单伸位伸缩叉力学分析

1堆垛机货叉的结构
1.1存取货装置的分类
现在国内外自动化立体仓库堆垛机所用的存取货装置主要有：1）电磁或真空吸盘存取装置；
2）机械抓取式存取装置；3）旋转抓取装置；4）伸缩货叉存取装置，其中伸缩货叉式应用最为普遍。

下面主要对伸缩式货叉进行分析。

1.2货叉的结构
堆垛机货叉一般采用3级直线差动机构，这种结构形式的货叉由动力驱动和上、中、底3叉以及导向部分构成，底叉固定在载货台上，中叉可在齿轮齿条的驱动下，u底叉向两侧伸出一定距离，上叉在安装于中叉上的增速机构的带动下相对中叉向外伸出更长的距离，实现想货位内存取货物，这种机构的特点是上叉相对于中叉伸出的距离为伸出行程的2/3，而中叉相对于下叉伸出的距离为伸出行程的1/3，上叉与中叉之间，中叉与下叉之间均有合适的导向接触长度，保证3层货叉伸出时的相对刚度要求，图1为当堆垛机货叉上叉运行到最大距离时载荷简图，其中底叉固定在载货台上，中叉运行到货叉行程的1/3距离，此时有2个导向轮支承，上叉相对于中叉运行货叉行程的2/3，也有2个导向轮支承，与中叉相连。

2堆垛机货叉的力学分析
货叉是堆垛机存、取货的关键部件，它在工作时前叉要伸入货架中，所以，在设计货叉时，应使前叉的厚度尽量薄，同时，叉前端的挠度应控制在最小为设计目标，将货叉分解为固定叉、中间叉和前叉分别进行考虑，货叉的载荷简图如图1所示。

2.1固定叉的力学分析
固定叉在货叉机构的最底层，和载货台架固联，在货叉伸缩运行中它固定不动，其受力图如图2所示。

当a ≤x ≤a +b 时，弯矩方程： M (x )=F B bx a+b
−F B (x −a)
C 处的转角 Θt =θ0−∫M(x)EI 1
x 0
dx =θ0−F
B
2EI 1
(bx 2
a+b +(x −a )2)
引起的挠度为
Z 1=∫θ1a+b 0dx =θx −∫M(x)
EI 1
a+b 0
dx 2.
所以，当x=a+b 时， θ1=−
F B ab (2a+b )
7EI 1(a+b )(c +
d +
e +f) .
2.2 中间叉的力学分析
中间叉在货叉机构的中间层，动力源通过链轮链条机构直接驱动中间叉伸缩运动，其受力图如图3所示。

BC 段弯矩方程为
M (x )=−Q(c+d+e)
b x,0≤x ≤b.
转角方程为
θ2=θ0−∫M(x)EI 2b 0dx .
挠度方程为
Z 2=∫θ0x b
0−∫∫M(x)EI 2
b 0b
0dx 2
所以，当x=b 时C 处转角和最右端的挠度为
θ2=−Qb(c+d+e)3EI 2
,
Z 2=−
Qb (c+d+e )
3EI 2
(c +d +e +f)
将BC 段作为刚性，C 点作为固定端考虑，D 和E 点产生的支反力如图3（b ）所示。

CD 段的弯矩方程为 M (x )=
Qe d
(x −d )+
(e+d)Q d
, d ≤x ≤d +c .
当x=c+d 时，E 处的挠度为
Z 3=−Q
6EI 2
d [(
e +d )(c +d )3−ec 3] . C 处的转角方程为 θ3=∫M(x)
EI 2
c+d 0
dx .
当x=c+d 时，最右端的挠度为
Z 4=θ3(e +f )=−Q
2EI 2
d [(
e +d )(c +d )2](e +
f ) .
2.3 上叉的力学分析
上叉在货物的作用下，在D 处和E 处产生支反力，上叉板受力如图4所示。

DE 段的弯矩方程为 M (x )=Qe d
x, 0≤x ≤d.
转角方程为 θ4=θ0−∫M(x)EI 3
d 0
dx.
挠度方程为
Z 3∫ϑ3d
0dx =θ0x −∫∫M(x)EI 3d 0d
0dx 2 当x-d 时，E 处的转角和最右端的挠度为 θ4=
Qed 6EI 3
, Z 5=
Qed 6EI 3
(e +f)
3 结语
在堆垛机货叉设计时，要充分考虑在载货台和立柱为刚性时条件下，进行伸缩货叉工作的总挠度计算，通过上述计算，伸缩货叉的总挠度为：
Z=Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+Z 5
在设计货叉时，总挠度应控制在10~15mm 范围内，以保证堆垛机在存取货物过程货叉能够准确定位，安全平稳完成任务。

附录1：载荷250KG的单伸位伸缩货叉的力学分析
伸缩货叉的载荷图
确定各段的长度：
a=60cm; b=40cm; c=20cm; d=40cm; e=15cm;
l0=100cm; l1=60cm; l2=75cm; l3=120cm;
L1=110cm; L2=120cm; L3=120cm;
所设计的货叉是指货叉插入货架中的部分，应以厚度尽量薄，同时叉前端的挠度控制在最小，作为设计的目标，将伸出货叉分解为下叉，中叉和上叉进行分别考虑。

货叉各参数如下：
W-------------------------载荷2500N
I1,，I2，I3----------------分别为下叉、中叉、上叉的重力方向的惯性距
提示：惯性矩由各叉的截面形状与截面面积决定，具体数值由设计师所设计的结构而定
这里的惯性矩分别为I1,=5.45×10−7m4，I2=2.153×10−6m4，I3=2.8×10−8m4
E--------------------------材料弹性系数
提示：碳钢弹性模量在196~206GPa之间，取E=2.06×1011Pa
1.下叉的受力分析计算
下叉受力视图
如上图，假设I3为不变形的长度
,a≤x≤l0时的弯矩方程为
P1=Wl1
b
M =P 1bx l 0
−P 1(x −a) (1.1) P 1=
Wl 1b
=
2500×0.60.4
=4062.5N
此时的扭转角为 i 1=i 0−∫M EI 1
x 0
dx =i 0−P
1
2EI 1
[
bx 2l 0+(x −a )2] (1.2)
此时的挠度为 δ=i 0x −∫∫M EI 1
x 0
x 0dx =i 0x −P
1EI 1
[bx 3
l 0
+(x −a )3] (1.3)
当x=l 0时，δ=0
i 1=−P 1
ab
6EI
1l 0
(l 0+a ) (1.4)
将（1.4）代入（1.2），x=l 0时c 点的倾角i 1与挠度δ1为
倾角：i 1=−P 1
ab
6EI
1l 0(l 0+a )=−4062.5×0.6×0.4(0.6+1)
6×2.06×1011×5.45×10−7×1
=−0.00027 rad
挠度：δ1=−
P 1ab
6EI 1l 0
(l 0+a )
×l 3=−4062.5×0.6×0.4(0.6+1)
6×2.06×1011×5.45×10−7×1
×
1.2=−0.0033m =−3.3mm
2.中叉的受力分析计算
中叉受力视图
弯矩方程： M =P 1x =Wl 2
b
x
由d 2δdx 2=−M EI 2
=−Wl 2x
EI 2
b 得： 其扭转角方程为：
i =dδ
dx =−Wl 2
x 2
2EI 2b
+i 0 (1.5) 其挠度方程为： δ=−Wl 2x 3
6EI 2b
+i 0x +δ0 (1.6) 因为当x=b 时，δ=0，δ0=0
则i 0=
Wl 2b 6EI 2
(1.7)
将（1.7）代入（1.5），求x=b 时的扭转角i 2和挠度δ2：
扭转角i 2=−Wl 2b
3EI 2
=−2500×0.75×0.4×1.2
3×2.06×1011×2.15×10−6=−0.00056 rad
挠度δ2=−Wl 2b
3EI 2
×l 3=−2500×0.75×0.4×1.2
3×2.06×1011×2.15×10−6×1.2=−0.67 mm
如上图：把b 段作为刚性，c 点做诶固定端考虑，并设由于W 在中叉产生的反力为P 3和P 4，而由这些反力作用在叉子前端产生的挠度为δ3和δ4，则
M =−P 3(x −d )+P 4x P 3=e d W,P 4=(e +d)d W
δ=−∫∫M EI 2x 0x 0dx 2=−∫
12EI 2
{−P 3(x −d )2+P 4x 3}x
0=−1
6EI 2[P 4x 3−P 3(x −d )3] 在x=l 1时，挠度δ3=−16EI 2d
[(e +d )l 13
−e (l 1−d )3]
=−
2500×[(0.15+0.4)×0.63−0.15x (0.6−0.4)3]
6×2.06×1011×2.153×10−6x0.4
=-0.000246m=0.246mm
其次，扭转角i 4=−∫M EI 2x 0dx =−W
2EI
2d
×[−e (x −d )2+(e +d )x 2]
=−
2500×[−0.15×(0.6−0.4)2+0.62×(0.15+0.4)]
2×2.06×1011×2.153×10−6×0.4
=-0.0104 rad
所以，挠度δ4=i 4(l 3−l 1)=−
2500×[−0.15×(0.6−0.4)2+0.62×(0.15+0.4)]
2×2.06×1011×2.153×10−6×0.4
×(1.2−0.6)
=-0.0062m= - 6.2mm 3.前叉的受力分析计算
上叉受力视图 由图得弯矩方程为：M=eW d
x
再由d 2δ
dx 2=−M
EI 3
=−eWx
EI 3
d 得：
扭转角方程为：
i=dδ
dx =−eWx2
2EI3d
+i0 (1.8)
挠度方程为：
δ=−eWx3
6EI3d
+i0x+δ0 (1.9) 当x=d时，δ=0，δ0=0
则i0=eWd
6EI3
(1.10) 将（1.10）代入（1.8），当x=d时
扭转角i5=−eWd
6EI3=−0.15×2500×0.4×(1.2−0.6)
6×2.06×1011×2.8×10−8
=0.0043 rad
挠度δ5=−eWd
3EI3(l3−l1)=−0.15×2500×0.4×(1.2−0.6)
6×2.06×1011×2.8×10−8
=−0.026m=−2.6 mm
因此，设载货台和立柱为刚性时，伸缩货叉的总挠度为
Δ=δ1+δ2+δ3+δ4+δ5=3.3+0.67+0.246+6.2+2.6≈13mm
当托盘货架进深为120厘米时，Δ值应控制在10~15毫米，固所确定货叉的尺寸合格。

附录2：公式总结
对于单伸位伸缩货叉的力学分析，一般可以按照上图的数据划分然后再去分析，其步骤一般为：
1.将货叉伸出到最远位置，按照上图去标注各段段长。

2.确定货叉需承受载重W，由各叉的横截面参数得出各叉的惯性矩I1,，I2，I3，由货叉所选材料确定
其弹性模量E。

3.根据以下各叉的公式去求各个叉的挠度：
下叉：δ1=−P1ab
6EI1l0
(l0+a)×l3
中叉：δ2=−Wl2b
3EI2×l3δ3=−1
6EI2d
[(e+d)l13−e(l1−d)3]
δ4=−W
2EI2d
×[−e(x−d)2+(e+d)x2](l3−l1)
上叉：δ5=−eWd
3EI3
(l3−l1)
4.Δ=δ1+δ2+δ3+δ4+δ5，按照该公式求出货叉的总挠度，再与所要求精度进行比较，若不符合，
则必须重新设定货叉的结构参数。

注意：以上公式只适合单伸位伸缩货叉的分析，当运动的原理改变，则该公式不适用，切记。

对于非机械方面的人员，可利用这些公式进行粗略校核；对于机械方面的人员，建议理解这些公式的推理过程，当货叉的运动原理改变时便可推导出相对应的力学性能校核公式。