
()-
-
E A.
6．A是m n
⨯矩阵，齐次线性方程组0
=
Ax有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组=
Ax b中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =
Ax b必有无穷多解； (B) 0
=
Ax必有非零解；
(C) 0
=
Ax仅有零解； (D) 0
=
Ax一定无解.
8．求解线性方程组
（1）
123
123
123
1
2333
332
x x x
x x x
x x x
+-=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪-+=
⎩
，（2）
72315
53215
1011536
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪-+=
⎩
（3）
1234
1234
1234
20 20 2220 x x x x
x x x x
x x x x
++-=
⎧
⎪
++-=
⎨
⎪+++=⎩
9．若方程组 12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪
-=-⎨⎪-=--+-⎩
有无穷多解，则λ= .
10．若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=Ax 的解，则=A ( ).
(A)()2,1,1- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (D)011422010-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3.4.2 提高练习
1．设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*()R A = .
2．设矩阵1233
2354445037a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
A ，以下结论正确的是( ). (A)5a =时，()2R =A (B) 0a =时，()4R =A (C)1a =时，()5R =A (D) 2a =时，()1R =A
3．设A 是43⨯矩阵，且()2R =A ，而102020103⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则()R =AB .
4．设12243311t
-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，且0=AB ，则t = . 5．设12312323k k k -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
A , 问k 为何值，可使
（1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A .
6．设矩阵111111111111k
k k k ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝
⎭
A ，且()3R =A ，则k = .
7．设133143134⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
A ，试将A 表示为初等矩阵的乘积. 8．设n 阶方阵A 的个行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组
0=Ax 的 通解为 .
9．设1112131421
21
2121313233344142
43
44a a a a a a a a a a a a a
a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭A ，14
13
121124
2322213433323144
43
42
41a a a a a
a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭B ，10001010000101000⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝⎭
P
21000001001000001⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝
⎭
P ，其中A 可逆，则1-=B .
10．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）.
（A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B
11．设a b b b a b b b a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，若*()1R =A ，则必有（ ）.
（A ）a b =或20a b += （B ）a b =或20a b +≠ （C ）a b ≠或20a b += （D ）a b ≠或20a b +≠
12．齐次线性方程组212312312
30
00
x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵
0≠B ，使得0=AB ，则（ ）.
（A ）2λ=-且0=B （B ）2λ=-且0≠B （C ）1λ=且0=B （D ）1λ=且0≠B
13．设A 是三阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得到B ，再把B 的第二列加到第三列得到C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（ ）.