高校《高等几何》期末考试试卷含答案

某高校高等几何期末考试试卷

120分钟

一、填空题2分⨯12=24分

1

平行四边形 ；2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： 5,-1,0

3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2

4、过点A1,i - ,2的实直线的齐次方程为： 0231=-x x

5、方程0652

2

2121=+-u u u u 表示的图形坐标 1,2,0 1,3,0 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=

x x x ,则原点的对应点 -3

1

7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322

21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x

8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ：21→,32→,43→； b ：

10→,32→,01→ 其中为对合的是： b

10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应

12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它是由下列两个射影线束所决定的：

130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=;

解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=;

由两线束的方程有：1233

,'x x

x x λλ=

=;

将它们代入射影对应式并化简得, 此即为所求二阶曲线的方程;

三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线;10分

证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线C,设

AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D '

B A '' AC=E ',则),,,(B A B A

C '''∧),,,(B A B A C ''所

以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B

这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线C ',亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线; 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0,

17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求1l 2l ,3l 4l 的值;10分

解：因为

1

7213

112---=0且1

5

01

7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点;四直线与x 轴2x =0的交点顺次为A1,0,-2,B2,0,3,C0,0,1,D1,0,5,非齐次坐标为A-

21,0,B 32,0,C0,0,D 5

1,0, 所以 1l 2l ,3l 4l =AB,CD=

)

2151)(320()

32

51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12

1

→,0→2,所确定的对合方程;10分

解 设所求为

a λλ'+

b λ+λ'+d=0 ① 将对应参数代入得：

21a+1+2

1

b+d=0 ②

0+2b+d=0 ③

从①②③中消去a,b,d 得

1

2

0123211

λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求

六、求直线32163x x x +-=0关于212

2

212x x x x -++231x x -632x x =0之极点;12分 解：设0p 0

30201,,x x x 为所求,则

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----031311111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡03020

1x x x =⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢

⎢⎢⎣⎡-613 解线性方程组

得即,1,1,30

30201-=-==x x x 3,-1,-1为所求极点的坐标

七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理;12分

定理：内接于二阶曲线的简单六点形,三对对应边的交点在同一直线上; 证明：设简单六点形654321A A A A A A ,其三对对边的交点分别为L,M,N, L= 21A A 54A A ,M=32A A 65A A ,N=43A A 16A A 以1A ,3A 为中心,分别连接其他四点,则由定理得到()65421A A A A A ∧()65423A A A A A

设P A A A A =5421 , Q A A A A =4365

则()65421A A A A A ∧()P A A L 54,,,()65423A A A A A ∧()65,,A A Q M

所以,()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M 由于两个点列底的交点5A →5A ,故有 所以LM,Q A 4,5PA 三点共点,但Q A 4 5PA =N, 即L,M,N 三点共线; 八、用两种方法求双曲线042322

2

=-+-+y x xy y x 的渐近线方程;12分

解：方法一

设渐近线的方程为 根据公式得

解之,得3

1

,121-==k k ,所以渐近线方程为

和

化简,得所求为

2x-2y-1=0 和2x+6y+5=0 方法二

先求出中心,因为