高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数与对数运算教材梳理素材 新人教A版必修1

2.2.1 对数与对数运算

疱丁巧解牛

知识·巧学·升华 一、对数 1.对数

一般地，如果a x

=N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同

而已，即已知指数式a b

=N ，用a 、N 表示b 的运算叫对数运算，记作b=log a N.

对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log ”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、×、

”等符号一样，表示一种运算.要从以

下几个方面来理解对数的概念．

（1）会依据定义把指数式写成对数式.

例如：∵32

=9，∴2是以3为底9的对数.记作log 39=2； ∵41

=4，∴1是以4为底4的对数.记作log 44=1； ∵20

=1，∴0是以2为底1的对数.记作log 21=0； ∵3

18

=

21，∴-31是以8为底21的对数.记作log 821=-3

1.

（2）log a N=b 中规定底数a ＞0且a ≠1.

这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log （-2）

2

1

；若a=0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值.总之，就规定了a ＞0且a ≠1.

(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数.

在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题．因为底数a ＞0且a ≠1，

由指数函数的性质可知，对任意的b ∈R ，a b

＞0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N ＞0.

（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称.

记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a 、b 求N ；根式进行的是开方运算，由N 、b 求a ；对数式进行的是对数运算，由a 、N 求b. （5）对数恒等式：①N

a a

log =N ；②log a a b

=b.

证明：①∵a b

=N ，∴b=log a N.∴a b

=N

a

log =N ，即N

a a

log =N.

②∵a b =N ，∴b=log a N.∴b=log a N=log a a b

,

即log a a b

=b. 如5

log 33

=5，6

log 44

=6,log 335

=5,3

222log =

3

2

等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.

要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义. （6）两个特殊的对数式：log a a=1；log a 1=0.

证明：∵a 1=a ，∴log a a=1.∵a 0

=1，∴log a 1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0. 2.常用对数

当底数a=10时，对数log a N 叫做常用对数，记作lgN.

（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log 10N 缩写为lgN ，其中lgN 默认它的底数为10. （2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，

lg0.001等，∵102=100，∴lg100=2.又∵10-3

=0.001，∴lg0.001 =-3.一般情况下，可通过.如lg200 1，lg0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，

然后再按lg2 001≈3.301 2，lg0.032≈-1.494 9，lg187.5≈2.273 0.

因为对数表只能查得1≤a ＜10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值

时，应先用科学记数法把真数表示成a ×10n

（1≤a ＜10，n ∈Z )的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值.

联想发散 要会使用科学记数法记数.当N ＞10时，可把N 写成a ×10n

的形式，其中n

比N 的整数位数少1，如10 001=1.000 1×104；当0＜N ＜1时，可把N 写成a ×10-n

，其中

n 是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.001 02=1.02×10-3

. 3.自然对数

在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数.以e 为底的对数叫做自然对数.log e N 通常记作lnN.

①自然对数与常用对数的关系： lnN ≈2.302 6lgN. ②可直接使用计算器求自然对数值.

它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln 键，即可直接求出常用对数值.如ln34≈3.526 4，也可查表，求自然对数的值. 要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值. 二、对数运算

1．积、商、幂的对数运算性质 （1）log a MN=log a M+log a N ，

两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．该法则可以推广到若干个正因数积的对数，

即log a （N 1·N 2·…·N k ）=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . （2）log a

N

M

=log a M-log a N. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.

（3）log a M n

=nlog a M （n ∈R ）.

正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数