福建省泉州市2011届普通高中毕业班高三数学质量检测试题 理

2011年某某省某某市高中毕业班质量检查理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数； 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；锥体体积公式：h S Sh V ,,31为底面面积其中=为高； 球的表面积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置. １.设{|10}{|360}S x x T x x =+>=-<，，则ST 等于（ D ）A.∅B.{|1}x x <-C.{|2}x x >D.{|12}x x -<< 2．等比数列{}n a 中，已知23a =，71036a a ⋅=，则15a 等于（ A ）A ．12 B.12- C.6 D.6-3.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(10)0f =，则不等式()0f x x<的解集为（ D ） A ．(100)(10)-+∞，， B ．(10)(010)-∞-，， C ．(10)(10)-∞-+∞，，D ．(100)(010)-，，4.某同学设计右面的程序框图用以计算数列{}2n n 的前100项和，则在判断框中应填写 ( C )A ．99i ≤B ．99i ≥C ．100i ≤D ．101i ≤5.设实数x 和y 满足约束条件20203x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的取值X 围为 （ A ）A ．[]1,1-B ．[]2,1-C ．[]1,0-D ．[]0,16.设函数sin 2,0()2,0x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则方程x x f =)(的解的个数是（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．47.命题“平行于同一_______的两______平行.”请在上述空格中分别填入“直线”或者“平面”，使之组成四个不同的命题，则其中的真命题的个数为（ B ）A ．1B ．2C ．3 D.4 8.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移6π个单位得函数()g x 的图象，再将()g x 的图象所有点的横坐标伸长为原来的２倍得到函数()h x 的图象，则（ B ）． A.()sin 2g x x =,()sin 4h x x = B.()sin 2g x x =,()sin h x x =C.2()sin(2)3g x x π=+,2()sin(4)3h x x π=+ D.2()sin(2)3g x x π=+,2()sin()3h x x π=+9.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为()2012S t v t at =+，设物体第n 秒内的位移为n a ，则数列{}n a 是（ A ）A.公差为a 的等差数列B.公差为a -的等差数列C.公比为a 的等比数列D.公比为1a的等比数列 10.12．如图所示，圆锥SO 的轴截面SAB ∆是边长为4的正三角形，M 为母线SB 的中点，过直线AM 作平面β⊥面SAB ，设β与圆锥侧面的交线为椭圆C ，则椭圆C 的短半轴为（ A ） A ．2 B ．102C ．3D ．2 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11．复数21a iz i+⋅=+是纯虚数，则实数a ＝ 答案：2a =-12．若()2011220102011012201020111x a a x a x a x a x -=+++++，则12320102011a a a a a +++++=______。

答案：113．圆C 的圆心是抛物线24x y =的焦点，且与抛物线的准线相切，则圆C 被y 轴截得的弦长是答案：2314．已知ABC ∆中，AC=1，3ABC π∠=，D 为BC 中点，则ABD ∆的最大面积是______.答案：3815．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式.它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负.现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏.设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是．解析：一次游戏中，甲出的方法种数有2种，乙出的方法种数也有2种，丙出的方法种数也有2种，所以总共有328=种方案，而甲胜出的方案有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，2种情况，所以甲胜出的概率为2184=； 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把解答过程填写在答题卡的相应位置.16.某研究性学习小组欲从标点符号使用频率的角度研究《A 》名著，现抽查了书中的n 页，按每页标点符号的个数把样本分成四组：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),相应的频率分布直方图如图所示，已知样本中[30,40)的频数为1.（Ⅰ）求p 、n 的值；（Ⅱ）现从这n 页中随机抽取3页，用ξ表示标点符号个数在[60,70)的页数，求ξ的分布列和期望. 解析： （Ⅰ）100.03100.04100.02101p ⨯+⨯+⨯+⨯=，0.01p ∴=，∴标点符号个数在[30,40)的概率为0.1， 10.1n∴=，10n ∴=； （Ⅱ）这10页中标点符号个数在[60,70)有100.22⨯=页， 又ξ的可能取值为0,1,2，()383107015C P C ξ===，()12283107115C C P C ξ===，()21283101215C C P C ξ===，∴ξ的分布列如下：ξ 0 1 2P715 715 115∴期望35E ξ=. 17.如图，已知三角形ABC 的三边AB=4，AC ＝5，BC=3，椭圆M 以A 、B 为焦点且经过点C ．（Ⅰ）建立适当直角坐标系，求椭圆M 的标准方程；（Ⅱ）过线段AB 的中点的直线l 交椭圆M 于E ，F 两点，试求AE BF 的取值X围． 解：（Ⅰ）如图，以线段AB 的中点为原点，以AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，由已知设椭圆M 的0.0230405060700.03频率/组距个数0.04p方程为12222=+by a x ，根据定义22228,24,,0a AC BC c AB b a c b =+====->4,2,23a c b ===∴椭圆M 的标准方程2211612x y +=. （Ⅱ）解法一：直线l 经过椭圆的中心，设0000(,),(,)E x y F x y --，则2222000031,1216124x y y x +==- 又A （－2，0），B （2，0），∴0000(2,),(2,)AE x y BF x y =+=--- ∴2200(2)AE BF x y =-+-22003(2)(12)4x x =-+--201(8)4x =-+由椭圆的性质得 044x -≤≤∴20136(8)44x -≤-+≤-∴AE BF 的取值X 围是[36,4]--.解法二：由椭圆的性质得,OA OB OE OF =-=-∴()AE OE OA OF OB BF =-=--=- ∴2||AE BF AE =-.又A 是椭圆M 的焦点．点E 在椭圆M 上||a c AE a c -≤≤+，即2||6AE ≤≤，236||4AE -≤-≤-∴AE BF 的取值X 围是[36,4]--.18. 如图，已知点A （2，0），B （1，0），点D ，E 同时从点B 出发沿单位圆O 逆时针运动，且点E 的角速度是点D 的角速度的2倍．设,02BOD θθπ∠=≤< （Ⅰ）当6BOD π∠=，求四边形ODAE 的面积；（Ⅱ）将D 、E 两点间的距离用()f θ表示，并求()f θ的单调区间． 解：（Ⅰ）当6BOD π∠=时，3BOE π∠=即11()22D E11122222ODAE OAE OAD S S S ∆∆=-=⨯⨯⨯=（Ⅱ）∵点D ，E 都从点B 同时出发沿单位圆O 逆时针运动，且点E 的角速度是点D 的角速度的2倍．∴2BOE BOD ∠=∠，,2BOD BOE θθ∠=∠=，02θπ≤<由三角函数的定义可知，点(cos ,sin ),(cos 2,sin 2)D E θθθθ()f θ===2|sin|2θ=∵02θπ≤<∴02θπ≤<，sin02θ≥∴()2sin 2f θθ=由022θπ≤≤得：0θπ≤≤由22πθπ<<得：2πθπ<<∴()f θ的单调递增区间是[0,]π，单调递减区间是(,2)ππ．19.等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB=32EF ．将此等腰梯形绕其上底边EF 所在的直线旋转一定的角度到DCEF 位置（如图）．（Ⅰ）可以直观感知，四边形ABCD 是平行四边形，请给出证明； （Ⅱ）求证：E F ⊥AD ；（Ⅲ）设AC 、BD 交于O 点，请在线段EF 上探求一点M ，使得三棱锥M-FAD 与三棱锥O-EBC 体积相等．解：（Ⅰ）证明：∵四边形DCEF 由四边形ABEF 旋转所得，A FDO∴AB=CD 且AB ∥EF ，CD ∥EF ．由平行公理得 AB ∥DC ． ∴四边形ABCD 为平行四边形．（Ⅱ）证明：过F 作FM ⊥AB 于M,并设旋转后M 的对应点为N,连FN, MN ．则C D ⊥FN 且AM=DN ． AB ∥CD ∴AB ⊥FNMF NF F ⋂=,∴A B ⊥面MNFMN MNF ⊂面∴AB ⊥MNAB ∥CD 且AM=DN ∴ 四边形AMND 为平行四边形． ∴MN ∥AD ． 则AB ⊥AD ．∵AB ∥EF ∴EF ⊥AD ．（Ⅲ）//,,EF AB AB ABCD EF ABCD ⊂⊄面面//EF ABCD ∴面．∴E 到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD 的距离． 在矩形ABCD 中，,AOD COB AOD COB S S ∆∆∆≅∆=． ∴E BOC F AOD V V --=．,E BOC O EBC V V --=F AOD O FAD V V --=．∴O EBC O FAD V V --=．设G 为AD 中点，在EF 上取点M,使MF=12AB ,连O M 、OG. 1//,2DAB OG AB OG AB ∆=中，． //EF AB ．∴//EF OG ．则四边形MFGO 为平行四边形． ∴MO//FG ．FG FAD ⊂面 ， MO FAD ⊄面，∴//MO FAD 面．则O 到面FAD 的距离等于M 到面FAD 的距离． ∴M FAD O FAD V V --=． ∴M FAD O EBC V V --=．20.已知函数2()ln()f x x a x x =+--在点0x =处取得极值．ABEFD COG M A BEFDCOMN（Ⅰ）某某数a 的值； （Ⅱ）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[0,2]上有两个不等实根，求b 的取值X 围； （Ⅲ）证明：对于任意的正整数n ，不等式211n n n e n ++⎛⎫< ⎪⎝⎭都成立． 解：（Ⅰ）∵2()ln()f x x a x x =+--，∴121)('--+=x ax x f ∵函数2()ln()f x x a x x =+--在点0x =处取得极值， ∴0)0('=f ，即当0=x 时0121=--+x ax ， ∴011=-a，则得1=a . （Ⅱ）∵5()2f x x b =-+,∴b x x x x +-=--+25)1ln(2,∴b x x x =+-+23)1ln(2.令x x x x h 23)1ln()(2+-+=)1(->x ,则13(45)(1)'()2122(1)x x h x x x x +-=-+=-++. ∵1x >-,∴ 令'()0h x >, 解得11x -<<；令'()0h x <, 解得1x >， ∴可得如下当[]2,0∈x 时，)(),('x h x h 随x 的变化情况表：∵“关于x 的方程()2f x x b =-+在区间[0,2]上有两个不等实根”等价于“在[0,2]x ∈内，函数x x x x h 23)1ln()(2+-+=的图像和直线b y =有两个交点”， ∴由上表可知，1[ln 31,ln 2)2b ∈-+.（Ⅲ）由（Ⅰ）知x x x x f --+=2)1ln()()1(->x , 则1(23)'()2111x x f x x x x +=--=-++. ∵解'()0f x >得10x -<<,解'()0f x <得0x >,∴()f x 在()1,0-递增，在(0,)+∞递减， ∴当()+∞-∈,1x 时，()(0)0f x f ≤=.∵11->n 且01≠n ， ∴0)1(<n f ,即01)1()11ln(2<--+n n n ,∴21)1ln(nn n n +<+,1)1ln(2+<+n n n n ,211ln()1ln n n n n e n ++<+=,∴211n n n e n ++⎛⎫<⎪⎝⎭.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换已知点A （1，0），B （2，2），C （3，0）.矩阵M 表示变换“顺时针旋转045”， （Ⅰ）写出矩阵M 及其逆阵1-M;（Ⅱ）请求出ABC ∆在矩阵M 下所得111C B A ∆的面积.解：（Ⅰ）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=22222222)45cos()45sin()45sin()45cos(0000M ∵矩阵M 表示变换“顺时针旋转045” ∴矩阵1-M表示变换“逆时针旋转045”∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2222222245cos 45sin 45sin 45cos 001M （Ⅱ）三角形ABC 的面积22)13(21=⨯-⨯=∆ABC S ， 由于ABC ∆在旋转变换下所得111C B A ∆与ABC ∆全等，故三角形的面积不变，即2111=∆C B A S .（2）（本小题满分7分）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,(12cos .x y ααα⎧=⎨=+⎩为参数），点M 的坐标为(1,1)-；若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（Ⅰ）请将点M 的直角坐标化为极坐标（限定0,ρπθπ≥-<≤）； （Ⅱ）若点N 是曲线Ｃ上的任一点，求线段M Ｎ的长度的最大值和最小值. 解：（Ⅰ）ρ==M 在第二象限内，且13tan 1,14πθθ==-∴=-. 即点M的极坐标3)4π.（Ⅱ）MN ====故当cos 0α=时，MN 取最小值１；当cos 1α=±时，MN取最大值（3）（本小题满分7分）选修4—5；不等式选讲 已知函数1(),11f x x x x =+>-，且不等式222()f x a b c ≥++对任意1x >恒成立． （Ⅰ）试求函数()f x 的最小值； (Ⅱ)试求c b a 22++的最大值. 解：（Ⅰ）∵1,10x x >->∴11()(1)121311f x x x x x =+=-++≥+=-- （当且仅当2x =时取“＝”号）(Ⅱ)由（Ⅰ）得 3222≤++c b a 由柯西不等式得2222222)221()221)((c b a c b a ⋅+⋅+⋅≥++++∴2793)22(2=⨯≤++c b a ， ∴3322≤++c b a .当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>===++02213222c b a c b a 即332,332,33===c b a 时取“＝”.。