2020年北京市怀柔区高考数学二模试卷(含答案解析)

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2020年北京高三二模分类汇编函数(含解析)

2020北京高三二模数学汇编：函数一．选择题（共16小题）1．（2020•海淀区校级三模）已知函数f（x）的图象沿x轴向左平移2个单位后与函数y＝2x的图象关于x轴对称，若f（x0）＝﹣1，则x0＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣log23 D．log232．（2020•怀柔区二模）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2（a＞0且a≠1），若g（2）＝a，则函数f（x2+2x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．（2020•东城区二模）已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．4．（2020•房山区二模）已知函数f（x）＝lg|1+x|+lg|1﹣x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（1，+∞）上是增函数B．是奇函数，且在（1，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（1，+∞）上是增函数D．是偶函数，且在（1，+∞）上是减函数5．（2020•东城区二模）已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数6．（2020•西城区二模）函数f（x）＝x﹣是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R7．（2020•丰台区二模）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数D．是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数8．（2020•密云区二模）已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且f（5）＝3f（3）+4，则f（4）＝（）A．16 B．8 C．4 D．29．（2020•海淀区二模）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1| C．y＝cos x D．y＝lnx10．（2020•密云区二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x|x| D．y＝ln|x|11．（2020•密云区二模）已知函数f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有＞0；②f（x+8）＝f（x）；③y＝f（x+4）是偶函数；若a＝f（﹣7），b＝f（11），c＝f（2020），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a12．（2020•平谷区二模）在下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．B．f（x）＝ln|x|C．f（x）＝2x+2﹣x D．f（x）＝x cos x13．（2020•顺义区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣x2B．C．y＝cos x D．14．（2020•朝阳区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．[0，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）15．（2020•丰台区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2]C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）16．（2020•海淀区校级三模）如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y＝2x﹣x2﹣1 B．C．y＝（x2﹣2x）e x D．2020北京高三二模数学汇编：函数参考答案一．选择题（共16小题）1．【分析】将函数y＝2x的图象逆向变换（即先关于x对称，再向右平移2个单位）可得到f（x）的解析式，再结合指数的运算法则，求解即可．【解答】解：函数y＝2x的图象关于x轴对称的函数为y＝﹣2x，将其向右平移3个单位，得到f（x）＝﹣2x﹣2，∵f（x6）＝﹣1，∴＝﹣18﹣2＝0，∴x2＝2．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换，熟练掌握函数图象的平移与对称变换原则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．2．【分析】由已知可求f（x），g（x），然后结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解．【解答】解：因为奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣a x+a﹣x+2＝﹣f（x）+g（x），联立可得f（x）＝a x﹣a﹣x，g（x）＝6，因为g（2）＝a，所以a＝2，f（x）＝2x﹣2﹣x，故f（x）在R上单调递增，因为y＝x2+2x的单调递增区间（﹣4，+∞），根据复合函数的单调性可知，函数f（x2+2x）的单调递增区间为（﹣4，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，函数的性质，要熟悉复合函数单调性的判断方法，属于中档试题．3．【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y ＝a x+b的图象单调递增，且由y＝a x的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．【解答】解：结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝a x+b的图象单调递增，且由y＝a x的图象向下平移超过1个单位，结合选项可知，D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象变换的简单应用，属于基础试题．4．【分析】结合奇偶函数的定义先判断f（﹣x）与f（x）的关系，然后结合x＞1时函数的解析式及复合函数的单调性即可判断．【解答】解：f（﹣x）＝lg|1﹣x|+lg|1+x|＝f（x），故f（x）为偶函数，当x＞7时，f（x）＝lg（1+x）+lg（x﹣1）＝lg（x3﹣1）单调递增，故选：C．【点评】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．5．【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．【解答】解：函数y＝log3x的定义域为（0，+∞）；函数y＝7x的值域是（0，+∞）；函数y＝3x和y＝log4x是非奇非偶函数，即D错误，故选：C．【点评】本题考查指数、对数和幂函数的图象与性质，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．6．【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x﹣，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝1+，在区间（﹣∞，+∞）上都是增函数；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意分析函数的定义域，属于基础题．7．【分析】根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得f（x）为（﹣1，1）上的减函数；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），解可得﹣1＜x＜1，5）；设任意x∈（﹣1，1），则函数f（x）为奇函数；f（x）＝ln（8﹣x）﹣ln（1+x）＝ln，其导数f′（x）＝，在区间（﹣1，1）上，则f（x）为（﹣8；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．8．【分析】根据关系式得到f（4）＝2f（3）且f（5）＝2f（4），进而求得结论．【解答】解：因为函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），所以：f（4）＝4f（3）且f（5）＝2f（4），又f（5）＝3f（3）+8，即2f（4）＝3×f（4）+4；则f（4）＝8；故选：B．【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，属于基础题目．9．【分析】由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解．【解答】解：A：y＝x2为偶函数，且值域[0，符合题意；B：y＝|x﹣5|为非奇非偶函数，不符合题意；C：y＝cos x的值域[﹣1，1]；D：y＝lnx为非奇非偶函数，且值域R．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10．【分析】分别结合奇偶性及定义域对各选项中的函数进行检验即可判断．【解答】解：A：y＝sin x为奇函数，不符合题意；B：y＝cos x的定义域R且为偶函数，符合题意；C：y＝x|x|为奇函数，不符合题意；D：y＝ln|x|的定义域{x|x≠0}，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及定义域的判断，属于基础试题．11．【分析】根据函数对称性和单调性之间的关系，结合函数的周期进行转化即可得到结论．【解答】解：由①对任意的x1，x2∈[3，8]1≠x7，都有＞0可得f（x）在[7，由②f（x+8）＝f（x）可得函数的周期T＝8，由③y＝f（x+5）是偶函数可得f（x）关于x＝4对称，故a＝f（﹣7）＝f（1）＝f（7），b＝f（11）＝f（3）＝f（5），则f（7）＞f（5）＞f（4），即a＞b＞c．故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．12．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、值域，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝，+∞），+∞）；对于B，f（x）＝ln|x|＝，符合题意；对于C，f（x）＝4x+2﹣x，有f（﹣x）＝2﹣x+3x＝f（x），为偶函数x+2﹣x≥2，其值域为[2，不符合题意；对于D，f（x）＝x cos x，不是偶函数；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数值域的计算，注意常见函数的奇偶性以及值域，属于基础题．13．【分析】由二次函数的图象及性质，直接可以判断选项A符合题意．【解答】解：二次函数f（x）＝﹣x2为开口向下的抛物线，且对称轴为x＝0，其在（2，又f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x），故函数f（x）＝﹣x3为定义在R上的偶函数．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．14．【分析】根据函数f（x）的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可．【解答】解：函数，∴，解得x＞0且x≠2，∴f（x）的定义域为（0，1）∪（5．故选：B．【点评】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．15．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由x2﹣2x＞4，得x＜0或x＞2．∴函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．16．【分析】根据函数解析式得出当x＜0时，y＝2x﹣x2﹣1有负值，y＝有无数个零点，y＝，的图象在x轴上方，无零点，可以得出答案．【解答】解：根据函数的图象得出：当x＜0时，y＝2x﹣x5﹣1有负值，故A不正确，y＝有无数个零点，y＝，y′＝，y′＝＝2y′＝＞4y′＝＜2故（0，1），e）上单调递减，+∞）单调递增，x＝e时，y＝e＞2，∴y＝的图象在（1，在（0，间断．故D不正确，排除A，B，D故选：C．【点评】本题考查了运用函数的图象解决函数解析式的判断问题，整体把握图象，看单调性，零点，对称性．。

2020届北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形(含答案)

2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形1．（2020▪丰台高三二模）下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x=（B ）1sin 2y x= （C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x=2.（2020▪房山高三二模）函数()sin πcos πf x x x =的最小正周期为（A ）1 （B ）2 （C ）π（D ）2π3.（2020▪海淀二模）将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（A ）sin(2)6x π+（C ）cos2x （B ）2sin(2)3x π+（D ）cos2x-4．（2020▪密云高三二模）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则A ．，B ．，C ．，D ．，5.（2020▪朝阳高三二模）已知函数()sin(2)6f x x π=-，则下列四个结论中正确的是（A ）函数()f x 的图象关于512π（，0）中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称（C ）函数()f x 在区间ππ（-，）内又4个零点（D ）函数()f x 在区间[,0]2π-上单调递增6. （2020▪东城高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 (A)135平方米 (B)270平方米 (C)540平方米 (D)1080平方米7.（2020▪海淀二模）在△ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π8．（2020▪西城高三二模）在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310（D ）359. （2020▪丰台高三二模）在△ABC 中，3AC =，BC =2AB =，则AB 边上的高等于（A ）（B（C（D ）3210.（2020▪房山高三二模）在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =1 （A ）（B ）（C ）（D ）11.（2020▪朝阳高三二模）圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC ∠)为26.5°,夏至正午太阳高度角(即ADC ∠)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB 的长)为a ，则表高(即AC 的长)为（A ）sin532sin 47a（B ）2sin 47sin 53a（C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a（D ）sin 26.5sin73.5sin 47a12. （2020▪西城高三（下）6月模拟）在锐角ABC 中,若2,3,6a b A π===,则cosB =(A)3413. （2020▪丰台高三二模）已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α=________．14．（2020▪西城高三二模）设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为________；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为_________．15.（2020▪东城高三二模）已知1cos 23α=，则()22πcos ()2cos π2αα+--的值为________. 16.（2020▪东城高三二模）从下列四个条件①a =；②π6C =；③cos B =；④b =件，能使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）,所选三个条件下的c 的值为 ____.17.（2020▪昌平高三二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上.若，则________ ；_____ .18.（2020▪密云高三二模）在中，三边长分别为，，，则的最大内角的余弦值为_________，的面积为_______．19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知函数()()0,0,02f x Asin x A πωϕωϕ⎪=>⎛⎫ ⎝+><⎭<同时满足下列四个条件中的三个:①最小正周期为π;②最大值为2;③()01f =-;④06f π⎛⎫-⎪⎝⎭= .(Ⅰ)给出函数()f x 的解析式,并说明理由;(Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间.20.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）在中，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，,求的面积. 21.（2020▪密云高三二模）（本小题满分15分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当时，关于的不等式_______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形参考答案1.D2.A3.C4.B5.C6.B7.C8.A9.B 10.C 11.D 12.C;13. 14. ， 15.-1 16. ①③④，，或者②③④， 17. ，18. ，19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则.这与矛盾，故不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④.………………2分由条件①，得，又因为，所以.………………4分由条件②，得.………………5分由条件④，得，又因为，所以.所以.………………8分（Ⅱ）由，，………………10分得，………………12分所以函数的单调递增区间为，.………………14分（注：单调区间写成开区间亦可.）20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，因为，所以……………..2分因为，所以所以……………..4分因为，所以. ……………..6分（Ⅱ）因为，，由余弦定理可得. ……………..8分所以……………..12分所以. ……………..14分21.（本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为==．所以函数的最小正周期．因为函数的的单调增区间为，所以，解得．所以函数数的的单调增区间为，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式有解，即．因为，所以．故当，即时，取得最大值，且最大值为．所以．若选择②由题意可知，不等式恒成立，即．因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为．所以．。

2020-2021学年北京市高考数学二模试卷（理）及答案解析

2020-2021学年北京市⾼考数学⼆模试卷（理）及答案解析北京市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= ．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（⽤数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= ．②记Sn三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂⾜为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的⽅程及离⼼率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表⽰x1，x2，x3，…，x n中的最⼤值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最⼩值；（Ⅲ）?k∈N*，求d n的最⼩值．参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分⼦分母同时乘以1+i，直接利⽤复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利⽤双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的⼏何量，然后求解双曲线的渐近线⽅程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线⽅程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，联⽴⽅程组求得最优解的坐标，代⼊⽬标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可⾏域如图，联⽴，解得A（），化⽬标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最⼤，z有最⼩值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成⽴，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”?α⊥β；反之不成⽴，若α⊥β，b?β，b⊥α不⼀定成⽴．故选：A．5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的⽐例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB?AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△=ADO=，解得DE．由DE⊥BC，可得BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB?AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△==，解得DE==2．ADO∵DE⊥BC，∴BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC?BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．∴BE=2，故选：C．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满⾜条件，退出循环，从⽽可得判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运⾏过程，得S=0，i=1满⾜条件，执⾏循环体，S=2，i=2满⾜条件，执⾏循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满⾜条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利⽤函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成⽴；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∴满⾜不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在⼏何中的应⽤．【分析】根据题意找出使得λ+µ最⼤的顶点C，根据向量加法的平⾏四边形法则可作出平⾏四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的⼏何意义便可得出，这样由平⾯向量基本定理即可求出λ+µ的最⼤值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平⾏四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+µ最⼤；作平⾏四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；⼜；∴；即λ+µ的最⼤值为．故选C．⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= 2n（N*）．【考点】等⽐数列的通项公式；等⽐数列的前n项和．【分析】根据等⽐数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．【考点】简单曲线的极坐标⽅程．【分析】求出极坐标⽅程的普通⽅程，利⽤点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通⽅程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利⽤正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图可知：该⼏何体为三棱锥．AC⊥侧⾯PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该⼏何体为三棱锥，AC⊥侧⾯PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有144 种．（⽤数字作答）【考点】排列、组合的实际应⽤．【分析】先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= 1512 ．②记Sn【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：②a1当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满⾜条件．∴a=．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），②a1∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三⾓函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利⽤周期公式可求ω，⼜函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，⼜结合范围﹣＜x0＜，从⽽可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利⽤正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本⼩题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，⼜∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，⼜|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，⼜∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【考点】相互独⽴事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利⽤均值与⽅差的定义分别求出甲、⼄两校新⽣的数学成绩的均值与⽅差，从⽽得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差⼩于⼄校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差．（2）设事件D=“从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++?=，因此，从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平⾯所成的⾓；直线与平⾯平⾏的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平⾯BC1D，由线⾯平⾏的性质得出AB1∥EF；。

北京市2020版高考数学二模试卷(理科)A卷

北京市2020版高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020高一上·石景山期末) 已知集合，，那么集合等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一上·南开期末) 下列函数中为偶函数，且在上单调递增的是（）A .B .C .D .3. （2分）若将θ视为变量，则以原点为圆心，r为半径的圆可表示为（θ∈[0，2π）），问下列何种表示可表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆（）A . （θ∈[0，2π））B . （θ∈[0，2π））C . （θ∈[0，2π））D . （θ∈[0，2π））4. （2分）已知A,B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为（）A .B . 2C .D .5. （2分）若，，且，则与的夹角为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·太原模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 5B .C . 7D .7. （2分） (2019高一上·西安月考) 已知集合，则的元素的个数为（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·河北模拟) 已知命题：“ ”的否定是“ ”；命题：“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）复平面内的点A、B、C，A点对应的复数为2+i，对应的复数为1+2i，BC对应的复数为3﹣i，则点C对应的复数为________．10. （1分） (2017高二上·荔湾月考) 以下给出对程序框图的几种说法：①任何一个程序框图都必须有起止框；②输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框；③判断框是唯一具有超出一个退出点的符号；④对于一个问题的算法来说，其程序框图判断框内的条件的表述方法是唯一的．其中正确说法的个数是________个．11. （1分） (2016高一下·浦东期中) 已知角α的终边上一点P（x，1），且sinα= ，则x=________．12. （1分）(2017·浦东模拟) 已知O为坐标原点，点A（5，﹣4），点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则• 的取值范围是________．13. （1分） (2019高一上·杭州期中) 函数的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．14. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2018高二上·湖南月考) 在中，角所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若边长，求面积的最大值.16. （10分）(2017·广东模拟) 现有4名同学去参加校学生会活动，共有甲、乙两类活动可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪类活动，掷出点数为1或2的人去参加甲类活动，掷出点数大于2的人去参加乙类活动．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲类活动的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙两类活动的人数．记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．17. （10分） (2017高一下·双鸭山期末) 如图，已知 , , 是正三角形，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高三第二次联考数学试题文科1

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高三第二次联考数学试题文科第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}{=22,x A x B y y <==，则AB =（）A.[)0,1B.()0,2C.()1+∞，D.[)0+∞， 2.已知复数z 满足()z 1i i +=-，则z =（）A.12B. C.13.在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （） A.1 B. 1± C.2 D.2±4.如图所示的程序框图的运行结果为（） A. 1- B.12C.1D.2 5.在区间[]0,4上随机取两个实数,x y ，使得28x y +≤的概率为（）6.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=（）A.83-B.1-C. 2D. 1037.已知圆C 方程为()()22210x y r r -+=>，若p ：13r ≤≤；q ：圆C 上至多有3个点到直线+30x -=的距离为1，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(第4题图)(第6题图)8.已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（）A.1B.2C.3D.49.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A.36πB.52πC. 72πD.100π 3x π=对10.若()()()2cos 2+0f x x ϕϕ=>的图像关于直线称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是（）A.(]1,2-B. [)2,1--C.()1,1-D.[)2,1-11.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（）A.14B. 12C. 12.已知函数()2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2a ba +-的取值范围是（）A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2=log 1f x x -，则f ⎛ ⎝⎭=.14.若244xy+=，则2x y +的最大值是.15.已知12,l l 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，且右焦点关于1l 的对称点在2l 上，则双曲线的离心率为.16.数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=cos 3n n n b a π，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则120S =.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第二次八校联考文科数学第 2 页（共6页）俯视图侧视图第9题图)17.(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，AC 23ABC π∠=，3ACD π∠=.（Ⅰ）求sin BAC ∠；（Ⅱ）求DC 的长.18.(本小题满分12分)国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[]0,3.）（Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到）；（Ⅱ）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05参考公式：()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中.n a b c d =+++参考数据：19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是等边三角形，14BC CC ==,D 是11A C 中点.（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ；（Ⅱ）当三棱锥11C B C D -体积最大时，求点B 到平面1B CD 的距离.A CDB(第17题图)第二次八校联考文科数学第 3 页（共6页）20. (本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M：(2212x y +=及点()A ，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.kk21.(本小题满分12分)已知函数()()ln 4f x ax x a =--∈R . （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2a =时，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],m n 上的值域是,11kk m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. (本小题满分10分)4-1 ：几何证明选讲如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于.F （Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；（Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长.23.(本小题满分10分)4-4 ：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ<≤）x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）若极坐标为4π⎫⎪⎭的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（Ⅱ）若点P 的坐标为()1,3-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求.PB PD ⋅ 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()+122f x x x =--．（Ⅰ）求不等式()1f x x -≥的解集；（Ⅱ）若()f x 的最大值是m ，且,,a b c 均为正数，a b c m ++=，求222b c a a b c++的最小值.第二次八校联考文科数学第 5 页（共6页）B O (第22题图)文科数学参考答案13.32； 14.2； 15.2； 16.7280三、解答题：17.（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cosAC BC BA BC BA B =+-⋅，即260BC BC +-=，解得：2BC =，或3BC =-（舍）， ………………3分由正弦定理得：sin sinsin sin BC AC BC B BACBAC B AC =⇒∠==∠………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）有：cos sin CAD BAC ∠=∠=sin CAD ∠=，所以1sin sin 32D CAD π⎛⎫=∠+== ⎪⎝⎭, ………………9分由正弦定理得：sin sin sin sin DC AC AC CAD DC CAD D D∠=⇒===∠……………12分（其他方法相应给分）18. （Ⅰ）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120=7014000+10000⨯人，女生抽取人数为1207050-=人，故x =5，y =2， ……………2分则该校男生平均每天运动的时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈， ……………5分故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；（Ⅱ）①样本中“运动达人”所占比例是201=1206，故估计该校“运动达人”有 ()1140001000040006⨯+=人； ……………8分 ②由表格可知：运动达人非运动达人总计男生 15 55 70 女生 5 45 50 总计20100 120……………9分故2K 的观测值()2120154555596=2.7433.841.20100507035k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯……………11分故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”.……………12分19.（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11A C 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………4分（Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h，则11111=3C B C D B C D V S h -△，而14h CC =≤，故当三棱锥11C B C D -体积最大时，1=4h CC =，即1CC ⊥平面111A B C . ……………6分由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥， ∵ABC △是等边三角形，D 是11A C 中点，∴111AC B D ⊥，又1111=CC AC C ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥，由计算得：1B D CD =，所以1B CD S ∆ ……………9分设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --114=3B CD S h h ''⇒=△所以B 到平面1B CD……………12分（其他方法相应给分）20.（Ⅰ）由分析知：点P在圆内且不为圆心，故PA PM AM +=>=, 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆， ……………2分设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则22a a c c ⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，所以21b =，故曲线W 的方程为22 1.3x y +=……………5分（Ⅱ）设111122(,)(0),(,)C x y x y E x y ≠,则11(,)D x y --,则直线CD 的斜率为11CD y k x =，又CE CD ⊥，所以直线CE 的斜率是11CE x k y =-，记11xk y -=，设直线CE 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222136330k x mkx m +++-=.∴122613mk x x k +=-+，∴121222()213my y k x x m k+=++=+，由题意知，12x x ≠，所以1211121133y y y k x x k x +==-=+， ……………9分所以直线DE 的方程为1111()3y y y x x x +=+，令0y =，得12x x =，即1(2,0)F x . 可得121y k x =-. ……………11分所以1213k k =-，即121=.3k k -……………12分（其他方法相应给分）21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()0+∞，，()1ax f x x-'=，当a ≤0时，()0f x '≤，所以()f x 在()0+∞，上为减函数， ……………2分当a >0时，令()0f x '=，则1x a =，当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 为减函数，当1+x a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 为增函数， ……………4分 ∴当a ≤0时，()f x 在()0+∞，上为减函数；当a >0时，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数.……………5分（Ⅱ）当2a =时，()2ln 4f x x x =--，由（Ⅰ）知：()f x 在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，而[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，∴()f x 在[],m n 上为增函数，结合()f x 在[],m n 上的值域是,11kk m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦知：()(),11k k f m f n m n ==++，其中12m n <≤，则()1k f x x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的实数根， ……………7分由()1kf x x =+得()2=221ln 4k x x x x --+-，记()()2=221ln 4x x x x x ϕ--+-，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()1=4ln 3x x x x ϕ'---，记()()1=4ln 3F x x x x xϕ'=---，则()()2222213410x x x x F x x x -+-+'==>， ∴()F x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，即()x ϕ'在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，而()1=0ϕ'，∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，在()1,+∞上为增函数， ……………10分而13ln 2922ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1=4ϕ-，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，故结合图像得：()13ln 291422k k ϕϕ-⎛⎫<⇒-< ⎪⎝⎭≤≤，∴k 的取值范围是3ln 294,.2-⎛⎤- ⎥⎝⎦……………12分（其他方法相应给分）22.（Ⅰ）连结,.AD OD 则AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 的中点， ……………2分而O 为AB 中点，∴OD AC ∥，又DF AC ⊥，∴OD DF ⊥，而OD 是半径，∴DF 是O ⊙的切线.……………5分（Ⅱ）连DE ，则CED B C ∠=∠=∠，则DCF DEF △△≌，∴CF FE =，…………7分设CF FE x ==，则229DF x =-，由切割线定理得：2DF FE FA =⋅，即279+5x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：1295=52x x =-，（舍），∴ 5.AB AC ==……………10分（其他方法相应给分）23.（Ⅰ）点4π⎫⎪⎭对应的直角坐标为()1,1， ……………1分由曲线1C 的参数方程知：曲线1C 是过点()1,3-的直线，故曲线1C 的方程为20x y +-=，……………2分而曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，联立得2222020x y x y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得：12122002x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，故交点坐标分别为()()2,0,0,2.……………5分（Ⅱ）由判断知：P 在直线1C 上，将1+cos 3sin x t y t αα=-⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：()24cos sin 60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则12,PB t PD t ==,而126t t =，所以1212==6.PB PD t t t t ⋅=⋅……………10分（其他方法相应给分）24.（Ⅰ）131x x x <-⎧⎨--⎩≥，或11311x x x -⎧⎨--⎩≤≤≥，或131x x x >⎧⎨-+-⎩≥，解得：02x ≤≤故不等式的解集为[]02，； ……………5分（Ⅱ）()3,131,113,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪-+>⎩ ≤≤，显然当1x =时，()f x 有大值，()1 2.m f ==∴2a b c ++=， ……………7分而()()2222222222=b c a a b c a b c a bc ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++++++++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥ ∴2222b c a a b c a b c ++++=≥，当且仅当2a b c ⎪++=⎩，即23a b c ===时取等号，故 222b c a a b c++的最小值是2.……………10分（其他方法相应给分）。

2020年北京市高三年级第二次模拟考试及答案(理科数学)

北京市高三年级第二次模拟考试及答案数学（理科）2017．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．23B ．31C ．32D ．633．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为AB． C ．3 D．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞ D ．(0,1)(1,4)8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是，离心率是．10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是． 11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为． 13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A ，存在,i ja a B ()i j ≠，使得12i j xa a λλ（12,{1,0,1}λλ），则称B 为A 的一个基集．若俯视图{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．图1图2BA 1F C ED QG ACDEFGa（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1A Q 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134AQ A B =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W的左、右焦点，且12120F BF ∠=．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b R ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．所以a =所以222cos 232a c b B ac b +-===． …………7分（Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos 3B =，所以sin 3B =．所以11sin 222ABCSa c B =⋅⋅=⨯=． …………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a =． …………3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14．由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=； 11231327(1)()()4464P X C ==⋅=； 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=； 3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~1(3)4B ，，所以344EX =⨯=．…………………………………13分（17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形．又因为点F 为线段CD 的中点，所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥，所以ED ⊥平面1A DC ．因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ．又EDDC D =，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥．…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1A F ⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)F ，(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B ．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，1(0,1,3)A D =--,(1,0,0)DE =，所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，所以y =(0,=nB A 1F C E D Q G假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ 平面1A DE ．设11AQ A B λ=，(]0,1λ∈.又1(2,1,A B =，所以1(2,,)AQ λλ=．所以(2,,)Q λλ.则(2,)FQ λλ=. 所以0FQ ⋅=+=n . 解得，12λ=. 则在线段1A B 上存在中点Q ，使FQ 平面1A DE ．且1AQ =……………………10分（Ⅲ）因为1134AQ A B =，又1(2,1,A B =，所以133(,,24A Q =．所以33(,,244Q ．又因为3(,0,0)2G ，所以3(0,,)44GQ =．因为(0,=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，则1sin .2GQ GQ θ⋅===n n直线GQ 与平面1A DE 所成角为30︒. ………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 0(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-．因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒． ……………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln 2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分（Ⅱ）因为()e 21x f x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =. 于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)，由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== …………8分（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).xh x a '=-+ （1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增. ①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01,1bx a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01xbh x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立．不满足条件；（2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+；由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0xh x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.综上，a b +的最大值为e 1-. …………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分（Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等，（1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====，且对3≥n ，12)2(0+-=-++nm n n m 都为整数，所以2=m ；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ；（2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====，且对3≥n ，nm n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ；综上，m 的值为2,3,4. …………8分（Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++，则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S nn n n n n .又对每一个n ，nS n 都为正整数，所以11++n S n m Sn S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有nS n S nn =++11成立. 当n S n S n n =++11时，则n SS n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11.从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n S n 及1+n a 均为整数，所以=++22n S n =+1n a 11+=+n Sn S n n ，故1212n n n S S S n n n ++====++常数.从而==-+=-=++nSS n S n S S a n n n n n n )1(11常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分。

2020届北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线(含答案)

2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线1.（2020▪海淀二模）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（A ）4（B ）6（C ）8（D ）102．（2020▪西城高三二模）抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =-（C ）1y =（D ）1y =-3．（2020▪西城高三二模）若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞4.（2020▪东城高三二模）双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C的离心率为(C) 2 5.（2020▪朝阳高三二模）圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（A ）22(1)1y +-=（x-1）（B ）22(1)1y ++=（x+1）（C ）22(1)2y +-=（x-1）（D ）22(1)2y ++=（x+1） 6.（2020▪朝阳高三二模）直线l 过抛物线22x y=的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点1122(,),(,).A x yB x y 若123x x +=，则弦AB 的长是（A ）4（B ）5（C ）6 （D ）87. （2020▪西城高三（下）6月模拟）焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(A)24x y =(B)24y x =(C)28x y =(D)28y x =8. （2020▪西城高三（下）6月模拟）圆224210x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于(A)2(B)(C)(D)49.（2020▪昌平高三二模）已知点是双曲线的一条渐近线上一点，是双曲线的右焦点，若△的面积为，则点的横．坐标为（A ）（B ）（C ）（D ）10．（2020▪丰台高三二模）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A ）2（B ）2（C ）22（D ）411.（2020▪房山高三二模）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点(1,3)，则该双曲线的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2（D ）512.（2020▪密云高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为A. B. C. D.13．（2020▪密云高三二模）已知圆，若点P 在圆上，并且点P 到直线的距离为，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．414.（2020▪海淀二模）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）15. （2020▪丰台高三二模）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为_______.16．（2020▪丰台高三二模）已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是116π其中正确的有__________．17．（2020▪西城高三二模）若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．18.（2020▪朝阳高三二模）已知双曲线C 的焦点为12(0,2),(0,2),F F -实轴长为2，则双曲线C 的离心率是；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12,FQ F Q ⊥则12QF F V 的面积为19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）能说明“若()20m n +≠,则方程2212mn yx+=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_______ 20.（2020▪昌平高三二模）已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和其准线都相切，则点到其顶点的距离为_______ .21.（2020▪昌平高三二模）曲线C :,点在曲线上．给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②曲线上的点的横坐标的取值范围是；③若,，则存在点,使△的面积大于.其中，所有正确结论的序号是________．22.（2020▪房山高三二模）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ．23.（2020▪房山高三二模）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，||1MF =，则点M 的横坐标是_______，△MOF （O 为坐标原点）的面积为． 24．（2020▪密云高三二模）抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为_______.25.（2020▪海淀二模）（本小题共15分）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.26．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．27.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上．28.（2020▪朝阳高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆C 经过点（I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,,A B 与直线1x =交于点Q ,设,(,),AP PB AQ QB R λμλμ==∈u u u r u u u r u u u r u u u r求证：λμ+为定值.29. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10yE a b x a b+=>>经过点()0,1C ,离心率为2.O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设,A B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点(不在坐标轴上),直线CD 交x 轴于点,P Q 为直线AD 上一点,且OP OQ 4=u u u r u u u rg ,求证:,,C B Q 三点共线.30.（2020▪昌平高三二模）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且．过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．31. （2020▪丰台高三二模）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 4.过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.32.（2020▪房山高三二模）（本小题14分）．已知椭圆C的两个顶点分别为(2,0)B，焦点在x轴上，离心率为1A ，(2,0)2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求OM的取值范围．33.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线参考答案1.B2.D3.A4.D5.A6.A7.D8.B9.A 10.D 11.C 12.A 13.C;14. 15. 16. ②③④ 17. 18. ；19. 答案不唯一. 如， 20. 21. ①② 22. 3 23. ；24.25.（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直. 设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++. 即222814(,)4141k k C k k --++.又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+. 由1,2.y kx y =+⎧⎨=⎩得1,2.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以点M 的坐标为1(,2)k.所以22131k k k+==. 所以1213344k k k k ⋅=-⋅=-. 26．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =，……………3分从而223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-u u u r ，(3,3)FQ =u u u r ，故0FP FQ ⋅=u u u r u u u r ，即90PFQ ∠=o ．…………6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠．………………7分联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．………………8分由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………9分MPAF NxyOQ直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--．………………10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -．………………11分同理可得222(4,)2y Q x -．………………12分所以112(3,)2y FP x =-u u u r ，222(3,)2y FQ x =-u u u r ．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--u u u r u u u r212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k kk k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=，所以90PFQ ∠=o ．综上，90PFQ ∠=o .………………14分 27.（本小题14分）（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca c b解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-=，所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>．所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=．因为线段PQ 的中点为M , 所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B , 所以00(,1)AM x y =+uuu r，00(1,)BM x y =-uuur ．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuur2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>，所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分 28.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c a b c a 得22=b ，24=a ．所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ．由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ．由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得<<k ．设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k .因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ，所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k22228064881612-+--=+k k k k 0=，所以0λμ+=.……………14分29．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得，.………………2分又因为，………………3分所以，.故椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ），.设，则.………………6分所以直线的方程为，………………7分令，得点的坐标为.………………8分设，由，得（显然）.……9分直线的方程为，………………10分将代入，得，即. ………………11分故直线的斜率存在，且……12分.…………13分又因为直线的斜率，所以，即三点共线.………………14分30.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得解得…………….3分即椭圆的方程为．…………….5分（Ⅱ）法一由题意，直线的斜率存在.当时，直线的方程为.代入椭圆方程有.则.所以所以…………….8分当时，则直线的方程为．由，得.…………….9分设，，则．…………10分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分法二设直线的斜率为，则直线的方程为．…………….6分由，得.…………….7分设，，则．…………….9分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分31.（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=．………3分（Ⅱ)设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞．………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,,所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,. 同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,，所以111111111y kx x x λ+=+=+--．同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,，所以121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)121kk k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)．………14分32.（本小题14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 依题意，2a =，12c a =.得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -. 点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩ 得42x m ny m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m. 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m⋅=. OM ==== 由204m <<，所以，OM 的取值范围是()2,+∞.33.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得解得所以椭圆的方程为，离心率．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为．设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．方法二（1）当直线垂直于轴时解得与的坐标为．由点，易证．（2）当直线斜率存在时设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷文科数学

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷文科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．复数 i (1i)⋅-= （A ）1i +（B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i --2．已知向量(=a ，)=λb ．若a 与b 共线，则实数=λ （A ）1-（B ）1（C ）3-（D ）33．给定函数：①2y x =；②2xy =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是（A ）①（B ）② （C ）③ （D ）④4．若双曲线221y x k+=的离心率是2，则实数k = （A ）3（B ）3-（C ）13（D ）13-5．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值，则判断框内可以填入（A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤（D ）34k ≤6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是（A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α（D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知函数||()e ||x f x x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）(0,1)（B ）(1,)+∞（C ）(1,0)-（D ）(,1)-∞-8．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈．则具有性质P 的集合A 的个数是（A ）8（B ）7（C ）6（D ）5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若1l ∥2l ，则实数m =______． 10．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙，则x 甲______x 乙．（填入：“>”，“=”，或“<”） 11．在△ABC 中，2BC =，AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______． 12．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是______．13．已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增；命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅．若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是______．14．在直角坐标系xOy 中，已知两定点(1,0)A ，(1,1)B ．动点(,)P x y 满足01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩则点P 构成的区域的面积是______；点(,)Q x y x y +-构成的区域的面积是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设4log n n b a =．证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ． 16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC 的体积；（Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ；（Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ． 18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中0a >．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，进行如下操作：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．6-； 10．>；11．3，2； 12．59； 13．(1,)+∞； 14．2，4．注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意 0q >． ………………1分因为 28a =，3448a a +=，两式相除得 260q q +-=， ………………3分解得 2q =，舍去 3q =-．………………4分所以 214a a q==． ………………6分所以数列{}n a 的通项公式为 1112n n n a a q -+=⋅=． ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 41log 2n n n b a +==． ………………9分因为 1211222n n n n b b +++-=-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为12d =的等差数列． ………………11分所以 21(1)324n n n n nS nb d -+=+=． ………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin 3==α． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α．（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α．所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos20=α． ………………11分因为62ππ<<α，所以 23π<<πα，所以 22π=α，即 4π=α． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，所以 △BFC 的面积为 12121=⋅⋅=S ．………………1分因为⊥PA 平面ABCD ，………………2分所以四面体PBFC 的体积为PA S V BFC BFC P ⋅=∆-31………………3分322131=⋅⋅=． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ．………………5分由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，CD EQ 21=．………………6分又因为AF ∥CD ，CD AF 21=，所以AF ∥EQ ，EQ AF =．所以四边形AFQE 为平行四边形，所以AE ∥FQ ．………………8分因为 ⊄AE 平面PFC ，⊂FQ 平面PFC ，所以直线AE ∥平面PFC ． ………………9分（Ⅲ）证明：因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 CD PA ⊥．因为面ABCD 为正方形，所以 CD AD ⊥．所以 ⊥CD 平面PAD ． ………………11分因为 ⊂AE 平面PAD ，所以 AE CD ⊥．因为 AD PA =，E 为PD 中点，所以 PD AE ⊥．所以 ⊥AE 平面PCD ． ………………12分因为 AE ∥FQ ，所以⊥FQ 平面PCD ． ………………13分因为 ⊂FQ 平面PFC ，所以平面PFC ⊥平面PCD .………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且 2()242f x x x a '=-+-．………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即 6350x y +-=．………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式80a =>∆， ………………5分令 ()0f x '=，得 112x =-，或212x =+．………………6分 ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1-+． ………………9分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-．………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33f x a =--．………………12分 ③当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-．………………13分综上，当02a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a --8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(,55P ，所以点M的坐标为2(5．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分解得 47m =． ………………6分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ①………………7分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +．………………8分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．②………………9分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-．………………11分所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………13分当且仅当02x =- 所以 m的取值范围是1(0,24-．………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-．………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠．显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,na a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以 l l '≠，从而 k kb b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同．………………8分（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列12,,,n a a a 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． ………………10分所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++22k b =-≥．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．………………13分。

对数函数的图象与性质-高中数学知识点讲解(含答案)

对数函数的图象与性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共8小题）1．（2020•怀柔区模拟）函数2|log |y x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．2．（2016•西城区二模）如图，点A ，B 在函数2log 2y x =+的图象上，点C 在函数2log y x =的图象上，若ABC ∆为等边三角形，且直线//BC y 轴，设点A 的坐标为(,)m n ，则(m = )A ．2B ．3C ．2D ．33．（2015•北京模拟）2001年至2013年北京市电影放映场次的情况如图所示．下列函数模型中，最不合适近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是( )A ．2y ax bx c =++B ．x y ae b =+C ．ax b y e +=D ．y alnx b =+4．（2014秋•通州区期末）设函数()f x 是定义在R 的奇函数，且当0x <时，2()f x x =．若对任意[x k ∈，2]k +，不等式()(3)f x k f x +恒成立，则2()log ||g k k =的最小值是( ) A ．2B ．12C ．12-D ．2-5．（2015春•西城区期末）已知a ，b 为不相等的两个正数，且0lgab =，则函数x y a =和x y b =的图象之间的关系是( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称6．（2014秋•延庆县期末）函数log (2)1a y x =++的图象过定点( ) A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(1,1)-D ．(1,1)7．（2014秋•昌平区期末）已知函数2()log f x x =，当[1x ∈，4]时，函数()f x 的值域是( ) A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，4]8．（2014•海淀区一模）已知(1,0)A ，点B 在曲线:G y lnx =上，若线段AB 与曲线1:M y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．4二．填空题（共7小题）9．（2014秋•昌平区期末）已知函数()(1)(1)f x ln x ln x =+--，有如下结论： ①(1,1)x ∀∈-，有()()f x f x -=； ②(1,1)x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③1x ∀，2(1,1)x ∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④1x ∀，2(0,1)x ∈，有1212()()()22x x f x f x f ++．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）10．（2014秋•石景山区期末）若函数()f x 的图象与2x y =的图象关于对称，则函数()f x = ．（注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）11．（2013秋•丰台区期末）已知函数()f x lgx =，()g x lnx =，若f （a ）g =（b ），则下列五个关系式：①1b a <<； ②1a b <<； ③1a b <<；④1b a <<；⑤1a b ==．其中有可能成立的关系式有．（请填写序号）12．（2014秋•宣武区校级期中）函数2(1)y lg x =-，(1,1)x ∈-的值域为．13．（2014春•海淀区月考）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数()f x 的定义域内，就有f （a ），f （b ），f （c ）也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“π型函数”．则下列函数：①()F x =②()2x g x =；③()h x lnx =，[2x ∈，)+∞，其中是“π型函数”的序号为．14．（2010•丰台区二模）直线(y ex b e =+为自然对数的底数）与两个函数()x f x e =，()g x lnx =的图象至多有一个公共点，则实数b 的取值范围是．15．（2019秋•通州区期末）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在[1，4]上的最大值与最小值的和是2，则a 的值为．对数函数的图象与性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020•怀柔区模拟）函数2|log |y x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】要想判断函数2()|log |f x x =的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．【解答】解：22log 1()log 0 1.x x f x x x ⎧=⎨-<<⎩则函数的定义域为：(0,)+∞，即函数图象只出现在Y 轴右侧；值域为：(0,)+∞即函数图象只出现在X 轴上方；在区间(0,1)上递减的曲线，在区间(1,)+∞上递增的曲线．分析A 、B 、C 、D 四个答案，只有D 满足要求故选：D ．【点评】要想判断函数的图象，我们先要求出其定义域，再化简解析式，分析其单调性、奇偶性、周期性等性质，根据定义域、值域分析函数图象所处的区域，根据函数的性质分析函数图象的形状，如果还不能判断的话，可以代入特殊值，根据特殊点的位置进行判断．2．（2016•西城区二模）如图，点A ，B 在函数2log 2y x =+的图象上，点C 在函数2log y x =的图象上，若ABC ∆为等边三角形，且直线//BC y 轴，设点A 的坐标为(,)m n ，则(m = )A ．2B ．3C ．2D ．3【分析】根据题意，设出A 、B 、C 的坐标，由线段//BC y 轴，ABC ∆是等边三角形，得出AB 、AC 与BC 的关系，求出m 、n 的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设0(B x ，202log )x +，(,)A m n ，0(C x ，20log )x ，线段//BC y 轴，ABC ∆是等边三角形， 2BC ∴=，22log m n +=，22n m -∴=，42n m ∴=；又03x m -=， 03m x ∴=-， 03x m ∴=+；又202log 1x n +-=， 20log 1x n ∴=-，102n x -=；132n m -∴+=；22324n m m +==， 3m ∴=，故选：D ．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题． 3．（2015•北京模拟）2001年至2013年北京市电影放映场次的情况如图所示．下列函数模型中，最不合适近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是( )A ．2y ax bx c =++B ．x y ae b =+C ．ax b y e +=D ．y alnx b =+【分析】根据图象得出单调性的规律，单调递增，速度越来越快，利用指数型函数增大很快，对数型函数增大速度越来越慢，可以判断．【解答】解：根据图象得出单调性的规律，单调递增，速度越来越快，2y ax bx c =++，单调递增，速度越来越快， x y ae b =+，指数型函数增大很快， ax b y e +=，指数型函数增大很快，y alnx b =+，对数型函数增大速度越来越慢，所以A ，B ，C 都有可能，D 不可能．故选：D ．【点评】本题考查了函数模型的增长速度问题，难度不大，根据图象可以解决．4．（2014秋•通州区期末）设函数()f x 是定义在R 的奇函数，且当0x <时，2()f x x =．若对任意[x k ∈，2]k +，不等式()(3)f x k f x +恒成立，则2()log ||g k k =的最小值是( ) A ．2B ．12C ．12-D ．2-【分析】根据函数()f x 的单调性与奇偶性，结合[x k ∈，2]k +时，不等式()(3)f x k f x +恒成立，求出k 的取值范围，即可求出()g k 的最小值．【解答】解：当0x <时，2()f x x =，∴此时函数()f x 是减函数，又()f x 是定义在R 上的奇函数，∴函数()f x 在R 上的减函数；又对任意[x k ∈，2]k +，不等式()(3)f x k f x +恒成立，则3x k x +恒成立，即2k x 恒成立， [x k ∈，2]k +，(2)2(2)24max x k k ∴=+=+，即24k k +，解得4k -，即实数k 的取值范围是(-∞，4]-；2()log ||g k k ∴=的最小值是 2(4)log |4|2g -=-=．故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，是综合性题目．5．（2015春•西城区期末）已知a ，b 为不相等的两个正数，且0lgab =，则函数x y a =和x y b =的图象之间的关系是( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称【分析】根据已知条件得到1ab =，则a 、b 互为倒数，则函数x y a =和x y a -=的图象关于y 轴对称．【解答】解：0lgab =， 1ab ∴=，又a ，b 为不相等的两个正数， 1b a∴=，则x x y b a -==，函数x y a =和x y a -=的图象关于y 轴对称，∴函数x y a =和x y b =的图象关于y 轴对称．故选：B ．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质．解题时还需要掌握指数函数的图象与性质． 6．（2014秋•延庆县期末）函数log (2)1a y x =++的图象过定点( ) A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(1,1)-D ．(1,1)【分析】令21x +=解得1x =-，1y =；从而写出即可．【解答】解：令21x +=得，1x =-，1y =；故函数log (2)1a y x =++的图象过定点(1,1)-；故选：C ．【点评】本题考查了对数函数的性质应用，属于基础题．7．（2014秋•昌平区期末）已知函数2()log f x x =，当[1x ∈，4]时，函数()f x 的值域是( ) A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，4]【分析】由题意可得函数的单调性，代值计算可得函数的最值，可得值域．【解答】解：函数2()log f x x =在[1x ∈，4]时单调递增，∴当1x =时函数取最小值2log 10=，当4x =时函数取最小值2log 42=，∴函数()f x 的值域为[0，2]故选：B ．【点评】本题考查对数函数的单调性和值域，属基础题．8．（2014•海淀区一模）已知(1,0)A ，点B 在曲线:G y lnx =上，若线段AB 与曲线1:M y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．4【分析】设线段AB 与曲线1y x =的交点为C ，令点(,)B x lnx ，则点1(2x C +，1)2lnx ．genju 点C 在函数y lnx =的图象上，可得41lnx x =+．故曲线G 关于曲线M 的关联点的个数，即为函数y lnx = 和曲线41y x=+的交点的个数，数形结合可得结论．【解答】解：如图所示：设线段AB 与曲线1y x=的交点为C ，如图所示，令点(,)B x lnx ，则点1(2x C +，1)2lnx ．由于点C 在函数y lnx =的图象上，故有1221lnx x=+，即41lnx x=+．故曲线G 关于曲线M 的关联点的个数，即为函数y lnx = 和曲线41y x=+的交点的个数．在同一个坐标系中，画出函数y lnx = 和曲线41y x=+的图象，数形结合可得函数y lnx = 和曲线41y x=+的交点的个数为1，故选：B ．【点评】本题主要考查新定义，关联点的个数的求法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．二．填空题（共7小题）9．（2014秋•昌平区期末）已知函数()(1)(1)f x ln x ln x =+--，有如下结论： ①(1,1)x ∀∈-，有()()f x f x -=； ②(1,1)x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③1x ∀，2(1,1)x ∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④1x ∀，2(0,1)x ∈，有1212()()()22x x f x f x f ++．其中正确结论的序号是 ②③④ ．（写出所有正确结论的序号）【分析】函数()f x 是定义域(1,1)-上的奇函数，判断①错误，②正确；根据()f x 是定义域(1,1)-上的增函数，判断③正确，根据()f x 的图象在(0,1)上是向下凹的增函数，判断④正确．【解答】解：函数1()(1)(1)1xf x ln x ln x ln x+=+--=-，(1,1)x ∈-； (1,1)x ∴∀∈-，有1111()()()111x x xf x lnln ln f x x x x--++-===-=-+--； ∴①错误，②正确；又设1x ，2(1,1)x ∈-，且12x x <，则121212121211(1)(1)()()11(1)(1)x x x x f x f x lnln ln x x x x +++--=-=---+， 12110x x ->->，21110x x +>+>，1212(1)(1)01(1)(1)x x x x +-∴<<-+，1212(1)(1)0(1)(1)x x lnx x +-∴<-+，12()()f x f x ∴<，()f x ∴是定义域(1,1)-上的增函数，即1x ∀，2(1,1)x ∈-，有1212()()0f x f x x x ->-，③正确；又()(1)(1)f x ln x ln x =+--，求导得：22211112()011111x x f x x x x x x -+'=+=+=>+----，设22()1g x x =-，(0,1)x ∈，再求导得：224()0(1)xg x x '=>-，()f x ∴是向下凹的增函数， 1x ∴∀，2(0,1)x ∈，有1212()()()22x x f x f x f ++，④正确．综上，正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了判断函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了导数的应用问题，是综合性题目．10．（2014秋•石景山区期末）若函数()f x 的图象与2x y =的图象关于 y 轴对称，则函数()f x = ．（注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）【分析】本题是研究两个底数互为倒数的函数的图象之间的关系，在指数型函数中，如果两个函数的底数互为倒数，则这两个函数的图象关于y 对称．【解答】解：由于12()2x x y -==，故与其图象关于y 轴对称的图象对应的函数的解析式为2x y = 故答案为：y 轴，2x -【点评】本题考点是指数函数的图象，考查两个底数互为倒数的函数图象的对称性，本题考查函数中的一个结论，适用范围较窄，属于较偏颇的知识点．11．（2013秋•丰台区期末）已知函数()f x lgx =，()g x lnx =，若f （a ）g =（b ），则下列五个关系式：①1b a <<； ②1a b <<； ③1a b <<；④1b a <<；⑤1a b ==．其中有可能成立的关系式有 ①②⑤ ．（请填写序号）【分析】在同一坐标系中作出两函数的图象，结合图象易得答案．【解答】解：在同一坐标系中作出函数()f x 、()g x 的图象，如图所示：由图象可知，当f （a ）f =（b ）时，01a b <<<或1a b ==或1b a <<，故其中可能成立的关系式有①②⑤，故答案为：①②⑤．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，考查数形结合思想，属基础题．12．（2014秋•宣武区校级期中）函数2(1)y lg x =-，(1,1)x ∈-的值域为 (-∞，0] ．【分析】根据对数函数的性质即可求出函数的值域．【解答】解：由函数2(1)y lg x =-，(1,1)x ∈-，得2011x <-，2(1)10y lg x lg ∴=-=．即函数的值域为(-∞，0]，故答案为：(-∞，0]．【点评】本题主要考查函数的值域的计算，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．13．（2014春•海淀区月考）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数()f x 的定义域内，就有f （a ），f （b ），f （c ）也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“π型函数”．则下列函数：①()F x x =②()2x g x =；③()h x lnx =，[2x ∈，)+∞，其中是“π型函数”的序号为 ①③ ．【分析】任意一个三角形三边长满足任意两边之和大于第三边，故由新定义知，判断是否为“π型函数”，即判断a b c +>时，是否一定有f （a ）f +（b ）f >（c ），①③可由不等式性质进行判断，②取特值；分析可得答案．【解答】解：设0a b c <<，且a b c +>①，对于①a b c 即说明()F x 是“π型函数”，只需证2(a b c >即可，即证2a b ab c ++>，结合①，显然成立，所以()F x 是“π型函数”；对于②，取2a b ==，3c =，此时222a b c +=，所以()2x g x =不是“π型函数”；对于③，设2a b c <，此时只需证lna lnb lnc +>，即证lnab lnc >，即证ab c >，由①知a b c +>，而()11(1)(1)10ab a b ab a b a b -+=--+-=---，即ab a b c +>，lna lnb lnc ∴+>成立，即()h x lnx =，[2x ∈，)+∞是“π型函数”．故答案为①③【点评】本题为新定义题，只有正确理解新定义才能准确解题，然后结合新定义将问题转化为具体问题解决．14．（2010•丰台区二模）直线(y ex b e =+为自然对数的底数）与两个函数()x f x e =，()g x lnx =的图象至多有一个公共点，则实数b 的取值范围是 [2-，0] ．【分析】直线与两个函数的图象至多有一个公共点，可以分为①与()x f x e =的图象有一个公共点，且与()g x lnx =的图象没有公共点；以及②与()g x lnx =的图象有一个公共点与()x f x e =的图象没有公共点；③和与两个函数的图象都没有公共点三种情况．【解答】解：当y ex b =+与函数()x f x e =有一个公共点时，转化为x ex b e +=只有一个根，令()()x F x e ex b =-+，则其导函数为()x F x e e '=-，所以()0F x '>时1x >，()0F x '<时1x <，则()F x 在1x =时取极小值F （1）b =-，所以当y ex b =+与函数()x f x e =有一个公共点时须0b -=，即0b =．当y ex b =+与函数()f x 无公共点时须0b ->，即0b <．同理可得y ex b =+与()g x lnx =有一个公共点时，2b =-，当y ex b =+与函数()g x lnx =无公共点时，2b >-．故与()x f x e =的图象有一个公共点，且与()g x lnx =的图象没有公共点成立时0b =，与()g x lnx =的图象有一个公共点与()x f x e =的图象没有公共点成立时2b =-，与两个函数的图象都没有公共点成立时20b -<<，综上可知[2-，0]故答案为：[2-，0]【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及对应方程根的问题，体现了导数在研究方程中的应用15．（2019秋•通州区期末）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在[1，4]上的最大值与最小值的和是2，则a 的值为 2 ．【分析】利用对数函数的单调性，当1a >时，log a y x =在(0,)+∞上为增函数，所以log a y x =在[1，4]上最大值为log 4a ，最小值为log 1a ；当01a <<，时，log a y x =在(0,)+∞上为减函数，所以log a y x =在[1，4]上最大值为log 1a ，最小值为log 4a ．【解答】解：，当1a >时，log a y x =在(0,)+∞上为增函数，所以log a y x =在[1，4]上最大值为log 4a ，最小值为log 1a ；当01a <<，时，log a y x =在(0,)+∞上为减函数，所以log a y x =在[1，4]上最大值为log 1a ，最小值为log 4a ．故有log 1log 42a a +=即log 42a =24a=a=±2又0a>，所以2a=，故答案为：2．【点评】本题考查了对数函数的单调性以及对数指数运算．。

北京市怀柔区2019-2020学年中考数学二模试卷含解析

北京市怀柔区2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．要使式子1x有意义，x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠0C．x＞﹣1且≠0D．x≥﹣1且x≠02．一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（）A．（﹣5，3）B．（1，﹣3）C．（2，2）D．（5，﹣1）3．数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|＞|c|，b•c＜0，则原点的位置（）A．点A的左侧B．点A点B之间C．点B点C之间D．点C的右侧4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=25cm，则AD的长为（）A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm6．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（）A．36°B．54°C．72°D．108°7．如图，平行四边形ABCD中，点A在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，点D在y轴上，点B、点C在x轴上．若平行四边形ABCD的面积为10，则k的值是（）A ．﹣10B ．﹣5C ．5D ．108．如图，数轴上的四个点A ，B ，C ，D 对应的数为整数，且AB ＝BC ＝CD ＝1，若|a|+|b|＝2，则原点的位置可能是（）A ．A 或B B ．B 或C C ．C 或D D ．D 或A9．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A ．310B ．15C ．12D ．71010．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O e ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒11．如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ；②S 四边形BCDG=；③若AF=2DF ，则BG=6GF ；④CG 与BD 一定不垂直；⑤∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．112．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，动点E 、F 分别从点C ，D 出发，以相同速度分别沿CB ，DC 运动（点E 到达C 时，两点同时停止运动）.连接AE ，BF 交于点P ，过点P 分别作PM ∥CD ，PN ∥BC ，则线段MN 的长度的最小值为（）A．52B．512-C．12D．1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一个根是0，则k的值是______．14．如图，sin∠C35=，长度为2的线段ED在射线CF上滑动，点B在射线CA上，且BC=5，则△BDE周长的最小值为______．15．计算：2(3)--+（|﹣3|）0=_____．16．如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B（20,53-），D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么k的值是_______17．如图是我区某一天内的气温变化图，结合该图给出的信息写出一个正确的结论：________．18．如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60︒方向与灯塔Р的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45︒方向上的B处.求此时轮船所在的B处与灯塔Р的距离.（结果保留根号）20．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，DE⊥AC于E，且AE=CE，若DE=5，EB=12，求四边形ABCD的周长．21．（6分）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：⑴补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是度；⑵根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有人；⑶在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或者画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率22．（8分）如图，平面直角坐标系中，直线AB：13y x b=-+交y轴于点A(0，1)，交x轴于点B．直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P(1，n)．求直线AB 的解析式和点B的坐标；求△ABP的面积(用含n的代数式表示)；当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点M，点E在边BC上，且∠DAE=∠DCB，联结AE，AE与BD交于点F．（1）求证：2=⋅；DM MF MB（2）连接DE，如果BF=3FM，求证：四边形ABED是平行四边形.24．（10分）在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF．（1）说明△BEF是等腰三角形；（2）求折痕EF的长．25．（10分）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为¶AB，P是半径OB上一动点，Q是¶AB上的一动点，连接PQ．（1）当∠POQ＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求¶BQ的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．26．（12分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．求反比例函数和一次函数的解析式；直接写出当x＞0时，的解集．点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．27．（12分）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF 相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据二次根式由意义的条件是：被开方数大于或等于1，和分母不等于1，即可求解．【详解】根据题意得：10 {xx+≥≠，解得：x≥-1且x≠1．故选：D．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1；二次根式的被开方数是非负数．2．C【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．【详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣45＜0，不符合题意；B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=32＞0，符合题意；D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，故选C．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．3．C【解析】分析：根据题中所给条件结合A、B、C三点的相对位置进行分析判断即可.详解：A选项中，若原点在点A的左侧，则a c<，这与已知不符，故不能选A；B选项中，若原点在A、B之间，则b>0，c>0，这与b·c<0不符，故不能选B；C选项中，若原点在B、C之间，则a c>且b·c<0，与已知条件一致，故可以选C；D选项中，若原点在点C右侧，则b<0，c<0，这与b·c<0不符，故不能选D.故选C.点睛：理解“数轴上原点右边的点表示的数是正数，原点表示的是0，原点左边的点表示的数是负数，距离原点越远的点所表示的数的绝对值越大”是正确解答本题的关键.4．A【解析】A.是轴对称图形不是中心对称图形，正确；B.是轴对称图形也是中心对称图形，错误；C.是中心对称图形不是轴对称图形，错误；D. 是轴对称图形也是中心对称图形，错误，故选A.【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键.5．C【解析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA，根据等角对等边证明FC=AF，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解．【详解】∵长方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∵∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠DCA，∴FC=AF=25cm，又∵长方形ABCD中，DC=AB=32cm，∴DF=DC-FC=32-25=7cm，在直角△ADF中，AD=2222=257AF DF--=24（cm）．故选C．【点睛】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中注意到相等的角以及相等的线段是关键．6．C【解析】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是3605=72度，故选C．7．A【解析】【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE＝|−k|，利用反比例函数图象得到．【详解】作AE⊥BC于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，∴四边形ADOE为矩形，∴S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE，而S矩形ADOE＝|−k|，∴|−k|＝1，∵k＜0，∴k＝−1．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数y＝kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．8．B【解析】【分析】根据AB=BC=CD=1，|a|+|b|=2，分四种情况进行讨论判断即可．【详解】∵AB＝BC＝CD＝1，∴当点A为原点时，|a|+|b|＞2，不合题意；当点B为原点时，|a|+|b|＝2，符合题意；当点C为原点时，|a|+|b|＝2，符合题意；当点D为原点时，|a|+|b|＞2，不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了数轴以及绝对值，解题时注意：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．9．A【解析】【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是3 10．故选：A．【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．10．C【解析】【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB =∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．11．B【解析】试题分析：①∵ABCD 为菱形，∴AB=AD ，∵AB=BD ，∴△ABD 为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF ，AD=BD ，∴△AED ≌△DFB ，故本选项正确；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD ，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B 、C 、D 、G 四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C 作CM ⊥GB 于M ，CN ⊥GD 于N （如图1），则△CBM ≌△CDN （AAS ），∴S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN =2S △CMG ，∵∠CGM=60°，∴GM=CG ，CM=CG ，∴S 四边形CMGN =2S △CMG =2××CG×CG=，故本选项错误；③过点F 作FP ∥AE 于P 点（如图2），∵AF=2FD ，∴FP ：AE=DF ：DA=1：3，∵AE=DF ，AB=AD ，∴BE=2AE ，∴FP ：BE=FP ：AE=1：6，∵FP ∥AE ，∴PF ∥BE ，∴FG ：BG=FP ：BE=1：6，即BG=6GF ，故本选项正确；④当点E ，F 分别是AB ，AD 中点时（如图3），由（1）知，△ABD ，△BDC 为等边三角形，∵点E ，F分别是AB ，AD 中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG ，在△GDC 与△BGC 中，∵DG=BG ，CG=CG ，CD=CB ，∴△GDC ≌△BGC ，∴∠DCG=∠BCG ，∴CH ⊥BD ，即CG ⊥BD ，故本选项错误； ⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B ．考点：四边形综合题．12．B【解析】分析：由于点P 在运动中保持∠APD=90°，所以点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，设AD 的中点为Q ，连接QC 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，再由勾股定理可得QC 的长，再求CP 即可．详解：由于点P 在运动中保持∠APD=90°， ∴点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，设AD 的中点为Q ，连接QC 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，在Rt △QDC 中，2215122⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴CP=QC －QP=512，故选B ．点睛：本题主要考查的是圆的相关知识和勾股定理，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键是根据圆的知识得出点P 的运动轨迹．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2．【解析】试题解析：由于关于x 的一元二次方程()22160k x x k k -++-=的一个根是2，把x=2代入方程，得20k k -= ，解得，k 2=2，k 2=2当k=2时，由于二次项系数k ﹣2=2，方程()22160k x x k k -++-=不是关于x 的二次方程，故k≠2．所以k 的值是2．故答案为2．14．2210+【解析】【分析】作BK ∥CF ，使得BK=DE=2，作K 关于直线CF 的对称点G 交CF 于点M ，连接BG 交CF 于D'，则''2D E DE ==，此时△BD'E'的周长最小，作BH CF ⊥交CF 于点F ，可知四边形''BKD E 为平行四边形及四边形BKMH 为矩形，在Rt BCH V 中，解直角三角形可知BH 长，易得GK 长，在Rt △BGK 中，可得BG 长，表示出△BD'E'的周长等量代换可得其值.【详解】解：如图，作BK ∥CF ，使得BK=DE=2，作K 关于直线CF 的对称点G 交CF 于点M ，连接BG 交CF于D'，则''2D E DE ==，此时△BD'E'的周长最小，作BH CF ⊥交CF 于点F.由作图知''''//D ,D BK E BK E =，∴四边形''BKD E 为平行四边形， ''BE KD ∴=由对称可知'',2,KG CF GK KM KD GD ⊥==BH CF ⊥Q//BH KG ∴//CF BK Q ，即//BK HM∴四边形BKMH 为矩形,90KM BH BKM ︒∴=∠=在Rt BCH V 中， 3sin 55BH BH C BC ∠=== 3BH ∴=3KM ∴=26GK KM ∴==在Rt △BGK 中， BK=2，GK=6，∴BG 2226=+=10，∴△BDE 周长的最小值为10．故答案为：10【点睛】本题考查了最短距离问题，涉及了轴对称、矩形及平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理，难度系数较大，利用两点之间线段最短及轴对称添加辅助线是解题的关键.15．4 3【解析】原式=()211411333+=+=-.16．-12【解析】过E点作EF⊥OC于F,如图所示：由条件可知：OE=OA=5，532043EF BCtan BOCOF OC∠＝＝＝＝，所以EF=3，OF=4，则E点坐标为（-4，3）设反比例函数的解析式是y＝kx，则有k=-4×3=-12.故答案是：-12.17．这一天的最高气温约是26°【解析】【分析】根据我区某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．【详解】解：根据图象可得这一天的最高气温约是26°，故答案为：这一天的最高气温约是26°．【点睛】本题考查的是函数图象问题，统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．18．x＞﹣1．【解析】【分析】根据函数y=3x+b 和y=ax-3的图象交于点P （-1，-5），然后根据图象即可得到不等式 3x+b ＞ax-3的解集．【详解】解：∵函数y=3x+b 和y=ax-3的图象交于点P （-1，-5），∴不等式 3x+b ＞ax-3的解集是x ＞-1，故答案为：x ＞-1．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，熟练掌握是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．406海里【解析】【分析】过点P 作PC AB ⊥，则在Rt △APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出PB ．【详解】解：如图，过点P 作PC AB ⊥，垂足为点C.∴30APC ︒∠=，45BPC ︒∠=，80AP =海里.在Rt APC ∆中，cos PC APC AP∠=， ∴3cos 804032PC AP APC =⋅∠≡⨯=．在Rt PCB ∆中，cos PC BPC PB∠=， ∴4036cos cos 45PC PB BPC ︒===∠. ∴此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是406【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．20．3【解析】【分析】根据∠ABC=90°，AE=CE ，EB=12，求出AC ，根据Rt △ABC 中，∠CAB=30°，BC=12，求出cos30123,AB AC o =⋅=根据DE ⊥AC ，AE=CE ，得AD=DC ，在Rt △ADE 中，由勾股定理求出 AD ，从而得出DC 的长，最后根据四边形ABCD 的周长=AB+BC+CD+DA 即可得出答案．【详解】∵∠ABC=90°，AE=CE ，EB=12，∴EB=AE=CE=12，∴AC=AE+CE=24，∵在Rt △ABC 中，∠CAB=30°，∴BC=12， cos303,AB AC o =⋅=∵DE ⊥AC ，AE=CE ，∴AD=DC ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得 222212513.AD AE DE ++= ∴DC=13，∴四边形ABCD 的周长=AB+BC+CD+DA=38123+．【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，关键是根据有关定理和解直角三角形求出四边形每条边的长．21．（1）72；（2）700；（3）23．【解析】试题分析：（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，用360度乘以体育类人数所占比例即可得；（2）用样本估计总体的思想解决问题；（3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．试题解析：（1）调查的学生总数为60÷30%=200（人），则体育类人数为200﹣（30+60+70）=40，补全条形图如下：“体育”对应扇形的圆心角是360°×40200=72°；（2）估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有：2000×70200=700（人），（3）将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，树状图如图所示：所以P（2名学生来自不同班）=82 123．考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；用样本估计总体．22．(1) AB的解析式是y=-13x+1．点B（3，0）．(2)32n-1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2）．【解析】试题分析：（1）把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x 的值，即可求得B的坐标；（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAB的面积，二者的和即可求得；（3）当S△ABP=2时，32n-1=2，解得n=2，则∠OBP=45°，然后分A、B、P分别是直角顶点求解．试题解析：（1）∵y=-13x+b经过A（0，1），∴b=1，∴直线AB的解析式是y=-13x+1．当y=0时，0=-13x+1，解得x=3，∴点B（3，0）．（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，∵x=1时，y=-13x+1=23，P在点D的上方，∴PD=n-23，S△APD=12PD•AM=12×1×(n-23)=12n-13由点B（3，0），可知点B到直线x=1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，∴S△BPD=12PD×2=n-23，∴S△PAB=S△APD+S△BPD=12n-13+n-23=32n-1；（3）当S△ABP=2时，32n-1=2，解得n=2，∴点P（1，2）．∵E（1，0），∴PE=BE=2，∴∠EPB=∠EBP=45°．第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，过点C作CN⊥直线x=1于点N．∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，∴∠NPC=∠EPB=45°．又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，∴△CNP≌△BEP，∴PN=NC=EB=PE=2，∴NE=NP+PE=2+2=4，∴C（3，4）．第2种情况，如图2∠PBC=90°，BP=BC，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ．∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，∴∠CBF=∠PBE=45°．又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP ，∴△CBF ≌△PBE ．∴BF=CF=PE=EB=2，∴OF=OB+BF=3+2=5，∴C （5，2）．第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=EB ，∴∠CPB=∠EBP=45°，在△PCB 和△PEB 中，{CP EBCPB EBP BP BP=∠=∠=∴△PCB ≌△PEB （SAS ），∴PC=CB=PE=EB=2，∴C （3，2）．∴以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，点C 的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．考点：一次函数综合题．23．(1) 证明见解析;(2) 证明见解析.【解析】分析：（1）由AD ∥BC 可得出∠DAE=∠AEB ，结合∠DCB=∠DAE 可得出∠DCB=∠AEB ，进而可得出AE ∥DC 、△AMF ∽△CMD ，根据相似三角形的性质可得出FM DM =AM CM，根据AD ∥BC ，可得出△AMD ∽△CMB ，根据相似三角形的性质可得出AM CM =DM BM ，进而可得出FM DM =DM BM ，即MD 2=MF•MB ；（2）设FM=a ，则BF=3a ，BM=4a ．由（1）的结论可求出MD 的长度，代入DF=DM+MF 可得出DF 的长度，由AD ∥BC ，可得出△AFD ∽△△EFB ，根据相似三角形的性质可得出AF=EF ，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形ABED 是平行四边形．详解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．∵∠DCB=∠DAE，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴△AMF∽△CMD，∴FMDM=AMCM．∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴AMCM=DM FMBM DM，=DMBM，即MD2=MF•MB．（2）设FM=a，则BF=3a，BM=4a．由MD2=MF•MB，得：MD2=a•4a，∴MD=2a，∴DF=BF=3a．∵AD∥BC，∴△AFD∽△△EFB，∴AFEF=DFBF=1，∴AF=EF，∴四边形ABED是平行四边形．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质以及矩形，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质找出FMDM=AMCM、AMCM=DMBM；（2）牢记“对角线互相平分的四边形是平行四边形”．24．（1）见解析；（2）15 2.【解析】【分析】（1）根据折叠得出∠DEF=∠BEF，根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠DEF=∠BFE，求出∠BEF=∠BFE即可；（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6，AE=BM，根据折叠得出DE=BE，根据勾股定理求出DE、在Rt△EMF中，由勾股定理求出即可．【详解】（1）∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴∠DEF=∠BEF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，即△BEF是等腰三角形；（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，所以EM=AB=6，AE=BM．∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴DE=BE，DO=BO，BD⊥EF．∵四边形ABCD是矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠BAD=90°．在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，即（8﹣BE）2+62=BE2，解得：BE=254=DE=BF，AE=8﹣DE=8﹣25 4=74=BM，∴FM=254﹣74=92．在Rt △EMF 中，由勾股定理得：EF=22962（）+=152．故答案为152．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键． 25．（1）90,102︒；（2）103π；（3）251002100π- 【解析】【分析】（1）先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；（2）先判断出∠POQ ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt △B'OP 中，OP 2+2(10210) ＝2( 10 - O P ) ，解得OP ＝10210- ，最后用面积的和差即可得出结论．【详解】解：（1）∵P 是半径OB 上一动点，Q 是¶AB 上的一动点，∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ ＝90°，PQ ＝22102+=OA OB ，故答案为：90°，2 ；（2）解：如图，连接OQ ，∵点P 是OB 的中点，∴OP ＝12OB ＝12OQ ． ∵QP ⊥OB ，∴∠OPQ ＝90°在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP ＝OP 12=OQ ， ∴∠QOP ＝60°，∴l BQ 6010101803ππ=⨯= ；（3）由折叠的性质可得，,102''===BP B P AB AB ，在Rt △B'OP 中，OP 2+2(10210)- ＝2( 10 - O P ) ,解得OP ＝10210-，S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S △AOP ＝290110210(10210)2510021003602ππ⨯-⨯⨯⨯-=-+.【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键． 26．（1），y ＝﹣x+5；（2）0＜x ＜1或x ＞4；（3）P 的坐标为（，0），见解析.【解析】【分析】（1）把A （1，4）代入y ＝，求出m ＝4，把B （4，n ）代入y ＝，求出n ＝1，然后把把A （1，4）、（4，1）代入y ＝kx+b ，即可求出一次函数解析式；（2）根据图像解答即可；（3）作B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′，交x 轴于P ，此时PA+PB ＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.【详解】解：（1）把A （1，4）代入y ＝，得：m ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝；把B （4，n ）代入y ＝，得：n ＝1，∴B （4，1），把A （1，4）、（4，1）代入y ＝kx+b ，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，∵B（4，1），∴B′（4，﹣1），设直线AB′的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线AB′的解析式为，令y＝0，得，解得x＝，∴点P的坐标为（，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答（3）的关键.27．证明见解析.【解析】【分析】利用AAS 先证明∆ABH ≌∆DCG ，根据全等三角形的性质可得AH=DG ，再根据AH ＝AG ＋GH ，DG ＝DH ＋GH 即可证得AG ＝HD.【详解】∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D ，∵CE ∥BF ，∴∠AHB ＝∠DGC ，在∆ABH 和∆DCG 中，A D AHB DGC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ABH ≌∆DCG(AAS)，∴AH ＝DG ，∵AH ＝AG ＋GH ，DG ＝DH ＋GH ，∴AG ＝HD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.。

2020-2021学年北京市怀柔区中考二模数学试题及答案解析

北京市怀柔区高级中等学校招生模拟考试（二）数学试卷考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如图，数轴的单位长度为1，如果点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是A. 4B. 0C. -2D. -42．2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约13 100 000人，创历史新高．将数字13 100 000用科学记数法表示为 A ．13.1×106B ．1.31×107C ．1.31×108D ．0.131×1083．正八边形的内角和等于A. 720°B. 1080°C. 1440°D.1880° 4. 下列各式计算正确的是A ．23523a a a +=B ．235()a a = C ．623a a a ÷= D ．235a a a ⋅= 5. 以下问题，不适合用普查方法的是xEDCAA.了解某种酸奶中钙的含量B.了解某班学生的课外作业时间C.公司招聘职员，对应聘人员的面试 C. 旅客上飞机前的安检6．一个不透明的口袋中，装有5个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸一个球，则摸到红球的概率为 A ．18B ．38C ．58D ．347．如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m8. 在四边形ABCD 中，AB ∥DC , AD ∥BC ，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是 A ．90D =o ∠B ．AB CD =C ．AD BC = D ．BC CD =9. 一元二次方程x 2﹣2x+m=0总有实数根，则m 应满足的条件是A. m ＞1B. m=1 B. m ＜1C. m ≤110．小丽早上从家出发骑车去上学，途中想起忘了带昨天晚上完成的数学作业，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回骑，遇到妈妈后停下说了几句话，接着继续骑车去学校．设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与学校的距离为S ．下面能反映S 与t 的函数关系的大致图象是二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有_________________性．12．分解因式x 3-9x=__________.13．矩形，菱形，正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如___________.（填一条即可）.14. 如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为__________. 15. 观察下列一组坐标：（a,b ），(a,c)，(b,c)，(b,a)，(c,a)，(c,b),(a,b),(a,c)…… ，它们是按一定规律排列的，那么第9个坐标是，第2015个坐标是． 16.已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，点C ，D 在线段BF 上，AB DE ∥，AB DF ，BC=DE ．求证：AC=FE ．FEDC BA18. 计算：011(2)272cos30()2π--+-︒+19.解不等式组：20．先化简，再求值：2(2)(21)(21)4(1)x x x x x +++--+，其中2x =- 21.列方程或方程组解应用题:周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量.22．大星发超市进了一批成本为8元/个的文具盒。

2020届北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数(含答案)

2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数1.（2020▪海淀二模）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =（D ）ln y x =2．（2020▪西城高三二模）下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）y x x = （C ）1y x -=（D）y =3．（2020▪西城高三二模）设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >>（B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>4．（2020▪西城高三二模）设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦5.（2020▪东城高三二模）已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A)定义域都为R (B)值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D)都是奇函数 6. （2020▪东城高三二模）已知函数()log a f x x b =+的图象如图所示，那么函数()xg x a b =+的图象可能为(A) （B ）（C ）（D ）7．（2020▪密云高三二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A. B. C. D.8. （2020▪密云高三二模）已知，则下列各不等式中一定成立的是A ．B ．C ．D ．9.（2020▪密云高三二模）已知函数满足，且，则A ．16B ．8C ．4D ． 210.（2020▪朝阳高三二模）函数ln ()1xf x x =-的定义域为（A ）∞（0，+）（B ）⋃∞（0，1）（1，+）（C ）∞[0，+）（D ）⋃∞[0，1）（1，+）11.（2020▪朝阳高三二模）若,,a b c R ∈且a b c >>，则下列不等式一定成立的是(A)22ac bc > (B)222a b c >> (C)2a c b +>(D)a c b c ->-12.（2020▪朝阳高三二模）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3;f x x =②()3xf x =③3()log f x x =④()tan f x x =其中，在其定义域上具有性质m ψ的函数的序号是（A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④13. （2020▪西城高三（下）6月模拟）函数()1f x x x=-是 (A)奇函数,且值域为()0,+∞(B)奇函数,且值域为R (C)偶函数,且值域为()0,+∞(D)偶函数,且值域为R14. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设,,a b c 为非零实数,且a b c >>,则(A)a b b c ->-(B)111a b c<<(C)2a b c +>(D)以上三个选项都不对15.（2020▪昌平高三二模）设，则（A ）（B ）（C ）（D ）16.（2020▪昌平高三二模）点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为（A ）（B ）（C ）（D ）17.（2020▪丰台高三二模）函数()f x =的定义域为（A ）(02), （B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞,, （D ）(0][2)-∞+∞,,18．（2020▪丰台高三二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数（B ）是奇函数，且在定义域上是减函数（C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数（D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数19.（2020▪房山高三二模）函数2()e x f x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）320.（2020▪房山高三二模）已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x（A ）是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数（B ）是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数（C ）是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数（D ）是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数 21. （2020▪密云高三二模）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，且，都有；② ； ③ 是偶函数；若，，，则，，的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．22.（2020▪东城高三二模）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ②当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④当=4T a k(∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T . 其中正确判断的有(A)1个(B)2个(C) 3个(D)4个23.（2020▪房山高三二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ，空气的温度是0C θ，经过t分钟后物体的温度C θ可由公式010()e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C 的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C ，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈）（A ）0.6 （B ）0.5 （C ）0.4 （D ）0.324.（2020▪海淀二模）已知函数1,0,()|ln |,0.ax x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩给出下列三个结论：① 当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的序号是_______.25.（2020▪东城高三二模）配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为_______.26.（2020▪朝阳高三二模）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为100%out inoutC C C η-=⨯其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L 某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示，图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值（i=1,2,j=1,2,3,4）该研究小组得到以下结论:①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低. 其中，所有正确结论的序号是.注:本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.27.（2020▪西城高三（下）6月模拟）已知函数()f x 的定义域为R ,满足()()22f x f x +=,且当(]0,2x ∈时,()23x f x =-.有以下三个结论: ①()112f -=-②当1142a ⎥∈⎛⎤ ⎝⎦，时,方程()f x a =在区间[]4,4-上有三个不同的实根;③函数()f x 有无穷多个零点,且存在一个零点b Z ∈. 其中,所有正确结论的序号是.28.（2020▪房山高三二模）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,,22,.a b a b a b b a a b -⎧*=⎨-<⎩≥给出下列三个结论：①存在实数a ，b ，c 使得a b b c c a *+**≥成立； ②函数()sin cos f x x x =*的值域为[0,2]； ③不等式2(1)1x x *-*≤的解集是[1,)+∞．其中正确结论的序号是________．29.（2020▪昌平高三二模）已知，则的最小值为_________ .30.（2020▪海淀二模）（本小题共14分）已知函数()e (sin cos )x f x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.31．（2020▪西城高三二模）（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值；（Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．32.（2020▪东城高三二模）（本小题15分）已知()sin ()xf x e x ax a =++∈R .（Ⅰ）当2a =-时，求证：()f x 在(0)-∞，上单调递减；（Ⅱ）若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若()f x 有最小值，请直接给出实数a 的取值范围.33.（2020▪朝阳高三二模）(本小题15分)已知函数()()2f x sinx xcosx ax a R =--∈.(I)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. (i)求a 的值;(ii)证明:函数()f x 在区间(0)π，内有唯一极值点; (II)当1a ≤时，证明对任意()0()0x f x π∈>，，.34. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分15分)设函数()f x axlnx =,其中a R ∈.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的极值;(Ⅲ)证明:()2xxf x ee>-35.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（II ）求函数的单调区间；（III ）当时，比较与的大小.36.（2020▪丰台高三二模）（本小题共15分）已知函数1()e xx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.37.（2020▪房山高三二模）（本小题15分）已知函数cos ()e1sin xx f x x=++．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅲ）求证：当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥．38.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）设函数，试判断函数是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当时，写出与的大小关系．2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数参考答案1.A2.B3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.B 10.B 11.D 12.A 13.B 14.C 15.B 16.C 17.C 18.B 19.B 20.C 21.D 22.C 23.D 24. ②③ 25.5 26. ②④ 27. ① ② 28. ①③ 29.5 30.（本小题共14分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )+e (cos sin )x xf x x x x x '=+-2e cos x x =.令()0,f x '>得22()22k x k k πππ-<<π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为(2,2)22k k πππ-π+()k ∈Z .（Ⅱ）证明：要证曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程'()2f x =在区间(0,)2π上有且只有一个解.令()f x '2e cos 2x x ==，得e cos 1x x =.设c (1)e os xg x x =-，则()e cos e sin sin()4x x x g x x x x π'=-=-.当(0,)2x π∈时，令()0g x '=，得4x π=.当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：所以()g x 在(0,)4上单调增，在(,)42上单调减. 因为0(0)g =,所以当(0,]4x π∈时，()0g x >；又1(0)2g π=-<，所以当(,)42x ππ∈时，()g x 有且只有一个零点. 所以当(0,)2x π∈时，c (1)e os x g x x =-有且只有一个零点. 即方程2()f x '=，(0,)2x π∈有且只有一个解. 所以曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线. 31．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-，………………2分解得0a =.验证知0a =符合题意.………………4分（Ⅱ）()e sin x f x x '=-.………………6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，………………7分则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数. 故()(0)2f x f >=，即()2f x >.………………9分（Ⅲ）由()e cos 0x f x a x =+=，得cos e xx a =-. 设函数cos ()e xx h x =-，[0,π]x ∈，………………10分则sin cos ()e xx x h x +'=.………………11分令()0h x '=，得3π4x =. 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减.………………13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=，所以当3ππ4[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--.………………15分 32.（本小题15分）（Ⅰ）解：'()cos xf x e x a =++,对于2a =-，当0x <时，1,cos 1x e x <≤，所以'()cos 20x f x e x =+-<.所以()f x 在(),0-∞上单调递减.………………………………4分（Ⅱ）解：当0x =时，()11f x =≥，对于R ∈a ，命题成立，当0x >时，设()cos =++x g x e x a ，则'()sin x g x e x =-.因为1,sin 1>≤x e x ，所以'()sin 11=0x g x e x =->-，()g x 在()0,+∞上单调递增.又(0)2=+g a ，所以()2>+g x a .所以'()f x 在()0,+∞上单调递增，且'()2>+f x a .① 当2a ≥-时，'()0>f x ，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.因为(0)1f =，所以()1>f x 恒成立.② 当2a <-时，'(0)20f a =+<，因为'()f x 在[0,)+∞上单调递增，又当ln(2)=-x a 时，'()2cos 2cos 0=-+++=+>f x a x a x ，所以存在0(0,)x ∈+∞，对于0(0,)∈x x ，'()0f x <恒成立.所以()f x 在()00,x 上单调递减，所以当0(0,)∈x x 时，()(0)1<=f x f ，不合题意.综上，当2a ≥-时，对于0x ≥，()1f x ≥恒成立.………………………………13分（Ⅲ）解：0a <.………………………………15分33.（本小题15分）解：（Ⅰ）（ⅰ）因为()2sin cos =--f x x x x ax ，所以()2cos (cos sin )cos sin '=---=+-f x x x x x a x x x a ．因为曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1，所以(0)1'=f ，即11-=a ，故0=a ．经检验，符合题意．……………4分（ⅱ)由（ⅰ）可知()2sin cos =-f x x x x ，()cos sin '=+f x x x x ．设()()'=g x f x ，则()cos '=g x x x ．令()0'=g x ，又)π(0,∈x ，得2π=x ．当(0,)2π∈x 时，()0'>g x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<g x ，所以()g x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减．又(0)1=g ，ππ()22=g ，(π)1=-g ，因此，当π(0,]2∈x 时，()(0)0>>g x g ，即()0'>f x ，此时()f x 在区间π(0,]2上无极值点；当π(,π)2∈x 时，()0=g x 有唯一解0x ，即()0'=f x 有唯一解0x ，且易知当0π(,)2∈x x 时，()0'>f x ，当0(,π)∈x x 时，()0'<f x ，故此时()f x 在区间π(,π)2内有唯一极大值点0x ．综上可知，函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点．……………10分（Ⅱ）因为()cos sin '=+-f x x x x a ，设()()'=h x f x ，则()cos '=h x x x ．令()0'=h x ，又(0,π)∈x ，得π2=x ．且当π(0,)2∈x 时，()0'>h x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<h x ，所以()'f x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减．当1≤a 时，(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，()1'π=--f a ．（1）当()10'π=--≥f a ，即1≤-a 时，()0'≥f x ．此时函数()f x 在(0,π)内单调递增，()(0)0>=f x f ；（2）当()10'π=--<f a ，即11-<≤a 时，因为(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，所以，在π(0,)2内()0'≥f x 恒成立，而在区间π(,π)2内()'f x 有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在1(0,)x 内单调递增，在1(,π)x 内单调递减．又因为(0)0=f ，()(1)0π=-π≥f a ，所以此时()0>f x ．由（1）（2）可知，当1≤a 时，对任意(0,π)∈x ，总有()0>f x ．……………15分34．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由，得，………………2分则，. 所以曲线在点处的切线为.………………4分将点代入切线方程，得.………………5分（Ⅱ）由题意，得，. 令，得.………………7分随着变化，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗所以函数在上单调递减，在上单调递增.………………9分所以函数存在极小值，且极小值为；函数不存在极大值. ………………10分（Ⅲ）“”等价于“”.………………11分由（Ⅱ），得（当且仅当时等号成立）.①所以.故只要证明即可（需验证等号不同时成立）.………………12分设，，则.………………13分因为当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以（当且仅当时等号成立）.②因为①②两个不等式中的等号不同时成立，所以当时，.………………15分35.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，因为，…………….1分所以.…………….2分所以曲线在点处的切线方程为.…………….4分（II）定义域为.因为①当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….5分②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….6分③当时，令，则或.…………….7分所以当时，或；当时，.…………….8分所以函数在和上单调递增，在上单调递减.…………….9分综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）法一：由（Ⅱ）可知，（1）当时，函数在上单调递增；所以当时，因为，所以.…………….10分（2）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.①当，即时，.所以当时，函数在上单调递减，上单调递增，所以.…………….11分②当，即时，.由上可知，因为，设.因为，所以在上单调递增.所以.所以所以.…………….13分③当，即时，.因为函数在上单调递减，所以当时，.所以.综上可知，当时，.…………….14分（III）法二：因为，①当时，因为，所以.所以.……………10分②当时，因为，所以.所以..11分设.因为，所以当时，或，当时，.…………….12分所以在上单调递减，在上单调递增.……………13分所以.所以当时，.…………….14分36.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()e xxf x+=，定义域R，所以'()e x xf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值.………5分（Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()e e e x x x x xg x x x x --+=-=.由0x >得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即.………9分（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意.令， . 当时，若，，则在上是减函数.所以时，，不合题意.e 10x->'()0g x >()g x [0)∞,+(0)x ∈∞,+()(0)0g x g >=21()12f x x >-+12a ≤-221()121f x x ax >-+≥+221()()11ex x h x f x ax ax +=--=--1'()2(2)e e x x x x ax x a h =--=-+102a -<<1(0ln())2x a ∈-，'()0h x <()h x 1[0ln()]2a -，1(0ln())2x a ∈-，()(0)0h x h <=当时，则在上是减函数，所以，不合题意.综上所述，实数的取值范围.………15分 37.（本小题15分）解：（Ⅰ）由sin 1x ≠-，得π2π()2x k k ≠-+∈Z 所以()f x 的定义域为π{|2π()}2x x k k ≠-+∈Z （Ⅱ）0cos 0(0)e 21sin 0f =+=+ 22sin (1sin )cos 1()e e (1sin )1sin x x x x x f x x x-+-'=+=-+++（π2π()2x k k ≠-+∈Z ） (0)0f '=所以，曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为2y = （Ⅲ）法一：由1()e 1sin x f x x'=-++，令1()e 1sin x g x x =-++，则2cos ()e (1sin )x x g x x '=++ 当ππ(,)22x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在ππ(,)22-上单调递增，且(0)0g = 所以当π(,0)2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当π(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 0a ≥'()0h x <()h x (0)∞,+()(0)0h x h <=a 1(]2-∞-,法二：1()e 1sin x f x x'=-++ 当0x =时，01(0)e 01sin 0f '=-+=+；当(,0)2x π∈-时，sin (1,0),x ∈-1sin (0,1),x +∈11(1,),(,1),1sin 1sin x x -∈+∞∈-∞-++ 2e (e ,1)x π-∈，所以当(,0)2x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(0,)2x π∈时，sin (0,1),x ∈11111sin (1,2),(,1),(1,),1sin 21sin 2x x x -+∈∈∈--++ 2e (1,e )x π∈，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 38.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当时，，所以，因此．又因为，所以切点为．所以切线方程为．（Ⅱ）解：．所以．因为，所以．（1）当，即时因为，所以，故．此时函数在上单调递增．所以函数不存在最小值．（2）当，即时令，因为，所以．与在上的变化情况如下：−0 +所以当时，有极小值，也是最小值，并且．综上所述，当时，函数不存在最小值；当时，函数有最小值．（Ⅲ）解：当时，．。

北京市怀柔区2020年高考数学达标测试试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．22．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（） A ．长轴在y 轴上的椭圆 B ．长轴在x 轴上的椭圆 C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线3．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（）A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ<B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>4．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）6．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（）A ．2-B ．1C ．0D ．7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>8．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1039．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC +D ．3122DA DC +10．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（） A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ．113 B ．4 C ．133D ．512．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市怀柔区2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析

北京市怀柔区2019-2020学年中考数学二模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（）A ．16B ．13C ．12D ．232．计算﹣2+3的结果是（）A ．1B ．﹣1C ．﹣5D ．﹣63．如图，直线,AB CD 被直线EF 所截，155∠=o ，下列条件中能判定//AB CD 的是（）A ．235∠=oB ．245∠=oC ．255∠=oD ．2125∠=o4．下列运算中，正确的是（）A ．x 2+5x 2=6x 4B ．x 326·x x =C ．236()x x =D ．33()xy xy =5．如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 ∠1 等于( )A ．120︒B ．105︒C ．60︒D ．45︒6．﹣18的倒数是（）A ．18B ．﹣18C ．-118D ．1187．如图，一个斜边长为10cm 的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm 的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A ．60cm 2B ．50cm 2C ．40cm 2D ．30cm 28．甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零件．设乙每天完成x 个零件，依题意下面所列方程正确的是（）A．2402008x x=-B．2402008x x=+C．2402008x x=+D．2402008x x=-9．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6B．a2+a2＝a4C．（3a）•（2a）2＝6a D．3a﹣a＝310．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．摸出的是3个白球B．摸出的是3个黑球C．摸出的是2个白球、1个黑球D．摸出的是2个黑球、1个白球11．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好都是1.6米，方差分别是，，则在本次测试中，成绩更稳定的同学是（）A．甲B．乙C．甲乙同样稳定D．无法确定12．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．14．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°，那么∠2的度数是_____.15．如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF=__．16．掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为合数的概率是__________ .17．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，ABC △的顶点A ，B ，C 均在格点上，D 为AC 边上的一点.线段AC 的值为______________;在如图所示的网格中，AM 是ABC △的角平分线，在AM 上求一点P ，使CP DP +的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM 和点P ，并简要说明AM 和点P 的位置是如何找到的（不要求证明）___________.18．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是分．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ，已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯的高CD 的长．(结果精确到0.1 m)20．（6分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝2，点E 在边AD 上（不与点A 、D 重合），∠CEB ＝45°，EB 与对角线AC 相交于点F ，设DE ＝x ．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；（2）如果把△CAE 的周长记作C △CAE ，△BAF 的周长记作C △BAF ，设CAE BAFC C ∆∆＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE的正切值是35时，求AB的长．21．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根．求m的取值范围；若m 为符合条件的最小整数，求此方程的根．22．（8分）解不等式313212xx+->-，并把解集在数轴上表示出来．23．（8分）小强想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道I上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°，亭B在点M的北偏东60°，当小明由点M沿小道I向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小强计算湖中两个小亭A、B之间的距离.24．（10分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：本数(本) 频数(人数) 频率5 a0.26 18 0.367 14 b8 8 0.16合计c 1(1)统计表中的a=________，b=________，c=________；请将频数分布表直方图补充完整；求所有被调查学生课外阅读的平均本数；若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数.25．（10分）（2017四川省内江市）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t （单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A ：0＜t≤10，B ：10＜t≤20，C ：20＜t≤30，D ：t ＞30），根据图中信息，解答下列问题：（1）这项被调查的总人数是多少人？（2）试求表示A 组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）如果小明想从D 组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．26．（12分）如图1，在圆O 中，OC 垂直于AB 弦，C 为垂足，作BAD BOC ∠=∠，AD 与OB 的延长线交于D .（1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）如图2，延长BO ，交圆O 于点E ，点P 是劣弧AE 的中点，5AB =，132OB =，求PB 的长 .27．（12分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】试题解析：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），∴他的爸爸妈妈相邻的概率是：4263，故选D．2．A【解析】【分析】根据异号两数相加的法则进行计算即可．【详解】解：因为-2，3异号，且|-2|＜|3|，所以-2+3=1．故选A．【点睛】本题主要考查了异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．3．C【解析】试题解析：A、由∠3=∠2=35°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；B、由∠3=∠2=45°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；C、由∠3=∠2=55°，∠1=55°推知∠1=∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；D、由∠3=∠2=125°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；故选C．4．C【解析】分析：直接利用积的乘方运算法则及合并同类项和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出结果.详解：A. x 2+5x 2=2466x x ≠ ，本项错误;B.3256x x x x ⋅=≠ ,本项错误;C.236()x x = ,正确；D.3333()xy x y xy =≠,本项错误.故选C.点睛：本题主要考查了积的乘方运算及合并同类项和同底数幂的乘除运算，解答本题的关键是正确掌握运算法则.5．B【解析】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．故选B ．点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 6．C【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．【详解】∵-181()18⨯-=1， ∴﹣18的倒数是118-，故选C.【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．7．D【解析】【分析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED ，然后求出△ADE 和△EFB 相似，根据相似三角形对应边成比例求出53DE BF =，即53EF BF =，设BF=3a ，表示出EF=5a ，再表示出BC 、AC ，利用勾股定理列出方程求出a 的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．【详解】解:如图，∵正方形的边DE∥CF，∴∠B=∠AED，∵∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△EFB，∴10563 DE AEBF BE===，∴53 EFBF=，设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，AC=8a×53=403a，在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，即（403a）1+（8a）1=（10+6）1，解得a1=18 17，红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a-（5a）1，=1603a1-15a1，=853a1，=853×1817，=30cm1．故选D．【点睛】本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键.8．B【解析】【分析】根据题意设出未知数，根据甲所用的时间＝乙所用的时间，用时间列出分式方程即可.【详解】设乙每天完成x个零件，则甲每天完成(x+8)个.即得，2402008x x+＝，故选B.【点睛】找出甲所用的时间＝乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.9．A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A．（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；B．a2+a2=2a2，故本选项错误；C．（3a）•（2a）2=（3a）•（4a2）=12a1+2=12a3，故本选项错误；D．3a﹣a=2a，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键．10．A【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.11．A【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵S甲2=1.4，S乙2=2.5，∴S甲2＜S乙2，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是甲；故选A．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．12．B【解析】试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°. 考点：角度的计算二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1．【解析】【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=2；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【详解】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=12AC=5，∴AC=2．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=2，则根据勾股定理，得22221068CD AC AD=-=-=．故答案是：1．14．25°．【解析】∵直尺的对边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°-∠3=45°-20°=25°．15．15°【解析】【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．【详解】解答：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形.∵OF⊥OC,OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°.由圆周角定理得1152BAF BOF∠=∠=o，故答案为15°.16．1 3【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．详解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中4、6是合数，所以概率为26=13．故答案为13．点睛：本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（Ⅰ）5（Ⅱ）如图，取格点E、F，连接AE与BC交于点M，连接DF与AM交于点P. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据勾股定理进行计算即可.（Ⅱ）根据菱形的每一条对角线平分每一组对角，构造边长为1的菱形ABEC，连接AE交BC于M，即可得出AM是ABCV的角平分线，再取点F使AF=1，则根据等腰三角形的性质得出点C与F关于AM 对称，连接DF交AM于点P，此时CP DP+的值最小．【详解】（Ⅰ）根据勾股定理得22345+=；故答案为：1．（Ⅱ）如图，如图，取格点E、F，连接AE与BC交于点M，连接DF与AM交于点P，则点P即为所求．说明：构造边长为1的菱形ABEC，连接AE交BC于M，则AM即为所求的ABCV的角平分线，在AB 上取点F，使AF=AC=1，则AM垂直平分CF，点C与F关于AM对称，连接DF交AM于点P，则点P即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，涉及勾股定理、菱形的判定和性质、几何变换轴对称—最短距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．18．88【解析】试题分析：根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可：∵笔试按60%、面试按40%计算，∴总成绩是：90×60%+85×40%=88（分）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．路灯的高CD的长约为6.1 m.【解析】设路灯的高CD为xm，∵CD⊥EC，BN⊥EC，∴CD∥BN，∴△ABN∽△ACD，∴BN AB CD AC=，同理，△EAM∽△ECD，又∵EA＝MA，∵EC＝DC＝xm，∴1.75 1.251.75x x=-，解得x＝6.125≈6.1．∴路灯的高CD约为6.1m．20．（1）CF=)2244x+；（2）y=22x+（0＜x＜2）；（3）AB=2.5.【解析】【详解】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△CEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由∠ABE的正切值求解.试题解析：（1）∵AD=CD．∴∠DAC=∠ACD=45°，∵∠CEB=45°，∴∠DAC=∠CEB，∵∠ECA=∠ECA，∴△CEF∽△CAE，∴CE CF CA CE=，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，，∵CA==，∴CF=24)4x+；（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，∴∠ECA=∠ABF，∵∠CAE=∠ABF=45°，∴△CEA∽△BFA，∴2CAEBFAC AEyC AF x====+VV（0＜x＜2），（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，∴AE AFAC AB=，24)xAB+=，∴AB=x+2，∵∠ABE 的正切值是35， ∴tan ∠ABE=2325AE x AB x -==+， ∴x=12， ∴AB=x+2=52． 21．（1）m ＞94-；（2）x 1=0，x 2=1．【解析】【分析】解答本题的关键是是掌握好一元二次方程的根的判别式．（1）求出△＝5+4m ＞0即可求出m 的取值范围；（2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可．【详解】解：（1）△＝1+4（m ＋2）＝9+4m ＞0 ∴94m >-．（2）∵m 为符合条件的最小整数， ∴m=﹣2．∴原方程变为2=0x x -∴x 1＝0，x 2＝1．考点：1．解一元二次方程；2．根的判别式．22．见解析【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集．在数轴上表示出来即可.【详解】解：去分母，得 3x ＋1－6＞4x －2，移项，得：3x －4x ＞－2＋5，合并同类项，得－x ＞3，系数化为1，得 x ＜－3，不等式的解集在数轴上表示如下：【点睛】此题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握运算顺序.23．1m【解析】【分析】连接AN、BQ，过B作BE⊥AN于点E．在Rt△AMN和在Rt△BMQ中，根据三角函数就可以求得AN，BQ，求得NQ，AE的长，在直角△ABE中，依据勾股定理即可求得AB的长．【详解】连接AN、BQ，∵点A在点N的正北方向，点B在点Q的正北方向，∴AN⊥l，BQ⊥l，在Rt△AMN中：tan∠AMN=AN MN，∴3在Rt△BMQ中：tan∠BMQ=BQ MQ，∴3，过B作BE⊥AN于点E，则BE=NQ=30，∴3，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，AB2＝32+302，∴AB=1．答：湖中两个小亭A、B之间的距离为1米．【点睛】本题考查勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．24．（1）10，0.28，50（2）图形见解析（3）6.4（4）528【解析】分析：（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；（2）根据a的值画出条形图即可；（3）根据平均数的定义计算即可；（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；详解：（1）由题意c=180.36=50，a=50×0.2=10，b=1450=0.28，c=50；故答案为10，0.28，50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：（0.28+0.16）×1200=528（人）．点睛：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（1）50；（2）108°；（3）12．【解析】分析：（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C 组的人数；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题解析：解：(1)调查的总人数是：19÷38%＝50(人)．C组的人数有50－15－19－4＝12(人)，补全条形图如图所示．(2)画树状图如下．共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，∴P(恰好选中甲)＝61 122．点睛：本题考查了列表法与树状图、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．26．（1）详见解析；（2）313PB【解析】【分析】（1）连接OA，利用切线的判定证明即可；（2）分别连结OP、PE、AE，OP交AE于F点，根据勾股定理解答即可．【详解】解：（1）如图，连结OA，∵OA=OB，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC，又∠BAD=∠BOC，∴∠BAD=∠AOC∵∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BAD+∠OAC=90°，∴OA⊥AD，即：直线AD是⊙O的切线；（2）分别连结OP、PE、AE，OP交AE于F点，∵BE是直径，∴∠EAB=90°，∴OC∥AE，∵OB=132，∴BE=13∵AB=5，在直角△ABE中，AE=12，EF=6，FP=OP-OF=132-52=4在直角△PEF 中，FP=4，EF=6，PE 2=16+36=52，在直角△PEB 中，BE=13，PB 2=BE 2-PE 2，【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 27．共有7人，这个物品的价格是53元．【解析】【分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.【详解】解：设共有x 人，这个物品的价格是y 元，83,74,x y x y -=⎧⎨+=⎩解得7,53,x y =⎧⎨=⎩答：共有7人，这个物品的价格是53元.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用.。

2019-2020学年北京市怀柔区高考数学达标测试试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（） A ．（﹣1，3] B ．[﹣1，3] C ．{0，1，2，3} D ．{﹣1，0，1，2，3}2．函数2|sin |2()61x x f x x=-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，3log2b f ⎛=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（） A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =5．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（）A ．12e-B ．14e -C ．1e -D ．2e-6．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（）A ．23B ．25C ．16D ．347．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（）A．-2 B．-1 C ．1 D．28．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A．B．C．D．9．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A．53B．21C．25D．4310．设a，b，c为正数，则“a b c+>”是“222a b c+>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不修要条件11．已知数列{}n a满足：121251,6nnnaa a a n-≤⎧=⎨-⎩()*n N∈)若正整数()5k k≥使得2221212k ka a a a a a++⋯+=⋯成立，则k=（）A．16 B．17 C．18 D．1912．函数()cos22x xxf x-=+的部分图像大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年北京高考模拟试题(二卷)数学试卷答案

PX
0
C20
1 5
2
1 25
高考模拟试卷
第3页共8页
PX
1 C21
41 55
8 25
PX
2
C22
4 5
2
16 25
所以 X 的分布列为：
……………………8 分
X0
1
2
1
8 16
P 25
25
25
………………………………9 分
EX 0 1 1 8 2 16 1.6 ……………………………10 分
4 2 4
3
GB n 12 9 9
直线 GB 与平面 AFG 所成角的正弦值是
3.
9
18.（共 14 分）
解：（1）样本中共有 100 名幼儿，其中认识汉字 40 字以上的有 80 名幼儿，40 汉字以下的
有 20 名幼儿，从中取 2 人，设恰有一名幼儿认识汉字 40 字以上的事件为 A…………2 分
,而
,
.
-----9 分
且
.
,
.------11 分
,
. ------12 分 ,
;
;
------13 分
,且
,
高考模拟试卷
第7页共8页
有
当
时,
当
时,
即的最小值为
.
注：其他证明方法酌情给分.
. ;
; ------14 分
高考模拟试卷
第8页共8页
（Ⅱ） f (x) (x 1)ex a a (x 0) x
(x 1)(ex a ) x
高考模拟试卷
第4页共8页
①当 2 a 0 时，ex a 0 ，所以，当 x 变化时， f (x) 与 f (x) 的变化情况如下表所示： x

2020届中考模拟北京市怀柔区中考数学二模试题(含参考答案)

北京市怀柔区中考数学二模试卷一.选择题（共有10个小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．进入春季后，杨树、柳树飞絮影响着人们的生活，本市将对现有的2000000棵杨、柳树雌株进行治理，减少飞絮现象．将2000000用科学记数法表示为（）A．2×107B．2×106C．20×105D．200×1042．在数轴上，与表示数﹣5的点的距离是2的点表示的数是（）A．﹣3 B．﹣7 C．±3 D．﹣3或﹣73．从0，π，，这四个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的概率是（）A．B．C．D．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A． B．C．D．6．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（）A．35° B．45° C．55° D．65°7．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如表选手甲乙丙丁方差（秒2） 0.020 0.019 0.021 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为（）A．7sinα米B．7cosα米C．7tanα米D．（7+α）米9．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，∠A=45°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π10．如图，点M从等边三角形的顶点A出发，沿直线匀速运动到点B，再沿直线匀速运动到点C，在整个过程中，设M与A的距离为y，点M的运动时间为x，那么y与x的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11．二次根式有意义，则x的取值范围是．12．分解因式：3a2﹣6a+3= ．13．我市某一周的日最高气温统计如下表：则这组数据的中位数是，众数是．最高气温（°c）25 26 27 28 天数（天） 1 1 2 314．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为，旋转角为．15．如图，某校教学楼有一花坛，花坛由正六边形ABCDEF和6个半径为1米、圆心分别在正六边形ABCDEF 的顶点上的⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E，⊙F组合而成．现要在阴影部分种植月季，则种植月季面积之和为米2．16．在数学课上，老师提出如下问题：小明的作图过程如下：老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°﹣|．18．先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．19．解分式方程： +=1．20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．21．某校组织学生种植芽苗菜，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一、初二、初三年级各种植多少盆？22．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连结BD．（1）求证：四边形FECD是正方形；（2）若BE=1，ED=2求tan∠DBC的值．23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），连接OA，在x轴上有一点B，且AO=AB，△AOB的面积为2．（1）求m和k的值；（2）若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO=30°，请直接写出点C的坐标．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC 于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠A=，求CD的长．25．阅读下列材料：我国以2015年11月1日零时为标准时点进行了全国人口抽样调查．这次调查以全国人口为总体，抽取占全国总人口的1.6%的人口为调查对象．国家统计局在2016年4月20日根据这次抽查结果推算的全国人口主要数据权威发布．明明同学感兴趣的数据如下：一、总人口全国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口为13.7亿人．同第六次全国人口普查2010年11月1日零时的133972万人相比，五年共增加3377万人．二、年龄构成大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，0﹣14岁人口为22696万人，占16.52%；15﹣59岁人口为92471万人，占67.33%；60岁及以上人口为22182万人，占16.15%，其中65岁及以上人口为14374万人，占10.47%．同2010年第六次全国人口普查相比，0﹣14岁人口比重下降0.08个百分点，15﹣59岁人口比重下降2.81个百分点，60岁及以上人口比重上升2.89个百分点，65岁及以上人口比重上升1.60个百分点．三、各种受教育程度人口大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，具有大学（指大专以上）教育程度人口为17093万人；具有高中（含中专）教育程度人口为21084万人，；具有初中教育程度人口为48942万人；具有小学教育程度人口为33453万人，（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）.2010年第六次全国人口普查时，具有大学（指大专以上）文化程度的人口为11964万人；具有高中（含中专）文化程度的人口为18799万人；具有初中文化程度的人口为51966万人；具有小学文化程度的人口为35876万人．根据以上材料回答下列问题：（1）2015年11月1日零时为标准时点进行的全国人口抽样调查的样本容量万（保留整数）；（2）请你根据这次抽查调查结果推算的全国人口主要数据，写出一条全国年龄构成特点或年龄发展趋势；（3）选择统计表或统计图，将我国2010年和2015年受教育程度人口表示出来．26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小怀根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小怀的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量x的取值范围是；（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m= ；（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出函数的一条性质．x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣﹣0 1 2 m 4 5 …y … 2 3 ﹣1 0 …27．已知：二次函数y1=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣3）两点．（1）求y1的表达式及抛物线的顶点坐标；（2）点C（4，m）在抛物线上，直线y2=kx+b（k≠0）经过A，C两点，当y1＞y2时，求自变量x的取值范围；（3）将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式．28．在△ABC中，∠ABC=90°，D为△ABC内一动点，BD=a，CD=b（其中a，b为常数，且a＜b）．将△CDB 沿CB翻折，得到△CEB．连接AE．（1）请在图（1）中补全图形；（2）若∠ACB=α，AE⊥CE，则∠AEB= ；（3）在（2）的条件下，用含a，b，α的式子表示AE的长．29．已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[﹣1.2]=﹣2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x﹣[x]．（1）当x=2.15时，求y=x﹣[x]的值；（2）当0＜x＜2，求函数y=x﹣[x]的表达式，并画出函数图象；（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y=x ﹣[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．北京市怀柔区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一.选择题（共有10个小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．进入春季后，杨树、柳树飞絮影响着人们的生活，本市将对现有的2000000棵杨、柳树雌株进行治理，减少飞絮现象．将2000000用科学记数法表示为（）A．2×107B．2×106C．20×105D．200×104【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2000000=2×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．在数轴上，与表示数﹣5的点的距离是2的点表示的数是（）A．﹣3 B．﹣7 C．±3 D．﹣3或﹣7【考点】数轴．【分析】符合条件的点有两个，一个在﹣5点的左边，一个在﹣5点的右边，且都到﹣5点的距离都等于2，得出算式﹣5﹣2和﹣5+2，求出即可．【解答】解：数轴上距离表示﹣5的点有2个单位的点表示的数是﹣5﹣2=﹣7或﹣5+2=﹣3．故选：D．【点评】本题主要考查了数轴，当要求的点在已知点的左侧时，用减法；当要求的点在已知点的右侧时，用加法．3．从0，π，，这四个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论．【解答】解：∵0，π，，这四个数中无理数有2个，∴随机取出一个数，取出的数是无理数的概率=．故选D．【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A． B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【专题】计算题．【分析】找出从正面看，主视图为圆的几何体即可．【解答】解：主视图为圆的为，故选B【点评】此题考查了简单几何体的三视图，解决此类图的关键是由三视图得到立体图形．6．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（）A．35° B．45° C．55° D．65°【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．【专题】计算题．【分析】利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°，然后利用平行线的性质得到∠1=∠B=35°．【解答】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．又∵∠B=55°，∴∠A=35°．又CD∥AB，∴∠1=∠A=35°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质．此题也可以利用垂直的定义、邻补角的性质以及平行线的性质来求∠1的度数．7．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如表选手甲乙丙丁方差（秒2） 0.020 0.019 0.021 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．【解答】解：∵0.019＜0.020＜0.021＜0.022，∴乙的方差最小，∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为（）A．7sinα米B．7cosα米C．7tanα米D．（7+α）米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】利用三角函数即可直接求解．【解答】解：在直角△ABC中，tanA=，则BC=AC•tanA=7tanα（米）．故选C．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能利用三角函数的定义解直角三角形．9．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，∠A=45°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；弧长的计算．【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出圆心角∠BOC，然后根据弧长公式求解即可．【解答】解：连接OB、OC∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∵OB=OC=2∴l==π∴的长为π．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理及弧长计算公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所对的圆心角度数．10．如图，点M从等边三角形的顶点A出发，沿直线匀速运动到点B，再沿直线匀速运动到点C，在整个过程中，设M与A的距离为y，点M的运动时间为x，那么y与x的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】数形结合．【分析】当点M从等边三角形的顶点A出发，沿直线匀速运动到点B时，距离y是在逐步增大的，当点M 沿直线匀速运动到点C时，距离y先减少再增大，利用排除法可以得出答案．【解答】解：当点M从点A出发，沿直线匀速运动到B时，y随x的增大而增大，且y是从0开始的，故B、D错误；当点M沿直线匀速运动到点C时，设等边三角形边长为a，则y=（a≤x≤2a）故A是正确的．故选：A．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是理解动点的完整运动过程．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11．二次根式有意义，则x的取值范围是x≥3 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．【解答】解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案为：x≥3．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．分解因式：3a2﹣6a+3= 3（a﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．故答案为：3（a﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．13．我市某一周的日最高气温统计如下表：则这组数据的中位数是27℃，众数是28℃．最高气温（°c）25 26 27 28 天数（天） 1 1 2 3【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：最高气温为28℃的天数有3天，最多，故众数为28℃；排序后位于中间位置的数为27℃，故中位数为27℃，故答案为：27℃，28℃．【点评】本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．14．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．15．如图，某校教学楼有一花坛，花坛由正六边形ABCDEF和6个半径为1米、圆心分别在正六边形ABCDEF 的顶点上的⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E，⊙F组合而成．现要在阴影部分种植月季，则种植月季面积之和为2π米2．【考点】扇形面积的计算；正多边形和圆．【分析】扇形的面积公式是：S=，各个扇形的半径相等，因而六个扇形（阴影部分）的面积之和就等于：六边形的内角和×．【解答】解：种植月季面积之和扇形的面积的和=720×=2π．故答案为：2π【点评】本题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解决本题的关键．16．在数学课上，老师提出如下问题：小明的作图过程如下：老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样作图的依据是有一个角为直角的平行四边形为矩形．【考点】作图—复杂作图；矩形的判定．【专题】作图题．【分析】利用作法得到AM=CM，BM=DM，则可判断四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩形的定义可确定四边形ABCD为矩形．【解答】解：小明的作法正确．因为AM=CM，BM=DM，所以四边形ABCD为平行四边形，而∠ABC=90°，所以四边形ABCD为矩形．故答案为有一个角为直角的平行四边形为矩形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°﹣|．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简各数进而求出答案．【解答】解：原式=﹣2+3+2﹣，=5﹣2．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质等知识，正确化简各数是解题关键．18．先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣==，当x=﹣1时，原式==．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．解分式方程： +=1．【考点】解分式方程．【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得3+x（x+3）=x2﹣93+x2+3x=x2﹣9解得x=﹣4检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，∴x=﹣4是原分式方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，根据等腰三角形的判定定理得到∠CAD=∠ADE．根据余角的性质得到∠BAD=∠BDF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：∵AB=AC，AD是△ABC点的中线，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=AE=EC，∴∠CAD=∠ADE．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°．∵DF⊥AB，∴∠B+∠BDF=90°，∴∠BAD=∠BDF，∴∠BDF=∠CAD，∴∠BDF=∠ADE．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．21．某校组织学生种植芽苗菜，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一、初二、初三年级各种植多少盆？【考点】一元一次方程的应用．【分析】设初一年级种植x盆，则初二年级种植（2x﹣3）盆，初三年级种植（2x﹣3+25）盆，根据“三个年级共种植909盆”列出方程并解答．【解答】解：设初一年级种植x盆，依题意得：x+（2x﹣3）+（2x﹣3+25）=909，解得，x=178．∴2x﹣3=3532x﹣3+25=378．答：初一、初二、初三年级各种植178盆、353盆、378盆．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．22．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连结BD．（1）求证：四边形FECD是正方形；（2）若BE=1，ED=2求tan∠DBC的值．【考点】正方形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）先证明四边形FECD为平行四边形，再证出CD=CE，得出四边形FECD为菱形，由∠C=90°，即可得出四边形FECD为正方形；（2）先由三角函数求出正方形FECD的边长CD=CE，得出BC，即可求出tan∠DBC的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，∵EF∥DC，∴四边形FECD为平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠CDE=∠DEC，∴CD=CE，∴四边形FECD是菱形，又∵∠C=90°，∴平行四边形FECD是正方形；（2）解：∵四边形FECD是正方形，∴∠CDE=45°，∵∴CE=CD=ED•sin45°=2×=2，∴BC=BE+EC=1+2=3，∴．【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形和菱形的判定、解直角三角形；熟练掌握矩形和正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），连接OA，在x轴上有一点B，且AO=AB，△AOB的面积为2．（1）求m和k的值；（2）若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO=30°，请直接写出点C的坐标．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）把（2，m）代入反比例函数，可得k=2m，且m＞0，再根据△AOB的面积为2可得，解可得m，进而可求k；（2）据图可得点C有两个，坐标分别是（0，1+）或C（0，1﹣）．【解答】解：（1）由题意可知B（4，0），过A作AH⊥x轴于H．∵，AH=m，OB=4，∴，∴m=1，∴A（2，1），∴k=2．（2）C（0，1+）或C（0，1﹣）．【点评】本题考查了反比例函数的知识，解题的关键是理解点和函数的关系，并能依题意画图，要考虑两种情况．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC 于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠A=，求CD的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接DO，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠ODB=∠CBD，证出DO∥BC，由平行线的性质得出∠ADO=90°，即可得出结论；（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到AC=8，根据相似三角形的性质得到R=，在Rt△ABC中，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵⊙O经过B，D两点，∴OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥BC，∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OD⊥AC．又OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵BC=6，tan∠BAC=，∴AC=8，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得：R=，∴OD=，在Rt△ABC中，OD⊥AC，∴tan∠A=，∴AD=5，∴CD=3．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要证明相似三角形求出半径才能得出结果．25．阅读下列材料：我国以2015年11月1日零时为标准时点进行了全国人口抽样调查．这次调查以全国人口为总体，抽取占全国总人口的1.6%的人口为调查对象．国家统计局在2016年4月20日根据这次抽查结果推算的全国人口主要数据权威发布．明明同学感兴趣的数据如下：一、总人口全国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口为13.7亿人．同第六次全国人口普查2010年11月1日零时的133972万人相比，五年共增加3377万人．二、年龄构成大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，0﹣14岁人口为22696万人，占16.52%；15﹣59岁人口为92471万人，占67.33%；60岁及以上人口为22182万人，占16.15%，其中65岁及以上人口为14374万人，占10.47%．同2010年第六次全国人口普查相比，0﹣14岁人口比重下降0.08个百分点，15﹣59岁人口比重下降2.81个百分点，60岁及以上人口比重上升2.89个百分点，65岁及以上人口比重上升1.60个百分点．三、各种受教育程度人口大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，具有大学（指大专以上）教育程度人口为17093万人；具有高中（含中专）教育程度人口为21084万人，；具有初中教育程度人口为48942万人；具有小学教育程度人口为33453万人，（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）.2010年第六次全国人口普查时，具有大学（指大专以上）文化程度的人口为11964万人；具有高中（含中专）文化程度的人口为18799万人；具有初中文化程度的人口为51966万人；具有小学文化程度的人口为35876万人．根据以上材料回答下列问题：（1）2015年11月1日零时为标准时点进行的全国人口抽样调查的样本容量2192 万（保留整数）；（2）请你根据这次抽查调查结果推算的全国人口主要数据，写出一条全国年龄构成特点或年龄发展趋势；（3）选择统计表或统计图，将我国2010年和2015年受教育程度人口表示出来．【考点】统计图的选择；总体、个体、样本、样本容量；统计表．【分析】（1）根据样本容量的定义即可求解；（2）根据实际情况写出即可；（3）根据题意选择统计表或统计图，将我国2010年和2015年受教育程度人口表示出来即可．【解答】解：（1）2015年11月1日零时为标准时点进行的全国人口抽样调查的样本容量是2192万；（2）我国大学受教育程度的人数呈现上升趋势；（3）我国2010年和2015年受教育程度人口统计表：受教育程度人口数量（万人）年度大学高中初中小学2010 11964 18799 51966 358762015 17093 21084 48942 33453故答案为：2192．【点评】本题主要考查数据的整理与统计图表的选择与制作，阅读材料理清数据的类型和年份是列表解决问题的关键．26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小怀根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小怀的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量x的取值范围是x ≠﹣1；（2）列出y 与x 的几组对应值．请直接写出m的值，m= 3 ；（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出函数的一条性质．x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣﹣0 1 2 m 4 5 …y … 2 3 ﹣1 0 …【考点】反比例函数的性质．【分析】（1）根据分母非零即可得出x+1≠0，解之即可得出自变量x的取值范围；（2）将y=代入函数解析式中求出x值即可；（3）描点、连线画出函数图象；（4）观察函数图象，写出函数的一条性质即可．【解答】解：（1）∵x+1≠0，∴x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．（2）当y==时，x=3．。

2020年北京市怀柔区高考数学二模试卷

2020年北京市怀柔区高考数学二模试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1}，B ={0,1，2}，则满足A ∪C =B 的集合C 的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 12. 设递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=403，3a 4−10a 3+3a 2=0，则a 4=( )A. 9B. 27C. 81D. 833. 已知数列{a n }中，a 1=2，n(a n+1−a n )=a n +1，n ∈N ∗，若对于任意的a ∈[−2,2]，n ∈N ∗，不等式an+1n+1<2t 2+at −1恒成立，则实数t 的取值范围为( )A. (−∞,−2]∪[2,+∞)B. (−∞,−2]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪[2,+∞)D. [−2,2]4. 要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻(注意：上午第五节和下午第一节不算相邻)，则不同的排法种数是( )A. 84B. 54C. 42D. 185. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x −a −x +2(a >0且a ≠1)，若g(2)=a ，则函数f(x 2+2x)的单调递增区间为( )A. (−1,1)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (−1,+∞)6. 已知函数f(x)=x 2+bx +c ，其中0≤b ≤4，0≤c ≤4.记函数f(x)满足条件：{f(2)≤12f(−2)≤4的事件为A ，则事件A 发生的概率为( )A. 14B. 58C. 12D. 387. M 是抛物线y 2=4x 上一点，N 是圆(x −1)2+(y −2)2=1关于直线x −y −1=0的对称圆上的一点，则MN|的最小值是( )A. √112−1B. √3−1C. 2√2−1D. 328. 命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立：q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x 为奇函数，则下列命题是真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∨(￢q)C. p ∧(￢q)D. (￢p)∧q9. “a ≤0”是“函数f(x)=|(ax −1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A. 240，18B. 200，20C. 240，20D. 200，1811.在复平面内，复数z=i1+2i的共轭复数对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12.已知数列{a n}对任意的n∈N∗有a n+1=a n−1n(n+1)+1成立，若a1=1，则a10等于()A. 9110B. 10110C. 11111D. 12211二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥PBCC1B1的体积为______．14.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1−a2=2，a2−a3=6，则S4=______．15.若二项式(x+√x)n展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为______．16.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有______种．(用数字作答)三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组．该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人．现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．(1)设事件A为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A发生的概率；(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望．18.已知函数f(x)=|x|−|x−1|．(1)若f(x)≥|m−1|的解集非空，求实数m的取值范围；(2)若正数x，y满足x2+y2=M，M为(1)中m可取到的最大值，求证：x+y≥2xy．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA−√3asinB=0．(1)求A；(2)已知a=2√3，B=π，求△ABC的面积．320.秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售．下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量(单位：万台)按季度(一年四个季度)统计制成的频率分布直方图．(Ⅰ)求直方图中a的值，并估计销量的中位数；(Ⅱ)请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量(同一组数据用该组中间值代表)，并以此预计2020年的销售量．21. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=l ，曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√2sinθ(θ为参数)． (Ⅰ)求曲线C 1和C 2的极坐标方程：(Ⅱ)设射线θ=π6(ρ>0)分别与曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB|的值．22. 某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A ，B ，C ，D 四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D ，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D ，其中x A x B x C x D 和y A y B y C y D 都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X =(x A −y A )2+(x B −y B )2+(x C −y C )2+(x D −y D )2，用X 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度． (1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．(ⅰ)求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率； (ⅰ)求X 的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)；(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X <4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．23. 已知二阶矩阵A =[a bcd ]，矩阵A 属于特征值λ1=−1的一个特征向量为α1⃗⃗⃗⃗ =[1−1]，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2⃗⃗⃗⃗ =[32].求矩阵A ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A ={0,1}，B ={0,1，2}， ∴满足A ∪C =B 的集合C 有： {2}，{0,2}，{1,2}，{0,1，2}，共4个．故选：A ．集合A ={0,1}，B ={0,1，2}，利用列举法能求出满足A ∪C =B 的集合C 的个数．本题考查满足条件的集合个数的求法，考查并集定义等基础知识，是基础题．2.【答案】A【解析】解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若3a 4−10a 3+3a 2=0，则3a 2q 2−10a 2q +3a 2=0，即有3q 2−10q +3=0，解可得q =3或13，又由数列{a n }为递增的等比数列，则q =3，若S 4=403，则S 4=a 1(1−q 4)1−q=40a 1=403，解可得a 1=13，则a 4=a 1q 3=9，故选：A ．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若3a 4−10a 3+3a 2=0，则3a 2q 2−10a 2q +3=0，变形解可得q 的值，由等比数列的前n 项和公式可得S 4=a 1(1−q 4)1−q=40a 1=403，解可得a 1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意求出等比数列的公比，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，数列{a n }中，n(a n+1−a n )=a n +1，即na n+1−(n +1)a n =1，则有an+1n+1−a n n =1n(n+1)=1n −1n+1，则有a n+1n+1=(an+1n+1−a nn )+(ann−a n−1n−1)+(an−1n−1−a n−2n−2)+⋯+(12a 2−a 1)+a 1 =(1n −1n+1)+(1n−1−1n )+(1n−2−1n−1)+⋯+(1−12)+2=3−1n+1<3，a n+1n+1<2t 2+at −1即3−1n+1<2t 2+at −1，∵对于任意的a ∈[−2,2]，n ∈N ∗，不等式an+1n+1<2t 2+at −1恒成立，∴2t 2+at −1≥3，化为：2t 2+at −4≥0，设f(a)=2t 2+at −4，a ∈[−2,2]，可得f(2)≥0且f(−2)≥0，即有{t 2+t −2≥0t 2−t −2≥0即{t ≥1或t ≤−2t ≥2或t ≤−1，可得t ≥2或t ≤−2，则实数t 的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)．故选：A ．由题意可得an+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，运用裂项相消求和可得a n+1n+1，再由不等式恒成立问题可得2t 2+at −4≥0，设f(a)=2t 2+at −4，a ∈[−2,2]，运用一次函函数的性质，可得t 的不等式，解不等式即可得到所求t 的范围．本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n(a n+1−a n )=a n +1的变形．4.【答案】C【解析】解：根据题意，分2种情况进行讨论： ①，语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，则语文、数学的安排方法有2×3=6种，在剩下的3节课中任选2个，安排两节英语，剩下的一节为自习，有C 32=3种情况，此时有6×3=18种安排方法；②，语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午；语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午，有2种情况，安排在上午的有4种情况，则语文和数学安排方法有8种，在剩下的3节课中任选2个，安排两节英语，剩下的一节为自习，有C 32=3种情况，则此时有8×3=24种安排方法；则有18+24=42种不同的排法，故选：C ．根据题意，分2种情况进行讨论：①，语文和数学都安排在上午，②，语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午；分别求出每一种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x −a −x +2，所以f(−x)+g(−x)=−a x +a −x +2=−f(x)+g(x)，联立可得f(x)=a x −a −x ，g(x)=2，因为g(2)=a ，所以a =2，f(x)=2x −2−x ，故f(x)在R 上单调递增，因为y =x 2+2x 的单调递增区间(−1,+∞)，根据复合函数的单调性可知，函数f(x 2+2x)的单调递增区间为(−1,+∞)，故选：D ．由已知可求f(x)，g(x)，然后结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解．本题主要考查函数解析式的求解，函数的性质，要熟悉复合函数单调性的判断方法，属于中档试题．6.【答案】C【解析】解：{f(2)≤12f(−2)≤4即{4+2b +c ≤124−2b +c ≤4．以b ，c 为横纵坐标建立坐标系如图：所以满足条件的概率为P (A )=12×4×44×4=12．故选：C ．我们可以以b ，c 为横纵坐标建立坐标系，并把0≤b ≤4，0≤c ≤4所表示的区域表示出来，并将{f(2)≤12f(−2)≤4代入函数f(x)=x 2+bx +x 转化为一个关于b 、c 的不等式，画出其表示的图形，计算面积后，代入几何概型公式，即可求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P =N(A)N求解．7.【答案】C【解析】解：N是圆(x−1)2+(y−2)2=1，设圆心为C(1,2)，半径为1，圆(x−1)2+(y−2)2=1的圆心关于直线x−y−1=0的对称点为C′(3,0)则|MN|=|C′M|−|C′N|=|C′M|−1，C′点坐标(2,0)，由于M在y2=4x上，设M的坐标为(x,y)，∴|C′M|=√(x−3)2+y2=√x2−2x+9≥2√2，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为：2√2−1．故选：C．设圆心的对称点为C′，画出图形，转化|MN|=|C′M|−|C′N|=|C′M|−1，将|MN|的最小问题，转化为|C′M|的最小问题即可．本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，将|MN|的最小问题，转化为|CM|的最小问题是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：根据题意，命题p：存在实数x0，对任意实数x，使得sin(x+x0)=−sinx恒成立，当x0=π时，对任意实数x，使得sin(x+π)=−sinx恒成立，故P为真命题；命题q：∀a>0，f(x)=ln a+xa−x ，有a+xa−x>0，解可得−a<x<a，函数的定义域为(−a,a)，关于原点对称，有f(−x)=ln a+xa−x =−ln a+xa−x=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，故其为真命题；则p∧q为真命题，(￢p)∨(￢q)、P∧(￢q)、(￢p)∧q为假命题；故选：A．根据题意，由诱导公式分析可得P为真命题，分析函数f(x)=ln a+xa−x在a>0时的奇偶性，可得q为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：当a=0时，f(x)=|x|，在区间(0,+∞)内单调递增．当a<0时，f(x)=(−ax+1)x=−a(x−1a)x，结合二次函数图象可知函数f(x)=|(ax−1)x|在区间(0,+∞)内单调递增．若a>0，则函数f(x)=|(ax−1)x|，其图象如图它在区间(0,+∞)内有增有减，从而若函数f(x)=|(ax−1)x|在区间(0,+∞)内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f(x)=|(ax−1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件．故选：C．对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查扇形统计图、分层抽样和条形统计图等基础知识，属于基础题．利用扇形统计图和分层抽样的性质能求出样本容量；由扇形统计图、分层抽样和条形统计图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【解答】解：样本容量n=(250+150+400)×30%=240，抽取的户主对四居室满意的人数为：150×30%×40%=18．故选：A．11.【答案】D【解析】解：∵z=i1+2i =i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i5=25+15i，∴其共轭复数为25−15i，在复平面内，复数z=i1+2i 的共轭复数对应的点的坐标为：(25,−15)，位于第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z的共轭复数，然后求出在复平面内，复数z的共轭复数对应的点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查数列递推公式的应用，利用累加法是解决本题的关键．利用累加法以及裂项法即可得到结论．【解答】解：∵a n+1=a n −1n(n+1)+1，∴a n+1−a n =−(1n −1n+1)+1=1−(1n −1n+1)， ∴a 2−a 1=1−(1−12)，a 3−a 2=1−(12−13)，a 4−a 3=1−(13−14)，…a 10−a 9=1−(19−110)，两边同时相加得a 10−a 1=9−(1−110)，则a 10=a 1+9−(1−110)=9+110=9110，故选A ．13.【答案】4√33【解析】解：取B 1C 1的中点D ，连接A 1D ，∵△A 1B 1C 1是边长为2的等边三角形，∴A 1D ⊥B 1C 1，A 1D =√3， ∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴BB 1⊥A 1D ，又BB 1⊂平面BCC 1B 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1=B 1， ∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1，又AA 1//BB 1，AA 1⊄平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AA 1//平面BCC 1B 1，∴P 到平面BCC 1B 1的距离等于A 1D =√3， ∴V P−BCC 1B 1=13S BCC 1B 1⋅A 1D =13×22×√3=4√33．故答案为：4√33．取B1C1的中点D，连接A1D，证明A1D⊥平面BCC1B1，再代入体积公式计算．本题考查了线面垂直的判断，棱锥的体积计算，属于中档题．14.【答案】−40【解析】解：设公比为q，由a1−a2=2，a2−a3=6，∴(a1−a2)q=a2−a3，∴q=3，∴a1−3a1=2，∴a1=−1，∴S4=−1(1−34)1−3=−40，故答案为：−40．设公比为q，由a1−a2=2，a2−a3=6，求出首项和公比，再根据求和公式计算即可．本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题．15.【答案】15【解析】解：令x=1，可得二项式(x+√x)n展开式中各项系数的和为2n=64，∴n=6，二项式(x+x )n，即二项式(x+x)6，它的展开式通项公式为Tr+1=C6r⋅x6−3r2，令6−3r2=0，求得r=4，故展开式中常数项为C64=15，故答案为：15．根据各项系数的和为64，求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得该展开式中常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.【答案】60【解析】解：男医生中唯一的主任医师必须参加，则从剩余5名男医生中选2名，从4名女医生中选2名，共有C52C42=10×6=60，故答案为：60男主任医师必选，则从剩余5名男医生中选2名，从4名女医生中选2名，利用组合的公式进行计算即可．本题主要考查组合的应用，利用组合数公式是解决本题的关键．比较基础．17.【答案】解：(1)因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人．所以P(A)=C 41⋅C 11⋅C 52C 101=40210=421．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 74⋅C 30C 104=16，P(X =1)=C 73⋅C 31C 104=12，P(X =2)=C 72⋅C 32C 104=310，P(X =3)=C 71⋅C 33C 104=130，X 的分布列为EX =0×16+1×12+2×310+3×130=65．【解析】(1)该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人．所以P(A)=C 41⋅C 11⋅C 52C 101=40210=421．(2)X 可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)去绝对值符号，可得f(x)={−1,x <02x −1,0≤x ≤11,x >1,所以f(x)max =1．所以|m −1|≤1，解得0≤m ≤2，所以实数m 的取值范围为[0,2]． (2)由(1)知，M =2，所以x 2+y 2=2．因为x >0，y >0，所以要证x +y ≥2xy ，只需证(x +y)2≥4x 2y 2，即证2(xy)2−xy −1≤0，即证(2xy +1)(xy −1)≤0．因为2xy +1>0，所以只需证xy ≤1．因为2xy ≤x 2+y 2=2， ∴xy ≤1成立，所以x +y ≥2xy ．【解析】本题旨在考查绝对值不等式的解法、分析法在证明不等式中的应用，考查考生的推理论证能力与运算求解能力．属于中档题．(1)先确定函数f(x)的最大值，再确定m 的取值范围；(2)从要证的结论发出，一直逆推分析，结合提干信息证明结论的正确性．19.【答案】解：(1)∵bcosA−√3asinB=0．∴由正弦定理可得：sinBcosA−√3sinAsinB=0，∵sinB>0，∴cosA=√3sinA，∴tanA=√33，∵A∈(0,π)，∴A=π6；(2)∵a=2√3，B=π3，A=π6，∴C=π2，∴b=6，∴S△ABC=12ab=12×2√3×6=6√3．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理化简已知等式可得sinBcosA−√3sinAsinB=0，结合sinB>0，可求tanA=√33，结合范围A∈(0,π)，可得A的值．(2)由已知可求C=π2，可求b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．20.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，(0.0125+a+0.075+0.025+0.025)×4=1，解得a=0.1125．设销量的中位数为x，则16≤x≤20，[0.0125+0.1125+(x−16)×0.075]×4=0.5，解得x=16，故估计销量的中位数为16万台．(Ⅱ)估计新能源汽车平均每个季度的销售量为(0.0125×10+0.1125×14+0.075×18+0.025×22+0.025×26)×4=17万台．所以2020年的销售量为17×4=68万台，故预计2020年的销售量为68万台．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知，频率和为1，可以求得a的值；设销量的中位数为x，根据销售量从8万台到中位数的占比为12，列出关于x的方程，解之即可得解；(Ⅱ)根据频率分布直方图中的数据，利用同一组数据用该组中间值代表可以求出每个季度销量的平均数，再乘以4即可预计2020年全年的销售量．本题考查频率分布直方图的性质以及应用，考查学生将理论知识与实际生活相结合的能力和对数据的分析能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=l ，整理得x 2+y 2=2x ，转换为极坐标方程为ρ=2cosθ．曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√2sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 23+y 22=1，转换为极坐标方程为2ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ−6=0． (Ⅱ)由(Ⅰ)得：{ρ=2cosθθ=π6，解得ρ1=2cos π6=√3．{2ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ−6=0θ=π6，解得9ρ22=24，即ρ2=2√63，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√3−2√63．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用极径的应用建立方程组组，进一步求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22.【答案】解：(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A ，x B ，x C ，x D 为1234的情况，家长的排序有A 44=24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为： 2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321， ∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P =924=38．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A ，B ，C ，D 按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A ，x B ，x C ，x D 为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB ，再研究y A y B y C y D 的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的， ∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为38．(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x 的值， X 的分布列如下表：(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(1)可知，在一轮游戏中， P(X <4)=P(X =0)+P(X =2)=16，三轮游戏结果都满足“X <4”的概率为(16)3=1216<51000，这个结果发生的可能性很小， ∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．【解析】(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有A 44=24种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X 的分布列． (2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(X <4)=P(X =0)+P(X =2)=16，三轮游戏结果都满足“X <4”的概率为1216<51000，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23.【答案】解：由特征值、特征向量定义可知，A α1⃗⃗⃗⃗ =λ1α1⃗⃗⃗⃗ ，A α2⃗⃗⃗⃗ =λ2α2⃗⃗⃗⃗ ， ∵二阶矩阵A =[a bcd ]，矩阵A 属于特征值λ1=−1的一个特征向量为a 1⃗⃗⃗⃗ =[1−1]，属于特征值λ2=4的一个特征向量为a 2⃗⃗⃗⃗ =[32]． ∴[ab c d ][1−1]=−1×[1−1]=[−11]，[ab cd ][32]=4[32]=[128]，∴{a −b =−1c −d =1，且{3a +2b =123c +2d =8，解得a =2，b =3，c =2，d =1． ∴矩阵A =[2321]．【解析】由特征值、特征向量定义可知，A α1⃗⃗⃗⃗ =λ1α1⃗⃗⃗⃗ ，A α2⃗⃗⃗⃗ =λ2α2⃗⃗⃗⃗ ，由此可建立方程组，从而可求矩阵A ．本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值、特征向量定、矩阵乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．。