1.3标量函数的梯度

➢ 定义：等值面沿某一给定方向的变化率。
u lim u M u M0
l l0 M0
l
其中参量定义描述：
M0 x0, y0, z0 M x0 x, y0 y, z0 z
l x2 y2 z2
x l cos, y l cos , z l cos l = (cos, cos , cos )
l
【例】 求函数u x2 y2 z2 在点M 1,0,1 沿l ex 2ey 2ez 方向的 方向导数。
【解】u
x
x x2 y2 z2
u y
y x2 y2 z2
u z
z x2 y2 z2
在点M 1,0,1有
(u , u , u ) ( 1 , 0, 1 )
x y z
1 R
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
x
x
x2
y
y2
z
z
2
1 2
ex
y
x
x2
y
y2
z
z2
1 2
ey
z
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
ez
x
x ex
y
y ey
z
z ez
3
x
x2
y
y2
z
z2
2
1 R
R R3
eR R2
1 R
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
x
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
ex
y
x
x2
C 0 （C为常数）
Cu Cu（C为常数）
u v u v
uv vu uv
u v
1 v2
vu
uv
f u f uu
结论：与对一般函数求导数的法则类似。
【例1-6】R x x2 y y2 z z2 试证明：
1 R
1 R
其中
ex
x
ey
y
ez
z
【解】
间的任一点的电位是
x, y, z
q
40 x2 y2 z2
式中q 和0是常数。试求等电位面方程。
【解】 令 x, y, z C（ C常数）即得到等电位面方程
C
q
40 x2 y2 z2
2
或
x2
y2
z2
q
4 0C
二、方向导数
➢ 目的：在研究标量场u时，需要了解标量函数在场中 各个点地邻域内沿每一方向的变化情况。
u gradu 0
l max
梯度总是指向函数增大的方向。 ➢ 函数在给定沿任意方向的方向导数等于函数的梯
度在该方向上的投影
➢ 在任一点，标量场的梯度垂直于过该点的等值面， 也就是垂直于过点的等值面的切平面。根据解析几 何知识，过等值面点切平面的法线矢量是
u u u
n
x
ex
y
ey
z
ez
M
l = (cos, cos , cos )
l
u (u , u , u )(cos, cos , cos )
l x y z
➢ 意义
u 0 ，说明函数ux, y, z 沿 l 方向是增加的；
l
u 0 l
，说明函数 ux, y, z沿 l方向是减小的；
u 0 ，说明函数 ux, y, z沿 l 方向无变化。
en
gradu gradu
记忆！！
（三）哈密顿（Hamilton）算子
➢ 引入一个算子
ex x ey y ez z 称为哈密顿算子。 读作“del（德尔）”或
“nabla（那勃拉）”
直角坐标下的具体实例
u
(ex
x
ey
y
ez
)u z
u x
Baidu Nhomakorabeaex
u y
ey
u z
ez
gradu u
(四) 梯度运算基本公式
y
y2
z
z2
1
2
ey
z
x
x2
y
y2
z
z2
1 2
ez
'
1 R
R R3
eR R2
函数u(x,y,z) 沿其中哪 个方向的 变化率最 大?
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u l
G el
G
cos G, el
u G l max
u(x,y,z)沿G方向变化率最大 矢量G的模也正好就是该最大变化率。
(二)梯度的性质 ➢ 一个标量函数（标量场）的梯度是一个矢量函数。
在给定点，梯度的方向就是函数变化率最大的方 向，它的模恰好等于函数在该点的最大变化率的 数值。又因函数沿梯度方向的方向导数
22
cos
1
1
12 22 22 3
cos 2 cos 23
3
u (u , u , u )(cos, cos , cos )
l x y z = 1 1 0 2 1 2 1 23 3 23 2
三、梯度(Gradient)
（一）梯度的定义：大小？方向？
el
l l
cos ex cos ey cos ez
1.3 标量函数的梯度
一、标量场？的等值面
➢ 在直角坐标系中，某一物理标量函数u可表示为
u ux, y, z
u u r, r = (x, y,z)
➢ u的等值面 ： 随着C的取值不同，给出一组曲面
ux, y, z C
三维等值面互不相交 二维等值线也是互不相交的
【例】 设点电荷位于直角坐标系的原点，在它周围空
l
➢ 详细推导：
u u M u M0
u x u y u z O(l)
x M0
y M0
z M0
lim u M u M0 u cos u cos u cos
l 0
l
x M0
y M0
z M0
推广至任意点
u u cos u cos u cos
l x
y
z
➢ 向量表示法