浅议基本几何体的表面取点
第四讲立体表面取点取线
第四讲立体表面取点取线第一篇：第四讲立体表面取点取线第四讲立体表面取点取线教学目标：掌握立体表面取点取线的方法教学重点：立体体表面取点介绍立体表面上取点取线是为了求截交线和相贯线做准备。
截交线和相贯线是本课程的难点，只有掌握了在立体表面上取点取线的方法，才能顺利进行后续内容的学习。
一、立体表面取点正确地求截交线，在立体表面取点、取线是关键，尤其重要的是在立体表面取点的方法。
1．利用点、线的从属特性点位于立体已知棱线或轮廓线上，点的投影直接可求。
2．利用积聚性若点所在的平面是特殊位置的平面，某一投影具有积聚性，则点的投影在积聚性的投影上。
在此介绍在正六棱柱和圆柱上取点的方法。
3．辅助线法一般有素线法和纬线法。
若点所在的平面是一般位置的平面，则需做辅助线。
求出辅助线的投影，则点的投影可求。
介绍三棱锥和圆锥的取点方法。
注意：在立体表面取点，要先分析点所在的平面是否为特殊位置的平面。
还需判别点的可见性。
二、立体表面取线在立体表面取线，关键是在立体表面取点。
1．在平面立体表面取线平面立体表面上都是直线段，因此先判别线段所在的棱面，这很重要，只有在同一平面上的两点才确定一直线段，只要找到在同一棱面上的首末两点，则线段的投影可求。
要注意一些关键点——位于棱线上的点，即从一个棱面到另一棱面的转折点。
最后判别可见性。
举例说明。
2．在曲面立体表面取线主要介绍在圆柱面上取线，直线若为圆柱的素线或平行于底面的圆弧，则较容易求，简单介绍一下。
主要介绍求一般位置的曲线的投影的方法——利用积聚性。
先求特殊点，一般包括转向轮廓线上的点（这些点很重要）和首末位置的点，然后补充中间点，用描点法光滑连接，并判别可见性。
在圆锥面上和球面上取线同样也是利用取点。
立体表面上取点取线直接关系到求截交线，因此要求学生一定要熟练掌握。
第二篇：平面立体的投影及其表面取点《机械制图》教案第四章立体的投影平面立体的投影及其表面取点授课时数：1学时教学目的：1、掌握平面立体（棱柱、棱锥）的投影规律及其三视图的绘制。
基本立体的投影及其表面取点
作图。
(a)
图3.5 正三棱锥表面取点
(b)
方法一：过M点在△SAB上作AB的辅助平行线ⅠM，即1’m’‖a’b’，再作1m‖ab，求出m， 再根据m、m求出m″（如图3.5a）所示；
方法二：过锥顶S和点M作一辅助线SⅡ，然后求出点M的水平投影m（如图3.5b）。 可见性判断：同棱柱。
2.圆锥 (1) 圆锥的形成 如图3.8a可知，圆锥的表面由圆锥曲面和底面圆组成。圆锥面可以看成是一直线OA绕与 其相交的轴线OO1旋转而成。圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。
(a) (c)
(b) 图3.8 圆锥的投影
(2)投影分析 由图3.8b可知，底面平行于H面的圆锥，其正面投影和侧面投影
(3)画法 首先画出圆柱在各个投影位置上的轴线和底圆的对称中心线，其 次画出投影为圆的圆的视图——俯视图，最后根据圆柱高及投影的 外形轮廓素线画出其余两个视图。注意：绘制回转体投影时，必须 画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线 应采用细点画线画出，且要超出轮廓线2～5 mm，如图3.6c所示。 (4)圆柱表面上取点 轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在与轴线垂直的投影面上的
1.2曲面立体的投影及其表面上取点 表面均为曲面，或由曲面和平面共同围成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体多为
回转体。回转体是由一母线（直线或曲线）绕以固定的轴线ห้องสมุดไป่ตู้回转运动所形成。常见的回 转体包括圆柱、圆锥、圆环和球等。
1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱体表面是由圆柱面和上下两圆形底面所组成。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平 行的轴线OO1旋转而成的回转面，如图3.6a所示。直线AA1为母线，它在圆柱面上任一位 置称为素线。
中职机械制图课基本体表面上取点
例2．已知三棱锥表面上M点的正面投影m´， 求其余两面投影ｍ和m"，并判断可见性。
s’
S
·m’
·M
C
a’
b’
c’
A
a
c
I
B
s
•解题思路：
已知点→方位 →表面 →方法
b
例2．已知三棱锥表面上M点的正面投影m´，
求其余两面投影ｍ和m"，并判断可见性。
s’
s”
• 作图步骤：
·2’ m’
·(m”)
1、过已知点作辅助线 （面）
讨论题：
如图所示，已知半圆锥表面上的正面投 影m’和水平投影n，求其余两面投影，并判 断可见性。
·m’
·n
讨论题：
如图所示，已知半圆锥表面上的正面投 影m’和水平投影n，求其余两面投影，并判 断可见性。
· · 1’
2’
m’ n’
·· m” (n”)
1
2
·m ·n
①辅助线法
讨论题：
如图所示，已知半圆锥表面上的正面投 影m’和水平投影n，求其余两面投影，并判 断可见性。
s’
s”
·m’
a’ 1’
d” c’(d’) b’
d
· a
s
m
b
1 c
·m”
c”• 作图步骤：
a”(b”)
1、过已知点作辅助面（线）
2、求辅助面（线）的水平 投影
3、在辅助面（线）上定点
4、判断可见性
小结
• 根据已有条件，分析相关问题。 • 以点带面，确定相关线面特性。 • 选择相应方法，巧解相关问题。
· · 1’ m’ n’
2’ 1
·m n ·2
基本体及求表面点
1(2)
2●
1●
2
三面共点：
Ⅰ、Ⅱ两点分别同
1
时位于三个面上。
例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
6
Ⅴ
Ⅳ
Ⅶ
3
Ⅵ Ⅲ
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
3.2 回转体及截交线
一 回转体的投影
1 圆柱的投影
O A
O1A1
圆柱表面上取点
()
()
直接利用 积聚性在 圆周上取 点
(D)
C AB
1 圆锥的投影 O
O1
一 棱柱
1 棱柱的组成 2 棱柱的三视图 3 棱柱表面上取点
a (b)
b
a
a b
二.棱锥
1 棱锥的组成 2 棱锥的三视图 3 在棱锥表面上取点
s
s
a b c a(c) b
a
c
s
b
2'
r 1
r 2
1
（2‘’） 1
R
Ⅰ
三 棱柱被平面截切的截交线
截交线 --- 截平面与立体表面的交线称为。 截交线都具有下列两个基本性质： （1）截交线一定是一个封闭的平面图形。 （2）截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线 是截平面和立体表面的共有线。截交线上的点都是截 平面与立体表面上的共有点。 所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面 的共有点。
’
s”
m’ a’
1’ c’(d’) d
m” b’
d” a’(b’)1” c”
a
s
b
m
1 c
圆锥的投影及表面上的点
方法二：辅助圆法
Z
过M点作一平行与底 V
面的水平辅助圆，该圆
第三章 基本体及其表面取点取线
1
内容
3.1 基本体的投影 3.2 基本体表面取点取线
2
3.1 基本体的投影
1.基本概念 单一的几何体称为基本体。如：棱
柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、环等。 它们是构成形体的基本单元，在几何 造型中又称为基本体素。
3
基本体的分类
表面仅由平面围成的 基本体 平面体
表面包含曲面的 基本体 曲面体
n
一水平圆上 21
基本体的投影 构成基本体的所有表面以及形成该
形体的特征线（轴线）投影的总和
4
2.基本体的投影 平面体
棱柱
底边 底面
形成
由多边形沿直线 拉伸而成
L
棱线
侧棱面
棱柱的棱线相互平行
m
L m —直棱柱 L m —斜棱柱
5
棱柱的投影
高
V
W
长
宽
宽
H
H、V投影 — 长相等 V、W投影 — 高相等 H、W投影 — 宽相等
A
Ca
c
B
H
s
b
9
在棱锥表面取点取线
例 棱锥表面的折线MNK(mnk)求另二投影
S
s'
s"
n'
n"
N
M
m'
m"
A
C
BK
a'
分析 M连线SA
am
注意分N析 S点B、直线 如所何在在表K平面面的SB上可C取见点性？
k'
(k")
b' c' a"(c") b"
c
s nk
b
10
基本体和体表面求点
底边与 Y轴平 轴平行
三棱锥
三棱锥
☺
平面体的形状特征：
1.平面体表面由若干平面所围城；
2.相邻表面的分界线为直线； 3.三个以上相交平面必有一个共有点。
平面体的投影特征：
1.三视图之间符合: 长对正 高平齐,宽相等”关系； 1.三视图之间符合:“长对正,高平齐,宽相等”关系； 三视图之间符合 长对正,
辅 助 面 法
辅 助 线 法 m' o'
l'(k') k
l' (K) l m o L 正垂面
l m
辅 助 面 法
辅 助 线 法
o'
☺
a' a' k' a'
o a k a a
习题：P60 P61
（只求棱柱、棱锥的 第三面投影）
小 结：
平面立体投影特性 曲面立体投影特性
阅读：§7-1 预习：§7-2
平面体的投影特征：
1.三视图之间符合: 长对正 高平齐,宽相等”关系； 1.三视图之间符合:“长对正,高平齐,宽相等”关系； 三视图之间符合 长对正, 物体表面各平面的投影，不是积聚成一条直线， 2.物体表面各平面的投影，不是积聚成一条直线， 就是表现为一个封闭的线框； 就是表现为一个封闭的线框； 3.视图上各线框的分界线，表示物体表面发生变化。 视图上各线框的分界线，表示物体表面发生变化。 视图上各线框的分界线
b"
d"
a(b) c(d)
立体表面求点
北京交大 机电学院 机械系 刘之汀
积 聚 性 法 的 关 键 是 找 出 有 积 聚 性 的 视 图
a b c a' b' c' (c") a" b" 积 聚 性 法
CAD机械制图基本体的投影及其表面怎么取点
CAD机械制图基本体的投影及其表面怎么取点CAD机械制图是机械工程中很重要的课程，基本体的投影及其表面取点熟练掌握也是非常重要的。
以下是店铺为您带来的关于CAD机械制图基本体的投影及其表面取点，希望对您有所帮助。
CAD机械制图基本体的投影及其表面取点一、棱柱1 、棱柱的投影如下图，是一六棱柱，它是由上下两正六边和六个矩形的侧面所围成。
对各投影进行分析。
作投影图时，先画出中心线对称线，再画出六棱柱的水平投影正六边形，最后按投影规律作出其它投影。
正六棱柱的投影及表面上取点2 .棱柱表面上取点1 )棱柱表面都处于特殊位置，其表面上的点可利用平面的积聚性求得;2 )求解时，注意水平投影和侧面投影的 Y 值要相等;3 )点的可见性的判断，面可见，点则可见，反之不可见。
二、棱锥1 .棱锥的投影正三棱锥的投影1 )分析三棱锥各平面的投影;2 )作三棱锥的三面投影。
2 .棱锥表面上的点棱锥表面上点的投影可在平面上作辅助线进行求解，如下图。
棱锥表面上取点三、圆柱1 .圆柱面的形成有一母线绕与它平行的轴线旋转而成。
2 .圆柱体的投影对圆柱体的各个投影进行分析。
3 .圆柱表面上的点在圆柱表面上有两点 M 和 N ，已知 M 的正面投影 m' ， N 点的侧面投影( n” )，求作 M 和 N 的另外两个投影。
如图所示。
圆柱表面上取点圆柱表面上点的投影，在投影面为圆的投影中，其表面上点的投影都在该圆上。
注意： Y 值要相等。
四、圆锥1 .圆锥面的形成有一母线绕和它相交的轴线旋转而成。
2 .圆锥的投影对圆锥的投影进行分析，如图圆锥的投影3 .圆锥表面上的点圆锥的三个投影都没有积聚性，因而圆锥表面上点的投影，就不能直接求得，要采用辅助素线和辅助圆法。
( 1 )辅助素线法，如图( b )。
圆锥表面上取点( 2 )辅助圆法：如上图( c )。
注意在画圆时，半径是从中心线到轮廓素线，而不是从中心线到点。
五、球1 .球的形成球面可看成是以一圆为母线，以其直径为轴线旋转而成。
画法几何曲面体的投影及其表面取点
方法一：素线法 方法二：纬线圆法
位于特殊位置的 点直接确定
c' （a’）
b'
c" a"
（b”）
a
c b
三、圆球
1. 球面的形成—— 半圆绕其直径为轴旋转一周的轨迹
球面的三种形成方式
圆绕铅垂线旋转
圆绕正垂线旋转
圆绕侧垂线旋转
３、球体投影图的画法
注
意
三
O’
O’’
个
投
影
图
之
间
的
对
应
O
关
系
4、球体表面转向素线的投影位置
O’
O’’
O
1）对正投 影面的转 向素线
2）对侧投 影面的转 向素线
3）对水平 投影面的转 向素线
注意球体表 面的转向素线在 三个投影图中的 对应位置
例： 已知球面上的A、B、C 的一个投影，求其余投影。
a'
(b')
c'
a"
(b")
c"
b (c) a
四、圆环体的投影
１、圆环体的形成
圆环体是 由圆作为母线 围绕同平面内 的一根轴线旋 转一周而形成 的回转体。
注意 三个投影 图之间的 对应关系。
3. 圆柱表面取点——利用积聚性作图
a’
a’
a”
a”
A
a
a
二、圆锥
1. 圆锥面的形成—— 动直线绕与其相交的固定轴线旋转的轨迹
素线
母线
M
圆锥面上的素线和纬线圆
素线
纬圆
2. 圆锥的投影图画法
s'
s"
机械制图“立体表面上取点、取线”教学方法探讨
时完 成 点 的 三 视 图投 影 的 求 解 。如 当 点不 在 已知 线 上 时 ，
则需要 “ ２ ＋ ２ ”的 后 两 步补 充 。 ３ ．目标 ３：作 辅助 线 如 果 点不 在 已知 线 上 ，则 要 作辅 助 线 。 作 辅 助 线 要 注 意 以 下 几 点 ：一 是 所 作 辅 助 线 必 须 经 过所 求 点 ； 二 是 必 须
一
Ｏ Ｘ 的位 置 ， 并 引 出一 条 与 ０ ｘ 平 行 的 直 线 ， 同理 找 出 侧 视 图 线 ” 能 正 确 引 导学 生 找 到 解 题 切 入 口，把 一 个 目标 问题 分
三 、教 学 意 义
目标 分 解 法 求 解 “ 平 面 立 体 表 面 上 回 转 体 上 取 点 、取
பைடு நூலகம்
的 分 角 线 ；如 无 对 称 轴 线 的 ， 找 出 俯 视 图 中最 靠 近 投 影 轴 中最靠近投影轴０ ｚ 的 位 置 ，并 引 出 一 条 与 Ｏ ｚ 平 行的直线 ， 求 出这 两 条 垂 直 引 线 的 交 点 ，过 该 交 点 作 ＺＹ Ｗ Ｏ Ｙ Ｈ 的 分 角
一
机械 制 图 立 体 表 面 上取 点 、取 线 目标 分 解 法
几 个 面 的 交 线 ，特 殊位 置 直 线 ，轮 廓 素 线 等 ）上 ，如 在 线
、
学 情 分 析
上 ，则 找 出该 线 的 三 视 图 投 影 ， 并求 出与 目标 １ 中所 作 点 的 机 械 制 图课 中 的 “ 平 面 立 体 表 面 上 、 回转 体 上 取 点 、
取 线 ”是 学 习制 图 建 立 空 间立 体 要 素 与 平 面 视 图对 应 关 系 的 基 础 性 关 键 环 节 。 学 生 学 好 这 部 分 知 识 能 为 后 续 学 习 及 实 现 良好 的 识 图 、 绘 图 专 业 能 力 奠 定 基 础 。 在 教 学 过 程 中 ，从 解 题 过 程 看 ， 学 生 的 问题 在 于 不 知 怎 样 找 到 解 题 切 入 口及 后 续 的解 题 顺 序 ， 即解 题 逻 辑 混 乱 、有 效 组 织 解 题 步 骤 的 能 力 缺 失 是 症 结 所 在 。针 对 这 一 情 况 ， 可将 这 类 问 投 影 线 交 点 ，该 交 点 即 为 所 求 点 在 其 他 视 图 上 的 投 影 ，此
基本体的投影与表面取点习题解答
基本体的投影与表面取点习题解答在三维图形设计中，经常会涉及到基本体的投影和表面取点，这是三维模型制作中比较基础的技能。
本文将从基本体的投影和表面取点两个方面来介绍这些技能，让读者能够更加深入的了解这方面的知识。
基本体的投影在三维图形的制作中，基本体是非常常见的。
在进行三维图形模型的投影时，我们需要采用不同的投影方式，在此介绍三种常见的投影方式。
正视投影正视投影是指观察者处于模型正对面，视线垂直于模型面的投影方式。
当出现对正视图的要求时，可以使用正视投影。
在正视投影中，投影线垂直于视平面，并且平行于任意一个坐标轴，因此在制作正视投影时，只需要将三维模型投影到对应的平面上即可。
俯视投影俯视投影与正视投影相似，唯一区别在于观察者的位置。
在俯视投影中，观察者处于模型正上方，视线垂直于模型表面，这种投影方式很常见，也非常直观。
在制作俯视投影时，需要将模型投影到相应的平面上，并以俯视图的比例绘制。
需要注意的是，俯视图的比例通常较小，因此在绘制时需要注意细节，并尽可能的保证比例的精确性。
斜视投影斜视投影常用于三维模型的设计中，它可以使模型变得更加直观，并且处理起来较为灵活。
在斜视投影中，观察者的位置一般在模型正上方，并向一个角度倾斜，因此在斜视投影中，投影线不是平行于任意一个坐标轴，而是沿着某种特定的方向。
在进行斜视投影时，需要先确定斜视的角度和方向，然后将模型投影到相应的平面上。
在制作斜视图时，需要注意比例的合理性，以及模型各个面的正确性。
基本体的表面取点表面取点是指在三维模型设计过程中，通过计算将模型表面的每一个点都取出来的过程。
在进行表面取点时，需要遵循一定的规则，以保证表面取点的精确性。
等距离取点法等距离取点法是一种比较简单的取点方式。
在等距离取点法中，我们需要将模型的表面分成若干个小面，然后分别计算每个小面的顶点。
在计算顶点时，需要保证顶点之间的距离是相同的，这样可以保证取点时的精确性。
等距离取点法的优点在于计算简便，能够适用于大部分情况，并且取点比较均匀。
第三~四章 基本体的投影及表面取点
3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
三个视图分别为三 ⑶ 轮廓线的投影与曲 个和圆球的直径相等的 面可见性的判断 圆，它们分别是圆球三 ⑷ 圆球面上取点 个方向轮廓线的投影。
k
k
圆的半径？
k
辅助圆法
例 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影 ——水平圆为辅助线
例 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影 ——正平圆为辅助线
例 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影 ——侧平圆为辅助线
例
圆球表面上取点-特殊位置点
例 已知圆球面上的曲线AD 的正面投影，求另外两面投影
例 已知圆球面上的曲线AD 的正面投影，求另外两面投影
4.圆环
a
(
a b)
b
b
a
五棱柱
作图步骤：
画底面和顶面的投影 画五条棱线的投影 判别可见性
五棱柱投影图分析：
底面：水平面 顶面：水平面 侧面： 后面：正平面 左、右后面：铅垂面 左、右前面：铅垂面
正棱柱图例：
五棱柱 五棱柱
六棱柱 六棱柱
三棱柱 三棱柱
四棱柱 四棱柱 (长方体) (长方体)
例：作三棱锥的侧面投影，并作出表面上的折线ABCD的正面投影和侧面投影。
d’
(d)”
a”
△Y
△Y
斜三棱锥 解题步骤： 画底面的投影 画锥顶的投影 画三条棱线的投影 判别可见性 水平投影可见性 正面投影可见性
二、回转体
1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两个底面组成。 圆柱面是由直线AA1绕与 它平行的轴线OO1旋转而成。 3′ 1′ 直线AA1称为母线。 圆柱面上与轴线平行的任 a 一直线称为圆柱面的素线。
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浅议基本几何体的表面取点
【摘要】学生在学习截交线、相贯线时往往感到很困难，那么其主要的原因是对形体分析和基本体表面取点的投影规律掌握不好，因此，本文通过对基本几何体的表面取点进行分析，旨在让学生掌握表面取点的方法及提高制图实际运用的能力，培养学生的空间想象能力。
【关键词】基本体；表面取点；机械制图
在中等职业技术教育中，《机械制图》作为一门专业覆盖面极为广泛的重要技术基础课，其基本要求是让学生能够用图形表达物体的形状，并由已经画好的图样想象物体的形状，初步掌握识读和绘制机械图样的能力，培养学生的空间想象力。
基本体表面取点不仅形象地反映了形体的各个方位，开拓了学生的思维空间，并且为求截交线和相贯线奠定了坚实的基础，本文通过对基本体表面取点的分析论述，旨在让学生正确理解和运用表面取点。
一、点的投影规律
任何物体都是由面（平面和曲面）组成的，而面又是由线或者说由点组成的。
因此要分析基本体的表面取点，很有必要首先阐述一下点的投影规律。
点的投影规律是：点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，点的V 面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴；点的H面投影至OX轴的距离等于其W面投影至OZ轴的距离。
简单地说点的投影规律就是“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
视图中物体表面上的点都满足点的投影规律。
二、点、线、面的重要性原理
如果空间点A在某面P上，则该点A的投影一定在面P的同面投影上；如果空间点A在线L上，则该点A的投影一定在线L的同面投影上；如果线L在面P上，则线L的投影一定在面P的同面投影上。
这就是说点、线、面的重要性原理，我们在作图和分析时一定要灵活运用它。
三、基本体的表面取点
任何物体都有可以看成是由若干个基本体组合而成的，基本体包括平面体和曲面体两类。
平面体的每个表面都是平面，如棱柱，棱锥；曲面体至少有一个表面是曲面，如圆柱体、圆锥体、圆球和圆环体等。
1、表面取点的方法
表面取点首先要对基本体进行形体分析，明确研究点所处的面是平面还是曲面，是一般位置还是特殊位置面，只有注意了点所处表面的特性，才可以选择正
确而又快捷的方法。
（1）特殊位置面上的点的取点方法（积聚性法）
如果所求的点处于特殊位置面上，在进行表面取点时，按照点的投影规律，从点的已知投影入手，首先找出该点所处面的具有积聚性的视图上的对应投影，然后运用“长对正、高平齐、宽相等”求出该点的第三投影。
在三个视图中，如果面处于可见位置，则该面上点的同面投影也是可见的，反之为不可见，在标注时一定要注意点的可见性。
（2）一般位置面的点的取点方法（辅助法）
一般位置面上的点在进行表面找点时往往比较困难，也是同学们感到头痛的，但只要我们灵活运用下述方法，我想都是可以解决的。
辅助直线法：如果某点在椎体的一般位置面上，可以过顶点和已知点作一条辅助直线，求出该直线在基本体表面的投影，并利用点线面重属性原理，即可求出该点其余投影。
辅助圆法：如果某点在旋转体的一般位置表面，可以过该点作一个垂直于旋转轴的纬圆，求出该纬圆的基本体表面上的投影，并利用点线面重属性原理，即可求出该点其余投影。
2、表面取点的应用
（1）平面立体表面取点
下面我们以棱锥为例分析平面表面之点。
图1所示，已知棱锥面△SAC上点M的V面投影（m′）（不可见），求作m 和m′′的作图过程。
由分析可知点M所在棱面△SAC为侧垂面，属于特殊位置平面，该面在W面的投影具有积聚性，故首先运用“高平齐”作出点M的侧面投影m′′，再运用“长对正，宽相等”作出点M的水平投影m。
如图2所示，已知三棱锥面上的点M的V面投影m′（可见），求作另外两面投影的作图过程。
由分析可知点M所在表面△ABC为一般位置平面，故要用辅助线法作图。
过锥顶S和点M作辅助直线SD，具体作图步骤：连接s′m′，并延长a′b′于d′，得辅助线SD 的V投影s′d′，再利用“长对正”求出SD的H面投影sd上，由点线面的重属性原理可知水平投影m必在sd上，因此利用“长对正”可求得点M在H面的水平投影m。
点M的W面投影m′′，则利用“宽相等，高平齐”作s′′d′′求得，也可利用“宽相等，高平齐”由m′和m直接求出。
（2）曲面立体表面取点
下面以圆锥为例来分析曲面表面之点。
图3
如图3所示，已知圆锥面上一点M的V面投影m′，求作点M的H面投影m和W面投影m′′。
由分析可知点M在一般位置平面上，要运用辅助线法作图。
具体作图过程：过m作圆锥轴线的垂直线，交圆锥左右轮廓线于ab，得辅助纬圆的V面投影。
再作辅助纬圆的H面的水平投影（以s为圆心，a′b′为直径画圆）。
运用“长对正”由m′求得m，再运用“宽相等，高平齐”求点M在W面的投影m′′（不可见）
3、关于表面取点的几点说明
立体表面取点的关键在于运用形体分析，明确研究点的位置。
因此表面取点过程如下：
（1）分析三视图，确定立体形状
（2）确定点所在的面或线
（3）根据点所在面或线的特点，确定其求法
①点所在面的某一投影具有积聚性，直接利用投影关系求另外两投影。
②点所在面的所有投影都无积聚性，用辅助线或面求其另两投影。
③点在某一线（素线或轴线上），直接求其另两投影。
四、表面取点的运用
表面取点的实际运用很多，在求立体被平面所截形成的截交线，两回转体表面的交线，补视图中的漏线以及画三视图等中都充分应用到，在此以求解两回转体表面的相贯线为例进行分析表面取点的运用。
两回转体表面的相贯线一般是一条封闭的空间曲线，因此相贯线上的点具有一般性（仅有少数点位于特殊位置），两回转体表面的相贯线是两立体表面的公共线，因此在求相贯线时要充分分析两立体的形状，对采用什么样的辅助平面法很重要。
现举例来分析表面取点的运用。
作出圆柱和圆台相贯线的投影，如图4所示
投影分析：两立体为圆柱和圆台，轴线垂直正交，其相贯线为封闭的空间曲线，但前后对称，在左视图上的相贯线具有积聚性，其投影为一个圆和圆柱在左视图的投影重合。
为了求出相贯线的正面投影和水平投影，要采用辅助面法进行求解并且辅助平面选择水平面。
作图：1、由于圆柱和圆台前后对称面处的转向轮廓相交的点为特殊点，首先求出点1′、5′，并运用前面特殊点的求解方法做出水平投影1、5。
2、由于圆柱轴线水平面上的相贯线上的点为相贯线的最前点或最后点，因此过圆柱轴线做辅助水平面，截面与圆台交线的水平投影为圆，该圆与圆柱外形线的交点
3、7为相贯线上的点，因此可以求出正面上的投影3′（7′），因为前后对称，故图4只标出了可见点的名称（下同）。
3、再作辅助水平面，与两回转体的截交线分别为圆和直线，但在左视图上具有积聚性，为平行于底边的线。
找出辅助平面在左视图上与两者相贯线的投影圆相交两点2′′和8′′，并运用辅助圆法和点投影知识做出相贯线在水平面的投影点2、8，同时应用投影知识求出正面上投影2′（8′）。
4、采用相同的作辅助水平面的方法，可求出图4中相贯线在左视图上的点4′′和6′′，再求出水平投影4、6在正面投影4′（6′）。
根据需要还可以多作出一些点的投影，然后按照顺序连接各点同面投影就完成相贯线的投影。
综上所述，立体表面取点关键在于确定研究点的空间位置，知道其所处面的特性，然后用正确的找点方法同时运用形体分析进行求点。
正确理解和运用基本体表面取点在制图中的艺术，不仅让学生巩固制图的基本理论知识，为学习截交线和相贯线打下了坚实的基础，而且让学生尝到了制图的乐趣，培养了学生的空间想象能力，为最终学好制图铺平了道路。
参考文献：
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