第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数． （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解． （2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解 由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可． 由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证 （１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。
线性代数答案第四版(高等教育出版社)
−ab ac ae (3) bd −cd de ;
bf cf −ef
a 1 00 (4) −1 b 1 0 .
0 −1 c 1 0 0 −1 d
解: (1)
4 124
1 202
1202
1 2 0 2 ==r1=↔=r=2= − 4 1 2 4 ==r=2−=4=r=1= − 0 −7 2 −4
10 5 2 0
(2) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3) y z x ;
az + bx ax + by ay + bz
zxy
4
第一章 行列式
证明: ax + by ay + bz az + bx
x ay + bz az + bx
y ay + bz az + bx
ay + bz az + bx ax + by ==按=第==1=列== a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
xyz
yzx
=再==次=a3 y z x + b3 z x y
裂开
zxy
xyz
xyz
xyz
xyz
=a3 y z x + b3(−1)2 y z x = (a3 + b3) y z x .
zxyzxyzxy源自此题有一个 “经典” 的解法:
ax + by ay + bz az + bx
ax ay az
by bz bx
ay + bz az + bx ax + by = ay az ax + bz bx by
第3章矩阵的初等变换与线性方程组.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组第1页儿92页、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换第2页儿92页求解线性方程组:2x, - 兀2 -兀3 + 乞=2,•V, + 兀2 — 2兀3 + 工4 = 4,4x, — 6*2 + 2*3 — 2x 』=4, 3x^ + 6x2 一 9兀3 + 7心=9,X^ 十-疋2 — 2X3 + “4 = 4, 2X] — ^2 _ ”丫3 + 兀4 = 2, 2Xj — 3兀2 + -^3 —兀4 = 2, 3x, +6乂2 — 9七 +7必4 =9,X^ + 兀2 — 2X3 + i =4, 2*2 — 2X3 + 2.v^ = 0,— 5*2 +5丸3 — 3兀4 = —6. 3*2 — 3乂3 + 4 尤4 = —3,X^ + 兀2 — 2兀3 + £ =4. 丸2 —兀3 +兀4 =（人 2.丫4 = -6,1、 消元法解线性方程组引例“4 = 一3,第6页人92页可取每—行的第一个未知数为非自由未知数，进行回代） 尤4 = —3V ；=勺+ 3其中，£可任意取值內=勺+ 4其中C 为任意常数.X, + 尤2 — 2兀3 + *4 = 4,比一 丫3 + 兀4 =°9 ②③ 0 = 0,④（4个未知数3个方程， 无穷解。
(B4)解得X[ = C + 4 兀2 = c/|\ /即兀=C(2)2）回代=〃4第8页八92页方程组的同解变换（消元过程”3)A 对增广矩阵/i = {A\h ）进行 相应的三种初等行变换2x, — *2 —心 + *4 = 2, *1 + *2 一 2*3 + 工4 = 4, -4 工丄—6*2 + 2*3 — 2斗=4,3X] + 6*2 — 9x3 + 7xj =9,第7页Jl92页行阶梯形:1) 对换两个方程®一⑦ 2) © X Ar (k H 0)<D② <3)(Bl)=〃4第8页八92页X] + 尤2 — 2X3 + 兀4 = 49兀2 —工3 + Xj = 0，兀4 = —3,0 = 0,① I -2 1o|© -1 1① ② ③ ④(B4)4、 0 一30 0 00 0 0丿第10页人92页X] +乂2 一 2心 + 斗=4, 兀2 —兀3 + Xj = 0， X4 = —3, 0 = 0,X^ + *2 — 2工3 = 7, 兀2 - 6 = 3, 兀4 = —3 ()=(\-V,-兀3 = 4,£ 一 疋3 = 3,(B5)“4 = —3, 0 = 0.0 0 0 0丿第9页人92页方程组的求解对增广矩阵（Alb ）施行初施凑换，变成行注意：初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变元进行变换，并不是方程的同解变 换。
线性代数习题册(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)
(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X） （X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0
1≤i< j≤n
1
xn
x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；
1
1 0
0
0
a11 a21
a12 a22
a13 a23
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
第三章%20%20矩阵的初等变换与线性方程组[1]
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
15
第11讲 线性方程组的解
对于线性方程组Ax=b, R(A)=r. 不妨设 B = ( A, b ) 的行最简形为
⎛1 ⎜0 ⎜M ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜M ⎜0 ⎝ 0 1 M 0 0 0 M 0 L 0 b11 L 0 b21 M M L 1 br 1 L0 0 L0 0 M M L0 0 L b1,n− r L b2,n− r 2 M M ⎟ L br ,n− r d r ⎟ L 0 d r +1 ⎟ L 0 0 ⎟ M M ⎟ 0 ⎟ L 0 ⎠
r (1) A ~ B 的充分必要条件是存在m阶可逆阵P， 使得 PA = B. c (2) A ~ B 的充分必要条件是存在n阶可逆阵Q， 使得 AQ = B.
(3) A ~ B 的充分必要条件是存在m阶可逆阵P 及n阶可逆阵Q, 使得 PAQ = B.
r 推论 方阵A可逆的充分必要条件是 A ~ E
14 September 2009 河北科大理学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
7
四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题
A −1 ?
r ( A , E ) ~ ( E , A −1 )
⎛ 0 −2 1 ⎞ 例1 设 A = ⎜ 3 0 −2 ⎟ , 求 A−1 . ⎜ −2 3 0 ⎟ ⎝ ⎠
14 September 2009
相容 不相容 d1 ⎞ 特解 通解 d ⎟
(cii ≠ 0, i = 1, 2, L , n) (1) 当 d r +1 ≠ 0 时,方程组无解; (2) 当 d r +1 = 0 时,方程组有解; 且 r = n 时,有唯一解, r < n 时,有无限多个解.
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形：解(下一步r23r1 r32r1 r43r1 ~(下一步r2(4 r3(3 r4(5 ~(下一步r13r2 r3r2 r4r2~2. 利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆：⑴解~~~~,故逆矩阵为(2解~~ ~~ ~故逆矩阵为3. 设求X使AXB.解因为所以4. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量.解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.⑴解(下一步r1r2 ~(下一步r23r1 r3r1~(下一步r3r2 ~矩阵的是一个最高阶非零子式⑵解(下一步r1r2 r22r1 r37r1~(下一步r33r2 ~矩阵的秩是3是一个最高阶非零子式6. 解下列齐次线性方程组：⑴解对系数矩阵A进行初等行变换有A~于是故方程组的解为(k1k2为任意常数⑵解对系数矩阵A进行初等行变换有A~于是故方程组的解为(k1k2为任意常数7 写出一个以为通解的齐次线性方程组解根据已知可得与此等价地可以写成或或这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组非齐次线性方程组.8 解下列非齐次线性方程组：⑴解对增广矩阵B进行初等行变换有B~于是即(k1k2为任意常数⑵解对增广矩阵B进行初等行变换有B~于是即(k1 k2为任意常数9.当取何值时有解？并求出它的解解~要使方程组有解必须(1(20 即1 2当1时~方程组解为或即(k为任意常数当2时~方程组解为或即(k为任意常数10 设问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解解B~要使方程组有唯一解必须R(AR(B3 即必须(1(100所以当1且10时方程组有唯一解.要使方程组无解必须R(AR(B即必须(1(100且(1(40所以当10时方程组无解.要使方程组有无穷多解必须R(AR(B3 即必须(1(100且(1(40所以当1时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为B~方程组的解为或(k1 k2为任意常数。
线性代数习题答案第三章
解 R(A)R(B) 这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩
8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵 此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量
B~ 于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解
(2) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k为任意常数)
(3) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k1 k2为任意常数)
(4) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k1 k2为任意常数)
14 写出一个以 为通解的齐次线性方程组
A~D D~B 由等价关系的传递性 有A~B
11 设 问k为何值 可使
(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3 解 (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3
12 求解下列齐次线性方程组: (1) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有
A~ 于是 故方程组的解为
3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
(1) 解~ ~~ ~ 故逆矩阵为 (2)
解 ~ ~ ~ ~ ~
故逆矩阵为 4 (1)设 求X使AXB 解 因为
所以 (2)设 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为
所以 从而
5 设 AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为
所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r
工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1）;解=2⨯（-4）⨯3+0⨯（-1）⨯( 1）+1⨯1⨯80⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8 1⨯（ 4）⨯（ 1）=24+8+16 4=4.(2);解=acb+bac+cba bbb-aaa ccc=3abc a3 b3 c3。
(3）；解=bc2+ca2+ab2-ac2 ba2-cb2=(a-b）（b c）（c a).（4）。
解=x(x+y)y+yx(x+y）+（x+y）yx y3-(x+y）3 x3=3xy(x+y) y3 3x2y-x3-y3 x3=2(x3+y3)。
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4;解逆序数为0(2）4 1 3 2;解逆序数为4：41，43, 42，32。
（3）3 4 2 1；解逆序数为5: 3 2，3 1, 4 2, 4 1, 2 1。
(4)2 4 1 3；解逆序数为3： 2 1, 4 1，4 3.（5）1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1）2 4 ⋅⋅⋅（2n)；解逆序数为：3 2 （1个)5 2, 5 4(2个)7 2，7 4, 7 6(3个）⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2n-1）2, (2n 1)4,（2n 1）6，⋅⋅⋅,（2n 1）（2n 2）(n 1个）(6)1 3 ⋅⋅⋅（2n 1）(2n) (2n-2）⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n 1）:3 2（1个）5 2，5 4 (2个）⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2n-1)2,（2n 1)4,（2n-1)6,⋅⋅⋅，(2n 1)(2n-2）(n-1个)4 2（1个）6 2，6 4（2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2n)2,（2n）4,（2n)6，⋅⋅⋅,（2n)（2n 2）（n-1个）3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1）t a11a23a3r a4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1）t a11a23a32a44=(-1）1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,（-1）t a11a23a34a42=(-1）2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:（1）;解。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换一. 初等变换1.交换矩阵的两行或两列2.以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）3.把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。
二. 等价1.若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。
2..等价关系具有的性质：(i)反身性A~A;(ii) 对称性若A~B,则B~A;(iii) 传递性若A~B,B~C,则A~C;第二节矩阵的秩一. 数学概念定义2.1在矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。
定义2.1设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
1. 零矩阵的秩为0；2.；3. 可逆矩阵称为满秩矩阵；4. 不可逆矩阵称为降秩矩阵。
二. 原理公式和法则定理2.1若A~B，则R(A)= R(B)。
根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。
显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。
这就给出求矩阵秩的方法。
第三节线性方程组的解一.数学概念根据矩阵的乘法，可以将线性方程组写成矩阵形式。
1.n元齐次线性方程组；2.n元非齐次线性方程组；3. 称A为方程组的系数矩阵，B=(A，b)为非齐次线性方程组的增广矩阵。
二．原理、公式和法则定理3.1n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件的系数矩阵A的秩R(A)<n。
定理3.2n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A，b)的秩。
显然定理3.1是判断齐次线性方程组有什么样解的问题，而定理3.2是用来判断非齐次线性方程组有没有解的问题。
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)-章节题库-第3章 矩阵的初等变换与线性方程组【圣才出
第 3 章 矩阵的初等变换与线性方程组
一、选择题
a1 1
1．设
A
a2 1
a3 1
a1 2 a2 2 a32
a1 3
a21
a 2，3
B
a11
a 3 3
a31 2a11
a22 a12 a32 2a12
a23
a13
a 2 1 a 2 1
2 4 2 2 4 2 4a 12 0
1 2 a a 1 0 a 1
知 r（A）＝3。
4 / 28
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由于 AB＝0，A 是 3×4 矩阵，有 r（A）＋r（B）≤4。那么当 a＝1 时，r（A）＝1， 1≤r（B）≤3，B 是 4×2 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2；当 a≠1 时，r（A）＝3， 所以必有 r（B）＝1。
6．设 A 为四阶方阵，且满足 A2＝A，则秩 r（A）＋秩 r（A－E）＝（ ）。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由于 A（A－E）＝A2－A＝0，故 r（A）＋r（A－E）≤4，又 E＝（E－A）＋ A，故 4＝r（E）＝r（E－A＋A）≤r（E－A）＋r（A）＝r（A－E）＋r（A），从而 r（A） ＋r（A－E）＝4。
7 8 9
1 2013 3 D． 4 8049 6
7 14085 9
【答案】B
【解析】P、Q 均为初等矩阵，因为 P－1＝P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的 1，3
两行，那么 P2012A 表示将 A 的 1，3 两行互换 2012 次，从而 (P1)2012 A P2012 A A 。
第三章矩阵的初等变换练习题参考答案
第三章 矩阵的初等变换练习题参考答案一、判断题（ √ ）1．设A 是n 阶可逆方阵，则齐次线性方程组0Ax =只有零解。
（ √ ）2．若n 阶矩阵A 可逆，则()R A n =。
（ × ）3．n 元非齐次线性方程组Ax b =有解的充分必要条件()R A n =。
（ √ ）4. 两个n 阶矩阵A ，B 行等价的充要条件是存在n 阶可逆矩阵P 使得B PA =。
（ × ）5. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并且化为的行阶梯形矩阵是唯一确定的。
（ × ）6. 若n 阶矩阵A 的秩为1n -，则A 的所有1n -阶子式均不为零。
（ √ ）7. 可逆矩阵A 总可以只经过有限次初等行变换化为单位矩阵E 。
（ √ ）8. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1+r 阶子式必为零。
（ × ）9.设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则Ax b =有无穷多解。
（ × ）10. 只有行等价的矩阵才具有相同的秩，列等价的矩阵不具有相同的秩.二、填空题1. 矩阵102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形矩阵为100000100001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
2. 设A 是5阶方阵，且满足2A A E +=， 则()R A E += 5 。
3．非齐次线性方程组的增广矩阵为B =21011101400000122000(1)1k k k kk --⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪--⎝⎭，则当k =0时方程组无解；当k =1时方程组有无穷解。
4．设线性方程组的增广矩阵为132331234102420210400130000a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪+--⎝⎭，则该方程组有解的充要条件是12340a a a a +--=。
5. 设矩阵A 经初等行变换可化为行阶梯形矩阵B 。
若A 的秩为3，则B 中非零行的行数为 3 。
同济大学《工程数学—线性代数》笔记和课后习题(含真题)详解(矩阵的初等变换与线性方程组)
第3章矩阵的初等变换与线性方程组3.1 复习笔记一、矩阵的初等变换1．初等变换（1）定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：①对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；②以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；③把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．（2）矩阵等价①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（3）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（4）矩阵的类型①两个矩阵，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵．2．初等变换的性质（1）定理设A与B为m×n矩阵，则：①的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA＝B；②的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ＝B；③A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ＝B．（2）初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵．②方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…P l，使A＝P1P2…P l．③方阵A可逆的充分必要条件是.二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A 中当所有r ＋1阶子式全等于0时，所有高于r ＋1阶的子式也全等于0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩R （A ）就是A 的非零子式的最高阶数．（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A ～B ，则()()R A R B =.②若可逆矩阵P ，Q 使PAQ ＝B ，则R （A ）＝R （B ）． 2．秩的性质（1）0R ≤(){}min ,;m n A m n ⨯≤ （2）()()T R A R A =；（3）若A ～B,则()()R A R B =；（4）若P 、Q 可逆，则()()R PAQ R A =；（5）()(){}()()()max ,,,R A R B R A B R A R B ≤≤+特别地，当B ＝b 为非零列向量时，有()()(),1R A R A b R A ≤≤+；（6）()()()R A B R A R B +≤+； （7）()()(){}min ,R AB R A R B ≤； （8）若m n n l A B ⨯⨯＝0，则()()R A R B n +≤. 3．满秩矩阵矩阵A 的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A 为n 阶矩阵，则()()R A E R A E n ++-≥. （2）若,m n n l A B C ⨯⨯=且()R A n =,则()()R B R C =. （3）设AB ＝0，若A 为列满秩矩阵，则B ＝0．三、线性方程组的解 1．解的定义设有n 个未知数m 个方程的线性方程组（3-1-1）该式可以写成以向量x 为未知元的向量方程：Ax ＝b ，其中，A 为系数矩阵，B ＝（A ，b ）称为增广矩阵，线性方程组（3-1-1）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容．2．解的判断（1）n 元线性方程组Ax ＝b①无解的充分必要条件是()(),R A R A b <； ②有唯一解的充分必要条件是()(),R A R A b n ==； ③有无限多解的充分必要条件是()(),R A R A b n =<.（2）n 元齐次线性方程组Ax ＝0有非零解的充分必要条件是()R A n <. （3）线性方程组Ax ＝b 有解的充分必要条件是()(),R A R A b =.（4）矩阵方程Ax ＝B 有解的充分必要条件是()(),R A R A B =. （5）设AB ＝C,则()()(){}min ,R C R A R B ≤．3.2 课后习题详解1．用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：解：（1）（2）（3）。
(完整版)线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组
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习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆(2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦L2.设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则 是该方程组的解.121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组: (1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a,且在有解的情形,求出它的一般解.。
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
高等代数(北大版)第3章习题参考答案
第三章 线性方程组1． 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-+=-⎪⎪-+--=⎨⎪-++-=⎪⎪++-+=-⎩ 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+++=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=-⎪⎪-+-=⎩ 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩ 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→------⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦10210110010100321200021200200000200000000000000001110010000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦因为()()45rank A rank B ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩， 解得123451022x k x k x x k x k=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=--⎩ 其中k 为任意常数。
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第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.4.1 基础练习1．已知121011251-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭A，求()R A.2．已知32101032100000200000-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭B，求()R B.3．若矩阵,,A B C满足=A BC，则（）. (A)()()R R=A B (B) ()()R R=A C(C)()()R R≤A B (D) ()max{(),()}R R R≥A B C4．设矩阵X满足关系2=+AX A X，其中423110123⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭A，求X.5．设矩阵101210325⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭A，求1()--E A.6．A是m n⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组=Ax b中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =Ax b必有无穷多解； (B) 0=Ax必有非零解；(C) 0=Ax仅有零解； (D) 0=Ax一定无解.8．求解线性方程组（1）12312312312333332x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩，（2）72315532151011536x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩（3）12341234123420 20 2220 x x x xx x x xx x x x++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩9．若方程组 12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ= .10．若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=Ax 的解，则=A ( ).(A)()2,1,1- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (D)011422010-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.4.2 提高练习1．设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*()R A = .2．设矩阵12332354445037a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，以下结论正确的是( ). (A)5a =时，()2R =A (B) 0a =时，()4R =A (C)1a =时，()5R =A (D) 2a =时，()1R =A3．设A 是43⨯矩阵，且()2R =A ，而102020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则()R =AB .4．设12243311t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，且0=AB ，则t = . 5．设12312323k k k -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 问k 为何值，可使（1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A .6．设矩阵111111111111kk k k ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭A ，且()3R =A ，则k = .7．设133143134⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，试将A 表示为初等矩阵的乘积. 8．设n 阶方阵A 的个行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组0=Ax 的 通解为 .9．设11121314212121213132333441424344a a a a a a a a a a a a aa a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，14131211242322213433323144434241a a a a aa a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B ，10001010000101000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭P21000001001000001⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭P ，其中A 可逆，则1-=B .10．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）.（A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B11．设a b b b a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，若*()1R =A ，则必有（ ）.（A ）a b =或20a b += （B ）a b =或20a b +≠ （C ）a b ≠或20a b += （D ）a b ≠或20a b +≠12．齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵0≠B ，使得0=AB ，则（ ）.（A ）2λ=-且0=B （B ）2λ=-且0≠B （C ）1λ=且0=B （D ）1λ=且0≠B13．设A 是三阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得到B ，再把B 的第二列加到第三列得到C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（ ）.（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14．已知12324369t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q ，P 为三阶非零矩阵，且0=PQ ，则（ ）.（A ）6t =时，()1R =P （B ）6t =时，()2R =P （C ）6t ≠时，()1R =P （D ）6t ≠时，()2R =P15．若线性方程组121232343414x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解，则常数1234,,,a a a a 应满足条件 .16．设方程组123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = .17．设n 阶矩阵A 与n 维列向量α，若()0TR ⎛⎫= ⎪⎝⎭AA αα，则线性方程组（ ）. （A ）=Ax α必有无穷多解 （B ）=Ax α必有唯一解（C ）00T⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A x y αα仅有零解 （D ）00T ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Ax y αα必有非零解.18．设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则线性方程组()0=AB x （ ）. （A ）当n m >时仅有零解 （B ）当n m >时必有非零解 （C ）当m n >时仅有零解 （D ）当m n >时必有非零解19．求λ的值，使齐次线性方程组 123123123(3)20(1)03(1)(3)0x x x x x x x x x λλλλλλ+++=⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩有非零解，并求出通解.20．设 123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时，此方程组有唯一解，无解或无穷多解并在有无穷多解时，求其通解.21．问,a b 为何值时，线性方程组 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解并求出有无穷多解时的通解.22．问λ为何值时，线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ⎧+=⎪++=+⎨⎪++=+⎩有解，并求通解.23．已知3阶矩阵A 的第一行为(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，k 为常数.若0=AB ，求线性方程组0=Ax 的通解.24．设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆；（2）求1-AB .第三章参考答案3.4.1 基础练习1．()2R =A ． 2．()3R =B ． 3．因为()min{(),()}R R R ≤A B C 故选C ．4．由已知(2)-=A E X A ，因为100386(2,)0102960012129r--⎛⎫ ⎪-−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭A E A 故1386(2)2962129---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A ．5．100231342100⎛⎫- ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭． 6．()R n <A ． 7．B ． 8．（1）无解； （2）211x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）12349,43x x c c R x ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭． 9．有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数 得3λ=。
10．将解向量代入即可，选A ． 3.4.2 提高练习1. 因为()3R =A ，故*0=A ，所以*()0R =A ．2. 由矩阵1233212332354401952450370015305ra a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦A 故5a =时，()2R =A ，所以选（A ）．3. 由于100=≠B ，故()()2R R ==A AB ．4. 由于7(3)t =+A ，由已知0=A ，故3t =-．5. 由123111*********(1)(2)r k k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭A 可知：当1k =时，()1R =A ；当2k =-时，()2R =A ；当1k ≠且2k ≠-时，()3R =A ．6. 3k =-．7. 将A 通过初等变换化为单位阵，再将每次的初等变换通过初等矩阵的乘积表示133100100130103143010110010010134101001001001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ． 8. (1,1,,1),k k R ∈。
9. 本题考查初等变换与初等矩阵之间的关系及初等矩阵的性质，由已知21=B AP P ，故1-1-111212--==B P P A P P A ，选（C ）。
10. 选（D ）． 11．选（C ）． 12．选（C ）13．选（D ），本题考查初等矩阵的概念与性质，根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左（右）乘一相应的初等矩阵来实现。
对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 为此两个初等矩阵的乘积。