复合函数单调性、函数奇偶性

有关复合函数单调性的定义和解题方法

一、复合函数的定义

设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、函数的单调区间

1.一次函数y=kx+b(k ≠0).

解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.

2.反比例函数y=x k

(k ≠0).

解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.

3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).

解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b

2，+∞)是它的单调

增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b

2，+∞)是它的单调减区间；

4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).

解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.

5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).

解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.

三、复合函数单调性相关定理

引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)

证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.

因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).

因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.

因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).

因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。

四、例题讲解

例1 求下列函数的单调区间：

y=log 4(x 2－4x+3)

解法一：设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由 u ＞0,

u=x 2－4x+3，

x ＜1或x ＞3.

当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复

合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，

(3，+∞)是复合函数的单调增区间.

解法二：u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,

x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)

x ＜2 (u 减)

解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.

由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数

的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.

u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,

x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)

x ＞2 (u 增)

解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.

例2 求下列复合函数的单调区间：

y=log 3

1 (2x －x 2)

解： 设 y=log 3

1u,u=2x －x 2.由

u ＞0

u=2x －x 2

解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2.

由于y=log 3

1u 在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数

u=2x －x 2的单调性正好相反.

易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1时单调增.由

0＜x＜2 （复合函数定义域）

x≤1，(u增)

解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由

x＜2， (复合函数定义域)

x≥1， (u减)

解得1≤x＜2,所以[1，2)是原复合函数的单调增区间.

例3 求y=

2

6

7x

x-

-的单调区间.

解：设y=u,u=7－6x－x2,由

u≥0,

u=7－6x－x2

解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.

因为y=u在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.

易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3时单调增加。由

-7≤x≤1,（复合函数定义域）

x≤-3,（u增）

解得-7≤x≤-3.所以[-7，3]是复合函数的单调增区间.

易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16在x≥－3时单调减，由

－7≤x≤1 (复合函数定义域)

x≥－3， (u减)

解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.

例4 求y=

1

2

2

)

2

1

(-

-x

x

的单调区间.

解：设y=

u

)

2

1

(

.由

u∈R,

u=x2－2x－1, 解得原复合函数的定义域为x∈R.

因为y=

u

)

2

1

(

在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性

与复合函数的单调性相反.

易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由

x∈R, (复合函数定义域)

x≤1， (u减)

解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.

注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.