向量在物理中的应用举例(教学设计)
人教A版数学必修四教案：2.5.2向量在物理中的应用举例
2.5.2 向量在物理中的应用举例一、教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.二、教学目标1．知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤。
2．过程与方法：明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.3．情感态度与价值观：通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.三、重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学设想（一）导入新课思路1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.（二）应用示例例 1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力),就得到了问题的数学解释.图 1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道2cos 2||||||212cos 1θθG F G ⇒= 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20 km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1. 令AB =-v 1,AC =-2v 1,实际风速为v . ∵DA +AB =DB , ∴DB =v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵DA +AC =DC , ∴DC =v -2v 1,这就是当车的速度为40 km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB ⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202 km/h.答:实际的风速v 的大小是202 km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|. ①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh. ② 联立①②解得|v |=.2gh mm M 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2.（三）知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( ) A.215 km B.6 km C.84 km D.8 km图42.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)图53.如图5所示,设OA 表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.因为OACB 为矩形,所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |= 30cos ||OA =2335=10 km/h. 答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.（四）课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③)动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W=F ·s.（五）作业。
向量在物理中的应用举例教案
向量在物理中的应用举例教案第一章：引言1.1 课程背景介绍向量在物理学中的重要性解释本课程的目标和结构1.2 向量的定义向量的概念和表示方法向量的模和方向1.3 向量运算向量的加法和减法向量的数乘第二章：速度和加速度2.1 速度向量速度的定义和表示方法速度向量的运算2.2 加速度向量加速度的定义和表示方法加速度向量的运算2.3 例子：匀加速直线运动解析匀加速直线运动的速度和加速度向量求解运动物体的速度和位移第三章：力和加速度3.1 力向量力的定义和表示方法力向量的运算3.2 牛顿第二定律牛顿第二定律的表述力向量和加速度向量之间的关系3.3 例子：物体在平面上的受力分析解析物体在平面上的力向量和加速度向量求解物体的运动状态第四章：向心力和平衡力4.1 向心力向心力的定义和表示方法向心力向量的运算4.2 平衡力平衡力的定义和表示方法平衡力向量的运算4.3 例子：圆周运动解析圆周运动中的向心力向量求解物体在圆周运动中的加速度和速度第五章：总结与展望5.1 课程总结回顾本课程的重要概念和知识点强调向量在物理学中的应用价值5.2 拓展学习推荐相关的学习材料和参考书籍鼓励学生进一步探索向量在其他领域的应用第六章：位移和位移向量6.1 位移的概念位移的定义和表示方法位移向量的表示和性质6.2 位移向量的运算位移向量的加法和减法位移向量的数乘6.3 例子：直线运动中的位移向量解析直线运动中的位移向量求解物体的位移和路径第七章：动量和冲量7.1 动量向量动量的定义和表示方法动量向量的运算7.2 冲量向量冲量的定义和表示方法冲量向量的运算7.3 例子：动量守恒定律解析动量守恒定律中的动量和冲量向量应用动量守恒定律解决问题第八章：能量向量8.1 动能向量动能的定义和表示方法动能向量的运算8.2 势能向量势能的定义和表示方法势能向量的运算8.3 例子：弹性碰撞和抛体运动解析弹性碰撞中的能量向量求解抛体运动中的能量变化第九章：力的分解和合成9.1 力的分解力的分解原理和方法力的分解向量的表示9.2 力的合成力的合成原理和方法力的合成向量的表示9.3 例子：非共点力的作用解析非共点力的作用中的力的分解和合成求解物体在非共点力作用下的运动状态第十章：总结与拓展10.1 课程总结回顾本章的重要概念和知识点强调向量在物理学中的应用价值10.2 拓展学习推荐相关的学习材料和参考书籍鼓励学生进一步探索向量在其他领域的应用第十一章：引力定律和万有引力向量11.1 引力定律牛顿万有引力定律的表述引力向量的概念11.2 万有引力向量的计算计算两个物体之间的万有引力向量考虑地球自转对引力向量的影响11.3 例子：卫星轨道上的引力向量分析卫星轨道上的万有引力向量求解卫星的轨道周期和轨道参数第十二章：电磁力和磁场向量12.1 库仑定律和电场向量库仑定律的表述电场向量的概念和计算12.2 安培定律和磁场向量安培定律的表述磁场向量的概念和计算12.3 例子：带电粒子在磁场中的运动分析带电粒子在磁场中的受力向量求解粒子的轨迹和速度第十三章：电磁感应和电动势向量13.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律的表述电动势向量的概念13.2 电动势向量的计算计算闭合回路中的电动势向量考虑时间变化对电动势向量的影响13.3 例子：变压器和感应电机分析变压器中的电动势向量求解感应电机中的电流和磁场第十四章：波动方程和波向量14.1 机械波和波向量机械波的分类和特点波向量的概念和计算14.2 波向量的传播和干涉分析波向量的传播特性探讨波的干涉现象14.3 例子：波的叠加和衍射求解两个波的叠加效应分析波在障碍物附近的衍射现象第十五章：现代物理中的向量应用15.1 相对论和四维向量狭义相对论的基本原理四维向量的概念和应用15.2 量子力学和波函数量子力学的基本概念波函数的物理意义和应用15.3 例子：粒子的波动性和互补原理探讨粒子波动性的实验证据介绍互补原理在现代物理学中的应用重点和难点解析向量在物理学中的应用是本课程的核心内容，理解向量的基本概念和运算对于应用向量解决物理问题至关重要。
向量在物理中的应用举例 说课稿 教案 教学设计
平面向理复习课一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos =x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、典型例题例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜(3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a.b相同且｜a+b｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，且||=2，||=1，| |=3，用与表示j解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=－3, b=，c=-3所以-3a=33b+c|即c=3a－33b例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)2=2·2③⊥(－)，则·=·④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（）A①②⑤ B ③④C①③D②④⑤。
《向量在物理中的应用举例》教学设计、导学案、同步练习
《6.4.2 向量在物理中的应用举例》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习用向量方法解决物理问题。
用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．【教学目标与核心素养】【教学重点】：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算；【教学难点】：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题。
【教学过程】1.你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？【答案】力，速度，加速度。
向量加法的三角形法则注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.向量加法的平行四边形法则注意：起点相同.共线向量不适用。
二、探索新知例1. 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究：（1）当为何值时，最小？最小值是多小？AC BC AB b a =+=+OC OB OA b a =+=+θ||1F（2）能等于吗？为什么？ 【解析】（1）要使最小，只需最大，此时，即，的最小值为。
（2）要使，只需，即。
思考：你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗? 【解析】(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题； (2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型； (3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值； (4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象。
数学2.5.2《向量在物理中的应用举例》教案(新人教A必修4).doc1
2.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：让学生经历用向量方法解决物理问题的过程，体会向量在实际问题中的应 用，培养学习数学的举，发展运算能力和解决实际问题的能力。
教学重点：向量在物理问题中的应用。
教学难点：将物理问题转化为数学问题的建模过程。
教学过程一、复习提问评讲P125 习题1、2二、新课例3、在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大 越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。
你能从数学的角度解释 这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如下图所示的数学模型，只要分析清楚F 、G 、θ三 者之间的关系，就得到了问题的数学解释。
解：不妨设｜1F ｜＝｜2F ｜，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：｜1F ｜＝2cos ||θ 由上面的式子，我们发现当θ由0°－180°逐渐变大时，2ϑ由0°－90°逐渐变大，2cos ϑ的值由大逐渐变小，因此，｜1F ｜由小逐渐变大，即1F ，2F 之间的越大越费力，夹角越小越省力。
探究：（1）θ为何值时，｜1F ｜最小，最小值是多少？（2）｜1F ｜能等于｜｜吗？为什么？ θ例4、一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500m ，一艘船从A 处出发到河对岸， 已知船的速度｜1v ｜＝10km/h ，水流速度｜2v ｜＝2km/h ，问行驶航程最短时，所用 时间是多少？（精确到0.1min ）？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶行程 最短，所用时间最短。
考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水 流速度的合速v 必须垂直于对岸。
解：｜v ｜＝96（km/h ）所以，t (min)1.360965.0||≈⨯=v答：行程最短时，所用时间是3.1min 。
作业：P125 3、4 P131 6、7。
高中数学 2.5.2《向量在物理中的应用举例》教案人教版必修4
向量在物理中的应用举例一、教学目标：1．知识与技能：运用向量的有关知识〔向量加减法与向量数量积的运算法那么等〕解决简单的物理问题. 2．过程与方法：通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节〞和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用.3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点：重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题三、教学方法本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
教学内容安排：四、教学内容安排：向量的线性关系表示各物理量之间的关系1F ｜=｜2F ｜①当θ逐渐增大时，的大小怎样变化，为什么？②θ为何值时，｜F 1｜最小？最小值是多少？③θ为何值时，|F 1|=|讨论：力是向量，在不考虑作用点的情况下可利用向量运算法那么进行计算。
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量。
例如，“东北风2-64中的有向线段来表示。
五、教学资源建议〔1〕多媒体教学系统〔展示相关图片或视频资料〕.〔2〕引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及在其他方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野.六、教学方法与学习指导策略建议〔1〕重视问题的形成过程利用多媒体教学手段和丰富的素材，通过典型问题创设教学情景，让学生动手操作、观察思考，在探究中发现和提出问题，发现平面图形的几何性质.〔2〕关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将平面几何、力学等问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.〔3〕强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程那么放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.〔4〕引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。
向量在物理中的应用举例教案
向量在物理中的应用举例教案一、教学目标1. 让学生理解向量的概念及其表示方法。
2. 培养学生掌握向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 引导学生了解向量在物理中的应用，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 向量在物理中的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、表示方法以及向量的运算。
2. 教学难点：向量在物理中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解向量的概念、表示方法和运算。
2. 采用案例分析法讲解向量在物理中的应用。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量在实际问题中的运用。
五、教学过程1. 引入新课：讲解向量的概念及其表示方法。
2. 讲解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 应用举例：分析向量在物理中的应用，如速度、加速度、力等。
4. 小组讨论：让学生结合生活实际，探讨向量在其他领域中的应用。
5. 总结与反馈：对本次课程的内容进行总结，收集学生的反馈意见。
6. 布置作业：让学生运用所学的向量知识解决实际问题。
六、教学评估1. 课堂讲解评估：观察学生对向量概念、表示方法和运算的理解程度，以及能否熟练运用向量解决物理问题。
2. 小组讨论评估：评估学生在小组讨论中的参与程度，以及他们的创新思维和问题解决能力。
3. 作业评估：检查学生作业中向量知识的应用情况，以及解题的准确性和完整性。
七、教学拓展1. 引入其他物理概念：如动量、角动量等，进一步展示向量在物理中的应用。
2. 探讨向量在其他学科的应用：如数学、工程、计算机科学等。
3. 组织学生进行小研究：深入研究向量在某一领域的应用，如流体力学、电磁学等。
八、教学资源1. 教材：提供相关教材，如《线性代数》、《物理学》等。
2. 多媒体课件：制作并向学生提供包含图像、动画和示例的课件。
3. 网络资源：提供在线学习资源，如学术文章、视频教程等。
九、教学反馈与改进1. 课堂反馈：在每节课结束后，收集学生的反馈意见，了解他们的学习需求和困难。
人教版高一物理 向量在物理中的应用举例 教案
教案教学基本信息课题向量在物理中的应用举例学科数学学段：必修第二册年级高一教材书名：数学必修第二册出版社：人民教育出版社教学目标及教学重点、难点教学目标1.通过对具体问题的讲解，让学生了解用向量方法解决物理问题的“三步曲”；2.通过对具体问题的讲解，让学生体会向量方法在力、位移、速度的合成与分解，功的计算问题中的应用；3．在用向量方法解决物理问题的过程中，让学生体会向量方法的程序化步骤，体会类比思想以及化归转化思想，提升逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.教学重点用向量方法解决物理问题的“三步曲”.教学难点将物理问题转化为向量问题.教学方法讲授式.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图回顾回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”：回顾旧知，铺垫新课QM ，因此考虑用向量的减法12(3,1),OP PQ ====s s OQOP PQ +12+s(3,1)(1,2)+ (4,3).B OM ==s A 的位移s QMOM OQ =-B A =-s s(2,6)(4,3)=- (2,3)=-.应用三利用向量进行功的计算例一物体在力F 的作用下，由点A (20,15)移动到点B (7,0).已知F =(4,5)，求F 对该物体所做的功. 分析对功的计算，可以利用公式W =⋅F S .其中F 代表作用在物体上的力，S 代表物体的位移.解设物体在力F 的作用下产生的位移为S ， F 对该物体所做的功为W . 因为A (20,15)，B (7,0). 所以(13,15)AB ==--S . 又因为F =(4,5)-， 所以W =⋅F S4(13)(5)(15)=⨯-+-⨯-23=.即F 对该物体所做的功为23. 应用四速度的分解与合成例如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸.已知船的速度1=v 10 km/h ，水流速度2=v 2 km/h ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min ）？DCAB思考:1.“行驶最短航程”是什么意思？直线外一点与直线上一点的连线中，垂线段最短； 船的实际航行路线与河岸垂直. 2. 怎样才能使航程最短？船的实际航行方向与船的合速度v 方向一致； 船的合速度v 与河岸垂直，即与水流速度2v 垂直.的大小2'cos()10sin 2πθθ=-=v v .从而小船行驶的时间'd t =v 0.5110sin 20sin θθ==(02πθ<<).综上，小船行驶时间为1(0)20sin t θπθ=<<，所以当2πθ=，即船速2v 与水流速度1v 成直角时，小船行驶时间t 最短，为160=320⨯(min). 进一步我们还知道，小船以最短路径过河时，过河时间不是最短，为3.1min. 过河时间最短时，合速度v 的大小222212210226=+=+=v v v .设小船过河行驶的距离为'd ，则2'd d =v v ，即2500226'10d d ⋅⨯==≈v v 510(m).总结总结知识、 提炼升华.作业 一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m ，河水的速度为向东23km /h .一艘小货船准备从河的这一边的码头A 处出发，航行到位于河对岸B （AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与B 相距2503m 的码头C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km /h ，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行的速度的大小. 布置作业、课堂延申.。
向量空间在物理学中的应用(教学设计)
向量空间在物理学中的应用(教学设计)1.引言物理学是自然科学的一个重要分支，研究自然界中物质和能量的本质、性质、规律等。
向量空间是数学中一个重要的概念，它可以用来描述和分析各种物理量，从而在物理学研究中具有广泛的应用。
本教学设计旨在介绍向量空间在物理学中的应用，帮助学生深入理解向量空间的概念，并能够灵活运用于解决物理问题。
2.基础知识回顾在开始介绍向量空间在物理学中的应用之前，首先需要回顾向量空间的基础知识。
向量空间是由若干个向量及其运算所构成的空间。
向量空间具有加法和数乘运算，满足一定的公理，并且可以进行向量的线性组合等操作。
3.向量空间在物理学中的应用3.1 位移与速度在物理学中，位移和速度是非常重要的物理量。
位移用来描述物体从一个位置到另一个位置的距离和方向，速度则用来描述物体在单位时间内的位移变化。
这两个物理量都可以用向量来表示。
在向量空间中，我们可以使用向量的加法和数乘运算来计算位移和速度的关系，从而更好地理解和分析物体的运动规律。
3.2 力和力矩力和力矩是物理学中研究物体运动和平衡的重要概念。
力可以看作是物体之间相互作用的结果，而力矩则描述了物体受力时的旋转效应。
这两个物理量也可以用向量来表示。
在向量空间中，我们可以使用向量的线性组合和叉乘运算来计算力和力矩的关系，进而更好地理解和解决与物体运动和平衡相关的问题。
3.3 电场和磁场电场和磁场是电磁学中的重要概念，描述了电荷和电流所产生的力场和磁场。
电场和磁场也可以用向量来表示。
在向量空间中，我们可以使用向量的线性组合和点乘运算来计算电场和磁场的关系，从而更好地理解和分析电磁学中的各种现象和问题。
4.教学活动设计了解了向量空间在物理学中的应用，我们可以设计一些教学活动来帮助学生巩固和应用所学的知识。
例如，可以组织学生进行实验，通过观察和测量，用向量的概念解释和分析实验结果。
此外，还可以设计一些课堂讨论和小组合作的活动，让学生共同思考和解决一些实际物理问题，从而提高他们的综合能力和问题解决能力。
〖2021年整理〗《向量在物理中的应用举例 》优秀教案
第九章平面向量向量在物理中的应用举例力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．本章突出向量的实际背景与应用，这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识．课程目标学科素养1.会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题。
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用a数学建模:通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题b数学运算:通过用向量的方法解决物理问题提升数学运算素养1教学重点：通过用向量的方法解决物理问题2教学难点：探究物理中的实际问题多媒体调试、讲义分发。
结合下列情境思考问题．问题1图1中两个人提一重物怎样提最省力？图2中一个人静止地垂挂在单杠上，手臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系？提示两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂间的距离越大，夹角越大越费力问题2向量的数量积与功有什么联系？提示物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积1向量与力向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点而力是既有大小和方向，又有作用点的量用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上2向量与速度、加速度、位移速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算3向量与功、动量力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·＝|F|||co θθ为F和的夹角动量mν实际上是数乘向量题型一向量的线性运算在物理中的应用【例1】在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°如图，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小解如图，两根绳子的拉力之和错误!错误!/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10错误!m/h，求小船的实际航行速度解设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作错误!错误!/h，tan ∠AOC＝错误!＝错误!，∴∠AOC＝60°，∴小船的实际航行速度大小为2021/h，按北偏东30°的方向航行题型二向量的数量积在物理中的应用【例2】质量m＝g的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行||＝m的距离g＝N/g1分别求物体所受各力对物体所做的功；2在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解1木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力F N，如图所示，拉力F与位移方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F＝F·＝|F|||co 0°＝2021支持力F N与位移方向垂直，不做功，所以W N＝F N·＝0；重力G对物体所做的功为W G＝G·＝|G|||co90°＋θ＝×××co 12021－J2物体所受各力对物体做功的代数和为W＝W F＋W N＋W G＝J规律方法向量在物理学中的应用一般涉及力与速度的合力与分解，充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象为数学问题，物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积【训练2】已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移的大小||＝14，F与的夹角为60°，则F做的功为解析F做的功为F·＝|F|||co 60°＝10×14×错误!＝70答案D，F2，F3单位：牛顿的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大1小为解析由题意知F3＝－F1＋F2，所以|F3|2＝F1＋F22＝F错误!＋F错误!＋2F1·F2＝4＋16＝2021∴|F3|＝2错误!答案C，风速为v2，则逆风行驶的速度为1－v2－v1＋v2D|v1|－|v2|解析由题易知，选项C正确答案C3用两条成12021的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N解析设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，且|F1|＝|F2|∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，∴每根绳子的拉力都为10 N答案104一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为2021/h，水速为12 m/h，则船到达B处所需时间为________ min解析∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝2021/h，|v2|＝12 m/h，∴|v实际|＝错误!＝错误!＝16m/h∴所需时间t＝错误!＝h＝3min∴该船到达B处所需的时间为3 min答案3在向量概念教学中，应根据学生的生活经验，创设丰富的情境．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程．同时，注重向量模型的运用，引导现实解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．。
《向量在物理中的应用举例》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《向量在物理中的应用举例》教学设计向量有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等．可以说向量的概念就是由这些物理背景、几何背景中抽象出来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题．所以利用向量计算力沿某方向所做的功，解决很多物理问题，建立学科间的联系是很有必要的．（1）能运用平面向量的知识解决一些简单的物理问题．（2）通过实例，体会如何把物理问题转化为数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型．（3）利用数学模型的解来解释相应的物理现象，能自如的建立两者的关系．教学重点：运用向量的有关知识解决简单的物理问题．教学难点：用向量解决物理问题的“四步曲”．1．教学问题（1）如何抽象出物理问题中的向量这是第一个问题．学生会觉得这是两种不同的语言，不同的思维．我们先将问题中涉及到的物理量（即力、加速度、速度等物理量）抽象为向量语言就可以解决这个问题了．（2）如何建立以向量为主体的数学模型是我们的第二个问题．这是一种建模的思想，是我们着重要培养的学生能力．（3）如何利用向量的线性运算或数量积运算是我们的第三个问题．向量有很好的运算规律和性质，学生们要在理解的基础上进行计算就可以解决问题了．（4）如何用数学模型中的数据解释物理问题是第四个问题．要将计算的结果翻译为物理语言，解释物理现象也是学生感觉较难的部分．解决问题的着手点依然是理解物理量与向量之间联系．2．支持条件在教学过程中，要正确理解物理量之间的关系，我们可以采用几何画板等技术来支持教学．【问题1】在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度来解释这种现象吗？【设计意图】由现实生活中学生熟悉的例子入手，让学生体会可以用向量的语言解释物理现象． 师生活动【师生活动】（1）作图引导学生进行受力分析（注意分析对象）；（2））引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：1112cos 22cos 2GG F F θ=⇒= 讨论：当θ逐渐增大时，1F 的大小怎样变化？为什么？当θ为何值时，1F 最小，最小值是多少？当θ为何值时，1F G =？（3）请同学们自行设定1F 与G 的大小，研究1F 与θ的关系？（4）利用结论解释问题1中提出的物理现象【问题2】一条河的两岸平行，河的宽度d=500m ，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸B 处船航行的速度h km v /101=，水流速度h km v /42=那么，1v 与2v 的夹角θ（精确到01）多大时，船才能垂直到达对岸B 处? 船行驶多少时间（精确到01min ）?【设计意图】通过这个问题，帮助学生熟悉与运动相关的问题如何利用向量的方法解决．【师生活动】（1）启发学生思考：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了由于水的流动，船被冲向下游，因而水速2ν的方向怎样的呢？（2）再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度ν的方向还是1ν的方向？为什么？（3）启发学生画出2ν和ν的方向，思考一下向量ν-2ν的方向如何确定？（4）启发学生利用三角形法则作出ν-2ν（即1ν），再把1ν的起点平移到A ，也可直接用平行四边形法则作出1ν（5）让学生完成t ,,θν的计算（注意ν和2ν的方向垂直）||||)90sin(120v v =-θ即||||arcsin 90120v v +=θ0114≈， 2221||v v v -==θsin ||1v h km /2.9≈，||v d t =min 3.3≈【问题3】如何把物理学问题转化为数学问题，进而利用向量方法解决？【设计意图】在两个例题的基础上，引导学生总结利用向量方法解决物理问题的步骤．【师生活动】（1）引导学生归纳总结用向量法解决物理问题的“四步曲”．第一步，将物理问题转化为几何问题第二步、将几何问题中涉及的几何元素转化为向量问题；第三步、通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；第四步、用运算的结果解释物理问题．（3）教师提问：物理中还有哪些矢量？与它们相关的问题也可以用向量方法解决吗？．【习题检测】请完成课后练习，检测学习效果．。
人教版高中数学教案-向量在物理中的应用举例
2.5.2向量在物理中的應用舉例教學目的：1.通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相關問題的步驟，明瞭向量在物理中應用的基本題型，進一步加深對所學向量的概念和向量運算的認識；2.通過對具體問題的探究解決，進一步培養學生的數學應用意識，提高應用數學的能力，體會數學在現實生活中的作用.教學重點：運用向量的有關知識對物理中的力的作用、速度分解進行相關分析來計算.教學難點：將物理中有關向量的問題轉化為數學中向量的問題.教學過程：一、複習引入：1. 講解《習案》作業二十五的第4題.RA点AP已知P直线lRA=-lyx=,是直线2,.2,6:上的一点求点若),,1(的轨迹方程2. 你能掌握物理中的哪些向量？向量運算的三角形法則與四邊形法則是什麼？二、講解新課：例1. 在日常生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力. 你能從數學的角度解釋這種形象嗎？探究1：(1) 為何值時，|1F |最小，最小值是多少? (2)| 1F |能等於|G |嗎?為什麼?探究2:你能總結用向量解決物理問題的一般步驟嗎?(1)問題的轉化：把物理問題轉化為數學問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數學模型；(3)參數的獲得：求出數學模型的有關解——理論參數值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態， 解決相關物理現象.例2. 如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d ＝500 m ，一艘船從A 處出發到河對岸.已知船的速度|1v |＝10 km/h ，水流速度|2v |＝2 km/h ，問行駛航程最短時，所用時間是多少（精確到0.1 min ）？思考:1. “行駛最短航程”是什麼意思？2. 怎樣才能使航程最短？. ,|,23|, 231),2(,|,| ,)2,1( ),1,0(),,1(.32 12 1212121的值时，求则当处、秒时分别在在时刻、设速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与从另有一动点速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与向量从今有动点有两个向量例tQPPQQPtQPeee eQQeeeePPee⊥=++--++-==三、課堂小結向量解決物理問題的一般步驟:(1)問題的轉化：把物理問題轉化為數學問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數學模型；(3)參數的獲得：求出數學模型的有關解——理論參數值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態，解決相關物理現象.四、課後作業1. 閱讀教材P.111到P.112;2. 《習案》作業二十六.。
《向量在物理中的应用举例》教案、导学案、课后作业
《6.4.2向量在物理中的应用举例》教案【教材分析】向量概念有明确的物理背景:力、速度、加速度等，可以说向量概念是从物理背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功.【教学目标与核心素养】课程目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题;2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算解决物理问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将物理问题向量化，体现了数学与物理的紧密联系.【教学重点和难点】重点：体会向量在解决平面物理问题中的作用；难点：如何将物理等实际问题化归为向量问题.【教学过程】一、情景导入提问：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本40-41页，思考并完成以下问题1、如何用向量方法解决物理问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的 合成和分解 中． (3)动量m v 是向量的数乘运算． (4)功是 力F 与位移s 的数量积． 四、典例分析、举一反三 题型 向量在物理中的应用例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？【解析】不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=．通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F 1|有小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．例2如图，一条河的两岸平行，河的宽度m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？【答案】 见解析【解析】，所以， (min)． 答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．||2cos2G θθ0~1802θ0~90cos2θ500d =||v 2212||||96v v -=0.560 3.1||96d t v ==≈解题技巧（向量解决物理问题的步骤）跟踪训练1、在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【答案】 见解析【解析】如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°， |DC →|＝|AB →|＝12.5，|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江， 其航向应为北偏西30°.2、已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)，求F 1，F 2分别对质点所做的功．【答案】 见解析【解析】 设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s .∵AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．∴W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本41页练习，52页习题6.4的4-5题. 【教学反思】本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
向量在物理中的应用举例教学设计
2.5 .2向量在物理中的应用举例（教学设计）[教学目标]一、 知识与能力：1. 运用向量方法解决某些简单的物理问题.二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的物理问题的过程；体会向量是一种处理物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]运用向量方法解决某些简单的物理问题.[教学难点]运用向量方法解决某些简单的物理问题.一、新课引入物理学家很早就在自己的研究中使用向量概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。
数学家在物理学家使用向量的基础上，对向量又进行了深入的研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用.二、师生互动，新课讲解()()1212122,457,020,151,2,.A B =+=-已知两个力（单位：牛）作用于同一质点，此质点在这两个力的共同作用下，由移动到（单位：米），试求：（）分别对质点所做的功；（）求的合力对质点所做的功例1f i j f i jf f f f ()()112212125,3,13,15,·43,23,·204323AB W AB W AB W AB ==⋅+=-======--解：和所做功分别为焦和焦，它们的合力所做功为20所以焦.f f f f f f f f变式训练1：()()()12312333,42,5,.x y ==-=++=0已知三个力，，的合力，求F F F F F F F()33205,145051x x y y ++=⎧=-=-⎨⎧⇒-+=⎩⇒⎨=⎩解：由平面向量的加法的坐标运算，则F .122:(500A 10/2/d m km h km h ===例课本P112例4)如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从出发到河对岸.已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min ）？v v()()12226096/,0.59 3.1min 1m 63.in.km h d t =-===⨯≈解：要使船行驶最短路程，那么船的速度答：行驶航速与水流速度的合速度必须最短时，所用时间是垂直于对岸，所以v v v v v2:2/2/.m s m s 变式训练河水从东向西流，流速为，一轮船以垂直水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速 222/2/||222 2.8(/)..2.82/m s m s m s m s ==+===++解：设“向西方向，”，“向北方向，”，则由=，可得的方向为西北方向答：轮船实际航行速度为“向西北方向，”.a b a b a b a b例3：121121.,0N 3π=的夹角是直角，且已知它们的合力与已知两个力的夹角为，，求、的大小F F F F F F F 12cos5N,3sin 53N.3ππ====解：F F F F 变式训练3：.a =某人骑车速度，方向向东，此时感到风从正北方吹来，若将速度加快一倍，则感到风从东北方吹来，求风速与风向v245,2.PO PA PA OA PB PBA a -=-=-⊥=-∠=︒=解：如图，若无风，则感到风速为，设实际风速为，则此人感觉到的风速为，加速前我们由此人感觉到的风向量且，加速后我们由此人感觉到的风向量且所以风速，来自西北方向v x x v x v x v x三、课堂小结，巩固反思：向量具有强烈的物理学实际背景，物理学中有两种基本量，标量和矢量，矢量遍布在物理学的很多分支，它包括力、位移、速度、加速度、动量等，虽然物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同，但并不影响向量在物理学中的作用，许多物理学问题可以通过向量的方法加以解决.四、分层作业：A组：1、（课本P118复习参考题A组：NO：10）2、（课本P118复习参考题A组：NO：11）3、（课本P118复习参考题A组：NO：12）4、（课本P118复习参考题A组：NO：13）5、（课本P118复习参考题B组：NO：1）B组：1、（课本P113习题2.5 A组NO：3）2、（课本P113习题2.5 A组NO：4）C组：1、（课本P113习题2.5 B组NO：1）2、（课本P113习题2.5 B组NO：2）3、（课本P113习题2.5 B组NO：3）。
向量在物理中的应用举例 说课稿 教案 教学设计
平面向量应用举例一、教学分析1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.前三种方法都是中学数学中出现的内容.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.二、教学目标1．知识与技能：通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2．过程与方法：明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、教学设想（一）导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.图2证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).图3方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)= 2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系DB=AB-AD,AC=AB+AD,教师可点拨学生设AB=a,AD=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算|AC|2与|DB|2.因此有了方法三.方法三:设AB=a,AD=b,则AC=a+b,DB=a-b,|AB|2=|a|2,|AD|2=|b|2.∴|AC|2=AC·AC=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①同理|DB|2=|a|2-2a·b+|b|2.②观察①②两式的特点,我们发现,①+②得|AC|2+|DB|2=2(|a|2+|b|2)=2(|AB|2+|AD|2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法.③略.（三）应用示例图4例1 如图4,ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR、RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断、、AT 、与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图4,设=a ,=b ,=r ,=t ,则AC =a +b . 由于与AC 共线,所以我们设r =n(a +b ),n ∈R .必须⎪⎩⎪⎨=-+.021m n 解得n=m=31. 所以=31,同理=31.于是RT =31.所以AR=RT=TC.点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤.变式训练图5如图5,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点. 证明:设BE 、CF 相交于H,并设AB =b ,AC =c ,AH =h , 则BH =h -b ,CH =h -c ,BC =c -b .因为BH ⊥AC ,CH ⊥AB , 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简得h ·(c -b )=0. 所以AH ⊥BC .所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.图6例2 如图6,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值.活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),BA =(c,a),=(c,0),=(2c,0).因为BB′、CC′都是中线, 所以'BB =21(+BA )=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ),同理'CC =(2,23a c -). 因为BB′⊥CC′,所以22449a c +-=0,a 2=9c 2.所以cosA=54299||||2222222=+-=+-=•c c c c c a c a AC AB ACAB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效. 变式训练图7(2004湖北高考) 如图7,在Rt △ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:BC PQ 与的夹角θ取何值时,CQ BP •的值最大?并求出这个最大值. 解:方法一,如图7.∵AB ⊥AC ,∴AB ·AC =0.∵AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,,, ∴)()(AC AQ AB AP CQ BP -•-=• =AC AB AQ AB AC AP AQ AP •+•-•-• =-a 2-AP AC +AB ·AP =-a 2+AP ·(AB -AC )=-a 2+21PQ ·BC =-a 2+a 2cos θ. 故当cosθ=1,即θ=0,PQ 与BC 的方向相同时,CQ BP •最大,其最大值为0.图8方法二:如图8.以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).∴BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y).∴CQBP•=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵cosθ=2||||a bycxBCPQ -=∴cx-by=a2cosθ.∴CQBP•=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0,PQ与BC的方向相同时, CQBP•最大,其最大值为0. （四）知能训练图91.如图9,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.证明:如图9.设=a,=b,则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.因为AB·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以⊥BC.由此,得∠ABC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.。
向量在物理中的应用举例教案
向量在物理中的应用举例教案一、教学目标1. 让学生了解向量在物理学中的基本概念和运用。
2. 培养学生运用向量知识解决物理问题的能力。
3. 提高学生对向量知识的兴趣和认识，培养其创新意识。
二、教学内容1. 向量在力学中的应用：（1）位移、速度、加速度的向量表示；（2）牛顿运动定律的向量形式；（3）碰撞问题的向量处理。
2. 向量在电磁学中的应用：（1）电场、磁场、势的向量表示；（2）洛伦兹力、安培力的向量计算；（3）电磁波的向量描述。
三、教学方法1. 采用讲解、示例、互动相结合的方式进行教学；2. 利用物理实验、动画演示等手段，增强学生对向量概念的理解；3. 引导学生运用向量知识解决实际问题，提高其应用能力。
四、教学步骤1. 引入向量概念，讲解向量在物理学中的重要性；2. 讲解位移、速度、加速度的向量表示，示例演示；3. 分析牛顿运动定律的向量形式，引导学生理解向量在力学中的应用；4. 通过碰撞问题实例，让学生掌握向量在力学问题中的运用；五、课后作业2. 完成课后练习题，巩固所学内容；3. 思考向量在其他领域中的应用，提出疑问，准备下一节课的交流。
教学评价：通过课堂讲解、互动、课后作业等方式，评价学生对向量在物理中应用的理解和掌握程度。
六、教学内容1. 向量在光学中的应用：（1）光线的向量表示；（2）反射定律、折射定律的向量形式；（3）光波的向量描述。
2. 向量在量子力学中的应用：（1）波函数的向量表示；（2）薛定谔方程的向量形式；（3）量子态的向量描述。
七、教学方法1. 采用案例分析、讨论、互动相结合的方式进行教学；2. 通过光学实验、量子力学现象的演示，引导学生理解向量在物理中的运用；3. 鼓励学生主动探索向量在其他物理领域中的应用，培养其创新能力。
八、教学步骤1. 回顾上节课所学的向量在物理中的应用，引导学生思考向量在光学中的重要性；2. 讲解光线的向量表示，示例演示；3. 分析反射定律、折射定律的向量形式，引导学生理解向量在光学问题中的运用；4. 通过光波的向量描述，让学生掌握向量在光学中的应用；5. 引入量子力学中的向量知识，讲解波函数的向量表示，示例演示；6. 分析薛定谔方程的向量形式，引导学生理解向量在量子力学问题中的运用；7. 通过量子态的向量描述，让学生掌握向量在量子力学中的应用；九、课后作业2. 完成课后练习题，巩固所学内容；3. 思考向量在其他物理领域中的应用，提出疑问，准备下一节课的交流。
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§6.4.2 向量在物理中的应用举例
一、内容和内容解析
内容：向量在物理中的应用
内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．物理学家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算.数学家在物理家使用向量的基础上，对向量又进行了深入研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用.
通过实例，引导学生用向量方法解决物理中的速度、力学问题，培养学生的数学建模、数学运算的核心素养.
二、目标和目标解析
目标：
（1）会用平面向量知识解决简单的物理问题，培养数学建模的核心素养．
（2）体会向量在解决速度、力学等一些简单实际问题中的作用，提升数学运算的核心素养．
目标解析：
（1）向量在物理中的应用实际上是先把物理问题转化为向量问题，然后利用向量运算解决问题，最后再用所得的结果解释物理现象.
（2）借助具体实例，体会将物理问题转化为数学问题和用数学模型来解释物理现象，以此培养学生数学建模素养，提高从向量角度分析和解决实际问题的能力．
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在向量在物理中的应用的教学中，将物理问题转化为向量问题是进行数学建模教学的好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：将物理问题转化为数学问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：从日常中经常遇到的实际问题入手，结合具体体验，完成建立数学模型的过程.
2．教学问题二：如何用数学模型解释问题中所反映的物理现象是本节课的第二个教学问题．解决方案：借助信息技术工具，将数学模型还原成物理问题，解释物理现象.
基于上述情况，本节课的教学难点定为：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生能够用向量的方法解决物理中的相关问题，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用小组讨论，代表发言的形式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问
题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，重视数学建模的过程，让学生体会到数学思想方法的应用．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
五、教学过程与设计
教学
环节
问题或任务师生活动设计意图创设
情境
生成
问题[问题1]图1中两个人提一重物怎样提最省力？图2中一个人静止地垂
挂在单杠上，手臂的拉力与手臂握
杆的姿势有什么关系？
[问题2]向量的数量积与功有什么
联系？教师1：提出问题1．
学生1：两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂
间的距离越大，夹角越大越费力.
教师2：提出问题2．
学生2：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上
的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量
积.
通过生活中
的实际问
题，引入本
节新课.建
立知识间的
联系，提高
学生概括、
类比推理的
能力.
探索交流，解决问题[问题3]如何利用向量研究力、速
度、加速度、位移、功等物理问题？
[问题4]利用向量方法解决物理问
题的基本步骤是什么？
教师3：提出问题3．
学生3：学生思考，力、速度、加速度、位移以及运
动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四
边形法则或三角形法则等；力所做的功的问题一般可
以利用两向量的数量积来处理，如图所示，一物体在
力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功为
W＝F·s.
教师4：提出问题4．
学生4：学生小组讨论.
利用向量方法解决物理问题的基本步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；
②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
通过探究、
思考，进一
步完善用向
量方法解释
实际现象及
其步骤，提
高学生分析
问题、概括
能力.
典例分析
巩固落实例1.（1）在重300 N的物体上系
两根绳子，这两根绳子在铅垂线的
两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，
60°(如图)，求重物平衡时，两根绳
子拉力的大小.
（2）一条河的两岸平行,河的宽度
d=500 m，一艘船从A处出发到河
的正对岸B处，船航行的速度
|v1|=10km/h，水流速度|v2|=2km/h，
问行驶航程最短时，所用时间是多
少(精确到min) ？
2.向量的数量积在物理中的应用
例2.质量m＝2.0 kg的木块，在平
行于斜面向上的拉力F＝10 N的作
用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面
向上滑行|s|＝2.0 m的距离.(g＝9.8
N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做
的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对
物体做功的代数和是多少？
教师5：完成例1．
学生5：（1）如图，两根绳子的拉力之和OA
→
＋OB
→
＝
OC
→
，
且|OC
→
|＝|OG
→
|＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，
从而|OA
→
|＝|OC
→
|·cos 30°＝1503(N)，
|AC
→
|＝|OC
→
|·sin 30°＝150(N)，
所以|OB
→
|＝|AC
→
|＝150(N).
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N，与
铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
（2）解析：设点B是河对岸一点，
AB与河岸垂直，那么当这艘船实际
沿着AB方向行驶时，船的航程
最短，如图，设
12
v v v
=+，则
()
22
12
96/
v v v km h
=+=
此时，船的航行时间
()
0.5
60 3.1min
96
d
t
v
==⨯≈
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min.
教师6：完成例2．
学生6：(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和
支持力F N，
如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木
块所做的功为
W F＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；
支持力F N与位移方向垂直，不做功，
所以W N＝F N·s＝0；
重力G对物体所做的功为
W G＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝2.0×9.8×2.0×cos 120°＝
－19.6(J).
通过例
题让学生了
解用向量方
法解释日常
生活中的现
象，提高学
生的解决问
题、分析问
题的能力.
[课堂练习]
1.一条渔船距对岸4 km，以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是________ km/h.
2.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为()(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝W F＋W N＋W G＝0.4(J).
教师7：布置课堂练习1、2．
学生7：完成课堂练习，并核对答案.
课堂小
结
升华认
知[问题5]通过这节课，你学到了什么
知识？
在解决问题时，用到了哪些数学思
想？
[课后练习]
1.用两条成120°角的等长的绳子悬
挂一个灯具，如图所示，已知灯具
重10 N，则每根绳子的拉力大小为
______ N.
2．已知一个物体在大小为6 N的力
F的作用下产生的位移s的大小为
100 m，且F与s的夹角为60°，则
力F所做的功W＝________ J.
3．一条河宽为800 m，一船从A处
出发垂直到达河正对岸的B处，船
速为20 km/h，水速为12 km/h，则
教师8：提出问题5．
学生8：
学生9：学生课后进行思考，并完成课后练习．
答案：1.10；
；
；
4.v3的方向是北偏西60°，大小是 3 km/h.
师生共同回
顾总结:引
领学生感悟
数学认知的
过程，体会
数学核心素
养．。