高等数学中的解析函数及其应用
高中数学的解析函数的概念与性质分析
高中数学的解析函数的概念与性质分析解析函数是高等数学中的一个重要概念，它在数学分析以及其他领域中都有广泛的应用。
解析函数不仅有着深刻的理论性质，还与实际问题的建模和求解密切相关。
本文将从概念和性质两个方面进行解析函数的分析，旨在帮助读者更好地理解这一概念。
一、解析函数的概念解析函数指的是在某个区域内具有导数的复数函数。
具体来说，设D是复平面上的一个区域，如果对于D内的每个z，函数f(z)在D内可导，则称f(z)为D上的解析函数。
从这个定义可以看出，解析函数是复平面上一类特殊的函数，它具有良好的连续性和光滑性质。
二、解析函数的性质1. 解析函数的充分条件解析函数的充分条件是柯西—黎曼方程（Cauchy-Riemann equation）。
设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是D上的函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数，x、y是实数。
如果u(x, y)和v(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，并且满足如下条件：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x那么f(z)在D上解析。
2. 解析函数的导数解析函数的导数具有一些特殊的性质。
如果f(z)在D上解析，那么它的导数f'(z)也在D上解析，并且满足如下条件：f'(z) = ∂u/∂x + i∂v/∂x这个公式表明，解析函数的导数仍然是解析函数。
3. 解析函数的积分解析函数的积分也是解析函数。
这个性质可以通过格林公式（Green's theorem）得到证明。
格林公式是数学分析中的重要定理，它建立了解析函数和曲线积分之间的关系。
4. 解析函数的唯一性如果两个解析函数在某个区域内相等，那么它们在整个区域上都相等。
这个性质可以通过利用解析函数的连续性和导数的唯一性得到证明。
综上所述，解析函数是复平面上一类重要的函数，具有许多重要的性质。
它们不仅在数学分析中有深刻的理论意义，还在物理学、工程学等应用领域中发挥着重要作用。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学中的一个重要概念，常常用于研究各种复杂的数学问题。
在求解函数极限的过程中，有一些常用的技巧，可以使计算更加简洁、高效。
下面简要介绍一些常用的函数极限求法技巧。
一、分子分母同除分子分母同除是一种常用的技巧，可以化简分式，便于计算。
具体操作如下：假设要求的函数极限为：lim f(x) / g(x)当分子和分母都含有相同的项时，可以将它们同除以这个公共项，得到新的分式。
例如：将分子和分母都除以 (x+1) ，得到：这样就将原问题化简成了一个更简单的问题。
二、恒等式变形在计算函数极限时，可以通过运用一些基本恒等式进行变形，以使计算更加简单。
例如：1、三角函数的基本恒等式：sin^2 x + cos^2 x = 1这些恒等式可以用于化简三角函数的表达式，使计算更加简便。
2、指数运算的恒等式：a^x / a^y = a^(x-y)三、用等价无穷小代替函数极限中经常会涉及到等价无穷小的概念。
如果 lim f(x) = 0，lim g(x) = 0，且lim f(x) / g(x) = 1，那么就可以将 f(x) 用 g(x) 的等价无穷小代替，求解新的函数极限。
例如：可以用等价无穷小代替 sin x，得到：lim 1 / x = 0四、洛必达法则洛必达法则是一种用于求解 0/0 或∞/∞ 型无穷小的极限的方法，也是求导数时的基本工具。
该法则的核心思想是将原问题转化成一个求导数的问题，并通过对导数的求解来解决原问题。
具体操作如下：且在极限点 x0 处，f(x0) = 0，g(x0) = 0。
1、求出 f'(x0) 和 g'(x0)，如果两者都存在且g'(x0) ≠ 0，则原极限等于 f'(x0) / g'(x0)。
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0)其中 o(x-x0) 表示 x -> x0 时比 (x-x0) 高阶的无穷小量。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学课程中的重要内容，它是研究函数在某一点邻域内的变化趋势的数学工具。
函数极限的求法技巧在课程中占据着重要的地位，能够帮助学生更好地理解和掌握函数极限的求解方法。
下面我们将从极限的定义、性质和一些常见的求法技巧进行解析，希望能够帮助学生更好地理解这一部分内容。
一、极限的定义和性质1. 极限的定义对于函数f(x)，当x无限接近于某一点a时，如果函数f(x)的取值无限接近于某个确定的值A，那么我们说函数f(x)在点a处的极限为A，记作lim(x->a)f(x)=A。
这个定义中的“无限接近”可以用数学语言来描述，即对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立。
这就是函数极限的ε-δ定义，是高等数学中函数极限的核心概念。
2. 极限的性质函数极限有一些基本性质，如：（1）唯一性：当极限存在时，它是唯一确定的；（2）局部有界性：如果函数在某一点的极限存在，则该点的邻域内函数的取值是有界的；（3）局部保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，则该点的邻域内函数的取值保持大于（或小于）零。
二、常见的极限求法技巧1. 数列极限在高等数学中，函数极限的求解经常涉及到数列极限的技巧。
数列极限是函数极限的基础，常用来推导函数的极限性质和求解复杂的极限问题。
我们可以利用数列极限的性质和定理来求解函数极限，如夹逼定理、单调有界原理等。
2. 无穷小量与无穷大量的运算在高等数学中，常常需要对无穷小量和无穷大量进行运算，这也是求解函数极限的一个重要技巧。
我们可以将无穷小量和无穷大量进行合并、分解或代换，来简化函数极限的求解过程，例如利用无穷小量的性质来消去形式不确定的无穷小量。
3. 函数的展开和化简在求解函数极限时，我们可以利用泰勒展开、函数的特殊性质等手段，将待求的极限转化为更简单的形式。
通过展开和化简函数，我们可以更容易地求解函数在某一点的极限，从而使得求解过程更加简单和直观。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。
在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。
下面是一些常用的函数极限求法技巧。
1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。
即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。
2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。
即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。
3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。
将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。
4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。
通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。
5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。
当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。
6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。
通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第一章函数及其应用-电子课件
第 如果对于任意 y f (D)，都可以从关系式y f (x)
一 节
中确定唯一的值 x D 与之对应，那么所确定的 以 y为自变量的函数x f 1( y) 称为函数的反函数.
函
数
习惯上，函数自变量用x 表示，所以反函数
及
其
通常表示为 y f 1(x) ，
性 质
此时函数与反函数的
图像有如图对称性。
由于鱼缸的容积为180cm3 ，即有x2h 108
模 型 和 工
由此得
h 108 x2
程
所以总费用与底面边长的函数关系为：
曲
线
C 2ax2 432a ， x ( 0 , )
x
第 二 节 函 数 模 型 和 工 程 曲 线
4.函数的有界性
定义1.7 设函数y f (x)在区间I上有定义，
第
如果存在一个正数 M，对于任意xI ，恒
一 节
有| f (x) | M 成立，则称y f (x) 是区间I 上
函
的有界函数；如果这样的正数M 不存在，
数 及
则称 y f (x) 是区间 I上的无界函数。
其
性 质
比如：函数 y sin x 在区间(, ) 内是有
3.函数的周期性
定义1.6 设T 为一个非零实数，如果函数
y f (x) 对于其定义域内任意x D ，且x T D
第 一
都有 f (T x) f (x) ，则称y f (x)是周期函数，
节
习惯上，把上述关系式成立的最小正数称
函
为周期。
数
及
其 性
例如求函数 f (x) Asin(wx ) 的周期：
xx
x3
注意：若不考虑实际意义，只研究用解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学中的重要概念，它刻画了一个函数在某一点上的走势。
在实际应用中，有时需要求解函数在某一点上的极限，这就需要运用一些求极限的技巧和方法。
下面就来解析一些常见的函数极限求法技巧。
首先是常数函数极限。
对于一个常数函数，它在定义域上的值都是固定不变的，即不管自变量取什么值，函数值都是相同的。
对于一个常数函数，其在任何一点上的极限都等于该点上的函数值。
接下来是多项式函数极限。
多项式函数是指由常数乘方和常数乘法运算得到的函数。
对于多项式函数来说，当自变量趋近于无穷大时，函数值也趋于无穷大或负无穷大。
对于一个多项式函数来说，在无穷大处的极限是存在的。
最后是三角函数的极限。
对于三角函数来说，当自变量趋近于无穷大时，三角函数的值也是不断在某个范围内摆动的。
对于三角函数来说，在无穷大处的极限是不存在的。
在实际应用中，我们常常需要对函数进行化简，然后再进行极限的求解。
常用的化简方法有分子有理化、分母有理化、换元法等。
利用这些化简方法，可以将一个复杂的函数转化为一个更简单的形式，从而更容易求解其极限。
还有一些常用的极限运算法则可以简化极限的求解过程。
对于两个函数的和、差、积，极限的运算可以分别对这些函数的极限进行运算；对于两个函数的商，可以将其转化为乘法形式，然后再进行极限的运算。
通过利用这些极限运算法则，可以更便捷地求解函数的极限。
函数极限的求法技巧主要包括对常数函数、多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数的特点进行分析，化简函数形式，运用极限运算法则等。
通过灵活运用这些技巧，就能够更加准确地求解函数的极限。
高等数学函数解析：利用导数求函数的极值
∴函数 f ( x) 在 3, 和 2, 上是增函数． ∴当 x 2 和 x 3 时，函数 f ( x) 有极小值 0， 当x
1 25 时，函数有极大值 ． 2 4
说明：在确定极值时，只讨论满足 f ( x0 ) 0 的点附近的导数的符号变化情况，确定极 值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题 1 中 x 0 处，2 中 但 f ( x) 在这些点处左右两侧异号， 根据极值的判定方法， x 2 及 x 3 处函数都不可导， 函数 f ( x) 在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．
根据函数的极值确定参数的值
例 已知 f ( x) ax bx cx(a 0) 在 x 1 时取得极值，且 f (1) 1 ．
3 2
1．试求常数 a、b、c 的值； 2．试判断 x 1 是函数的极小值还是极大值，并说明理由． 分析：考察函数 f ( x) 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极 值点与导数的关系，即极值点必为 f ( x) 0 的根建立起由极值点 x 1 所确定的相关等 式，运用待定系数法求出参数 a、b、c 的值． 解：1．解法一： f ( x) 3ax 2bx c ．
当 x 0 或 x 2 时， f ( x) 0 ， ∴函数 f ( x) 在 ,0 和 2, 上是增函数； 当 0 x 2 时， f ( x) 0 ， ∴函数 f ( x) 在（0，2）上是减函数． ∴当 x 0 时，函数取得极大值 f (0) 0 ， 当 x 2 时，函数取得极小值 f ( x) 0 ，得 x 2 ． 当 x 2 或 x 2 时， f ( x) 0 ， ∴函数在 ,2 和 2, 上是增函数； 当 2 x 2 时， f ( x) 0 ， ∴函数在（－2，2）上是减函数． ∴当 x 2 时，函数有极大值 f (2) 16 ， 当 x 2 时，函数有极小值 f (2) 16. 2．函数定义域为 R． f ( x) 2 xe 令 f ( x) 0 ，得 x 0 或 x 2 ． 当 x 0 或 x 2 时， f ( x) 0 ， ∴函数 f ( x) 在 ,0 和 2, 上是减函数； 当 0 x 2 时， f ( x) 0 ， ∴函数 f ( x) 在（0，2）上是增函数． ∴当 x 0 时，函数取得极小值 f (0) 0 ， 当 x 2 时，函数取得极大值 f (2) 4e ． 3．函数的定义域为 R．
解析函数方法的一个应用
ｖ ， ＝Ｉ ６ ｄ＋（ ｚ ） ＋Ｉ。￣ｄ＋（ ２ ３ ） －Ｃ＝ （ ｘ ｙ ． ｘ ｘ ３ 一３ ｄ ｚ ｙ ６ ｘ ３ － ｙｄ ４ ｘ ￣ ｙ－
Ｊ ｔ－】 ０ ｕ Ｊ ｔ ０ ， ） ｚｐ
一 ＋ｃ
故所求解析 函数 为 ，２ （）＝ “４ｉ （ 一３ｙ）４ｉ Ｙ － ｖ＝ － ｘ 。－ （ － ３ 一 －ｃ ＝ －ｉ） －ｉ ４ ）＝ － ： ４ｙ 。４ Ｃ＝ － ｉ． － － ４ Ｃ － 设 Ｕ为 区域 Ｄ 内 的调和 函数 ， 由引理 ２可确定 Ｕ的共 轭调 和 函数 ． 然 ， ｚ 则 显 （）＝ － ｉ满 足 ４ｖ － Ｃ—Ｒ 条件 ， 为解 析 函数 ．
或称 ，２ （）在 Ｄ 上解 析． 果 实 变 函 数 ｕｘ， 如 （ ）在 某 区 域 Ｄ 内有 二 阶 连 续 偏 导 函 数 ， 且 满 足 并
Ｌ ｐａ ｅ 程 ａ ｌｃ 方 ＋
甲
一 ｏ 则称 ｕ ｘ， 是 区域 Ｄ 内的调和 函数． ， （ ）
引理 １ 区域 Ｄ内的解析 函数 ， ＝ ｕｘ，）４ｖｘ ， （ （ －ｉ（ ，）其实部和虚部都 是该 区域内的调和函数． －
ｆ） ， （＝ ｚ
＝ 一 蚪 ｃ 考 ，
， 而 从
则 （。３ ） ｕ ｘ，）的稳 定点 的充 要条 件为 ｆ ）一 ０其 中 一 。 ｉｏ ，ｏ 为 （ ３ ， ， （。 ， 。 ＋ ｙ 由 — ＋ ｉ， 一 — ｉ， ｙ ３ 得 — Ｔ ｅ ３一 ， ｚ ＋ ，，
程之间的联系， 建立由调和函数来构造解析函数的方法 ， 而这其实就是高等数学 中全微分的积分方
法． 文则从解 析函数 的导数 与调和 函数 的关 系 出发 ． 出解析 函数方法在 求解 调 和函 数稳定 点 中的 本 给
复变函数中解析函数的理论分析及应用
复变函数中解析函数的理论分析及应用【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。
【关键词】解析函数；解析；复变函数0 前言复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。
而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用，解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性。
1 解析函数的概念如果函数f（z）不仅在z0处可导，而且在z0的某个邻域内的任意一点可导，则称f（z）在z0解析。
如果f（z）在区域D内的任一点解析，则称f（z）在区域D内解析。
注：1）如果f（z）在区域D内解析，那么D内每一点都是它的内点，从而D是开区域。
2）如果说函数f（z）在闭圆盘z≤1上解析，指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。
3）f（z）在z0解析，则f（z）在z0可导；f（z）在z0可导，则f（z）在z0不一定解析。
但是f（z）在区域D内解析和可导是等价的。
4）一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
2 函数解析的判定2.1 根据解析函数的定义判定要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点及其邻域内是否可导。
例：因为f（z）=z2在整个复平面上处处可导，且f’（z）=2z则由解析的定义知f（z）在整个复平面上解析。
2.2 根据初等函数的解析性判定若复变数函数为初等函数，则可根据初等函数的解析性进行判定1）指数函数ez在整个复平面上解析；2）对数函数Lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析；3）幂函数zα，α为正整数时，幂函数在整个复平面上解析；α为负整数时，幂函数在除原点外的复平面上解析；α为既约分数、无理数、虚数时，在除去原点和负实轴的复平面上解析。
4）sinz，cosz在整个复平面上解析；tanz，cotz，secz，cscz在各自的定义域内解析5）shz，chz在整个复平面上解析。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
第二章 解析函数Analyticfunction第一讲
第二章解析函数（Analytic function）第一讲授课题目：§2.1解析函数的概念§2.2解析函数与调和函数的关系教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调和函数的关系.学时安排：2学时教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性3、了解复变函数导数的定义教学重点：函数解析的充分必要条件教学难点：解析函数与调和函数的关系教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题二：1-12作业布置：51板书设计：一、解析函数的概念二、函数解析的充分必要条件三、解析函数与调和函数的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、解析函数的概念基本掌握2、函数解析的充分必要条件掌握不太好3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活4、加强课后辅导教学过程：§2.1 解析函数的概念(The conception of analytic function )一、复变函数的导数（Derivative of complex function ） 定义（Definition ）2.1 设)(z f w =是在0z 的某邻域内有定义，对于邻域内任一点z z ∆+0.如果zz f z z f o z ∆-∆+→∆)()(lim 00 存在有限的极限值复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作)('0z f ，或0z z dz dw=. 即z z f z z f z f z ∆∆∆)()(lim )('0000-+=→0)z ( |)(|)('0→+=∆∆∆∆z o z z f w 由此可得()()()dzz f z df z z f z z f z z f 00000 )()(''=记作处可微。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析在高等数学中，函数极限是一个十分重要的概念，它在微积分、数学分析等领域中有着广泛的应用。
函数极限的求法技巧在很大程度上影响着学生对这一概念的理解和掌握。
在这篇文章中，我们将从基本的定义入手，通过详细的技巧解析，帮助读者更好地掌握函数极限的求法技巧。
一、函数极限的定义在进行函数极限的求法技巧解析之前，我们首先需要了解函数极限的基本定义。
对于函数 y=f(x)，当自变量 x 的取值无限接近某一值（通常是一个常数 a）时，如果相应的函数值 f(x) 也无限接近某一常数 L，则称 L 是函数 f(x) 当 x 趋于 a 时的极限，记作：lim┬(x→a)〖f(x)〗=L其中 lim 表示极限，x → a 表示 x 趋于 a，f(x) 表示函数值，L 表示极限值。
需要注意的是，当函数 f(x) 在 x=a 处的极限存在时，我们称函数 f(x) 在 x=a 处收敛，并且其极限值就是 L；当函数 f(x) 在 x=a 处的极限不存在时，我们称函数 f(x) 在x=a 处发散。
1. 直接代入法直接代入法是函数极限求法中最简单的技巧之一。
当我们需要求一个函数在某一点的极限时，如果该点可以直接代入，就可以直接进行代入求解。
对于函数y=x²，在 x=3 处的极限可以直接进行代入得到：这种方法通常适用于一些简单的函数极限求解，但是对于一些复杂的函数极限，直接代入法往往无法奏效。
2. 因子分解法当函数的极限形式无法直接代入求解时，我们可以尝试利用因子分解法来简化计算。
因子分解法的核心思想是将原函数进行因子分解，然后对每一个因子进行分别求解，最后将结果进行整合得到最终的极限值。
对于函数y=(x²-4)/(x-2)，在 x=2 处的极限可以利用因子分解法进行求解。
我们将函数进行因子分解得：y=(x+2)(x-2)/(x-2)然后去除公共因子得到：y=x+2最后直接代入 x=2 即可得到极限值：3. 无穷小量法当 x 趋于无穷大时，函数的极限求解常常采用无穷小量法。
同济大学高等数学5.9 复变函数的导数与解析函数
z 0
z
lim z z n z n
z 0
z
lim
z 0
n z n 1
C
2 n
z
n
2
z
z n1
nzn1
z n nz n1
求导公式:
c 0
z n nz n1
f z gz f z gz
f zgz f zg(z) f (z)gz
f z g z
f
(z)gz f z g 2 z
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx vyy o( (x)2 (y)2 )] x iy
C
R条件
ux
x
vxy
（i vxx
uxy)
o(
(x)2 (y)2 )
x iy
(ux ivx )(x iy) o( (x)2 (y)2 ) x iy
lim
z 0
w z
u uxx uyy o( (x)2 (y)2 )
v vxx vyy o( (x)2 (y)2 )
f (z0 z) f (z0 ) u iv
z
x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx vyy o( (x)2 (y)2 )] x iy
y y
u x
v y
(C R
v u 方程）
x y
定理（1 可导的必要条件）
设复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D上有定义，
且在点z0 x0 iy0 D 处可导，则二元函数u(x, y),
v(
x,
y)在点
(
x0
,
y0
)
处存在
偏
导
第一讲 解析函数及其判别
这里 lim
x 0 y 0
k 0 ，故
u v f ( z z ) f ( z ) ( i )( x i y ) x x ( 1 i 3 ) x ( 2 i 4 ) y
例1:判定下列函数在何处可导，在何处解析
1) w z
2) f ( z ) e x (cos y i sin y )
3) w z Re( z ) 解： (1) w z u x, v y
v v 0, 1 x y 可知柯西-黎曼方程不满足， 所以w z 在复平面内处处不
f (z) g ( z ) f ' ( z ) f ( z ) g' ( z ) (5)[ g( z ) 0 ] 2 g( z ) g (z) (6){ f [ g ( z )]} f ( w ) g( z ) 其中 w g ( z )
1 (7) f ( z ) 其中 w f ( z ) 与z ( w ) 是两个互 '( w ) 为反函数的单值函数且 ' ( w ) 0
处处不解析。
1 例 4 研究函数w 的解析性。 z
解：因为w 在复平面内除了 z 0 点外处处可导，且
dw 1 2 dz z
1 所以在除 z 0 外的复平面内，函数w 处处解析， z 而 z 0 是它的奇点。
对解析函数我们有如下定理：
g( z ) 的和、 定理：(1)在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与
x
（2）不论 z0 z z0 的方式如何，极限
解析函数的定义及其泰勒展式的应用
解析函数的定义及其泰勒展式的应用函数是高等数学中的一个重要概念，一般用于描述自变量和因变量之间的关系。
在解析函数中，我们可以通过泰勒展式来进行其应用和求解。
解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复数函数。
换句话说，当一个函数可以在其定义域内进行导数的求解时，我们就称其为解析函数。
在复平面中，解析函数最基本的特征在于它的导数存在。
假设我们有一个解析函数f(z)，那么该函数可以拆分为实部u(x,y)和虚部v(x,y)两个部分。
这样，我们就可以将解析函数表示为：f(z) = u(x,y) + iv(x,y)其中，z = x+iy是一个复数，u(x,y)和v(x,y)分别表示解析函数的实部和虚部。
对于解析函数来说，复平面上的其它复数函数都能通过它来表示出来。
泰勒展式的应用泰勒定理是指将一个任意连续函数分解成无限级数的形式。
法国数学家泰勒于1715年提出了这个著名的定理。
它可以用于解析函数的求导和数值逼近，这是解析函数的重要应用之一。
简单来说，泰勒展式可以用以下的公式来表示：f (x) = f (a) + f′(a) (x - a) + f″(a) (x - a)2/2! + f‴ (a) (x - a)3/3! + ...这个公式可以将一个函数$f(x)$在点$a$处展开为无限次幂级数。
我们知道幂级数可以收敛或发散，而对于解析函数，它在它的定义域内都是收敛的。
除此之外，泰勒展式的应用还可以帮助我们求解解析函数在特定点处的导数。
通过对泰勒展式进行求导操作，我们可以得到解析函数在该点处的导数值。
这对于微积分和工程学科中的数值计算有着广泛的应用。
结语解析函数是高等数学一门精妙的学科，而泰勒展式则是解析函数求解和应用中不可缺少的一环。
通过深入研究解析函数和泰勒展式这两个概念，我们能够更好地理解和应用这两个数学概念，从而使我们能够更好地掌握高等数学中的复杂题目。
解析函数
【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
【解】由
f (z z) f (z)
即 ux v y，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。 说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不 可导是方便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可 导吗？
例2.1.4 讨论函数w f (z) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足.
1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) iv (x, y x iy
其中 令 由上式得
lim (z) 0
z 0
f (z z) f (z) u i v ,
f (z) a i b, (z) 1 i 2
u i v (a ib)(x i y) (1 i 2)(x i y) (ax by 1x 2y) i(bx ay 2x 1y)
iz z
由于沿 e方向和沿 er 方向的导数应该相等，比较可 得极坐标形式的柯西－黎曼条件 (2.1.10)。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析【摘要】高等数学中函数极限是一个重要的概念，在数学领域有着广泛的应用。
本文首先介绍了函数极限的基本概念，包括函数极限的定义和性质。
然后详细解析了函数极限的求法技巧，包括利用代数运算、夹逼准则等方法。
通过例题详解，读者可以更好地理解函数极限的求解过程。
对常用方法进行总结，为读者提供了解题的指导。
在我们对本文内容进行了总结归纳，并展望了函数极限在未来的研究方向。
通过本文的阐述，读者可以更深入地了解函数极限，并掌握有效的求解方法。
【关键词】高等数学、函数极限、求法技巧、大纲、引言、基本概念、性质、例题、常用方法、总结、结论、展望未来1. 引言1.1 引言概述函数极限是高等数学中一个非常重要的概念，它在微积分以及其他数学领域中都有着广泛的应用。
函数极限的求法技巧在数学学习中起着至关重要的作用，它不仅能够帮助我们更深入地理解函数的性质，还能够帮助我们解决复杂的数学问题。
本文将通过对函数极限的基本概念解析、性质分析、求法技巧探讨、例题详解以及常用方法总结，来帮助读者更好地掌握函数极限的求解方法，提高数学分析能力。
通过本文的学习，读者将能够深入了解函数极限的定义及其性质，掌握函数极限的求法技巧和方法，通过例题的讲解来加深对函数极限相关知识的理解，最终能够总结出常用的函数极限求解方法，并能够灵活运用于数学问题的解决中。
本文的内容将为读者提供一个全面而系统的函数极限学习平台，为提高数学分析能力和解题水平提供有力支持。
1.2 研究意义函数极限是高等数学中非常重要的一个概念，它在许多数学问题和实际应用中都起着至关重要的作用。
函数极限的研究意义主要包括以下几个方面：函数极限是建立数学分析的基础。
在数学分析的学习中，函数极限是最基本的概念之一，它是后续学习微积分和实变函数等内容的前提。
只有深入理解和掌握函数极限的求法技巧，才能更好地理解微积分的相关知识。
函数极限在研究数学问题和物理问题中具有广泛的应用。
解析函数
x 2yi 1 ，当y 0, x 0时 不存在！ lim z 0 x yi 2 ，当x 0, y 0时
故函数处处不可导.
(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原因。
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z)在D内解析
在D内可导。
(2) 函数f (z)在z0点可导，未必在z0解析。
例如 • w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数； • w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析 函数；
定理 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，
2
与实函数求导 方法相同
例2 问：函数 f (z) = x + 2yi 是否可导？
z z ( x x) i( y y )
解
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z
x x 2( y y )i ( x 2 yi) lim z 0 x iy
w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z (z )z
其 中 lim ( z ) 0，即
z 0
( z )z 是 z 的 高 阶
无 穷 小 ， 则 称f ( z0 )z 是 函 数 f ( z ) 在 z0点 的 微 分 ，
如果w = f(z) 在区域D内点点可导，则称f (z)在区域 D内可导。
(2)求导公式与法则
① 常数的导数 c = ( a + ib ) = 0.
② (zn)= nzn-1 (n是自然数).
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高等数学中的解析函数及其应用解析函数是数学中重要的一种函数类型，它在物理学、工程学、经济学等各个领域都得到了广泛的应用。
本文将介绍解析函数的
定义、性质及其在实际中的应用。
一、解析函数的定义
在复平面上，若函数$f(z)$在某一点$z_0$的邻域内连续，并且
在这一点的邻域内存在$f(z)$的导数，则称函数$f(z)$在$z_0$处可导。
若$f(z)$在复平面上的每一点都可导，则称$f(z)$在复平面上
解析。
解析函数可以表示为$u(x,y) + iv(x,y)$的形式，其中
$u(x,y)$和$v(x,y)$是实函数。
二、解析函数的性质
1. 解析函数的虚部和实部都是调和函数。
2. 解析函数满足柯西-黎曼条件，即$u_x=v_y$，$u_y=-v_x$。
3. 若$f(z)$在某一点$z_0$处解析，则在这一点的某个邻域内，$f(z)$可以用其泰勒级数展开。
4. 解析函数的微分、积分等运算仍是解析函数。
5. 解析函数有无数个解析函数的原函数。
三、解析函数的应用
1. 物理学中的应用
在电磁场理论中，解析函数的虚部通常代表磁通量，实部代表电势。
因此，解析函数在处理电场和磁场交互作用、分析电磁波等方面得到了广泛的应用。
2. 工程学中的应用
在控制论和信号处理中，解析函数特点的$\text{Parseval}$定理和希尔伯特变换常常被用于信号处理和滤波等方面。
3. 经济学中的应用
在经济学中，解析函数常常被用于分析复杂的经济现象，如股票价格的预测、货币市场的预测等。
4. 其他领域的应用
除此之外，解析函数还被广泛应用于自然科学、生物学、地质学以及计算机图形处理等领域。
总之，解析函数是一类重要的函数类型，它的许多性质和特点广泛应用于各个领域。
掌握解析函数可以对我们的研究和分析工作带来重要的帮助，也可以帮助我们更好地理解各个领域的知识和技能。