典型环节的频率特性

第5章辅导频率特性的基本概念给系统输入一个正弦信号为x r(t)＝X rm sinωt式中X rm——正弦输入信号的振幅；ω——正弦输入信号的频率。

当系统的运动达到稳态后，比较输出量的稳态分量和输入波形时就可以发现，稳态输出的频率与输入频率相同，但输出量的振幅及相位都与输入量不同。

可以把系统的稳态输出量写成式中的A(ω)和 (ω)分别为复变函数G(jω)的模和幅角。

A(ω)——G(jω)的模，它等于稳态输出量与输入量的振幅比，叫做幅频特性；φ(ω)——G(jω)的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相位差，叫做相频特性。

例：电路的输出电压和输入电压的复数比为式中图频率特性的求取方法频率特性一般可以通过如下三种方法得到：1.根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数之比即得；2．根据传递函数来求取； 3．通过实验测得。

线性系统，x r (t)、x c (t)分别为系统的输入和输出，G(s)为系统的传递函数。

输入用正弦函数表示x r (t)＝Asin ωt设系统传递函数为（重要结论：对正弦输入而言系统的频率特性可直接由G(j ω)=X c (j ω)/X r (j ω)求得。

只要把线性系统传递函数G(s)中的算子s 换成j ω，就可以得到系统的频率特性G(j ω)。

即ωωj s s G j G ==)()(频率特性的表示方法1. 幅相频率特性设系统（或环节）的传递函数为11011)(a s a s a b s b s b s G n n n n m m m m ++++++=---- 令s=j ω，则其频率特性为)()()()()()()(011011ωωωωωωωjQ P a j a j a b j b j b j G n n n n m m m m +=++++++=---- 其中，P(ω)为G(j ω)的实部，称为实频特性；Q(ω)为G(j ω)的虚部，称为虚频特性。

)()(22)()()()(ωϕωϕωωωωj j e A e Q P j G =⋅+=式中，A(ω)为频率特性的模，即幅频特性，)()()(22ωωωQ P A +=；ϕ(ω)为频率特性的幅角或相位移，即相频特性，)()(arctan)(ωωωϕP Q =。

2.对数频率特性对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。

对数频率特性曲线又称为伯德（Bode ）图，它包括对数幅频和对数相频两条曲线。

对式两边取对数，得)(434.0)(lg lg )()(lg )(lg ωϕωωϕωωj A e j A j G +=+=这就是对数频率特性的表达式。

通常不考虑0.434这个系数，而只用相位移本身。

在实际应用中，频率特性幅值的对数值常用分贝(dB ，decibel)表示，其关系式为dB A L )(lg 20)(ωω=横坐标为频率ω，但按lg ω刻度。

因此，频率每变化十倍，横坐标轴上就变化一个单位长度，称为“十倍频程”。

对数相频特性的纵坐标表示相位移，是线性刻度，单位是“度”。

横坐标与幅频特性的横坐标相同。

对数频率特性的坐标如图所示。

图对数坐标典型环节的频率特性一. 比例环节比例环节的传递函数为K s G =)(以j ω取代s ，得其频率特性为K j G =)(ω00j Ke j =+比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别为)(lg 20)(==ωϕωKL比例环节的频率特性二. 积分环节积分环节的传递函数为ss G 1)(=其频率特性为ωωω11)(j j j G -== 幅频特性为ωω1)(=A相频特性为2)(πωϕ-=对数幅频特性为ωωωlg 20)(lg 20)(-==A L图5-8 积分环节的幅相频率特性积分环节对数幅频特性是一条斜率为－20dB ／dec 的直线，它在ω＝1这一点穿越零分贝线；相频特性与频率无关，在ω由0→∞时，其为平行于横轴的一条直线。

图 积分环节的对数频率特性三. 惯性环节惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G其频率特性为11)(+=ωωTj j G1、幅相频率特性幅频特性为2)(11)()(ωωωT j G A +==相频特性为ωωωϕT j G arctan )()(-=∠=惯性环节的对数频率特性四. 振荡环节振荡环节的传递函数为121)(22++=Ts s T s G ς 式中，T 为时间常数；ζ为振荡环节的阻尼比（0<ζ<1）。

其频率特性为ωςωωTj T j G 211)(22+-=振荡环节的对数幅频特性为2222)2()1(lg 20)(lg 20)(ωςωωωT T A L +--==在低频段，ωT<<1(即ω<<T1)时，Ｌ(ω)≈-20log1＝0dB 。

这是一条与横轴重合的直线，即低频渐近线。

在高频段，当ωT>>1，即 ω>>T1，)lg(40lg 20)(22ωωωT T L -=-≈ 这说明高频渐进线是一条斜率为-40dB ／dec 的直线。

两条渐进线在ω＝T1＝ωn 点相交，故振荡系统的固有频率就是其转角频率。

在振荡环节的对数频率特性五. 微分环节微分环节的传递函数为s s G =)(其频率特性为ωωj j G =)(对数幅频特性为ωωωlg 20)(lg 20)(==A L微分环节的频率特性六.一阶微分环节其传递函数为1)(+=s s G τ频率特性为1)(+=ωτωj j G对数幅频特性为2)(1lg 20)(τωω+=L一阶微分环节的对数频率特性最小相位系统凡是在s 右半平面上没有极、零点的系统，称为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。

从频率特性的角度看，具有相同幅频特性的一些系统，可以有不同的相频特性，其中在任意大于零的频率下，相位滞后都是最小的系统，称为最小相位系统。

控制系统的开环对数频率特性一个复杂系统的开环传递函数G (s)往往由几个典型环节串联而成，即其频率特性为)()()(2)(121)()()()()()()()(21ωϕωϕωϕωϕωωωωωωωωj j n j j n e A e A e A e A j G j G j G j G n =⋅== 式中)()()()(21ωωωωi A A A A =)()()()(21ωϕωϕωϕωϕi +++=对数幅频特性为)(lg 20)(lg 20)(lg 20)(lg 20)(21ωωωωωi A A A A L +++==)()()(21ωωωi L L L +++=绘制系统的开环对数频率特性曲线(波德图)的步骤为：1) 把系统的开环传递函数化为标准形式——典型环节的传递函数之积，并分析各环节。

2) 求出各转角频率ω1， ω2， ⋯等等，并按大小将它们标在频率轴上。

3) 在ω＝ l 处垂直向上量出幅值201ogK(dB)，得到a 点，这里K 为开环放大系数。

通过a 点画出L(ω)的低频渐近线，其斜率为-20ν(dB ／dec)。

这里 ν为系统含有积分环节的个数。

4) 以后每遇到一个转角频率，就改变一次渐近线斜率。

遇到(l+Tj ω)±1，斜率改变±20dB ／dec ；遇到[1+ζT(j ω)+(Tj ω)2]±1，斜率改变±40dB ／dec 。

5) 对渐近线进行修正，便可画出精确的对数幅频特性曲线L(ω)。

6) 画出系统每个组成环节的对数相频特性曲线，然后将它们在各个相同频率下相加。

即得系统的开环对数相频特性曲线ϕ(ω)。

用频率特性分析系统的稳定性例：某系统的开环传递函数为绘其开环奈奎斯特曲线，并判别其闭环系统的稳定性。

【解】该系统开环频率特性为上面这两个特殊点确定了奈氏曲线的变化趋势。

再计算几个对应不同ω值的G k (j ω)值，便能绘制出如图 所示的奈奎斯特图。

当K 增大时，G k (j ω)曲线将成比例地向外扩张，但形状不变，并且不会包围(-1，j0)点，已知开环传递函数中没有右极点。

因此，该闭环系统总是稳定的。

对数频率特性稳定判据【例】 已知系统的开环传递函数为)1002(300)()(2++=s s s s H s G 试用对数稳定判据判别系统的稳定性。

【解】 绘制系统对数频率特性曲线，如图 所示系统对数频率特性曲线因为振荡环节的阻尼比为0.1，在转折频率处的对数幅频值为120lg20lg20.114 2dBς=-⨯=由于开环有一个积分环节，需要在相频曲线ω＝0+处向上补画π/2角。

根据对数判据，在L(ω)≥0的所有频率范围内，相频ϕ(ω)曲线在-1800线有一次负穿越，且正负穿越之差不为零。

因此，闭环系统是不稳定的。