正弦定理应用
正弦定理在物理解题中的应用
正弦定理在物理解题中有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子：
1. 在力学问题中，正弦定理可以用于解决与力、速度和加速度相关的问题。
例如，在单摆问题中，正弦定理可以用于计算摆球的加速度和速度；在弹簧振子问题中，正弦定理可以用于计算振子的位移和速度。
2. 在电学问题中，正弦定理可以用于解决与交流电有关的问题。
例如，在计算交流电的电流、电压和电阻时，可以使用正弦定理来简化计算过程。
3. 在光学问题中，正弦定理可以用于计算光的折射率和反射率。
例如，在计算光通过透镜后的焦点位置时，可以使用正弦定理来计算。
4. 在热力学问题中，正弦定理可以用于计算热量的传递和热力学系统的热容。
例如，在计算热传导系数和热扩散系数时，可以使用正弦定理来简化计算过程。
总的来说，正弦定理作为一种通用的数学工具，在物理解题中有着广泛的应用，可以用于解决各种与波形、振动、波动、光学、热力学等领域相关的问题。
正弦定理在实际生活中的应用
04
通信领域的应用
04
通信领域的应用
确定信号传输路径
确定信号传输路径
在通信领域中，正弦定理可以用来确 定信号的传输路径，帮助工程师了解 信号的传播方式和特性，从而优化信 号传输效果。
计算信号损耗
利用正弦定理，可以计算出信号在传 输过程中的损耗，为通信网络的规划 和优化提供依据。
确定信号传输路径
02
建筑领域的应用
02
建筑领域的应用
测量建筑物高度
利用正弦定理，可以计算出建筑物 的高度，只需测量出建筑物底部和 顶部对齐垂直线之间的角度以及水 平距离。
测量建筑物高度
利用正弦定理，可以计算出建筑物 的高度，只需测量出建筑物底部和 顶部对齐垂直线之间的角度以及水 平距离。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，确定建筑物的角度是至关重要的。通过正弦定理， 可以计算出建筑物各部分的角度，确保建筑物的外观和功能符合 设计要求。
02
03
日食和月食
利用正弦定理，可以精确 计算出日食和月食发生的 时间和地点，这对于制定 天文观测计划至关重要。
行星轨迹
通过正弦定理，可以预测 行星的运动轨迹，这对于 制定太空探索计划和航天 任务具有指导意义。
天文事件预测
正弦定理还可以用于预测 其他天文事件，如彗星回 归、超新星爆发等。
预测天文现象
光的反射
光的反射是指光线遇到障碍物时，会按照一定的角度反射出去。正弦定理可以 用于计算反射角的大小，从而了解光线在反射过程中的变化规律。
研究光的折射和反射
光的折射
在物理学中，当光线从一个介质传播到另一个介质时，会发生折射现象。正弦 定理可以用于计算折射角的大小，从而了解光线在两种不同介质中的传播路径。
正弦余弦定理及应用
正弦余弦定理及应用正弦定理和余弦定理是在解三角形问题中常用的两个定理。
在解决三角形问题时，我们经常需要求解三角形的边长或者角度。
使用正弦定理和余弦定理可以帮助我们更方便地解决这些问题。
首先来看正弦定理。
正弦定理是针对一个三角形中的角和边之间的关系进行描述的。
对于一个三角形ABC，其三个内角分别为∠A、∠B和∠C，三个对边长度分别为a、b和c，则正弦定理可以表示为：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C其中sin∠A表示∠A的正弦值。
正弦定理的推导过程非常简单，可以通过三角形的面积公式进行得出。
由于三角形的面积与其对边的关系为S = (1/2)ab*sin∠C，我们可以得到sin∠C = (2S)/(ab)，从而推导出上述的正弦定理。
正弦定理的应用非常广泛。
通过正弦定理，我们可以方便地求解角度或者边长。
举个例子来说，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5、b=7，以及它们之间的夹角为∠C=30，我们可以利用正弦定理来求解第三条边c的长度。
根据正弦定理，我们可以得到c/sin∠C = b/sin∠B，化简后得到c = b*sin∠C/sin ∠B。
将具体数值代入计算可以得到c=3.5。
而余弦定理则是针对三角形的边和边之间的关系进行描述的。
对于一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a、b和c，三个内角分别为∠A、∠B和∠C，则余弦定理可以表示为：c²= a²+ b²- 2ab*cos∠C余弦定理的推导过程较为复杂，这里我们只给出其结果。
余弦定理是由向量的内积推导而来的，通过应用余弦定理，我们可以求解未知角或边长。
同样以一个例子来说明，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5和b=7，以及它们夹角的余弦值cos∠C=1/2，我们可以利用余弦定理来求解第三条边c 的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c²= a²+ b²- 2ab*cos∠C，将具体数值代入计算可以得到c²= 25 + 49 - 35/2 = 59.5。
正弦定理在实际生活中的应用
实例讲解
D
分析：要测出高CD,只要测出高所在的 直角三角形的另一条直角边或斜边的长。 根据已知条件，可以计算出BC的长。
C
8° 25°
B
15 5k°m
A
解：在⊿ABC中，∠C=25°--15°=10°.
根据正弦定理， BC AB sin A sin C
BC
AB sin sin C
A
5sin15 sin10
（3）三角形常用公式： A B C
实例讲解
例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底 部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是
45和 60，CD间的距离是12m.已知测角仪器高
1.5m，求烟囱的高。
想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
7.4524(km).
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高度约为1047米。
小结
解三角形应用题的一般步骤：
（1）准确地理解题意； （2）正确地作出图形； （3）把已知和要求的量尽量集中在有关三
角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺 序地解这些三角形； （4）再根据实际意义和精确度的要求给出
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：在BC1D1中, C1BD1 60 45 15,
由正弦定理可得: C1D1 BC1 sin B sin D1
C1 12 D1
A1
1.5
C
D
A
BC1
正、余弦定理及其应用
正、余弦定理及其应用正、余弦定理及其应用一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=,sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④ 解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。
已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
注：在ΔABC 中，sinA>sinB是A>B的充要条件。
（∵sinA>sinBa>bA>B）二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）2、ΔABC的面积公式（1）；（2）；（3）。
【基本训练】1．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______．3．在△ABC中，为的中点，且，则.4．在中，若，，，则考点集结考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用〖例1〗a=，b=，B=45°，求A,C及边c．2)在中，角所对的边分.若，则（）A．B．C．-1D．11.在△ABC中以知A=30°a、b分别为角A、B对边，且a=4=b解此三角形考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围〖例2〗若△的三个内角满足则△A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．cos的最小值为。
正、余弦定理在实际生活中的应用
正、余弦定理在实际生活中的应用正弦定理和余弦定理是三角学中重要的定理，它们不仅在数学领域有着重要的意义，而且在日常生活中也有着广泛的应用。
本文将通过几个实际生活中的例子，来说明正弦定理和余弦定理的应用。
我们来看一个生活中常见的例子，即测量高楼的高度。
假设有一栋高楼，我们无法通过直接测量得到其高度，但是我们可以通过测量某一点到高楼顶部的距离和测量这一点与高楼底部的夹角，利用正弦定理和余弦定理来计算高楼的高度。
设高楼的高度为h，某一点到高楼顶部的距离为d，某一点与高楼底部的夹角为θ，则根据正弦定理可得：\[ \frac{h}{\sin{\theta}} = \frac{d}{\sin{(90^\circ - \theta)}} \]根据余弦定理可得：\[ h^2 = d^2 + L^2 - 2dL\cos{\theta} \]通过这两个公式，我们可以根据已知的距离和夹角，计算出高楼的高度。
这就是正弦定理和余弦定理在测量高楼高度时的应用。
正弦定理和余弦定理也可以在航海领域中得到应用。
航海员在航海时需要测量两个位置之间的距离和方向角，而这正是正弦定理和余弦定理所擅长的。
假设航海员需要确定A点和B点之间的距离d和方向角θ，可以利用正弦定理和余弦定理来进行计算。
首先利用余弦定理计算A点和B点的距离：\[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\theta} \]然后利用正弦定理计算出方向角θ：\[ \frac{\sin{\theta}}{a} = \frac{\sin{B}}{d} \]通过这些计算，航海员可以准确地确定A点和B点之间的距离和方向角，从而确保航行的安全和准确性。
在建筑领域中，正弦定理和余弦定理也有着重要的应用。
在设计桥梁和建筑物结构时，需要计算各种角度和距离，而这些计算中常常需要用到正弦定理和余弦定理。
在地质勘探和地震预测中，也需要利用正弦定理和余弦定理来计算地层的深度和角度，从而进行地质勘探和地震预测工作。
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用在数学中，余弦定理和正弦定理是解决三角形的边长和角度关系的重要工具。
它们的应用范围广泛，不仅限于几何学，还可以在物理学、工程学以及实际生活中的各种测量和计算问题中使用。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的基本原理，并通过一些实际应用例子来展示它们的实用性。
一、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们所对的角之间存在着一个关系，即：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b、c为三角形的三条边，C为夹角。
该定理可以用于计算三角形的边长或夹角大小，特别适用于已知两边和夹角，求解第三边或第三个角的情况。
例如，我们有一个三角形，已知两条边分别为a=5cm，b=7cm，夹角C为60度。
我们可以利用余弦定理来计算第三条边c的长度：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2×5×7×cos60°c^2 = 25 + 49 - 70×0.5c^2 = 24c = √24c ≈ 4.9cm通过余弦定理，我们可以得到这个三角形的第三边c约为4.9cm。
除了计算边长，余弦定理还可以用于计算三角形的角度。
例如，我们有一个三角形，已知三边分别为a=6cm，b=8cm，c=10cm。
我们可以利用余弦定理来计算各个角的大小：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)通过上述公式，我们可以求得角A，角B和角C的余弦值，再利用反余弦函数求得它们的度数。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，三条边和对应的角的正弦之间存在着一个关系，即：a / sinA =b / sinB =c / sinC正弦定理可以用于解决已知一个角和与之对应的两个边，求解其他角和边长的问题。
例如，我们有一个三角形，已知角A为30度，边a为5cm，边b 为7cm。
正弦定理的解决范围问
正弦定理的解决范围问全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正弦定理作为三角形中重要的定理之一，被广泛应用于解决三角形中角度和边长的关系问题。
正弦定理描述了三角形中的角度和边长之间的关系，通过该定理，我们可以求解不完全已知的三角形各边长或角度。
在实际问题中，正弦定理的应用范围非常广泛，下面我们来详细探讨一下正弦定理的解决范围及其应用。
让我们来回顾一下正弦定理的表达形式。
对于一个三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，对应的三条边分别为a、b、c。
根据正弦定理可知：\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}这就是正弦定理的基本表达形式。
从这个表达式可以看出，正弦定理适用于任意的三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，都可以通过正弦定理来求解。
正弦定理还可以应用于求解已知两个角和一个边长的三角形中的另外一个角或边长。
当我们知道三角形中两个角和一个边长时，可以利用正弦定理求解第三个角的大小，或者求解另外一个边长的长度。
这种情况常常出现在实际问题中，正弦定理的灵活运用可以帮助我们快速解决这类问题。
第二篇示例：正弦定理是解决三角形中角和边之间关系的重要定理之一，它可以帮助我们在已知三角形中一些角或边的情况下，推导出其他角或边的长度。
正弦定理的应用范围非常广泛，涉及到数学、物理、工程等各个领域。
下面我们将详细介绍正弦定理的解决范围及其应用。
正弦定理是通过三角形的边和角之间的关系推导出来的。
在任意一个三角形中，我们都可以应用正弦定理来求解三角形中的各个角和边的关系。
正弦定理的表达形式为：在一个三角形ABC中，设三个角分别为A、B、C，对应的边分别为a、b、c，那么有如下式子成立：a / sinA =b / sinB =c / sinCa、b、c为三角形的三条边的长度，A、B、C为三角形的三个角的大小。
通过这个定理，我们可以求解已知三边或两边一角的三角形，也可以求解已知两角一边的三角形。
正弦定理和余弦定理在专业中的应用
正弦定理和余弦定理在专业中的应用正弦定理和余弦定理是初中数学中的重要定理，但它们在专业中的应用也非常广泛。
本文将从工程、物理、地理、计算机等多个领域的角度，探讨正弦定理和余弦定理的应用。
一、工程领域在工程领域中，正弦定理和余弦定理被广泛应用于测量和设计。
例如，在建筑设计中，需要测量建筑物的高度、角度、距离等参数，这时就需要用到正弦定理和余弦定理。
在测量建筑物高度时，可以利用正弦定理求出建筑物高度与测量仪的距离之比，从而计算出建筑物的高度。
在测量建筑物角度时，可以利用余弦定理求出两条边和它们之间的夹角，从而计算出建筑物的角度。
在测量建筑物距离时，可以利用正弦定理或余弦定理求出两点之间的距离。
另外，在机械设计中，正弦定理和余弦定理也被广泛应用。
例如，在设计机械零件时，需要计算零件的尺寸和角度，这时就需要用到正弦定理和余弦定理。
在计算零件尺寸时，可以利用余弦定理求出两条边和它们之间的夹角，从而计算出零件的尺寸。
在计算零件角度时，可以利用正弦定理或余弦定理求出两条边和它们之间的夹角，从而计算出零件的角度。
二、物理领域在物理领域中，正弦定理和余弦定理被广泛应用于力学、光学等领域。
例如，在力学中，正弦定理和余弦定理被用来计算物体的速度、加速度、力等参数。
在光学中，正弦定理和余弦定理被用来计算光的传播方向、折射角度等参数。
另外，在声学中，正弦定理和余弦定理也被广泛应用。
例如，在计算声波传播方向和声压级时，可以利用正弦定理和余弦定理求出声波的传播方向和声压级。
三、地理领域在地理领域中，正弦定理和余弦定理被广泛应用于地球测量和地图制作。
例如，在地球测量中，可以利用正弦定理和余弦定理求出地球上两点之间的距离和方向。
在地图制作中，可以利用正弦定理和余弦定理将地球上的三维信息转化为二维信息，从而制作出地图。
另外，在天文学中，正弦定理和余弦定理也被广泛应用。
例如，在计算星体的位置和运动轨迹时，可以利用正弦定理和余弦定理求出星体的位置和运动轨迹。
正弦定理在三角形中的应用
正弦定理在三角形中的应用三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个角组成。
在三角形的研究中，正弦定理是一项关键的定理，它可以帮助我们计算和推导三角形的各种关系，从而更好地理解和应用三角形的性质和特点。
本文将探讨正弦定理在三角形中的应用。
正弦定理表达了一个三角形的一个角的正弦值与该角的对边与该角所在边的比值之间的关系。
根据正弦定理，对于任何三角形，都有以下公式成立：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，A、B、C分别表示三角形的三个角的度数，a、b、c分别表示对应的边的长度。
根据这个公式，我们可以推导出许多有用的结论和应用。
首先，正弦定理可以帮助我们求解三角形的边长。
如果我们已知一个三角形的两个角的度数和一个对边的长度，我们可以通过正弦定理来计算出其他两个边的长度。
例如，已知一个三角形的两个角的度数分别为30度和60度，对边的长度为2，我们可以利用正弦定理计算出其他两个边的长度。
sin(30°) / 2 = sin(60°) / b = sin(90° - 30° - 60°) / c通过计算得出：sin(30°) / 2 = sin(60°) / b = sin(90° - 30° - 60°) / c1 /2 = (√3 / 2) / b = 1 / c由此可得：b = 2 * (√3 / 2) = √3c = 1因此，在已知条件下，这个三角形的两个边的长度分别为√3和1。
其次，正弦定理还可以帮助我们求解三角形的角度。
如果我们已知一个三角形的两个边的长度和一个角的度数，我们可以通过正弦定理来计算出其他两个角的度数。
例如，已知一个三角形的两个边的长度分别为3和4，以及一个角的度数为60度，我们可以利用正弦定理计算出其他两个角的度数。
sin(60°) / 3 = sin(A) / 4通过计算得出：sin(60°) / 3 = sin(A) / 4√3 / 2 / 3 = sin(A) / 4从而得到：sin(A) = (√3 / 2) * (4 / 3) = 2√3 / 3通过求反正弦函数，可以得到：A ≈ 70.53°由此可知，这个三角形的另外两个角的度数分别为60度和70.53度。
正、余弦定理应用举例
正、余弦定理应用举例正弦定理、余弦定理沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可以实现边与角的互化，从而简化过程，指明解题方向．下面举例说明正、余弦定理在解题中的具体应用．（以下例题中角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，）1．判断三角形的形状对于同时含有边角关系的条件式，可用余弦定理化角为边，通过熟知的代数式变形来求解；也可用正弦定理化边为角，再用相应的三角公式求解．例1 在ABC △中，已知22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=- ，试判断ABC △的形状． 解：根据余弦定理，得22222222222()222a c b a b c b c a a b c b c ac ab bc ⎛⎫+-+-+--=- ⎪⎝⎭， 整理得22222()()0b c b c a -+-=，因此b c =或222b c a +=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形．例2 在ABC △中，如果cos cos a B a C b c +=+，试判断ABC △的形状． 解：根据正弦定理，得sin (cos cos )sin sin A B C B C +=+， 即2sincos 2cos cos 2sin cos 222222A ABC B C B C B C +-+-= ， 在ABC △中，∵cos sin 22A B C +=，sin cos 22A B C +=， 上式可化简为22sin 12A =，∴2cos 12sin 1102A A =-=-=． 又0πA <<，∴π2A =． 故ABC △为直角三角形． 2．求三角函数的值对于三角形中的求值问题，通常将各三角函数式化为正弦、余弦的形式，为运用正弦定理和余弦定理创造条件．例3 在ABC △中，如果222225a b c +=，求cot cot cot C A B+的值． 解：cos cot sin cos cos cot cot sin sin CC C A B A B A B=++ 2sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin A B C A B C B A B A C C==+ ， 由正弦定理和余弦定理可知22222222cot cot cot 22C ab a b c a b c A B c ab c +-+-==+ ，将已知条件222225a b c +=代入上式得2225cot 32cot cot 24c c C A B c -==+． 3．证明三角恒等式对于三角形中边角关系的证明问题，可以用正弦定理、余弦定理，实现边的关系与角的关系的相互转化，从而达到证明的目的．例4 在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =． 证明：∵2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b+-++====， ∴22222222222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--=-=⨯-===． 又222222()cos 222b c a b c bc b c b A bc bc b+-+-+-===， ∴cos cos 2A B =，而A B ，是三角形的内角，∴2A B =．4．在解析几何中的应用例5 已知点P 到两定点(10)M -，、(10)N ，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．分析：如右图，求出直线PN 的斜率即可，问题转化为在PMN △中求PNM ∠，由正弦定理易求得sin PNM ∠． 解：因为2MN =，点N 到直线PM 的距离为1，∴30PMN ∠=． 由正弦定理，得sin sin PM PN PNM PMN =∠∠，又PMPN =sin PNM ∠=， ∴45PNM ∠= 或135 ，∴直线PN 的倾斜角为45 或135 ，∴1PN k =±，∴直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+．。
正弦定理余弦定理应用举例
正弦定理和余弦定理是三角函数与几何问题 之间的桥梁，它们将几何形状的边长和角度 联系起来，为解决几何问题提供了重要的工 具。
实际应用价值
正弦定理和余弦定理在现实生活中有着广泛 的应用，例如测量、建筑、航海等领域，通
过这些定理可以解决许多实际问题。
未来发展方向
要点一
理论完善
判断三角形是否为等腰三角形
通过比较三角形的两边长度和对应的角的正弦值或余弦值， 可以判断三角形是否为等腰三角形。
判断三角形是否为等边三角形
如果三角形的三个角都相等，则它们的正弦值和余弦值也相 等，利用这个性质可以判断三角形是否为等边三角形。
求解三角形面积
利用正弦定理计算三角形面积
已知三角形的两边长度和夹角，可以通过正弦定理计算出三角形的面积。
正弦定理余弦定理应用举例
$number {01}
目 录
• 正弦定理的应用 • 余弦定理的应用 • 正弦定理与余弦定理的综合应用 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
正弦定理的应用
计算角度
计算已知两边及夹角时的角度
已知三角形的两边及其夹角，可以使用正弦定理计算出该角的大小。
计算已知两边及非夹角时的角度
求解三角形面积
公式
$S = frac{1}{2}absin C$
例如
在三角形ABC中，已知a=3, b=4, C=60°，则三角形的面积为 $frac{3sqrt{3}}{2}$。
03
正弦定理与余弦定理的综合 应用
判断三角形形状
1 2
3
判断三角形是否为直角三角形
利用正弦定理和余弦定理，可以判断三角形是否满足勾股定 理的条件，从而确定是否为直角三角形。
正弦定理、余弦定理的应用
并且在Ｃ、Ｄ两点分别测得
ABC , ACD , CDB , BDA
在三角形ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC
a sin( ) sin[180 (
)]
a sin( ) sin( )
a sin
a sin
65.7
答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
大速度，沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
C
10 A
50
B
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、利用解三角形知识解应用题的一般步骤:
分析
建摸
求解
检验
实际问题 画图形
检验
实际问题的解
数学模型
解 三 角 形
数学模型的解
课后作业 课本第14页练习1、2
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
正弦定理的导入例子
正弦定理的导入例子正弦定理是三角学中的一条重要定理，它描述了一个三角形的边长和角度之间的关系。
下面将以一个导入例子的形式来说明正弦定理的应用。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
我们现在已知边长a和b，以及它们对应的角度A和B，需要求解边长c和角度C。
根据正弦定理，我们可以得到以下关系式：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c现在我们假设边长a为3，边长b为4，角度A为60度，角度B为45度。
我们可以根据正弦定理来求解边长c和角度C。
根据正弦定理的关系式，我们可以得到：sin(60) / 3 = sin(45) / 4 = sin(C) / c将已知值代入关系式中，我们可以得到：sin(60) / 3 = sin(45) / 4 = sin(C) / csin(60) = √3 / 2sin(45) = √2 / 2将这些值代入关系式中，我们可以得到：√3 / 2 / 3 = √2 / 2 / 4 = sin(C) / c化简后可以得到：√3 / 6 = √2 / 8 = sin(C) / c通过交叉相乘可以得到：√3 * 8 = 6 * √2 = sin(C) * c化简后可以得到：8√3 = 6√2 = sin(C) * c现在我们可以求解边长c和角度C了。
首先，我们可以通过计算来求解边长c：c = (8√3) / (sin(C))将已知值代入计算式中，我们可以得到：c = (8√3) / (sin(C))接下来，我们可以通过角度的求解公式来求解角度C：C = arcsin((6√2) / c)将已知值代入计算式中，我们可以得到：C = arcsin((6√2) / c)通过计算器或其他工具，我们可以得到c约等于5.7，C约等于54度。
因此，根据正弦定理，当边长a为3，边长b为4，角度A为60度，角度B为45度时，边长c约等于5.7，角度C约等于54度。
正弦定理、余弦定理在生活中的应用
正弦定理、余弦定理在生活中的应用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用，使高考考查的热点和重点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参考.一、在不可到达物体高度测量中的应用例1 如图，在河的对岸有一电线铁塔AB ，某人在测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ，现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．分析：本题是一个高度测量问题，在∆BCD 中，先求出CBD ∠，用正弦定理求出BC ，再在ABC Rt △中求出塔高AB.解析：在BCD △中，CBD ∠=παβ--． 由正弦定理得sin BC BDC ∠=sin CD CBD ∠． 所以BC =sin sin CD BDC CBD ∠∠=sin sin()s βαβ+·． 在ABC Rt △中，AB =tan BC ACB ∠=tan sin sin()s θβαβ+·. 点评：对不可到达的物体的高度测量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高.二、在测量不可到达的两点间距离中的应用例2某工程队在修筑公路时，遇到一个小山包，需要打一条隧道，设山两侧隧道口分别为A 、B ，为了测得隧道的长度，在小山的一侧选取相距km 的C 、D 两点高，测得∠ACB=750，∠BCD=450，∠ADC=300，∠ADC=450（A 、B 、C 、D ），试求隧道的长度.分析：根据题意作出平面示意图，在四边形ABCD 中，需要由已知条件求出AB 的长，由图可知，在∆ACD 和∆BCD 中，利用正弦定理可求得AC 与BC ，然后再在∆ABC 中，由余弦定理求出AB.解析：在∆ACD 中，∵∠ADC=300，∠ACD=1200，∴∠CAD=300，∴在∆BCD 中，∠CBD=1800-450-750=600由正弦定理可得，在∆ABC 中，由余弦定理，可得2222AB AC BC AC BC COS ACB =+-∙∙∠，2220(27522AB COS =+-⨯⨯=5∴ 2.236km,即隧道长为2.236km.点评：本题涉及到解多个三角形问题，注意优化解题过程.如为求AB 的长，可以在∆ABD 中，应用余弦定理求解，但必须先求出AD 与BD 长，但求AD 不如求AC 容易，另外。
(优质课)正、余弦定理及其应用
BD2 + CD2 - CB2 202 + 212 - 312 1 cosβ = = =- , 2BD·CD 2×20×21 7
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∴sinβ=
4 3 . 7
而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ ° ° °
4 3 1 3 1 5 3 = × + × = , 7 2 2 7 14 21 AD 在△ACD中, 中 = o sin60 sinα
考点三
应用问题
某观测站C在城 的南偏西 由城A出发的一 某观测站 在城A的南偏西 °的方向 由城 出发的一 在城 的南偏西20°的方向,由城 条公路,走向是南偏东 ° 在 处测得公路上 处测得公路上B处有一 条公路 走向是南偏东40°,在C处测得公路上 处有一 走向是南偏东 千米,正沿公路向 城走去,走了 人,距C为31千米 正沿公路向 城走去 走了 千米后到 距 为 千米 正沿公路向A城走去 走了20千米后到 此时CD间的距离为 千米,问 这人还要走多少 达D处,此时 间的距离为 千米 问:这人还要走多少 处 此时 间的距离为21千米 千米才能到达A城 千米才能到达 城?
3. 2
∵a>b,∴A=60°或A=120°. ∴ ° ° ①当A=60°时,C=180°- 45°- 60°=75°, ° ° ° ° °
bsinC 6 + 2 = . ∴c= sinB 2
②∵当A=120°时,C=180°- 45°- 120°=15°, ° ° ° ° °
bsinC 6 − 2 = . ∴c= sinB 2
正弦定理、 正弦定理、余弦 定理及应用
a = 1.正弦定理 sinA 正弦定理: 正弦定理
b sinB
解三角形在现实生活中的应用——正,余弦定理
解三角形正,余弦定理在现实生活中的应用解三角形的正弦定理和余弦定理在现实生活中有广泛的应用。
例如，测量距离、测量高度、航海模型、物理问题等都与这些定理有关。
以下是一些例子：
1. 测量距离
利用正弦定理和余弦定理可以测量出无法直接测量的距离。
假设你想知道两个建筑物之间的距离，但你不能直接测量它们之间的直线距离。
你可以站在其中一个建筑物旁边，用一个工具测量你与另一个建筑物之间的角度和高度差，然后使用正弦定理或余弦定理计算出两个建筑物之间的直线距离。
2. 测量高度
同样可以利用正弦定理和余弦定理测量出无法直接测量的高度。
假设你想知道一个树的高度，但你只能在地面附近测量树的影子长度。
你可以使用正弦定理或余弦定理计算出树的高度。
3. 航海模型
在航海中，可以利用正弦定理和余弦定理计算船只的位置。
假设你知道船只在某个时间点的位置和朝向，以及它的速度和方向，你可以使用正弦定理和余弦定理计算出船只在任何其他时间点的位置和朝向。
这对于导航非常重要。
4. 物理问题
在物理学中，正弦定理和余弦定理也有很多应用，例如在振
动、波动等问题中。
例如，当一个弹簧上放置一个小球时，小球会以一定的频率来回摆动。
通过测量小球的振幅、周期等参数，可以使用正弦定理和余弦定理计算出小球的运动轨迹和速度。
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正弦定理应用
正弦定理是解决三角形中角度和边长关系的一个重要定理。
它给出了一种计算三角形中任意一边与角度之间的关系的方法。
在三角形abc中，假设a、b、c分别表示三个角的度数，而A、B、C分别表示相对应角的对边的边长。
根据正弦定理可以得出以下关系：
sinA/a = sinB/b = sinC/c
这个定理可以用来解决各种与三角形中边长和角度之间
的关系有关的问题。
下面将介绍几个典型的正弦定理应用。
1. 求解未知边长：当已知一个三角形的两个角以及它们
对应的两边时，可以利用正弦定理求解未知边长。
假设我们已知角A和B以及它们对应的边a和b，要求解边c，可以使用
以下公式：
c = a * (sinC / sinA)
2. 求解未知角度：当已知一个三角形的三边时，可以利
用正弦定理求解未知角度。
假设我们已知边a、b和c，要求
解角A，可以使用以下公式：
sinA = (a / c) * sinC
通过求解sinA的值，可以利用反正弦函数计算出角A的
度数。
3. 判断三角形的形状：利用正弦定理，可以判断一个三
角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
当三角形的边长满足正弦定理的关系时，可以通过比较角度的大小来确定三角形的形状。
4. 应用于空间几何问题：正弦定理不仅适用于平面三角形，也可以应用于空间几何问题。
在空间中的三角形中，可以利用正弦定理计算各种角度和边长的关系。
总之，正弦定理是解决三角形中角度和边长关系的重要工具。
它可以帮助我们求解未知边长、未知角度以及判断三角形的形状。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的公式和计算方法来使用正弦定理，从而解决各种与三角形相关的计算问题。