大学物理A静电场中的导体和电介质习题答案及解法201064

静电场中的导体和电解质习题、答案及解法
一．选择题
1.一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。

在腔内离球心的距离为a 处放一点电荷q +，如图1所示。

用导线把球壳接地后，再把地线撤去。

选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ D ] （A ）
a
q 02πε； （B ）0 ；
（C ）R
q 04πε-； （D ）
⎪⎭⎫ ⎝⎛-R a q 1140πε。

参考答案：)1
1(4)11(
4400
2
0R
a q a R q dl R
q Edl V R
a
R
a
-=--===⎰⎰
πεπεπε 2.三块互相平行的导体板之间的距离21d d 和比板面积线度小得多，如果122d d =外面二板用导线连接，中间板上带电。

设左右两面上电荷面密度分别为21σσ和，如图2所示，则21σσ为
（A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ；（D ）4 。

[ B ]
解：相连的两个导体板电势相等2211d E d E =，所以202101d d εσεσ= 12
21d d =σσ
3.一均匀带电球体如图所示，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r ,2r 的金属球壳。

设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势分别为
[ B ] （A ）
2
04r q πε，0 ； （B ）0，
2
04r q πε ；
（C ）0，r
q 04πε ； （D ）0，0 。

参考答案：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-∞-==•+•=•=⎰⎰⎰⎰∞
∞∞2
020
201
411441
22
2r Q r
Q
dr r Q l
d E l d E l
d E U r r r r
p
p πεπεπε
4.带电导体达到静电平衡时，其正确结论是 [ D ] （A ） 导体表面上曲率半径小处电荷密度较小; （B ） 表面曲率较小处电势较高; （C ） 导体内部任一点电势都为零;
（D ） 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。

参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势面。

5.两个同心薄金属球壳，半径分别为）
（和2121R R R R <，若内球壳带上电荷Q ，则两者的电势分别为2
21
14R 4R Q V Q V πεπε=
=
和，（选无穷远处为电势零点）。

现用
导线将两球壳相连接，则它们的电势为 [ D ]
（A ）1V （B ）()2121V V + （C ）21V V + （D ）2V
参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势
面。

6.当平行板电容器充电后，去掉电源，在两极板间充满电介质，其正确的结果是[ C ]
（A ） 极板上自由电荷减少 （B ） 两极板间电势差变大 （C ） 两极板间电场强度变小 （D ） 两极板间电场强度不变
参考答案：U
Q
C =
d S C r εε0= S Q E r εε0= S Qd Ed U r εε0==
7.一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图4所示。

当两极板带上恒定的等量异号电荷时，其正确的结果是 [ A ] （A ） 极板左半边电荷面密度大 （B ） 左半边电介质内电场强度大 （C ） 极板右半边电荷面密度大 （D ） 左半边电介质内电场强度小 参考答案：d
S
C r 20εε=
左 d
S
C 20ε=
右
d
U r 0
0εεσ=
左 d
U 0
0εσ=
右 d U E 0=
左 d
U
E 0=右 8.一个平行板电容器，充电后断开电源，使电容器两极板间距离变小，则两极板间的电势差12U ，电场强度的大小E ，电场能量W 将发生如下变化 [ D ] (A) U 12 减小， E 减小，W 减小 ； (B)U 12 增大， E 增大，W 增大 ； (C) U 12 增大， E 不变，W 增大 ； (D)U 12 减小， E 不变，W 减小 。

参考答案：
U
Q
C =
d S C r εε0= Ed Q d S r =εε0
d S Q
Ed U r εε0== S Q
E r εε0= d SE C Q CU W r 2022
2
12121εε==
= 9、两空气电容器1C 和2C ，串联起来接上电源充电。

充满后
将电源断开，再把一电介质板插入1C 中，如图5所示，则
[ D ]
(A)1C 极板上电荷增加，2C 极板上电荷减少 (B)1C 极板上电荷减少，2C 极板上电荷增加
(C)1C 极板上电荷增加，2C 极板上电荷增加
Q
-
(D)1C 极板上电荷不变，2C 极板上电荷不变 参考答案：1
1
1U Q C =
充满后将电源断开，电量不变 10. 1C 和2C 两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持连接的情况下，在1C 中插入一电介质板，如图6所示，则
(A)1C 极板上电荷不变，2C 极板上电荷减少 (B)1C 极板上电荷不变，2C 极板上电荷增加 (C)1C 极板上电荷增加，2C 极板上电荷不变 (D)1C 极板上电荷减少，2C 极板上电荷不变 [ C ] 参考答案：U Q C 1
1=
d
S C r εε0= 11，有两只电容器，F C F C μμ2,821==，分别把它们充电到2000V ，然后将它们反接（如图所示），此时
1C 两极板间的电势差为 [ D ]
（A ）600V ; （B ）200V ; （C ）0V ; （D ）1200V 。

参考答案：011U Q C =
22U Q
C = ()21021Q Q U C C -=- ()()V 12002
10
211=+-=
'C C U C C U
二、填空题
1、如图8所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都是S ，有一定厚度，带电荷分别为1Q ,2Q ,如不计边缘效应，则A ,B , C , D 4个表面上的电荷面密度分别为
1
C 2
C +
+
-
-
参考答案：
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+-==2
1Q S Q S D C B A C
B D A σσσσσσσσ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-=-=+==∴S Q Q S Q Q C B D A 222
121σσσσ
2一金属球壳的内外半径分别为21,R R 带电荷为Q ，在球心处有一电荷为q 的点
参考答案：2
2
1
4R Q
q S
q
n
i i
πσ+=
=
∑= 3、如果地球表面附近的电场强度为1C N 200-⋅,把地球看做半径为m 104.66⨯的导体球，则地球表面的电荷Q=
（
)
/C m N 109412290
•⨯=πε
参考答案：0
2041
r r Q E πε=
()
5
9
2
62
0101.9109104.62004⨯=⨯⨯⨯=
=地
ER Q πε
4
、如图9所示，
在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a ，已知立方体中心O 处的电势为0V ,则立方体顶点A 的电参考答案：导体是一个等势体
5、分子的正负电荷中心重合的电介质叫做 参考答案：无极分子；电偶极子
6、在相对电容率为r ε的各向同性的电介质中，电位移矢量D 与场强E 之间的关
系是E D r
εε0=
参考答案：E D r
εε0=
7、一平行电容器，充电后与电源保持连接，然后使两极板间充满相对电容率为r
εA
的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电荷是原来的 r ε 倍，电场强度是原来是的 1 倍。

电场能量是原来的 r ε 倍
参考答案：0C C r ε= 00Q CU Q r ε== S Q d U E 000ε==
S
Qd
Ed U r εε0== 02
00202
121W U C CU W r r εε===
8、一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质，已知相对电容率为r ε。

若极板上的自由电荷面密度为σ，则介质中电位移的大小D= σ ，电场强度的大小
参考答案： ⎰∑==•S
n i i q S d D 1 σ=D r r D E εεσ
εε00== 9、一平行板电容器充电后切断电源，若使两电极板距离增加。

则两极板间电势差将 增大，电容将减小（填增大或减小或不变）
参考答案：d S Q Ed U 0ε=
= U
Q
C = d S C 0ε= 三、计算题
1、图10为一半径为a 、带有正电荷Q 的导体球，球外有一内半
径为b ，外半径为c
势零点，试求内球和外壳的电势。

解：球壳内表面将出现负的感生电荷－Q ，外表面为正的感生电荷
Q ．按电势叠加原理(也可由高斯定理求场强，用场强的线积分计算)导体球的电势为
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
+⋅+=•+•+•=•=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞
∞∞c b a Q c Q b a Q dr r Q
dr dr r Q l
d E l d E l d E l
d E U c c b b
a c
c b
b a
a
11141411441041
00020203211εεεπεπεπππ
球壳电势 c Q
dr r Q l d E U c
c 02
02441επεπ==•=⎰⎰∞∞
2、一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d （d 远小于极板线度），在两极板间平行地插入一面积也是S ，厚度为t ()d t 〈的金属片，如图所示。

试求； （1）电容C 的值;
（2）金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？
解：设极板上分别带电荷+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为 S
q
E 01ε=
金属板与B 板间场强为 S
q E 02ε=
金属片内部场强为 0='E 则两极板间的电势差为
)()(02102211t d S q
d d S q d E d E l d E U U A
B
B A -=+=+=⋅=-⎰εε
由此得 t
d S
U U q C B A -=-=
0ε 因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放位置对电容值无影响．
3、3个电容器如图所示，其实F 101061-⨯=C ， F 10562-⨯=C ,
F 10463-⨯=C 当A ，B 间电压V 100=U 时，
试求：
2
C
（1）A ，B 之间的电容;
（2）当3C 被击穿时，在电容3C 上的电荷和电压各变为多少？
解：(1) ()F 1016.3)(63
213
21-⨯=+++=
C C C C C C C
(2) 1C 上电压升到V 100=U ，电荷增加到
()C 101511-⨯==U C Q
4、一平行板电容器，其极板面积为S ，两极的距离为d
（d<<S ）,中间充有两种各向同性的均匀电介质，其界面与极板平行，相对电容率分别为21,r r εε厚度分别为1d 和2d ，
且d d d =+21如图所示，设两极板上所带电荷分别为Q +和Q -，求 （1）电容器的电容; （2）电容器储存的能量.
解：(1) 两极板间电位移的大小为 S
Q D ==σ 在介质中的场强大小分别为
S Q
D E r r r 1010101εεεεσεε=== S
Q
D E r r r 2020202εεεεσεε=== 两板间电势差
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=+=⋅=⎰22110221112r r L
d d S Q d E d E l d E U εεε 电容 1
22121012r r r r d d S U Q C εεεεε+== (2) 电场能量 ()S
Q d d CU W r r r r 210212212
12221εεεεε+==。