绝对值不等式6个基本公式证明

绝对值不等式6个基本公式证明
我们来证明绝对值的非负性质：
1. 对于任意实数x，有|x| ≥ 0.
证明：根据绝对值的定义，如果x ≥ 0，则有|x| = x ≥ 0；若x < 0，则有|x| = -x ≥ 0。

无论x的值如何，都有|x| ≥ 0，即绝对值非负。

接下来，我们证明绝对值的不等性质：
2. 对于任意实数x和y，若x ≤ y，则有|x| ≤ |y|.
证明：根据绝对值的定义，如果x ≤ y，则y - x ≥ 0。

而|x| = x 或 -x，|y| = y 或 -y。

分以下两种情况进行讨论：
a. 若x ≥ 0，则|x| = x，|y| = y。

此时有x ≤ y，即y - x ≥ 0。

由于绝对值的非负性质，可以得到|x| = x ≤ y = |y|。

b. 若x < 0，则|x| = -x，|y| = y 或 -y。

此时有y - x ≥ 0，即y ≥ x。

对于|x| = -x和|y| = y有以下子情况：
i. 若y ≥ 0，则|y| = y。

由于 x < 0，所以-x > 0，即 -x > x。

所以，|x| = -x ≤ -x ≤ y = |y|。

ii. 若y < 0，则|y| = -y。

又因为y ≥ x > 0，所以-y ≥ -x > 0。

由绝对值的非负性质，可以得到|x| = -x ≤ -y = |y|。

3. 对于任意实数x和y，有|x + y| ≤ |x| + |y|.
证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论：
a. 若x + y ≥ 0，则|x + y| = x + y，并且|x| = x，|y| = y。

由于x + y ≥ 0，所以x + y ≤ |x| + |y|。

即|x + y| ≤ |x| + |y|。

b. 若x + y < 0，则|x + y| = -(x + y)，而|x| = -x，|y| = -y。

此时有：
i. 若x ≥ 0且y ≥ 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x -y = |x| + |y|。

ii. 若x < 0且y < 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x - y = |x| + |y|。

iii. 若x < 0且y ≥ 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x + y = |x| + |y|。

iv. 若x ≥ 0且y < 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ x - y = |x| + |y|。

4. 对于任意实数x和y，若|x - y| = 0，则x = y。

证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论：
a. 若x - y ≥ 0，则|x - y| = x - y。

若|x - y| = 0，则 x - y = 0。

解方程得 x = y。

b. 若x - y < 0，则|x - y| = -(x - y) = y - x。

若|x - y| = 0，则y - x = 0。

解方程得 y = x。

5. 对于任意实数x和y，有|x - y| = |y - x|。

证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论：
a. 若x - y ≥ 0，则|x - y| = x - y。

而y - x = -(x - y) ≤ 0。

由于绝对值的非负性质，即有|x - y| = x - y = |y - x|。

b. 若x - y < 0，则|x - y| = -(x - y) = y - x。

此时有|y - x| = y - x = -(x - y) = |x - y|。

6. 对于任意实数x和y，有|x · y| = |x| · |y|。

证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论：
a. 若x · y ≥ 0，则|x · y| = x · y，并且|x| = x，|y| = y。

由于x · y ≥ 0，所以x · y = |x| · |y|。

b. 若x · y < 0，则|x · y| = -(x · y)。

而|x| = -x，|y| = -y。

此时有：
i. 若x ≥ 0且y ≥ 0，则|x · y| = -(x · y) = -xy = (-x)(-y) = |x| · |y|。

ii. 若x < 0且y < 0，则|x · y| = -(x · y) = xy = (-x)(-y) = |x| · |y|。

iii. 若x < 0且y ≥ 0，则|x · y| = -(x · y) = -xy = |x| · |y|。

iv. 若x ≥ 0且y < 0，则|x · y| = -(x · y) = -xy = |x| · |y|。

以上是绝对值不等式的六个基本公式的证明，它们是绝对值不等式的基础，可以应用于更复杂的不等式证明。