包装测试技术 第一章 习题

周期信号,离散频谱 周期信号 离散频谱
1-2求信号
xrms 1 = T
x(t) = sin(2π f 0 t) 的有效值（均方根值）
∫
T 0
x 2 (t ) dt
解： xrms
1 = T
∫
T 0
1 x (t )dt = T
2
∫
T 0
sin (2πf 0t ) dt
2
sin 4 f0t π π 1 T (1−cos(2*2 f0t)) 1 T − = dt = ∫0 T 2 2 T 4 f0 π
2.t.A A− 0 ≤ t ＜T / 2 解：周期方波 T x(t ) = 的数学表达式为 A + 2.t.A − T / 2 ≤ t＜0 T … 因该函数是偶函数， 因该函数是偶函数， 2 T2 bn = ∫ x(t ) sin nω0tdt = 0 所以 T −T 2
x(t)
A
…
-T/2 0
T/2
t
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1 T2 2 T/ 2 2t.A A a0 = ∫ x(t )dt = ∫ Adt = 0 −T 2 T T T 2
图1.18 题3图
2 an = T
∫
T 2 −T
4 T2 2 .t.A x (t )cos nω 0tdt = ∫ (A− )co n 0td = s ω t 0 2 T T
1-3用傅里叶级数的三角函数展开 用傅里叶级数的三角函数展开 式和复指数展开式， 式和复指数展开式，求周期三角 波（图1.18）的频谱，并作频谱图。 ）的频谱，并作频谱图。
2.t A ( + )e−jnω0t 1 T.−nω j T 0
0 − /2 T
+( − 1
2.t −jnω0t )e T
其幅频谱函数为
X (ω ) = A a2 + ω 2
其相频谱函数为
ω ϕ (ω ) = arctan − a
ω ω 1-6 已知余弦信号 x(t) = cos( 0t +φ), y(t) = cos( 0t −φ)。 试作幅值谱图与相位谱图，并做比较。 试作幅值谱图与相位谱图，并做比较。
T/2 0
−∫
0
T 2 2 − jn t 2 −jnω0t e dt +∫ e ω0 dt −T 2 T 0 T
T T ω − jn 0 ω jn 0 A 2 2 j 2 2 2 = +e ) T jn −T. jn (e 2nπ ω ω 0 0
0, = 2A n2π2 ,
1 T 解： Rx (τ ) = T ∫ 0 x(t ) x (t + τ ) dt 1 T 2 = ∫ A cos(ω t +φ)cos[ω (t +τ) +φ] dt 0 0 0 T
T 式中， 是正弦函数的周期， = 式中， 是正弦函数的周期， T
dt =
dθ
，令 ω0 t + φ = θ ，代入上式，则得 代入上式， ω0
dt = dϕ
ω0
ω0
2
，
A T R (τ) = xy ∫0 sinϕ.sin(ω0τ +ϕ−φ)dϕ Tω 0
A2 = cos(ω0τ − φ ) 2
An
4A
1 cos 5ω 0 t + ⋯ ) 25
π
4A 4A 3 9π π2
3 ω0
φn
4A 4A 25 2 π 5π
5 ω0
0
ω0
ω
0
ω0
3 ω0
5 ω0
ω
图 1.5 周期方波时、频域图
1-3用傅里叶级数的三角函数展开式和复指数展开式， 用傅里叶级数的三角函数展开式和复指数展开式， 用傅里叶级数的三角函数展开式和复指数展开式 求周期三角波（ 求周期三角波（图1.18）的频谱，并作频谱图。 ）的频谱，并作频谱图。
4A T 2t 2 ∫0 1− T dsin nω0t Tnω 0
4A = n 2π 2 0 n = 1,3 ,5 ,⋯ n = 2 , 4 ,6, ⋯
2A n = 2 2 1 − (− 1) nπ
(
)
A 4A 1 x (t ) = + 2 (cos ω 0 t + cos 3ω 0 t + 9 2 π
1 T 解： xy (τ ) = ∫0 x(t ) y (t + τ )dt R T 1 T = ∫ A sin (ω0t + θ ). A sin (ω0 (t + τ ) + θ − φ )dt T 0 2π T 式中， 是正弦函数的周期， 式中， 是正弦函数的周期， = ，令 ω0 t + θ = ϕ ，代入上式，则得 T 代入上式，
1-1 以下信号，哪个是周期信号？哪个是准周期信号？ 哪个是瞬变信号？它们的频谱各具有哪些特征？
(1) cos 2π f 0 t ⋅ e
−πt
瞬变信号,连续频谱 瞬变信号 连续频谱
( 2) sin 2π f 0 t + 4 sin f 0 t
准周期信号,离散频谱 准周期信号 离散频谱
( 3) cos 2π f 0 t + 2 cos 3π f 0 t
-T/2 0
T/2
t
图1.18 题3图
T2 A 0 2.t −jnω0t 2.t −jnω0t +∫ ( − )de 1 1 ∫−T 2( + )de = 0 T.−nω j T T 0
T 2 2 −jnω t A 2.t −jnω0t 0 2.t −jnω0t T/2 0 2 −jnω0t +(1− )e −∫ e dt +∫ e 0 dt (1+ )e −T/ 2 0 −T 2 T 0 T T.−nω0 j T T
2.t.A A− 解：周期方波 T x(t ) = 的数学表达式为 A + 2.t.A T 0 ≤ t ＜T / 2 − T / 2 ≤ t＜0
… x(t)
A
…
cn =
1 T2 x(t)e−jnω0tdt = T ∫−T 2 T2 1 0 2.t.A −jnω0t 2.t.A −jnω0t )e dt +∫ (A− )e dt = ∫−T 2(A+ 0 T T T
x(t) y(t)
1
1
ω0
ω
ω0
φ(t)
ω
φ(t)
φ
ω0 ω0 ω ω
-φ
1-8求正弦信号 x (t ) = x 0 sin ω t 的绝对均值 µ x 求正弦信号 和均方根值 x rms 。 解：
1 T 1 T t µx = ∫0 x(t) dt = ∫ x0 sin ω dt T T 0 T 1 T/2 = x0 ∫ sin ω −∫ sin ω tdt tdt T/2 T 0 4 =
2π
ω0
2
，
A Rx (τ ) = 2π
∫
2π 0
cos θ cos(θ + ω0τ )dθ
A2 = cos ω0τ 2
1-10 已知两个正弦信号 x (t ) = A sin(ω 0 t + θ ) ， y (t ) = A sin(ω 0 t + θ − φ ) 求其互相关函数。 求其互相关函数。
sin 4πf 0T 2 T − = 4πf 0t 2
T 0

1 = 2T
1-3用傅里叶级数的三角函数展开式和复指数展开式， 用傅里叶级数的三角函数展开式和复指数展开式， 用傅里叶级数的三角函数展开式和复指数展开式 求周期三角波（ 求周期三角波（图1.18）的频谱，并作频谱图。 ）的频谱，并作频谱图。
n=± ,± ,....... 2 4 n=± ,±3,....... 1
at 1-5求指数函数 x(t ) = Ae −（a>0,t≥0）的频谱。
解：该非周期信号的频谱函数为 ∞ x (ω ) = ∫ x (t )e − jω t dt −∞
=
∫
∞
0
Ae − at e − jω t dt
A A (a − j ω ) = = 2 2 a + jω a +ω
ω
x rms = = x0 = x0
1 T
∫
T 0
x ( t ) dt =
2
1 T
∫
T
0
x 0 sin ω t 2 dt
2
1 T
∫
T
0
1 − cos 2 .ω t dt 2
T 0
1 1 sin ω t T − 2T 2ω
2 x0 = 2
1-9 已知正弦信号，求其自相关函数 x (t ) = A cos(ω 0 t + φ ) 已知正弦信号，