多体系统动力学
多体系统动力学的数学理论与应用研究
多体系统动力学的数学理论与应用研究多体系统指由多个物体组成的可相互作用的系统，如常见的分子、原子、行星与星系等。
动力学则涉及这样一个问题，即如何描述和预测系统运动的规律。
在分子和原子层面的研究中，量子力学占据主导地位。
然而对于大尺度的多体系统，特别是在经典力学范畴内，基于数学模型的研究则成为主流。
多体系统的数学模型基于牛顿运动定律建立。
由此可将多体系统视为具有互相作用的质点群体，并将其运动状态描述为时间和位置的函数。
在现实应用中，为了将多体系统的复杂性降至可处理的范围内，常做近似处理，包括粘性力和外场等在内的各种复杂效应。
这些近似处理所得到的公式通常包含多个微分方程，也即多体系统动力学方程。
用数值方法求解这些方程可以揭示系统的物理行为与特性。
多体系统动力学的研究一般分为两个部分：数学理论和应用研究。
数学理论侧重于系统的数学描述，如存在性、稳定性和周期性等问题。
应用研究则旨在揭示多体系统在具体问题中的行为，如复杂液体的流动特性、行星轨道演化等。
下面分别介绍这两个方面的研究进展。
一、数学理论的研究进展多体系统动力学的数学理论研究主要着眼于系统稳定性和周期性。
这些问题在系统控制和物理学等学科中具有重要意义。
以下将举例介绍几个研究进展。
1. KAM理论KAM理论是多体系统动力学数学理论中的经典成果之一，是以三位空间为基础的系统的动力学稳定性的一个深入研究。
这一理论最早由摩斯在20世纪50年代提出。
本质上，KAM理论解决了质点系统中，若系统中存在巨大的弱摄动，则系统的周期轨道即使在微小波动下也不会被毁坏。
KAM理论从理论上证明了系统的周期性能够在弱摄动波动下保持，从而具有一定程度上的稳定性。
该理论在天体系统、经典力学、量子力学和物理化学等领域都得到了广泛应用。
2. 线性化理论线性化分析是研究多体系统的一种常用方法。
由于强摄动系统的复杂性，很多时候需要把高维非线性问题化为低维线性化问题，从而简化计算。
线性化分析研究可能存在的不稳定、稳定的系统状态，并计算稳定性的条件。
多体动力学 pdf
多体动力学（Multi-Body Dynamics，简称MBD）是一门研究由多个物体组成的复杂系统运动和相互作用的科学。
这些物体可能是刚性的、柔性的，或者刚柔混合的，它们通过各种连接方式（如铰链、约束等）组合在一起，形成一个多体系统。
多体动力学在工程领域的应用非常广泛，包括机械系统设计、航空航天、车辆工程、机器人技术、生物医学工程等多个方面。
多体动力学的核心任务数学建模：建立复杂机械系统运动学和动力学的数学模型，开发相应的软件系统，以便用户能够输入系统的基本数据后，自动进行标准化处理。
数值方法开发：研究和实现有效的数值积分方法，自动得到系统的运动学规律和动力学响应。
仿真与优化：通过计算机仿真分析系统的动态行为，进行系统性能的预测和优化。
多体动力学的关键要素运动学：研究系统各部件的运动状态，不考虑造成这种运动的力。
动力学：研究作用在系统各部件上的力以及由此产生的运动状态。
约束和连接：描述系统各部件之间的相互作用和运动限制。
力和运动副：模拟系统中各种力的作用以及运动副（如铰链、滑块等）对运动的影响。
多体动力学的应用实例车辆动力学仿真：分析汽车、火车等车辆在不同工况下的动态响应，优化车辆设计。
机器人运动控制：研究机器人的运动学模型，实现精确的运动控制。
航空航天器着陆分析：模拟航天器着陆过程中的冲击响应，评估着陆过程的稳定性。
生物机械系统：分析人体运动或医疗器械的动态特性，为康复医疗和器械设计提供依据。
多体动力学软件工具常用的多体动力学仿真软件包括ADAMS（Autodesk Dynamic Analysis Modeling System）、MATLAB的SimMechanics、以及Universal Mechanism等。
这些软件工具提供了从几何建模、动力学建模到仿真分析的完整解决方案。
总结多体动力学是一门综合性很强的学科，它不仅涉及力学的基础理论，还包括计算机科学、数值分析等多个领域的知识。
通过多体动力学的研究，工程师能够更好地理解和预测复杂系统的动态行为，为系统设计和性能优化提供科学依据。
多体系统的动力学
多体系统的动力学"多体系统的动力学"可以看作是物理学一个非常基础和核心的研究内容，它是对多个粒子或物体在相互作用下的运动规律进行研究。
多体系统的动力学分析是引力、电磁力等基本物理学科中的常见应用。
首先，我们需要理解多体系统是什么，它通常包含三个或更多的物体，这些物体相互作用并且都有独特的运动。
比如在天文学中，多星系统；在物理学中，离子/电子在原子核周围的运动；在化学领域，分子间的动力反应等等，都可以作为多体系统的相关研究对象。
多体问题的价值并不只仅仅在于理论研究。
它对于理解和预测天文观测结果、理解化学反应机制等有着重要的指导意义，而且与我们日常生活中的许多现象也有着密切的联系。
解析多体系统的动力学，一般会引入牛顿运动定律和万有引力定律等基本定律，而要解决这样的问题通常需要使用菜因公式，拉普拉斯公式等高级数学理论进行分析计算。
数值计算方法，如Monte Carlo方法、分子动力学模拟等也是常用的工具。
然而，值得注意的是，多体问题的求解并不总是那么直接或者容易。
实际上，这是一个非常具挑战性的问题，其中一个主要的困难在于，我们必须同时处理所有物体之间的相互作用，这就导致整个系统的复杂性成倍增加。
想象一下，在一个具有成百上千个粒子的系统中，每一个粒子都可能与其它所有粒子产生相互作用，这将会导致大量的数据计算。
进一步地，对于量子多体系统，该系统的动力学求解更为复杂。
传统的量子力学理论无法直接解决这类问题，因为该类问题涉及到量子纠缠和量子干涉等现象，这种无法使用经典物理量描述的现象就造成了该类问题求解的困难性。
尽管如此，多体系统动力学的理论研究已经取得了一些重要成果，包括但不限于量子多体局域化、由多体相互作用引起的量子阶段过渡等领域已经取得了重要的理论突破。
对于更多阶段上的理论和数字模拟以及对实验的剖析，我们都可能得到更多新的理解和见解。
总的来说，多体系统动力学是一门既深奥又广泛的学科。
多体系统的动力学分析
多体系统的动力学分析动力学是研究物体的运动及其产生的原因的学科，对于多体系统的动力学分析，我们需要探究不同物体之间的相互作用以及它们的运动规律。
在这篇文章中，我们将介绍多体系统的动力学分析方法，以及它在不同领域的应用。
1. 多体系统的描述多体系统是由多个物体组成的系统，物体之间可以通过各种相互作用力进行作用。
为了对多体系统进行动力学分析，我们首先需要对每个物体的位置、质量、速度等进行描述。
在经典力学中，可以通过使用牛顿第二定律 F = ma 来描述物体的运动，其中 F 是物体所受的合外力，m 是物体的质量，a 是物体的加速度。
2. 多体系统的相互作用在多体系统中，物体之间可以通过万有引力、电磁力、弹性力等多种相互作用力进行作用。
这些相互作用力是决定多体系统运动规律的重要因素。
在进行动力学分析时，我们需要考虑物体之间的相互作用力，并利用牛顿定律求解物体的运动轨迹。
3. 动力学分析方法在对多体系统进行动力学分析时，我们可以采用多种方法来求解物体的运动规律。
其中，最常用的方法之一是利用微分方程求解。
我们可以根据牛顿第二定律及物体之间的相互作用力建立运动微分方程，然后通过求解微分方程得到物体的位置、速度、加速度的函数关系。
另外，还有一些其他的动力学分析方法，如拉格朗日方法、哈密顿方法等。
这些方法可以根据系统的自由度来建立系统的拉格朗日函数或哈密顿函数，并利用变分原理求解系统的运动方程。
4. 多体系统的应用多体系统的动力学分析在物理学、工程学、天文学、生物学等众多领域都具有重要应用。
在物理学中，通过对多体系统的分析，可以研究宏观物体的运动规律，如行星运动、机械振动等。
在工程学中，动力学分析可以用于设计复杂结构的机械系统、车辆运动仿真等。
在天文学中，动力学分析可以研究星系、恒星运动，以及天体之间的相互作用。
在生物学中，动力学分析可以用于模拟生物体的运动、神经信号传递等。
总结：多体系统的动力学分析是研究物体运动及其相互作用的重要工具。
机械系统的多体动力学特性分析
机械系统的多体动力学特性分析机械系统的多体动力学特性分析是一项重要的工程任务，对于机械设计和优化具有十分重要的意义。
本文将介绍机械系统的多体动力学，包括多体系统的概念、多体动力学的基本原理和分析方法。
一、多体系统的概念机械系统通常由多个物体组成，物体之间通过连接件相互作用。
这种由多个物体组成的系统称为多体系统。
例如，汽车由车身、发动机、轮胎等多个物体组成，它们通过悬挂系统、引擎传动系统等连接件相互作用。
多体系统的运动受到多个因素的影响，如质量、惯性力、阻尼、刚度等。
二、多体动力学的基本原理多体动力学是研究多体系统运动的力学学科。
在多体系统中，各个物体之间的相互作用力导致系统的运动发生变化。
多体动力学的基本原理有三个：1. 牛顿第二定律：物体受到的合外力等于物体质量乘以加速度，即F=ma。
根据牛顿第二定律，可以计算出物体受力后的加速度，从而推导出物体的运动轨迹。
2. 运动方程：多体系统中的每个物体都有其运动方程，即引力定律和牛顿运动定律。
根据物体受力情况，可以建立物体受力方程，从而求解出物体的运动状态。
3. 能量守恒定律：在多体系统中，能量总是守恒的。
根据能量守恒定律，可以通过分析系统的动能和势能之间的转化关系，来预测系统的运动状态。
三、多体动力学分析方法多体动力学分析包括建立多体系统的数学模型和求解系统的运动方程两个步骤。
常用的多体动力学分析方法有以下几种：1. 拉格朗日方程法：拉格朗日方程法是一种广泛应用于多体系统动力学分析的方法。
该方法基于拉格朗日力学原理，将物体的位置坐标和动力学量作为系统的广义坐标和广义速度，建立系统的拉格朗日函数。
通过对拉格朗日函数求极值，可以得到系统的运动方程。
2. 牛顿-欧拉方程法：牛顿-欧拉方程法是一种基于牛顿力学原理的多体动力学分析方法。
该方法基于牛顿第二定律，通过求解物体的受力方程，得到物体的运动方程。
3. 正交化混合方法：正交化混合方法是一种将系统的运动方程离散化的方法。
edem多体动力学
edem多体动力学Edem多体动力学是一种用于模拟和分析多体系统运动的计算方法。
它可以应用于各种领域，包括机械工程、材料科学、生物医学等。
本文将介绍Edem多体动力学的基本原理和应用。
我们来了解一下多体系统。
多体系统是由多个物体组成的系统，每个物体都有自己的质量、形状和运动状态。
在传统的力学分析中，我们通常将多体系统简化为单个物体或刚体，并假设物体之间没有相互作用。
然而，在现实世界中，许多系统都是由多个物体组成的，它们之间存在着复杂的相互作用关系。
因此，为了更准确地描述和预测多体系统的行为，我们需要使用多体动力学方法。
Edem多体动力学是一种基于颗粒动力学原理的计算方法。
它将物体视为由大量微观粒子组成的集合体，每个粒子都有自己的质量、位置和速度。
通过模拟粒子之间的相互作用力和碰撞过程，可以准确地预测多体系统的运动和变形行为。
在Edem多体动力学中，粒子之间的相互作用力可以通过多种模型来描述，比如弹簧模型、接触模型等。
这些模型可以根据物体的性质和相互作用方式进行选择和调整。
通过对粒子之间的相互作用力进行计算，可以得到系统的总体力学行为。
除了相互作用力，碰撞也是多体系统中重要的现象。
在Edem多体动力学中，碰撞过程可以通过考虑粒子之间的弹性碰撞或非弹性碰撞来模拟。
通过调整碰撞的参数，可以准确地描述物体之间的能量转换和变形过程。
Edem多体动力学可以应用于各种实际问题的模拟和分析。
在机械工程中，它可以用于研究机械零件的磨损和破坏行为，优化设计和改进制造工艺。
在材料科学中，它可以用于模拟颗粒材料的变形和断裂行为，研究材料的力学性能和耐久性。
在生物医学领域，它可以用于模拟人体组织和器官的力学响应，研究人体运动和损伤机制。
Edem多体动力学是一种强大的工具，可以用于模拟和分析多体系统的运动行为。
它的应用范围广泛，可以帮助我们更好地理解和预测物体的力学行为。
随着计算能力的不断提高，Edem多体动力学将在更多领域发挥重要作用，为科学研究和工程应用提供有力支持。
多体系统动力学研究进展
多体系统动力学研究进展多体系统动力学研究是物理学中的一个重要领域，涉及到多个互相作用的物体或者粒子的运动和演化的研究。
近年来，随着计算能力的增强和理论工具的不断发展，多体系统动力学研究取得了许多突破性进展。
本文将重点介绍几个多体系统动力学研究的新发展，并展望其未来的发展方向。
一、非线性多体动力学非线性多体动力学研究涉及到物体之间的非线性相互作用。
这种非线性相互作用在很多自然现象中都十分普遍，例如地震、心脏跳动以及大气运动等。
针对非线性多体动力学研究，近年来涌现了许多新的数值计算方法，如离散元法和网络动力学方法等。
这些方法不仅能够更精确地描述非线性多体系统的行为，还能够研究系统的稳定性、相变和临界现象等重要问题。
二、统计力学与多体系统动力学的融合统计力学是描述具有大量粒子的系统行为的重要理论框架。
近年来，许多研究工作将统计力学与多体系统动力学相结合，研究具有大量相互作用粒子的系统。
通过使用统计物理的方法，可以得到系统的稳定性、相变和动力学行为等方面的信息。
这种融合为研究材料科学、生物物理学和社会物理学等领域的大规模多体系统的行为提供了新的视角和理论工具。
三、网络动力学与多体系统动力学的联结近年来，网络科学得到了快速发展，并广泛应用于物理学、生物学和社会学等领域。
网络是由节点和连接构成的图形结构，节点代表物体或粒子，连接代表它们之间的相互作用。
网络动力学研究了节点和连接的演化过程，以及这些演化过程对整个网络的影响。
将网络动力学与多体系统动力学相结合，可以研究多体系统在复杂网络结构下的运动和演化行为，并揭示出网络拓扑对多体系统动力学的重要影响。
四、量子多体系统动力学量子多体系统动力学研究涉及到由多个量子粒子组成的系统的运动和演化。
由于量子力学的非经典性质，量子多体系统的动力学行为往往具有许多经典系统所不具备的特殊性质。
随着量子计算机和量子模拟器的发展，对量子多体系统动力学的研究变得尤为重要。
近年来，研究人员提出了新的理论模型和实验方案，用于研究量子多体系统的非平衡动力学行为和相变现象，为量子计算机的实现和应用提供了重要的理论基础。
多体系统动力学研究进展
2、柔性多体系统动力学在工程 中的应用
柔性多体系统动力学在工程中的应用广泛，主要涉及航天器、机器人、车辆等 领域。例如，在航天器领域，研究人员通过实验研究柔性多体系统动力学在空 间展开、飞行姿态调整等方面的应用，得出了许多有价值的结论。在机器人领 域，柔性多体系统动力学被用于研究机器人的柔性和灵活性，以提高机器人的 运动性能和适应性。在车辆工程领域，柔性多体系统动力学被用于研究车辆的 悬挂系统、空气悬架等方面的性能优化。
论创新、应用拓展、计算能力提升和跨学科合作等方向发展。然而，仍存在一 些挑战和问题需要解决，例如模型复杂性和计算效率问题以及特定领域应用中 的特殊问题等。未来可以通过模型简化、应用特定问题特定解决以及算法优化 等措施加以解决。
参考内容
摘要
本次演示对柔性多体系统动力学实验研究进行了综合性评述，概括了研究现状、 主要成果及不足之处，为进一步深入研究提供参考。首先介绍了柔性多体系统 动力学的基本原理和算法，其次从不同角度详细综述了其在工程中的应用，最 后总结了实验数据的采集和分析方法。
3、柔性多体系统动力学实验数 据的采集和分析方法
实验数据的采集和分析是柔性多体系统动力学实验研究的重要环节。数据采集 方法主要包括传感器测量和高速摄像机拍摄等。其中，传感器测量主要用于测 量柔性体的变形、应力、振动等物理量，而高速摄像机拍摄则主要用于捕捉柔 性体的动态行为。数据分析方法主要包括信号处理、统计分析、数值模拟等。 这些方法通过对实验数据的处理和分析，提取出柔性多体系统的动力学特征和 性能指标，以便进行深入的研究。
（1）模型简化：通过对模型进行合理简化和假设，降低模型的复杂性和计算 量，提高计算效率。
（2）应用特定问题特定解决：针对不同领域和应用中的特殊问题，采用针对 性的数学模型和求解方法，提高模型的准确性和应用效果。
多体系统动力学建模与仿真分析
多体系统动力学建模与仿真分析概述多体系统动力学建模与仿真分析是解决实际工程问题和科学研究中的重要技术手段。
本文将从理论介绍、实际应用和发展前景等几个方面，探讨多体系统动力学建模与仿真分析的相关内容。
一、多体系统动力学建模的理论基础多体系统动力学建模是研究多体系统运动规律的基础工作。
其理论基础主要包括牛顿运动定律、欧拉-拉格朗日动力学原理等。
1. 牛顿运动定律牛顿运动定律是多体系统动力学建模的基础。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
在多体系统中，通过对所有物体的运动状态和相互作用力进行分析，可以建立多体系统的动力学模型。
2. 欧拉-拉格朗日动力学原理欧拉-拉格朗日动力学原理是一种更为普适的多体系统动力学建模方法。
该理论通过定义系统的广义坐标和广义速度，以及系统的势能和拉格朗日函数，通过求解拉格朗日方程，得到系统的运动方程。
相比于牛顿运动定律，欧拉-拉格朗日动力学原理具有更广泛的适用性和更简洁的表达形式。
二、多体系统动力学建模的实际应用多体系统动力学建模在工程和科学领域中有着广泛的应用。
以下以机械系统和生物系统为例，简要介绍多体系统动力学建模的实际应用。
1. 机械系统在机械工程中，多体系统动力学建模是设计和优化机械系统的关键步骤。
以汽车悬挂系统为例，通过建立汽车车体、轮胎、悬挂弹簧和减震器等部件的动力学模型，可以分析车辆在不同工况下的悬挂性能，进而指导悬挂系统的设计和优化。
2. 生物系统在生物医学工程和生物力学研究中，多体系统动力学建模对于理解和模拟生物系统的运动特性具有重要意义。
例如，通过建立人体关节和肌肉的动力学模型，可以分析人体的运动机制，评估关节健康状况，提供康复治疗方案等。
三、多体系统动力学仿真分析的方法与技术多体系统动力学仿真分析是通过计算机模拟多体系统的运动过程，从而得到系统的运动学和动力学特性。
常用的方法与技术包括数值积分方法、刚体碰撞检测与处理、非线性约束求解等。
多体系统动力学计算方法概述
多体系统动力学计算方法概述一些动力学软件处理机械系统动力学问题时，根据系统不同特性选择不同求解方法：对于刚性系统，直接进行微分代数方程（DAE）求解；对于高频系统，则通过坐标分离法简化DAE方程为常微分方程（ODE），再进行求解。
一、DAE求解方法通过引入u＝，将多体系统动力学方程改成一般形式如下：定义状态变量y＝［q T u TγT］T，式（1.39）可进一步写为单一矩阵方程：DAE通常具有强非线性、刚性特点，一些动力学软件采用的是变系数的向后微分公式（BDF）刚性积分方法，提供了GSTIFF、WSTIFF 和CONSTANT_BDF多种刚性积分器。
BDF刚性积分方法是一种预估校正法，在每一步积分求解时均使用了修正的牛顿－拉夫森（Newton －Raphson）迭代法，其求解过程如下。
1.预估阶段首先，根据泰勒级数预估下一时刻的系统状态值，泰勒展开式为式中，h＝t n＋1－t n为时间步长。
通常，这种预估算法得到的下一时刻系统状态并不准确，可以使用向后差分积分方法进行校正。
在此使用Gear积分方法进行校正：式中，y n＋1是t＝t n＋1时刻的近似值；β0和αi均是Gear积分方法的参数。
2.校正阶段将预估的状态值y代入系统动力学方程g（y，，t）＝0进行验证，如果满足g＝0，那么y即为方程的解。
否则采用修正的Newton －Raphson法进行迭代求解，其迭代校正表达式为式中，J为系统的雅可比（Jacobian）矩阵。
3.误差控制阶段将预估和校正值间的误差与误差精度比较，如果小于规定的误差精度，进行下一时刻的计算求解。
否则舍弃此解，并且优化积分步长和阶数，重新由第一步开始进行预估－校正步骤。
当达到设定的仿真结束时间，停止计算。
二、ODE求解方法对于多数类型的多体系统动力学方程，将其转换为n维一阶常微分方程组为因此，仿真计算的直接数值方法可归纳为对常微分方程组初值问题的求解。
利用欧拉方法，通过化导数为差商可将式写为1.龙格-库塔法作为求解非线性常微分方程重要的一类隐式或显式迭代法，龙格－库塔法（Runge－Kutta）仅需已知一阶导数值，可由式求得。
多体系统的动力学分析与控制方法研究
多体系统的动力学分析与控制方法研究摘要：多体系统是由多个物体相互连接而成的复杂系统，其动力学行为对于许多工程领域具有重要的意义。
本文将深入探讨多体系统的动力学分析与控制方法的研究进展，并对未来的发展方向进行展望。
一、介绍多体系统是由多个质点或刚体组成的系统，通过杆、弹簧、绳索等物体相互连接而成。
多体系统的运动受到各个物体之间的约束和外力的作用影响。
多体系统的动力学分析和控制方法研究对于机械、土木、航空航天等领域的工程设计和优化具有重要意义。
二、多体系统的动力学分析多体系统的动力学分析是研究多个物体在相互作用力的作用下所受到的力学约束和运动规律。
通过建立多体系统的运动学和动力学方程，可以对多体系统的运动进行深入分析。
在多体系统的动力学分析中，涉及到刚体运动学、刚体动力学、力学约束等方面的研究。
三、多体系统的控制方法在许多工程领域，为了保证多体系统能够按照既定的轨迹和速度进行运动，需要对多体系统进行控制。
多体系统的控制方法研究主要包括建立控制方程、选择合适的控制策略和设计控制器等方面。
常用的多体系统控制方法包括PD控制、模糊控制、自适应控制等。
四、多体系统动力学分析与控制方法的应用多体系统的动力学分析和控制方法在许多工程领域具有广泛的应用。
在机器人领域，多体系统动力学分析可以帮助实现机器人的运动规划和轨迹控制；在航空航天领域，多体系统控制方法可以用于设计和控制飞行器的姿态和轨迹；在汽车工程领域，多体系统动力学分析可以用于研究车辆的悬挂系统和行驶稳定性等。
五、多体系统动力学分析与控制方法的挑战和发展方向虽然多体系统的动力学分析和控制方法已经取得了一定的研究进展，但仍然存在一些挑战和待解决的问题。
例如，在大规模多体系统的动力学分析方面，如何有效地降低计算复杂度是一个重要的挑战；在多体系统的非线性控制方面，如何设计更加鲁棒和高效的控制方法也是一个重要的发展方向。
未来的研究可以侧重于模型简化和优化算法设计等方面。
多体系统动力学建模与分析方法研究
多体系统动力学建模与分析方法研究多体系统动力学是研究物体之间相互作用和运动规律的学科。
它涉及到物理学、工程学、数学等多个领域，对于解决实际问题具有重要的意义。
本文将介绍多体系统动力学建模与分析方法的研究进展和应用。
一、经典力学建模方法在多体系统动力学研究中，经典力学是最基础和常用的建模方法。
它基于牛顿定律，通过描述物体的质量、力和加速度之间的关系来建立系统的数学模型。
这种方法适用于描述宏观物体的运动，可以求解系统的轨迹、速度和能量等动力学变量。
二、约束动力学建模方法在实际问题中，多体系统的运动通常受到各种约束条件的限制。
为了描述这些约束对系统运动的影响，约束动力学建模方法被提出。
该方法利用拉格朗日乘子法和虚功原理等数学工具，将约束条件引入系统的动力学方程中，从而求解系统的运动规律。
这种方法应用于机械系统、弹性体系统等领域，可以描述复杂系统的运动过程。
三、混沌动力学建模方法混沌动力学是描述非线性系统运动的一种方法。
对于由多个非线性微分方程组成的系统，其运动状态可能呈现出无规则的复杂变化。
混沌动力学建模方法通过数学手段，研究系统的分岔和混沌现象，并利用分形几何等理论描述系统的不确定性和复杂性。
四、网络动力学建模方法随着信息技术的发展，网络动力学建模方法逐渐得到广泛应用。
该方法将多体系统视为一个由节点和边构成的网络，节点表示物体，边表示它们之间的相互作用。
通过分析网络的拓扑结构和节点之间的动力学耦合关系，可以揭示系统的自组织特性和普适性行为。
网络动力学建模方法在社交网络、生物网络等领域具有重要应用，可以帮助解决复杂系统的建模与分析问题。
五、应用案例上述多体系统动力学建模与分析方法在科学研究和工程实践中得到广泛应用。
以机械系统为例，通过经典力学建模方法可以分析机械结构的稳定性和振动特性。
约束动力学建模方法可以研究机械装配过程中的约束关系和运动轨迹。
混沌动力学建模方法可以探索机械系统运动的复杂性和不确定性。
机械系统的多体动力学模拟与分析
机械系统的多体动力学模拟与分析一、引言机械系统的多体动力学模拟与分析是工程学领域中的重要研究方向，它涉及了各种旋转、运动和相互作用的物体的复杂动力学行为。
多体动力学模拟与分析的应用范围广泛，包括机械设计、机器人控制、航天航空等众多领域。
本文将介绍多体动力学模拟与分析的基本概念和方法，并详细讨论其在实际工程中的应用。
二、基础理论1. 多体系统的建模：多体系统由多个物体组成，每个物体都可以有自身的运动和旋转。
为了研究系统的动力学特性，首先需要建立精确的系统模型。
通常可以采用刚体动力学理论或迭代动力学法进行建模。
2. 多体系统的运动学描述：多体系统的运动学描述涉及位置、速度和加速度等参数。
位置参数可以通过运动学链方法计算，速度和加速度参数可以通过微分和积分获得。
通过对多个物体的位置、速度和加速度的描述，可以预测系统在不同时间点的运动状态。
3. 多体系统的动力学分析：多体系统的动力学分析是研究系统受到外力作用时的运动特性。
动力学分析可以通过牛顿定律、欧拉-拉格朗日方程等方法进行。
经过动力学分析，可以得到系统在不同时间点的力、力矩和功等参数。
三、多体动力学模拟方法1. 刚体动力学模拟：刚体动力学模拟是一种常用的多体动力学模拟方法。
在此方法中，物体被近似为刚体，忽略其形变和弯曲。
然后，通过牛顿定律建立动力学方程，并采用数值方法求解，得到系统的运动轨迹。
2. 迭代动力学模拟：迭代动力学模拟方法是一种更精确的多体动力学模拟方法。
在此方法中，物体被近似为连续的质点，考虑其形变和弯曲。
然后，通过欧拉-拉格朗日方程建立动力学方程，并采用数值方法进行迭代求解。
通过迭代计算，可以得到更为准确的运动轨迹。
四、多体动力学模拟与分析的应用1. 机械设计：多体动力学模拟与分析在机械设计中起着重要的作用。
通过对机械系统的多体动力学行为的模拟和分析，可以确定系统的受力和受力方向，从而优化设计方案，提高机械系统的工作效率和稳定性。
2. 机器人控制：多体动力学模拟与分析在机器人控制中也有广泛的应用。
机械多体系统动力学
机械多体系统动力学机械多体系统动力学是研究机械系统中多个刚体或弹性体的运动规律和相互作用的学科。
在实际工程中，机械多体系统广泛应用于各种机械设备和机器人的设计、分析和控制中。
本文将从机械多体系统的基本概念、动力学原理、运动方程和模拟方法等方面进行阐述。
1. 基本概念机械多体系统是由多个刚体或弹性体通过连接件相互连接而成的系统。
每个刚体或弹性体在空间中有一定的形状和质量分布，并通过连接件之间的约束力或弹簧力进行相互作用。
机械多体系统的运动由各个刚体或弹性体的位置、速度和加速度决定。
2. 动力学原理机械多体系统的运动遵循牛顿力学的基本原理。
根据牛顿第二定律，每个刚体或弹性体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
同时，刚体或弹性体之间的相互作用力满足牛顿第三定律，即作用力与反作用力大小相等、方向相反。
3. 运动方程为了描述机械多体系统的运动，需要建立系统的运动方程。
对于刚体系统，可以利用牛顿第二定律和牛顿第三定律，通过力的平衡关系和运动学关系得到刚体的运动方程。
对于弹性体系统，需要考虑弹性力和材料本身的特性，运动方程可以通过弹性力和动力学关系得到。
4. 模拟方法为了研究机械多体系统的运动规律，可以采用数值模拟的方法进行仿真分析。
常用的模拟方法包括欧拉法、中点法和龙格-库塔法等。
这些方法基于数值积分的原理，通过不断迭代计算系统的位置、速度和加速度，得到系统的运动轨迹。
通过机械多体系统动力学的研究，可以深入了解机械系统的运动特性和相互作用规律，为机械设备的设计和控制提供理论依据。
例如，在机器人的运动控制中，需要考虑多个关节和执行器的运动，通过机械多体系统动力学的分析，可以确定各个关节的运动规律和相互作用，实现机器人的精确控制。
机械多体系统动力学是研究机械系统中多个刚体或弹性体的运动规律和相互作用的学科。
通过建立运动方程和采用模拟方法，可以深入研究机械多体系统的运动特性，为实际工程中的设计和控制提供理论基础。
在未来的发展中，机械多体系统动力学将继续发挥重要作用，推动机械工程和自动化技术的进步。
多体系统动力学特性研究与分析
多体系统动力学特性研究与分析引言：多体系统是指由多个物体相互作用组成的系统。
多体系统动力学特性研究与分析主要目的是研究系统的运动规律、稳定性和可控性等问题，为工程实践中的系统设计和优化提供理论支持。
本文将从多体系统的建模方法、运动规律分析和稳定性研究等方面进行论述，旨在深入探讨多体系统动力学特性的研究与分析方法。
一、多体系统建模方法多体系统的建模方法主要包括几何建模和数学建模两个方面。
1.几何建模几何建模是指将实际多体系统映射为几何模型，以描述物体之间的相对位置关系和运动方式。
常用的几何建模方法包括多体图、多体坐标系、多体图象和多体仿真等。
其中，多体图是指将各个物体抽象为节点，相互作用关系抽象为边，形成图形化表示。
多体坐标系是通过设定合适的坐标系对多体系统进行描述和计算。
多体图象是将多体系统的几何模型用图形进行表示，以展示物体之间的相对位置关系。
多体仿真是通过建立数学模型和运动学方程，模拟多体系统的运动和相互作用过程。
2.数学建模数学建模是指通过建立多体系统的运动学和动力学方程，以描述物体的运动规律和相互作用力学。
常用的数学建模方法包括拉格朗日方法、哈密顿方法和牛顿-欧拉方法等。
其中，拉格朗日方法是通过引入广义坐标和拉格朗日函数，对多体系统进行建模和计算。
哈密顿方法是将拉格朗日方程变换为哈密顿方程，通过引入广义动量和哈密顿函数，对多体系统进行描述和计算。
牛顿-欧拉方法是直接应用牛顿定律和欧拉公式，对多体系统的运动规律进行建模和计算。
二、多体系统的运动规律分析多体系统的运动规律分析是研究多体系统的运动方式和轨迹，以探究运动的特性和规律。
常用的运动规律分析方法包括状态变量分析、速度变量分析和加速度变量分析等。
1.状态变量分析状态变量分析是指对多体系统的位置和姿态等状态变量进行分析，以揭示运动规律。
状态变量包括位置、速度、加速度等，可以通过建立运动学方程进行分析和计算。
状态变量分析可以得到各个物体的位置和方向等信息，进而研究多体系统的运动轨迹和运动方式。
多体系统多物体运动系统的动力学分析
多體系統多物體運動系統的動力學分析在多体系统多物体运动系统的动力学分析中，我们需要考虑多个物体之间的相互作用以及各个物体的运动状态。
本文将通过对多体系统的动力学原理和公式进行分析，来揭示多体系统在不同外力作用下的运动规律。
一、多体系统动力学原理多体系统的动力学分析基于牛顿第二定律，即力等于物体质量与加速度的乘积。
对于一个多体系统，我们可以根据每个物体所受到的力和加速度来推导出系统的运动状态。
以两个物体的运动为例，假设两个物体分别为A和B，它们受到的外力分别为FA和FB，质量分别为mA和mB，加速度分别为aA和aB。
根据牛顿第二定律可得以下公式：FA = mA * aAFB = mB * aB通过上述公式，我们可以得出物体A和B的加速度。
在实际应用中，我们可以通过给定的外力和质量来求解多体系统中各个物体的运动状态。
二、多体系统的运动规律在多体系统的动力学分析中，我们除了考虑物体之间的相互作用外，还需要考虑各个物体本身的运动规律。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与受到的力成正比，质量成反比。
因此，对于一个多体系统，不同物体的质量大小会影响它们的运动规律。
在描述多体系统的运动规律时，我们通常使用位移、速度和加速度来描述物体的运动状态。
位移描述了物体在一定时间内的位置变化，速度描述了物体在单位时间内的位移变化，而加速度则描述了物体在单位时间内速度的变化。
可以通过对位移、速度和加速度的分析，来揭示多体系统中各个物体的运动规律。
三、多体系统的受力分析在多体系统的动力学分析中，受力分析是十分重要的一步。
各个物体所受到的外力决定了它们的运动状态。
在进行受力分析时，我们需要考虑到多个方面的因素，包括重力、摩擦力、弹力等。
重力是一种普遍存在的力，在受力分析时必须要考虑。
它是因为地球质量的存在而产生的一种重力作用力。
对于一个多体系统，各个物体受到的重力大小与物体的质量成正比。
另外，摩擦力是物体在接触面上的力。
它是由于物体表面的粗糙程度而产生的一种摩擦作用力。
多体系统动力学经典书籍
多体系统动力学经典书籍多体系统的动力学领域是物理学中的重要分支，涉及到描述和研究多个相互作用的物体的运动。
下面是几本关于多体系统动力学的经典书籍，它们从不同的角度深入探讨了这个领域的内容。
1. 《多体系统：动力学与几何交融》（"Many-Particle Systems: Dynamics and Geometry"） -作者：Gerald Gustav Mahan 这本书介绍了多体量子力学和多体统计力学的基本概念和方法，并讨论了与凝聚态物理中的多体问题相关的几何形态。
作者通过几个例子，如理想气体和平均场近似下的费米系统，阐述了多体系统动力学中的关键概念。
此外，书中还涵盖了费米子和玻色子的统计力学和凝聚态物理中的超导现象。
2. 《Classical Mechanics: Point Particles and Relativity》-作者：Walter Greiner这本书介绍了经典力学中多体系统的动力学。
它从单点粒子的运动开始，逐渐引入多体系统，并讨论了与相对论相关的动力学效应。
作者通过详细的数学推导和丰富的实例，展示了多体系统的运动规律和相互作用。
3. 《一般多体动力学：约束系统的力学和数学分析》（"General Dynamics of Particles and Fields: Constrained Systems"） -作者：René Thorn这本书着重介绍了多体系统受到约束条件限制的力学和数学分析方法。
它涵盖了广义坐标系统、拉格朗日力学和哈密顿力学，以及与约束系统相关的辛几何和辛积分算法。
该书内容深入浅出，既适合初学者入门，也适合专业研究者深入研究。
4. 《多体系统动力学》（"Dynamics of Multibody Systems"）-作者：Ahmed A. Shabana这本书主要介绍了多体系统中的刚体动力学和柔体动力学。
多体系统动力学基本理论
多体系统动力学基本理论引言多体系统动力学是研究多个物体相互作用并随时间演化的学科。
在物理学、工程学和计算机科学等领域中，多体系统动力学理论被广泛应用于分子动力学模拟、天体力学、机械系统的设计等方面。
本文将介绍多体系统动力学的基本理论，并探讨其应用领域及重要性。
多体系统的表示与描述在多体系统中，每个物体被称为一个质点。
如果质点数量较少且相互之间的相对位置变化较小，通常可以使用牛顿力学的基本定律对系统进行描述。
然而，当质点数量较大、相互作用复杂以及相对位置变化较大时，就需要使用更为复杂的数学模型来表示多体系统。
动力学方程的建立为了描述多体系统的运动，需要根据质点之间的相互作用力推导出每个质点的运动方程。
这些运动方程通常是一组常微分方程，可以使用数值方法进行求解。
常见的方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
利用这些数值方法，可以预测多体系统在一段时间内的演化轨迹。
相空间与哈密顿力学在多体系统的动力学描述中，相空间是一个重要的概念。
相空间由所有质点的位置和动量构成，因此可以用一个N维的向量表示。
在相空间中，多体系统的演化可以由哈密顿力学来描述。
哈密顿力学是一种在相空间中表示多体系统动力学的方法，通过哈密顿量来描述系统的总能量，通过广义坐标和广义动量来表示质点的位置和动量。
应用领域多体系统动力学理论在众多领域中得到了广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：分子动力学模拟分子动力学模拟是一种利用多体系统动力学理论模拟分子的运动行为的方法。
通过模拟分子的运动，可以研究分子的结构、性质以及与其他分子的相互作用。
分子动力学模拟在材料科学、生物化学、药物研发等领域中都有重要应用。
天体力学天体力学是研究宇宙中天体的运动和相互作用的学科。
通过多体系统动力学理论，可以模拟和预测行星、恒星等天体的轨道运动及其演化。
天体力学在天文学、航天器轨道设计等领域中具有重要意义。
机械系统设计在工程学中，多体系统动力学理论被广泛应用于机械系统的设计与优化。
多体系统动力学
多体系统动力学基本概念----约束
说明运动约束与驱动约束
约束根据实际情况灵活设定
例如曲柄滑块机构： 如果滑块的质量比较小 ，则 可以定义为含有曲柄、连杆和机座的多体系统模型。 滑块不作为物体，但可以抽象为约束（铰）。
J2
B1 J1
B2
B3 J3 J4
B0
曲柄连杆机构
多体系统动力学基本概念----约束
J2
B2
B1 J1 B0
平面机械臂
B2
B1 B0
J1, J2 J1
B2
B3 J3 J4
B0
曲柄连杆机构
B1 B2
J1, J2, J3 为旋转铰, J4 为滑移铰
B3
B0
拓扑结构
拓扑结构构成回路
多体系统动力学建模与求解一般过程
一个机械系统，从初始的几何模型，到动力学 模型的建立，经过对模型的数值求解，最后得 到分析结果。
变分方法是不同于矢量力学或分析力学的另一类分析 方法，高斯最小拘束原理是变分方法的基本原理。该 方法有利于结合控制系统的优化进行综合分析，而且 由于其不受铰的约束数目的影响，适用于带多个闭环 的复杂系统。
计算多体系统动力学
美国Chace和Haug于80年代提出了适宜于计算 机自动建模与求解的多刚体系统笛卡尔建模方 法。 Haug等人确立了“计算多体系统动力学”这门 新的学科，多体系统动力学的研究重点由多刚 体系统走向侧重多柔体系统。
多体系统动力学建模与求解一般过程
运动学分析是非线性的位置方程和线性的速度、加速 度方程的求解
动力学分析是二阶微分方程或二阶微分方程和代数方 程混合问题的求解 静平衡分析从理论上讲是线性方程组的求解问题， 逆向动力学分析是一个线性代数方程组求解问题
多体系统的动力学分析与优化
多体系统的动力学分析与优化多体系统是指由多个物体或部件组成的系统，这些物体或部件之间相互作用，共同表现出特定的动力学行为。
对于多体系统的动力学分析和优化是一项重要而复杂的任务。
本文旨在探讨多体系统的动力学分析与优化方法。
一、动力学分析方法对于多体系统的动力学分析，一种常用的方法是基于牛顿力学原理进行建模和推导。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
因此，可以通过建立物体之间的运动方程，求解得到多体系统的运动状态。
在具体的分析过程中，可以采用刚体动力学、柔体动力学或者混合动力学等不同的方法。
刚体动力学适用于系统中物体质量分布均匀、自由度较少的情况；柔体动力学适用于系统中物体存在变形、相互作用复杂的情况；混合动力学则是将刚体和柔体动力学相结合，综合考虑系统的特点。
此外，也可以利用数值模拟方法，如有限元法、多体动力学仿真等，对多体系统进行动力学分析。
这些方法基于离散化的模型，通过求解微分方程或者差分方程，模拟多体系统的运动。
二、动力学优化方法多体系统的动力学优化旨在寻找最优的设计或控制策略，使得系统在满足特定需求的同时具有最佳性能。
在动力学优化中，可以考虑以下几个方面：1. 结构优化：通过调整多体系统的结构参数，如长度、形状、材料等，来改变系统的动力学特性。
结构优化可以采用传统的数学规划方法，如遗传算法、粒子群算法等，也可以利用机器学习方法进行优化。
2. 控制优化：通过调整多体系统的控制策略，来实现所需的运动或者性能。
控制优化可以基于优化方法，如最优控制理论、模型预测控制等，也可以利用强化学习等机器学习方法进行优化。
3. 整体优化：考虑多体系统的结构和控制同时进行优化，以获得最优的系统性能。
整体优化可以采用综合优化方法，如多目标优化、多学科优化等。
在动力学优化过程中，还需考虑实际工程的约束条件，如可行性、稳定性、安全性等。
同时，也要综合考虑多体系统的动力学特征，如非线性、不确定性、耦合等因素。
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多体系统动力学:根和视角
SCHIEHLEN w .
学院B力学斯图加特大学D - 70550斯图加特,德国(收到:1997年1月21日,接受形式:1997年4月15日修订)
动力学。
一些历史的话说明多体系统动力学是基于经典力学及其工程应用,包括从机制、陀螺仪,卫星和生物力学的机器人。
先进的多体系统提出了严格参照课本和诉讼。
系统的特点是多体系统动力学算法和形式化分别准备计算机实现。
结果仿真和动画最多重要的。
柔性多体系统建模中的最新技术被认为是在一个同伴评论蒋丽忠。
未来的研究领域中多体动力学被确诊为标准化的数据,耦合用CAD系统参数识别、实时动画,联系和影响的问题,延伸到控制和机电系统、最优的系统设计、强度分析液体相互作用。
进一步的,有一种强烈的利息在多体系统分析和数值数学方法导致减少的严谨的处理简单模型和特殊交互集成赋码表示法支持和DAE的业务范围的数值效率。
新软件工程工具以模块化方法提高效率仍然需要承诺挑剔的眼光在生物力学、机器人技术以及车辆动力学。
关键词:刚体动力学的身体,多体系统、计算方法、数据模型,参数识别、优化设计、强度计算分析,整合代码DAE的业务范围。
1。
历史评论
多体系统动力学的基于经典力学。
最简单元素是一个免费的颗粒体系统,可以治疗牛顿方程发表在1686年《自然哲学的数学原理》。
主要元素,刚体,在1775被介绍在他的贡献由欧拉公式。
建模过程中约束和关节、欧拉已使用自由身理导致反应的力量。
所得的方程已知的多体系统动力学为牛顿方程。
一个系统的局限在刚体被认为是1743年由d’Alembert他的Traitede Dynamique,在那里他区分应用和使命-提出的力量。
维'Alembert称为反力有“失去力量”的原则虚功记在心里。
制定一个数学一致'Alembert的d原理是由于拉格朗日原理相结合的基本理念与d虚功原理。
结果常微分最小集方程(赋)的二阶被发现。
比较全面、系统的分析,建立了约束的机械系统1788年由拉格朗日了。
变分原理应用于总动能和潜在的能源系统的运动学约束又考虑它相应的广义坐标的结果,在拉格朗日方程为基础的第一和第二种。
拉格朗日方程的第一种代表一组微积分方程(DAE的业务范围),而第二种导致一个最小的组微分方程(赋)。
延期付款'Alembert有效系统原理的仅是完整性在1913年通过Jourdain。
针对非完整系统的变化就和转速速度导致推广速度是必需的。
然后,一个最小集的常微分方程组(赋)一阶的表达式。
广义速度的方法,确定局部速度,还介绍了周礼全凯恩。
结果凯恩的方程以一个紧凑的多体系统的描述。
更多的典力学包括刚体动力学发现在P¨asler和ASzab´。
第一个应用刚体动力学的有关陀螺系统动力学-集成电路、理论和生物力学机制。
交通流的欧拉公式运动学和一个单一的陀螺动态可以追溯到1758年。
一个多世纪以来,这方面的研究在交通流的欧拉方程的解的吸引数学家和机械。
在上世纪初,工程应用单陀螺-范围有更重要的事情。
然后,陀螺系统收到一些注意。
在1920年Grammel提到的第一期——他的书"蔷薇Kreisel塞纳河Theorie和塞纳河Anwendungen”two-gyro系统,但他没有讨论它的动态。
三十年后在第二版的同一本书,一个小的部分已经致力于陀螺系统。
马格努斯出席过1971年在他的著作《Kreisel”[99]一大部分陀螺系统动力学上包括一个严谨的稳定性理论。
例如,一个cardanic悬浮陀螺模拟。
——是accu作为一个三rately系统(图1)。
在1977年马格努斯[100]组织了第一次IUTAM研讨会的多体系统动力学与相当多的陀螺问题贡献。
机制理论论述的运动也与机械系统约束系统方面。
然而,强大的图形的应用方法,发展,在1913年通过Wittenbauer[194],被限制为平面机制。
后来在1955年,介绍了Denavit矩阵方法和Hartenberg因为空间运动学形成了动力分析的基础的空间联系第一公布在Uicker。
经典力学刚体系统及其应用具有强烈的限制,直到1960年代才模型复杂度。
这大型旋转非线性和高度非线性陀螺耦合一起的运动微分方程数值方法求解效率太低微分方程组逾越。
然而,要求更多卫星、飞船的复杂模型,并快速的发展数千强大的计算机产生了一个新的分支,力学:多体系统动力学。
结果已经被回顾经典力学和扩充为基础的计算机算法,该多体形式化。
最早的一种形式化是由于Hooker 和Margulies 在1965年。
该方法在卫星研制构成任意数量的刚体的互联。
另一个是在1967年发布的形式——罗伯逊和韦登伯。
除了这些数值形式化研究进展,展望了未来计算机硬件和软件允许公式的结果运用卡尔的运动微分方程,太。
在1977年第一次贡献是由于周礼全和Schiehlen和Kreuzer。
在1980年代完成软件系统的建模、仿真和动画给市场上所描述的罗伯逊和Schwertassek。
在1990年的最新记录以多体系统手册。
萤火虫对多体系统动力学-ing建模分析方法和应用了Kortum和Schiehlen和休斯敦。
2。
在严格先进的多体系统严格的多体系统的建模将在课程中介绍,且相关的今天的算法得到了广泛的应用。
然后,教科书和一些程序册,是研究进展进行了综述。
2.1。
形式化建模和利用多体系统的方法一组数量有限的元素,例如刚性的身体和/或微粒、轴承、关节和支持、弹簧和阻尼器、活跃力量和/或位置执行机构。
独特的数学描述,这些一个datamodel元素已经被定义为一种标准化的基础上为各种各样的计算机代码由水獭丁晓萍。
[118]。
第一步就国际标准化已经取得了urr D¨丁晓萍。
[34]。
下列约定的假设是:
1。
一个多体系统由刚体和理想的关节。
一个身体会退化的一个粒子或身体不平衡。
理想的关节包括僵化的联合,共同完全特定的动作(rheonomic约束)和消失的联合(自由运动)。
2。
多体系统的拓扑结构是任意的。
链、树木和关闭环被录取了。
3。
综述了关节和执行器在开放图书馆标准元件。
4。
可以加入现有的子系统组成的多体系统。
2.1.1。
的多体系统运动学
根据自由的身体图在第一机械系统的约束被忽略了,身体系统拥有6 p闪点的自由度。
这个职位的给出系统的相对惯性坐标系三1-旋转向量
ri =[ri1 ri2 ri3]Ｔ
; i = 1(1)p; （1）Ci的重心质量和3*3的旋转张量
Si=Si（αi，βi，γi），（2）
为每一个写下来的身体。
旋转角度si取决于三个角度αi，βi，γi
和符合方向余弦矩阵的惯性有关和到每一个人。
3 p平面坐标和3 p旋转坐标(角度)可以概括为6 p 1-位置向量
X=[r11r12r13r21….αpβpγp]Ｔ (3)
程(1)和(2)代入
ri=ri（x）， Si=Si（x） (4) 其次，这q完整性,rheonomic约束添加到机械系统直接或间接地通过了
x = x(y，t)或者Φ(x，t)= 0; (5)
分别在f*1-位置矢量
y =[y1y2y3…y f ]Ｔ (6) 是用来总结广义坐标系统和Φ的定义为ap*1. 他数量的广义坐标相适应的数量的自由度,f = 6p-q 然后将其带入方程（4）（5）得
ri = ri(y，t); Si = Si(y，t); (7) 和速度方面发现辨证惯性关系式
v i = r i = αri/αyT * y +αri/αt= JTi(y，t) y + v i(y，t) (8) ωi = s i =αsi/αyT y+ αsi/αt= JRi(y，t) yωi(y，t) (9)。