1.3标量函数的梯度
1.3 标量场的梯度
1 1 R r r 2 R 3 R R R | r r |3
f ( R) f ( R)R
df df R R dR dR R df df R R dR dR R
21:38:25
f ( R) f ( R)R
14
2 2 ( x , y , z ) x y z 描述了空间标量 例4 设一标量函数
12
产生场的场源所在的空间位置 点称为源点，记为 ( x, y, z)或r
场所在的空间位置点称为场点， 记为 ( x, y, z )或r 源点到场点的距离为 R | r r | 从源点指向场点的矢量为 R r r x
源点
z
R
场点Leabharlann rory表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
u u u u e x ey ez x y z u gradu
u gradu e l | gradu || el | cos l
标量场u的梯度， 用 gradu 表示
| el | 1
u | gradu | cos l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个， 其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。
同一个温度场中，其等温面 沿不同方向的变化率不同： L1的方向导数为-3/10 L2的方向导数为-3/20 L3的方向导数为-3/8
2
1.3 标量场的梯度
若M0为标量场u(M)中的一点，标 量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数 为
u l
M0
u (r )
M M0
l
u(M ) u(M 0 ) lim l 0 l
l 2 2 x 2y 1 2
本科-工程电磁场03-标量场函数的梯度
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
10
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
当 l 与坐标轴方向一致（如 x 轴），
则
u l
G
ex
u x
（方向导数作为偏导数理解）
当 l 方向与 G 方向一致时，方向导数值达到最大，
最大的方向导数为 G 。 G 是矢量 G 的模
梯度定义：
在标量场中任一点 M 处，如果存在矢量 G ，
主讲人： 王泽忠
3） gradu v gradu gradv
4） graduv ugradv vgradu
5） grad( u ) 1 (vgradu ugradv) v v2
u u(M) u(M0 )
若当沿着 l , M M0 时，
比式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，怎么样？
l
l
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
3
工程电磁场
就称此极限值为
主讲人： 王泽忠
函数 uM 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数，
记作 du dl M0
9
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
根据矢量点积计算公式，可以看出
u l
u x
cos
u y
cos
u z
cos
Gຫໍສະໝຸດ el令 表示矢量 G 与单位矢量 el 之间的夹角，
根据矢量点积的计算式，得
u l
G
el
G cos
对给定函数和给定点，G 是固定值，
随着 l 方向改变， 变化，方向导数值随之变化
2.2数量场的方向导数和梯度.
3）在球面坐标系中：
3、 梯度的性质
1） 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点
的 方向表示该点场变化最大（增大）的 方向，其数值表示变化最大方向上场的空 间变化率。
2） 标量场在某个方向上的方向导数，是梯
度在该方向上的投影。
3）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
4、梯度运算的基本公式
5.
梯度的重要性质
0
证：
ˆ x x x ˆ y y y
标量场梯度的旋度恒等于零。
ˆ z z z
2 2 2 2 2 ˆ( ˆ( ˆ( x F F) y F F) z F F) yz zy zx xz xy yx
2.2 标量场的方向导数和梯度
一、方向导数 1、定义：在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间 的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应 用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的 情况。
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
u u lim | l M l 0 l
l
3、梯度的运算
1）在直角坐标系中：
u u u u ex ey ez x y z u 1 u u u er e ez r r z u 1 u 1 u u er e e r r r sin
2）在柱面坐标系中：
=0
例题：
若 R r r ' ，R R
在处理相对坐标的函数的 梯度运算时，算子 与算 子 ' 可以互换，但改变 其前的正负号。
证明：
1 1 ( ) '( ) R R
ex ey ez 说明： x y z ' ex ey ez x ' y ' z '
方向导数及梯度参考资料
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如 ：流速场、重力场、电场、磁场等。
4/8/2020
26
§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
4/8/2020
27
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
4/8/2020
14
而 所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y
N0.3-4--第一章 标量场的梯度 矢量场的散度旋度 亥姆定理及矢量场的分类
div A = A
可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A ± B ) = A ± B (φ A ) = φ A ± A φ
20
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
三、高斯散度定理
矢量场的散度代表其通量的体密度,因此散度的体积分 等于穿过包围该体积封闭面的总通量:
（1）开曲面：沿封闭曲线 n的取法：
l 的绕行方向按右手螺旋的拇指方向
（2）封闭面： 取为封闭面的外法线方向 外法线方向
14
矢量A穿过整个曲面S的通量:
Φ = ∫ A ds = ∫ A nds
s s
如果S是一个封闭面, 则
Φ = ∫ A ds
S
15
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
22
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
同理
D y
q r 2 3y 2 = y 4π r5
D z q r 2 3z 2 = z 4π r5
故
Dx D y Dz q 3r 2 3( x 2 + y 2 + z 2 ) D = + + = =0 5 x y z 4π r
可见，除了点电荷所在源点 (r = 0)外，空间各点的电通密度散度均为 ，它是管形场 。 空间各点的电通密度散度均为0， 可见，
（C点）
电偶极子的电力线和等位线 17
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
b) 散度的分量表示式
穿过包围点P(x,y,z)的无穷小体积 v = xyz 的通量： 的通量： 计算 A 穿过包围点 的无穷小体积 右边向外流出的通量： A 穿过右边 右边
完整版电磁场理论复习总结
完整版电磁场理论复习总结1.1 标量场和⽮量场1.2 三种常⽤的正交坐标系1.3标量场的梯度哈密顿算符：(⼀e —e —e z)x y z2.梯度的垄本运算公式1) VC-0 (C^S)2) V(Cu)⼆CVw3) V((/ ⼟巧⼆可肿⼟V7附4) V(/a T) = Z/V V +T V;/5) VF(u) = F r(u)Vu6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)v vFF cF7) ^7(^ v) = —Vw + — Vvdu dv式中：U育常報；级⽢为半标变最遢載;3”梯度的重要性质16CJ55 「「⼩V x V/z = 0产⽣场的场源所在的空闾位国点称为源点上记为am或7 场所在的疇间⾫置点称为场贞「记为(x,y\2｝或⼫源点到场点的距S?j?=|r-r| 从源点指向场点的⽮量为^ = r-F例3求鸥叫哙呻?刃畑％&R⾐⽰对仗」4运算R表⽰对运算.R^r-r1^J(x-A?)r+(y-/>:BR 、BR 、BR—MY臥叫帝M还W(R) = ARWR = ^-\R(lii dii fir ?S A dS A. A y A zdivA lim ——V 0 V x y zdivA A x A y A z Ax y zA e x( A z A y) e y( A x A z) e z(⼊sy z z x x y1) V Y C=02) Vx(i = A3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.54) V x (u = uV y /< + V u KX B)=2J-V XJ4-J4-V X5l f ***** 4；jd' V x Vy - 0! 7)V (VxJ)-O：W屜囲焉唉屋?熾常数，址为标量函数「du电磁总复习第⼀章⽮量分析l ?Eit ⼗dit ?duIt= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场⼼的梯度. ex cy czV u =—yir rotAc'R ex R_y-y r漁—R 忑RVR = -RR'⽮童场的雄度1.4⽮量场的通量与散度三. 散度的运算公式])V C-02)V(Arl) = )tV^4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)- (IA5) V J(rt) - V// —du四、⾼斯定理(散度定理)L v知⼀丄％物理詳5G穿过⼀封闭曲⾓的总谓呈等于⽮虽散度的休秘分1.5⽮量场的环流与旋度-------------------- V VV v ?c A dl rotA nlim --S 0Sr r re x e y e zir irot A Ax y zA x A y A z4-症度计算相关公式:标葷场的梯度的旌度恒为零1G:2D3*酶点录场点df Rmax三、斯托克斯定理物理含义；—个⿂量场旋度的⾯税分導于演⽮量沿此由⾯周界的曲线眦四、⽮量场擬度的重要性质⼙（Vxj^O任意⽮量场I?度的散度等于議⽮量场有两种不同性质的源：（1）散度源（标量）（2）旋度源（⽮量）。
1-3梯度-散度-旋度
∂ ∂φ
如何记忆？
d ⇒∇ dl
笛卡儿坐标系中微分长度 G G
G
G
dl = axdx + aydy + azdz
∇
=
G ax
∂ ∂x
+
G ay
∂ ∂y
+
G az
∂ ∂z
dU ⇒ ∇ dl
柱面坐标系中微分长度
G dl
=
G ar
dr
+
G aφ
(
r
⋅
dφ
)
+
G az
dz
∇
=
G ar
∂ ∂r
+
G aφ
1 r
v∫
GG A • dS
=
∫ (∇ •
AG) dV
=
∫ 源dV
S
V
V
Example: Net positive flux
v∫
G A
•
G dS
>
0
S
Streamlines are directed away from the origin
4
矢量的“环量”
矢量的环量：该矢量沿闭合路径的标量线积分
G
GG
∫ 矢量 A沿G闭合路径 C的环量＝ A •dl
G ∇×B
=
G∂ ax(∂y
Bz
−
∂ ∂z
By)
G +ay
∂ ( ∂z
Bx
−?Bz
)
+aGz(∂∂x
By
−?Bx)
∇
=
G ax
∂ ∂x
+
G ay
标量场函数的梯度
。
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
4
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
u lim u(M) u(M0 )
l M0
MMo
l
= lim u MMo l
du dl
M0
方向导数：标量场函数在一点M0 处 沿某一方向 l 对距离的变化率
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
工程电磁场
王泽 忠
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
1
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
1.3 标量场的方向导数和梯 度
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
2
工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
1．方向导数的定义
要了解u M 沿任意方向的变化情况
需要计算u M 沿任意方向的导数
5
工程电磁场
主讲人： 王泽
忠沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快
l
u
当
l
Mo 0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
1 8 ／4 ／ 25
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6
工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
u u u u
偏导数 x , y , z 是 l 的特例：
当 l 指向 x 轴正方向时， u u
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
9
工程电磁场
主讲人： 王泽
《标量场的梯度》PPT课件
一、方向导数
1.方向导数的定义
方向导数表征标量场空间中，某点处场值
u(r )
l
沿特定方向变化的规律。
u lim u(M ) u(M0 )
l l0 M0
l
方向导数的物理意义
M
M0 l
ul |M0是标量场u(M )在点M0处沿l 方向对距离的变化率
1) ul |M0 >0，标量场u在点M0沿l 方向是增加的；
l x y z
( x
ex
y
ey
z
ez
)
u ex u e y u ez u x y z u gradu
标量场u的梯度，
用 gradu 表示
u gradu el | gradu || el | cos | el |1 u | gradu | cos
l
l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，
r
从源点指向场点的矢量为
o
y
R r r
x
例3 求R,R, 1 , 1 ,f (R),f (R) RR
表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
R | r r | ( x x)2 ( y y)2 (z z)2
R R R
10
R ex x ey y ez z
R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2
设 l 方向的方向余弦是 cos, cos , cos ，即
x cos y cos z cos
l
l
l
则方向导数的计算公式为
u u cos u cos u cos
2
l x
y
z
梯度、散度和旋转速度——定义及公式
梯度、散度和旋转速度——定义及公式梯度、散度和旋转速度是向量微积分中的重要概念，也是数学分析与物理学中经常使用的量。
梯度：表示函数在每个空间点处的变化率。
如果一个标量函数f(x,y,z)的梯度是 (Fx,Fy,Fz)，则函数在(x,y,z)处沿着最陡峭的方向增加。
它可以表示成以下形式：Grad(f)= (d/dx, d/dy, d/dz) f = F其中，“Grad”是梯度算子，代表对函数的梯度运算，F是函数在每个空间点(x,y,z)的梯度，d/dx，d/dy，d/dz是分别对 x,y,z求偏导运算符。
散度：表示矢量场的源密度，描述了矢量场如何从给定点扩散。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的散度是 div(F)，则在点(x,y,z)处聚集或消散的速率与点密度成比例。
div(F) = ∇·F = dFx/dx + dFy/dy + dFz/dz其中“∇”为 nabla 符号，代表矢量微分算子，而“·”为数量积运算符。
旋度：衡量了矢量场在某一点“旋转”的强弱。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的旋度是 rot(F)，则表示为：rot(F) = ∇ × F = (dFz/dy - dFy/dz, dFx/dz - dFz/dx, dFy/dx -dFx/dy)其中“×”为叉积运算符。
梯度、散度和旋度在物理学中有广泛的应用，如电场、磁场、流体力学等领域。
通过它们可以更好地理解电磁场和流场的规律。
同时，这三个概念也是微分方程中的重要工具，可以帮助求解某些偏微分方程的边值问题。
1.2 散度-旋度-梯度
u u( x, y, z) u(r ) C
如同温层，等位面，等高线
a
b
等值面
d c
2
方向导数
如何了解标量场 中某一点的标量 函数U沿某一方 向的变化情况？
b a
等值面
d c
方向导数：标量函数在给定点沿 某一方向对距离的变化率
U l
3
方向导数
z
ez
z
U l
M ( x 0 x , y0 y, z 0 z )
1 1 ( ) 的梯度 R R
z
r
Q ( x , y , z ) R
o
r
P ( x, y, z )
y
x
16
源点与场点
• 源点： • 场点：
( x, y, z) ( x, y, z )
源点 r'
R
场点
r
O
17
例题
1 1 距离矢量 R r r ，求标量场 R 的梯度 ( ) R z Q ( x , y , z )
数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
A dS A en dS A cos θdS
s s s
通量(Flux)
dS en dS
S
C
有向曲面：开表面， 右螺旋
闭合曲面，外法线
通量：穿过曲面s的矢量线的总数
22
通量的应用
• 判断闭合曲面内源的性质
ey ez 直角坐标系中： ex x y z 1 柱面坐标系中： e e ez z 1 1 球面坐标系中： eR e e R R R sin
谢处方电磁场与电磁波-第四版-第一章--ppt可修改全文
eA ex cos ey cos ez cos
5
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻
边的平行四边形的对角线,如图所示。 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
A B
B
A
矢量的加法
A B ex (Ax Bx ) ey (Ay By ) ez (Az Bz )
e cos sin
e sin
ey
sin sin cos sin
cos
ez
cos sin
0
y
e
13
ey
e
ex
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系
14
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
F dS
S
S F endS
24
通量的物理意义 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
0
0
0
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
有净的矢 量线进入
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
25
3、矢量场的散度 F
方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值 作以比较，得出相应结论。
解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
P
(ex
第二讲：三种常用的正交坐标系、梯度、散度1
§1.2 三种常用的正交坐标系
一、坐标系的概念
1、坐标
确定一个空间点需要三个有序数 q1, q2 , q3 ，称为空间点的坐标。
由于空间点同时可用 x, y, z表示，因此
q1 q1x, y, z q2 q2 x, y, z q3 q3 x, y, z
q3 eˆ3
eˆ1 q1
q2 eˆ2
2、坐标面、坐标线
5、拉梅系数： h1 h3 1 ， h2 四、球坐标系
1、坐标变量： r,,
const
2、坐标面： r C1 ， C2 ， C3
坐标线：一条直线、两条曲线
r const
坐标变换： x r sin cos
x
y r sin sin
z
eˆr
Pr,, •
eˆ
r
θ
eˆ
o
y const
三标量场的梯度1梯度的概念梯度gradient是一个矢量它的方向表示标量场u变化率最大的方向大小等于最大的空间变化率用g等值面等值面p02梯度的计算公式梯度的定义与坐标系无关可以选择任意坐标系来计算
1.2 三种常用的正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1、了解三种常用坐标系的特点； 2、熟悉球坐标、柱坐标的基矢，基矢变化及空间微元表示； 3、理解梯度的物理意义，掌握其计算公式。 重点：1、基矢及空间微元表示， 2、梯度的物理意义及计算公式。 难点：基矢的变化。 讲授、练习 学时：2 学时
矢量表示： A eˆx Ax eˆy Ay eˆz Az ，例：位置矢量 r eˆx x eˆy y eˆz z
(x,y,z)
y为常数平面
y
4、空间微元：
线元： dr eˆxdx eˆydy eˆzdz
标量场的方向导数和梯度
l M x
y
z
3
1.2.2 标量场旳梯度
NM n
l
●P
在P点沿哪个方向变化率最快？
由方向导数旳定义可知：沿等值面 法线n旳方向导数最大。故定义梯度
grad
n
en
x
ex
y
ey
z
ez
其中， 称为哈密顿算子。
大小：最大变化率
方向：最大变化率旳方向即过该点旳等值面法线方向
梯度旳计算公式推导如下：
【例】求标量场 u x2 2 y2 3z2 xy 3x 2y 6z在点 O(0, 0, 0) 与点 A(1,1,1)处梯度旳大小和方向余弦。在哪点上旳梯度 为0？
【解】：标量场旳梯度为：
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
(2x y 3)ex (4 y x 2)ey (6z 6)ez
第一章 矢量分析
1.2 标量场旳方向导数和梯度
主要内容
❖ 方向导数 ❖ 梯度
学习目旳
❖ 掌握方向导数、梯度旳物理含义及计算措施 ❖ 掌握方向导数与梯度之间旳区别与联络
1.2.1 标量场旳方向导数
标量函数 在M0处沿l方向旳方向导
●
M0
●
l 数为
M
lim (M ) (M0 )
l M0
M M0
含义：表达标量场 在点M0处沿l方向旳变化规律。
h3u3
eu 3
q 对于距离矢量 R r r 有下列常用结论：
R
q'
r
r' O
总结：
(1)R
R R
Ro
eR
1 R Ro (2)
R R3 R2
《标量函数的梯度》课件
梯度的作用和意义
优化问题中的梯度
我们将了解在优化问题中，梯度是如何帮助我们找到函数的最小值或最大值的。
梯度在机器学习中的应用
我们将看到梯度在机器学习算法中的重要作用，如梯度下降和反向传播。
梯度在图像处理中的应用
我们将研究梯度在边缘检测和图像增强等领域的应用。
如何计算标量函数的梯度
步骤一：求偏导数
了解如何计算多元函数的偏导数，并将其用于计算梯度。
步骤二：向量计算
将多个偏导数组合成一个向量，即得到标量函数的梯度。
步骤三：解析和数值方法
学习解析和数值方法来计算梯度，以便在不同情况下应用。
梯度在实际问题中的应用
金融学中的投资组合优化
了解如何使用梯度来优化投资组合，以最大化回报并降低风险。
工程学中的结构优化
《标量函数的梯度》PPT 课件
欢迎来到《标量函数的梯度》PPT课件。在本课程中，将介绍标量函数和梯度 的定义，探讨梯度在实际问题中的应用，以及解释梯度下降算法的原理和步 骤。
标量函数和梯度的定义
1 什么是标量函数？
我们将学习标量函数的基本概念以及它在数学和物理问题中的重要性。
2 什么是梯度？
我们将探讨梯度是如何描述函数在每个点上变化最快的方向和速率。
总结和展望
在本课程中，我们全面介绍了《标量函数的梯度》，从概念到实际应用，希望对您有所启发。感谢您的参与和 聆听。
探索如何使用梯度在结构设计中寻找最佳解决方案。
物理学中的轨迹规划
学习如何使用梯度来计算最短路径和最优轨迹。
梯度下降算法的原理和步骤
1
原理
了解梯度下降算法的基本原理，以及如
步骤一：初始化
2
何通过迭代逐步减小目标函数。
方程梯度的计算公式
方程梯度的计算公式在数学和物理学中，梯度是一个非常重要的概念，它在描述函数在某一点的变化率时起着关键作用。
梯度的计算公式可以帮助我们求解函数在某一点的变化率，从而可以在各种领域中得到广泛的应用。
本文将介绍方程梯度的计算公式以及其在实际问题中的应用。
梯度的定义。
在多元函数中，梯度是一个向量，它表示函数在某一点的变化率和变化方向。
对于一个标量函数f(x, y, z)，其梯度记为∇f，定义为一个向量，其分量分别为函数在每个变量方向上的偏导数。
即∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
梯度的计算公式。
对于一个标量函数f(x, y, z)，其梯度的计算公式如下：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
其中，∂f/∂x表示函数f对变量x的偏导数，∂f/∂y表示函数f对变量y的偏导数，∂f/∂z表示函数f对变量z的偏导数。
梯度的性质。
梯度具有以下几个重要的性质：1. 方向性，梯度的方向是函数在某一点上升最快的方向，其方向与函数的等值线垂直。
2. 变化率，梯度的模长表示函数在某一点的变化率，即函数在该点沿梯度方向上升的速率。
3. 零梯度，函数的梯度为零意味着函数在该点没有变化，即函数取得极值点。
梯度的应用。
梯度的计算公式在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍梯度在不同领域中的具体应用。
1. 物理学中的应用。
在物理学中，梯度常常用于描述场的变化率和场的力。
例如，电场的梯度可以表示电场在某一点的变化率和变化方向，磁场的梯度可以表示磁场在某一点的变化率和变化方向。
梯度的计算公式可以帮助我们求解场的变化率和变化方向，从而可以更好地理解和描述物理现象。
2. 工程学中的应用。
在工程学中，梯度常常用于描述场的变化率和场的力。
例如，在流体力学中，速度场的梯度可以表示流体在某一点的速度变化率和速度变化方向，温度场的梯度可以表示温度在某一点的变化率和变化方向。
梯度的计算公式可以帮助我们求解场的变化率和变化方向，从而可以更好地设计和优化工程系统。
1-3标量函数的梯度-PPT文档资料
一方向引一条射线 l 并在该方向上靠近点 M 0 取一动点
M x0 x,y0 y,z0 z，点 M 0到点 M 的距离 表示为 l .
u limuMuM0
l l 0 M0
l
u
定义 点沿 l
方 l 向M 0就的称方为向函导数数.u x, y, z 在M
1 – 3 标量函数的梯度
第一章 矢量分析
一 标量场的等值面 一个标量场可用一个标量函数来 表示。直角坐标系中，标量函数
u 可表示为
uux,y,z
方程 ux,y,zC随着 C 的取值不同， 给出一组曲面.这样的曲面称为标量场 u 的等值面.
ux,y,zC （ C 为任意常数）称为等值面方程.
示对 x, y, z 微分，即
ex
xey
yez
z
解
1 – 3 标量函数的梯度
第一章 矢量分析
所以
R 1RR3 R eR2
R 1xx2yy2zz212
xxx2yy2zz212exyxx2yy2zz212ey
uvv12vuuv
fufuu
1 – 3 标量函数的梯度
第一章 矢量分析
例3
Rxx2yy2zz2试证明
1 R
1 R
,
R 表示空间点 x, y, z 和 x, y, z点之间的距离。符号 表
点的等值面.
单位法线矢量
en gradu gradu
1 – 3 标量函数的梯度
第一章 矢量分析
3.哈密顿（Hamilton）算子
ex ey ez
x y z
ee1ez
z
erre1 r ersi1n
（标量函数的梯度）
Chapter 2. Summary of Vector analysis ( 2 )2. Gradient, Divergence, and curl/rotation2.1 Gradient of scalar function (标量函数的梯度)标量场(,,)F x y z 中，各点的大小可能不等，因此某点(,,)F x y z 沿各个方向的变化率可能不同。
人们颇为关心的问题是：(,,)F x y z 沿那一个方向的变化率最大？以及这个最大变化率的表达式是甚麽？为此，令(,,)F x y z 为x, y , z 的实值可微函数。
(,,)F x y z 从P 到Q 的微分变化可以表示为F F FdF dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂x y z x y z F F F a a a a dx a dy a dz x y z ⎡⎤∂∂∂⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦∂∂∂⎣⎦(1)令等号右边第一个方括号为： x y zF F F F a a a x y z∂∂∂∇=++∂∂∂(2) 显然，等号右边第二个方括号为： x y z d l a d x a d y a d z =++(3)则(1)式可写为 d F Fd l =∇(4) 或 l dFF a dl=∇ (5) 式(5)中l dla dl=是从P 至Q 在dl 方向的单位矢量。
式（4）或（5），给出了标量函数F 的梯度定义：标量函数f 在某点梯度 (Grad F , 通常以表示 ) 是一个矢量, 其大小F ∇等于F 在该点的的最大方向导数max dF dl, 其方向是该点的最大方向导数的方向, 即lF a F∇=∇ 。
此外还可得到关于梯度的如下两个性质: (1) 梯度的方向垂直于给定标量函数(,,)F x y z 的等值面；(2) 函数(,,)F x y z 在某点在任意方向的方向导数等于该函数在该点的梯度与该方向单位矢量的标量积。
F + dF =上述方程(1)给出函数F 的梯度F ∇在直角坐标系的表示式x y zF F F F a a a x y z∂∂∂∇=++∂∂∂(6) 在圆柱坐标系的表示式1z F F F F a a a z∂∂∂∇=++∂∂∂ρφρρφ (7)在球坐标系的表示式11sin r F F F F a a a r r r ∂∂∂∇=++∂∂∂θφθθφ(8)2.2 Divergence of a vector field and divergence theorem (矢量场的散度及散度定理)(1) Flux of a vector field F矢量场沿有向曲面（开曲面）S 的面积分称为该矢量F通过该有向曲面的通量，以ψ表示，即：sF d S =⎰ψ (9)由（9）可见，矢量F通过某一有向曲面的通量，既与该矢量的大小有关，又与该矢量的方向有关。
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en
gradu gradu
记忆！！
（三）哈密顿（Hamilton）算子
➢ 引入一个算子
ex x ey y ez z 称为哈密顿算子。 读作“del（德尔）”或
“nabla（那勃拉）”
直角坐标下的具体实例
u
(ex
x
ey
y
ez
)u z
u x
ex
u y
ey
u z
ez
gradu u
(四) 梯度运算基本公式
函数u(x,y,z) 沿其中哪 个方向的 变化率最 大?
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u l
G el
G
cos G, el
u G l max
u(x,y,z)沿G方向变化率最大 矢量G的模也正好就是该最大变化率。
(二)梯度的性质 ➢ 一个标量函数（标量场）的梯度是一个矢量函数。
在给定点，梯度的方向就是函数变化率最大的方 向，它的模恰好等于函数在该点的最大变化率的 数值。又因函数沿梯度方向的方向导数
22
cos
1
1
12 22 22 3
cos 2 cos 23
3
u (u , u , u )(cos, cos , cos )
l x y z = 1 1 0 2 1 2 1 23 3 23 2
三、梯度(Gradient)
（一）梯度的定义：大小？方向？
el
l l
cos ex cos ey cos ez
1.3 标量函数的梯度
一、标量场？的等值面
➢ 在直角坐标系中，某一物理标量函数u可表示为
u ux, y, z
u u r, r = (x, y,z)
➢ u的等值面 ： 随着C的取值不同，给出一组曲面
ux, y, z C
三维等值面互不相交 二维等值线也是互不相交的
【例】 设点电荷位于直角坐标系的原点，在它周围空
1 R
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
x
x
x2
y
y2
z
z
2
1 2
ex
y
x
x2
y
y2
z
z2
1 2
ey
z
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
ez
x
x ex
y
y ey
z
z ez
3
x
x2
y
y2
z
z2
2
1 R
R R3
eR R2
1 R
x
x2
y
y2
z
z2
12 ຫໍສະໝຸດ xxx2y
y2
z
z2
1
2
ex
y
x
x2
l = (cos, cos , cos )
l
u (u , u , u )(cos, cos , cos )
l x y z
➢ 意义
u 0 ，说明函数ux, y, z 沿 l 方向是增加的；
l
u 0 l
，说明函数 ux, y, z沿 l方向是减小的；
u 0 ，说明函数 ux, y, z沿 l 方向无变化。
间的任一点的电位是
x, y, z
q
40 x2 y2 z2
式中q 和0是常数。试求等电位面方程。
【解】 令 x, y, z C（ C常数）即得到等电位面方程
C
q
40 x2 y2 z2
2
或
x2
y2
z2
q
4 0C
二、方向导数
➢ 目的：在研究标量场u时，需要了解标量函数在场中 各个点地邻域内沿每一方向的变化情况。
➢ 定义：等值面沿某一给定方向的变化率。
u lim u M u M0
l l0 M0
l
其中参量定义描述：
M0 x0, y0, z0 M x0 x, y0 y, z0 z
l x2 y2 z2
x l cos, y l cos , z l cos l = (cos, cos , cos )
y
y2
z
z2
1
2
ey
z
x
x2
y
y2
z
z2
1 2
ez
'
1 R
R R3
eR R2
l
➢ 详细推导：
u u M u M0
u x u y u z O(l)
x M0
y M0
z M0
lim u M u M0 u cos u cos u cos
l 0
l
x M0
y M0
z M0
推广至任意点
u u cos u cos u cos
l x
y
z
➢ 向量表示法
u gradu 0
l max
梯度总是指向函数增大的方向。 ➢ 函数在给定沿任意方向的方向导数等于函数的梯
度在该方向上的投影
➢ 在任一点，标量场的梯度垂直于过该点的等值面， 也就是垂直于过点的等值面的切平面。根据解析几 何知识，过等值面点切平面的法线矢量是
u u u
n
x
ex
y
ey
z
ez
M
l
【例】 求函数u x2 y2 z2 在点M 1,0,1 沿l ex 2ey 2ez 方向的 方向导数。
【解】u
x
x x2 y2 z2
u y
y x2 y2 z2
u z
z x2 y2 z2
在点M 1,0,1有
(u , u , u ) ( 1 , 0, 1 )
x y z
C 0 （C为常数）
Cu Cu（C为常数）
u v u v
uv vu uv
u v
1 v2
vu
uv
f u f uu
结论：与对一般函数求导数的法则类似。
【例1-6】R x x2 y y2 z z2 试证明：
1 R
1 R
其中
ex
x
ey
y
ez
z
【解】