人教课标版高中数学必修4《单位圆在三角函数中的应用》复习课件
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最新-2021学年人教B版数学必修四 122 单位圆与三角函数线 课件 精品
函数的图象与性质的基础.
如:求函数y=log2(sin x)的定义域.
我们可以通过转化为解不等式sin x>0.解答如下:
要使函数y=log2(sin x)有意义,x的取值必须满足sin x>0.
如图所示,是角 x 的正弦线,
则sin x=MP>0.
∴的方向向上.
∴角x的终边在x轴的上方.
2π
- 3 的终边,与单位圆交于点 P,作 PM⊥x 轴,垂足为 M.由单位圆与 x
2π
轴正方向的交点 A 作 x 轴的垂线,与 OP 的反向延长线交于点 T,则- 3
的正弦线、余弦线和正切线分别为, , .
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
利用三角函数线比较大小
【例 2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
角不等式的步骤:
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 求函数 f(x)= sin + 1-2sin的定义域.
sin ≥ 0,
解:依题意应有
1-2sin ≥ 0,
1
2
1
y= ,交单位圆于 A,B 两点,连接
2
即 0≤sin x≤ .
作直线
OA,OB,则图中阴影部分表示的角即为角 x 的
终边的范围.
B.正弦线,正切线''
C.正弦线,正切线
D.正弦线,正切线
答案:C
1
2
【做一做2-2】
如图,你从图中可得到什么信息?
(1)点P的坐标是
;
(2)若点 Q 的坐标是
坐标为
答案:(1)
1 3
-2, 2
,则∠xOQ=
如:求函数y=log2(sin x)的定义域.
我们可以通过转化为解不等式sin x>0.解答如下:
要使函数y=log2(sin x)有意义,x的取值必须满足sin x>0.
如图所示,是角 x 的正弦线,
则sin x=MP>0.
∴的方向向上.
∴角x的终边在x轴的上方.
2π
- 3 的终边,与单位圆交于点 P,作 PM⊥x 轴,垂足为 M.由单位圆与 x
2π
轴正方向的交点 A 作 x 轴的垂线,与 OP 的反向延长线交于点 T,则- 3
的正弦线、余弦线和正切线分别为, , .
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
利用三角函数线比较大小
【例 2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
角不等式的步骤:
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 求函数 f(x)= sin + 1-2sin的定义域.
sin ≥ 0,
解:依题意应有
1-2sin ≥ 0,
1
2
1
y= ,交单位圆于 A,B 两点,连接
2
即 0≤sin x≤ .
作直线
OA,OB,则图中阴影部分表示的角即为角 x 的
终边的范围.
B.正弦线,正切线''
C.正弦线,正切线
D.正弦线,正切线
答案:C
1
2
【做一做2-2】
如图,你从图中可得到什么信息?
(1)点P的坐标是
;
(2)若点 Q 的坐标是
坐标为
答案:(1)
1 3
-2, 2
,则∠xOQ=
高中数学人教B版必修四122《单位圆与三角函数线》同步PPT课件
中课小堂学讲课练件互动
思考探究 1.怎样认识三角函数线与三角函数值之间的关系？ 提示 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对 值．方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正 值，反向的为负值．
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2．第二象限或第三象限内的角的正切线怎样作？ 提示 在单位圆中，过(1,0)点作x轴的垂线x＝1与角的终 边的反向延长线交于T，则AT即为角的正切线.
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自测自评 1.不论角α的终边的位置如何，在单位圆中作三角函数线 时，下列说法正确的是( ) A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．正弦线、余弦线总可以作出 C．正弦线、余弦线、正切线都有可能不存在 D．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但有可能不 止一条
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sinα＝23； (2)cosα＝－35； (3)tanα＝2.
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剖析 对于(1)，设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则
sinα＝y，cosα＝x.所以，要作出满足sinα＝
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4．若π4<α<π2，则下列正确的是( ) A．cosα<tanα<sinα B．sinα<cosα<tanα C．tanα<sinα<cosα D．cosα<sinα<tanα
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解析 可在单位圆中作出α的三角函数线，根据图形可知 MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．∵π4<α<π2， ∴OM<MP<AT，∴cosα<sinα<tanα.
思考探究 1.怎样认识三角函数线与三角函数值之间的关系？ 提示 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对 值．方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正 值，反向的为负值．
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2．第二象限或第三象限内的角的正切线怎样作？ 提示 在单位圆中，过(1,0)点作x轴的垂线x＝1与角的终 边的反向延长线交于T，则AT即为角的正切线.
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自测自评 1.不论角α的终边的位置如何，在单位圆中作三角函数线 时，下列说法正确的是( ) A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．正弦线、余弦线总可以作出 C．正弦线、余弦线、正切线都有可能不存在 D．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但有可能不 止一条
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sinα＝23； (2)cosα＝－35； (3)tanα＝2.
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剖析 对于(1)，设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则
sinα＝y，cosα＝x.所以，要作出满足sinα＝
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4．若π4<α<π2，则下列正确的是( ) A．cosα<tanα<sinα B．sinα<cosα<tanα C．tanα<sinα<cosα D．cosα<sinα<tanα
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解析 可在单位圆中作出α的三角函数线，根据图形可知 MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．∵π4<α<π2， ∴OM<MP<AT，∴cosα<sinα<tanα.
人教A版高中数学必修四必修4三角函数复习课件
则同时具有以下两个性质的函数是( A )
①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对 称.
2. 关 于 函 数 f(x)= ２ sin(3x-3π/4 ） ， 有 下 列
命题： ①其最小正周期是2π/3； ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位 得到； ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4)； ④在x∈[π/12，5π/12]上为增函数.
成立的 x 取值范围是（C）
(
A)(
4
,
2
)
(
,
5
4
)(
B)(
4
,
)
2、（(C00)(年4 ）, 54函)(数D)y(
4
,x c)os x(的54部, 3分2 )图
象是（ D ）
y
y
y
y
0x
( A)
0x
(B)
0x
(C )
0x
(D)
例9、(98年)关于函数 f (x) 4sin(2x )(x R)有
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
方法指导：此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有 一解. (2)已知一个角的某三角函数值，但不知角所在象限， 有两解.
一、诱导公式
sin( k 2 ) sin
诱导公式一 cos( k 2 ) cos
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
1.2.1(2)单位圆与三角函数线(高中数学人教A版必修四).ppt
π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ， 则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的 角)均满足 tanx≤1.
π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
cos OM tan AT
O P
A(1,0)
α的终边
终边落在第四象限
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
P
T
x
cos OM tan AT
α的终边
α的终边 y P α
M
三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α
O y
O
M A(1,0)
x
sin MP cos OM
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
用 途
三角函数线的具体作用 :
1.比较两个三角函数值的大小
实例
剖析
3π 例1、作出 2π 的正弦线、余弦线和正切线.. 4 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
y y
以x轴的正半轴为始边作出 的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足
为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作 x轴的垂线, 与OP的反向延长线交于T点，
P
高中数学人教B版必修4 1.2 教学课件 《单位圆与三角函数线》(人教)
人民教育出版社 高中必修4
我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心
与坐标原点重合，如图所示，设任意角α 与单位圆
交于点 P(x , y)，则r = |OP| = 1。
sinα =
y 1
=y
cosα =
x 1
=x
y α终边 P(x , y)
O
x
探究点2：正弦线、余弦线
人民教育出版社 高中必修4
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(2)三角函数线的方向： 正弦线由垂足指向α 的终边与单位圆的交点， 余弦线由原点指向垂足； 正切线由切点A指向与α 终边或者终边延长线的交点。
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例题精讲
类型一 作任意角的三角函数线
例1.分别作出2π 和- 3π的正弦线、余弦线和正切线.
3
4
人民教育出版社 高中必修4
oM
x
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问题3：当终边在第一象限时，角α 的正、余弦与Ｐ
点的纵、横坐标y，x之间有何关系？ y
sin y y
1
cos
=
x 1
x
P N
o
M
x
【思考1】随着α 在第一象限内转动，MP是否也跟着
变化？而它的数量值是否永远等于sinα ？OM是否也
跟着变化？而它的数量值是否永远等于cosα ？
人民教育出版社 高中必修4
四个象限角的正切线
人民教育出版社 高中必修4
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问题6: α 终边在x轴、y轴上时，三角函数线有何特点？ 数量值是多少？ 答：角α 的终边在x轴上时，点P与点M 重合，点 T 与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点， 它们的数量为0，而余弦线OM=1或-1。
【2019-2020高一数学课件】人教A版数学必修4第一章三角函数《单位圆与三角函数线》 复习课件
MP.
2．三角函数线：如图为角 α 的三种三角函数线，则：sinα ＝ MP ；cosα＝ OM ；tanα＝ AT .
[答一答] 1．当角 α 的终边与 x 轴、y 轴重合时，正弦线、余弦线、 正切线如何？
提示：当角 α 的终边与 x 轴重合时，正弦线、正切线分别变 成一个点，余弦线不变；
当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不 存在，正弦线不变．
2．如图为角 α，β 的三角函数线，请根据图中的三角函数线， 完成下列填空：(用“>”或“<”填空)
(1)sinβ > sinα.(2)cosα > cosβ. (3)tanβ > tanα.
类型一 任意角的三角函数线
[例 1] (1)作出－π3的正弦线； (2)作出43π的正切线． [分析] 作三角函数线时，应根据三角函数线的定义，先找 到 P，M，T 点，再画出 MP，OM，AT.
利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 1首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三 角函数线画出角 x 满足条件的终边范围. 2在应用三角函数线时，可根据这样一句话来理解：角的 终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵 坐标是该角的正弦值，写角的范围时，抓住边界值，然后再注意 角的范围的写法要求.
2．三角函数线的定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、 正切线，还给出了角 α 的三角函数线的画法，体现了数形结合思 想，以“形”说“数”．也就是在“数”的角度认识任意角的三 角函数的基础上，又从图形角度考察任意角的三角函数，即用向 量的长度表示三角函数的数值，这也是三角函数与其他基本初等 函数不同的地方．
A．在 x 轴上
B．在 y 轴上
C．在直线 y＝x 上
高中数学 1.2.2《单位圆与三角函数线》(1) 新人教B版必修4
ppt课件
练习
1.函数y=
| sin x | sin x
+ cos x
|cos x |
+
|
ta n ta n
x x
| 的值域是
(
C
)
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
ppt课件
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( C)
证明：sinα=|ON|=|MP|,
α= AP
tanα=|AT|.
y
N
PT
x
又 S扇形OAPSOAT
O
MA
所以 1OA1OAAT
2
2
即sinα<α<tanα .
ppt课件
小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上，为有向线段 A T
ppt课件
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
sin y 5 解得y=－1.
4 y2
5
所以cosθ= － 2 5 . 5
ppt课件
x
其反向延长线)相交于点
练习
1.函数y=
| sin x | sin x
+ cos x
|cos x |
+
|
ta n ta n
x x
| 的值域是
(
C
)
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
ppt课件
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( C)
证明：sinα=|ON|=|MP|,
α= AP
tanα=|AT|.
y
N
PT
x
又 S扇形OAPSOAT
O
MA
所以 1OA1OAAT
2
2
即sinα<α<tanα .
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小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上，为有向线段 A T
ppt课件
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
sin y 5 解得y=－1.
4 y2
5
所以cosθ= － 2 5 . 5
ppt课件
x
其反向延长线)相交于点
人教数学必修四第一章《三角函数》课件(复习课)
第一章三角函数复习课一.伍意角的三角窗叙1、角的概念的推广的终边正角II »■X负角y的终边零角2、角度与弧度的互化特殊角的角度数与弧度数的对应表弧长公式与扇形面积公式1、弧长公式:2、扇形面积公式:已知扇形的半径为R,所对圆心角为该扇形的周长为定值c,求该扇形面积的最大值。
已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2, 则这个圆心角所对的弧长是(B、A. 2B. 2sinlC. 2sin 1D. sin 2三角函数复习终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
二、象限角与区间角的区别三、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式3、任意角的三角函数定义定义：三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦4、同角三角函数的基本关系式商关系：平方关系:5、诱导公式:（即把看作是锐角）例:二.鬲角和鸟差的三角為叙1、两角和与差的三角函数J］公式变形2、倍角公式注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幕的过程。
特别三角函数复习二倍角的三角函数三.三角為叙的图彖和徃质1、正弦、余弦函数的图象与性质2、函数的图象(A>0, >0 )例：f^y=sin2x的图像三角函数复习…三角函数的图象和性质3、正切函数的图象与性质四、麦要龜媲例1:已知是第三象限角，且，求解：应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系;例2：已知,计算⑴(2)应用：关于的齐次式解:⑴⑵_ tanatan 2a + 1例3：已知解:应用：找出已知角与未知角之间的关系例4：解：己知应用：化简求值2(A)1・-sin （X2/_2>(C)1・-sin f2x(B) 2—U 2丿(D) 2sin丿2x——k 2例题5:若歹二/（兀）的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），然后把图象向左平移尹单位，再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的扣（横坐标不变），这样得到的图象与= S inx 的图象相同，则/（刃等于■若点P（2,41）是曲线歹二/sin（c°x + 0）（兀\/l>0,fi>>0,|^|<—上的一个最高点，卩与其< 2丿相邻的一个最低点0之间的曲线交兀轴于点7?（6,0）,求这个函数的解析式。
数学(人教A版)必修4课件：1-2-1 单位圆中的三角函数线
第一章
1.2
高中新课程
· 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
4．若750° 角的终边上有一点(4，a)，则a的值是_____．
[答案]
4 3 － 3
第一章
1.2
高中新课程
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[解析]
∵tan750° ＝tan(360° ×2＋30° )
3 a ＝tan30° ＝ ＝ . 3 4 3 4 3 ∴a＝ 3 ×(4)＝ 3 .
第一章
1.2
高中新课程
· 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
3．在下列各式中填上适当的不等号： (1)sin759° 28′8″________0； (2)sin(－759° 23′8″)________0； 13 (3)tan(－ 5 π)________0； 41 (4)cos π________0. 7
第一章
1.2 任意角的三角函数
第一章
三角函数
高中新课程
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第一章
1．2.1 单位圆中的三角函数线
第一章
三角函数
高中新课程
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第一章
1.2
高中新课程
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第一章
1.2
高中新课程
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③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴 正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负 值． ④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点 字母在后． ⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数 值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝 对值．
单位圆中的三角函数共20页PPT
y P P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当 角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
思考：观察下列不等式：
sin6 6 tan6
sin
tan
44
4
sin3 3 tan3
你有什么一般猜想？
思考：对于不等式 sin
ta n
（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
yT P
O M Ax
是负数，此时用哪条
有向线段表示角α的正切值最合适？
y
tan y AT
x
MA
O
x
P T
思考：若角α为第二ta n象 限 角xy ，其终边与单位圆
的交点为P（x，y），则
是负数，此
时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
y
tan y AT T P
x
A
AMO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点
END
y
P
MP＋OM>OP=1
OM x
正切线 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单 位圆的交点为P（x，y），则 ta n y 是正数，用 哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
tan y AT
x
yT P
O MA x
正切线
问题2：若角α为第四象限角，其t a终n 边与xy单位圆的交
点为P（x，y），则
为P（x，y），则
是正数，此时用哪条有向
线段表示角α的正切值最合适？
tan y
x
y T
tan y AT
x
AM O Ax
P
T
思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当 角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
思考：观察下列不等式：
sin6 6 tan6
sin
tan
44
4
sin3 3 tan3
你有什么一般猜想？
思考：对于不等式 sin
ta n
（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
yT P
O M Ax
是负数，此时用哪条
有向线段表示角α的正切值最合适？
y
tan y AT
x
MA
O
x
P T
思考：若角α为第二ta n象 限 角xy ，其终边与单位圆
的交点为P（x，y），则
是负数，此
时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
y
tan y AT T P
x
A
AMO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点
END
y
P
MP＋OM>OP=1
OM x
正切线 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单 位圆的交点为P（x，y），则 ta n y 是正数，用 哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
tan y AT
x
yT P
O MA x
正切线
问题2：若角α为第四象限角，其t a终n 边与xy单位圆的交
点为P（x，y），则
为P（x，y），则
是正数，此时用哪条有向
线段表示角α的正切值最合适？
tan y
x
y T
tan y AT
x
AM O Ax
P
T
思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？
高中数学 任意角的三角函数 第2课时 单位圆中的三角函数线课件 新人教A版必修4
[解析] ∵ cos2x＝－cosx，∴cosx≤0， ∴π2≤x≤32π.
• 4．若0≤θ<2π，则使tanθ≤1成立的角θ的取值 范[答围案是] _[_0_，_π4_]∪__(π2_，__54π_]_∪_(_32π_，_．2π)
[解析] 如图，tanπ4＝1，tan54π＝1，使 tanθ≤1 成立的角 θ 的终边落在图中阴影部分，
[点评] (1)中 cosθ＝ 23对应的角 θ 的两条终边 OA、OB， 使 cosθ< 23成立的角 θ 的终边所在区域为图中阴影部分，由逆 时针旋转角变大知，OA 取6π时，OB 应取116π而不是－π6，这是 极易出错的地方，若改为 cosθ> 23，则角 θ 终边所在区域应为 空白部分，此时若 OA 取6π，则 OB 应为－6π.
• (2)∵0<x<1,0<y<1，∴0<cosα<1,0<sinα<1. • ∴cos3α<cos2α，sin3α<sin2α，从而有 • cos3α＋sin3α<cos2α＋sin2α＝1， • 即cos3α＋sin3α<1.
已知：α∈0，2π，求证：sinα<α<tanα.
• [分析] 构造单位圆，利用单位圆中的三 角函数线及三角形和扇形的面积来证明．
[解析] 在单位圆中画出符合条件的角 θ 终边所在范围 (用阴影表示)，根据图形写出 θ 的取值范围．
(1)∵cosπ6＝cos116π＝ 23，且 cosθ< 23，∴由图所示 θ 的取 值范围为π6＋2kπ，116π＋2kπ(k∈Z)．
(2)∵tan－π4＝tan34π＝－1，且 tanθ>－1， ∴由图所示 θ 的取值范围为－4π＋2kπ，2π＋2kπ∪34π＋2kπ， 32π＋2kπ＝－4π＋nπ，2π＋nπ(k∈Z，n∈Z)．
• 4．若0≤θ<2π，则使tanθ≤1成立的角θ的取值 范[答围案是] _[_0_，_π4_]∪__(π2_，__54π_]_∪_(_32π_，_．2π)
[解析] 如图，tanπ4＝1，tan54π＝1，使 tanθ≤1 成立的角 θ 的终边落在图中阴影部分，
[点评] (1)中 cosθ＝ 23对应的角 θ 的两条终边 OA、OB， 使 cosθ< 23成立的角 θ 的终边所在区域为图中阴影部分，由逆 时针旋转角变大知，OA 取6π时，OB 应取116π而不是－π6，这是 极易出错的地方，若改为 cosθ> 23，则角 θ 终边所在区域应为 空白部分，此时若 OA 取6π，则 OB 应为－6π.
• (2)∵0<x<1,0<y<1，∴0<cosα<1,0<sinα<1. • ∴cos3α<cos2α，sin3α<sin2α，从而有 • cos3α＋sin3α<cos2α＋sin2α＝1， • 即cos3α＋sin3α<1.
已知：α∈0，2π，求证：sinα<α<tanα.
• [分析] 构造单位圆，利用单位圆中的三 角函数线及三角形和扇形的面积来证明．
[解析] 在单位圆中画出符合条件的角 θ 终边所在范围 (用阴影表示)，根据图形写出 θ 的取值范围．
(1)∵cosπ6＝cos116π＝ 23，且 cosθ< 23，∴由图所示 θ 的取 值范围为π6＋2kπ，116π＋2kπ(k∈Z)．
(2)∵tan－π4＝tan34π＝－1，且 tanθ>－1， ∴由图所示 θ 的取值范围为－4π＋2kπ，2π＋2kπ∪34π＋2kπ， 32π＋2kπ＝－4π＋nπ，2π＋nπ(k∈Z，n∈Z)．
精品-高中数学第一章基本初等函Ⅱ第4课时单位圆与三角函数线课件新人教B版必修4
类型二 利用三角函数线解三角不等式 【例 2】 在单位圆中画出符合下列条件的角 α 终边的范围， 并由此写出角 α 的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12.
解析：
(1)作直线 y＝ 23，交单位圆于 A，B 两 点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区 域((图 1)中阴影部分)即为角 α 的终边的范 围．
(2)三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也 给出了角 α 的三角函数线的画法即先找到 P、M、T 点，再画出 MP、OM、AT.
(3)三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三 角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的 基础.
我们把轴上向量O→M，O→N和A→T分别叫做 α 的余弦线，正弦线 和正切线．
讲重点 对三角函数线的理解 (1)三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方 向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对 值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的 方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横 坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几 何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问 题提供了方便．
说方法·分类探究 类型一 利用三角函数线比较大小
【例 1】 比较 cos47π与 cos57π的大小．
解析：
如图所示，射线 OP1 是角47π的终边， 射线 OP2 是角57π的终边，过 P1，P2 分别 作 P1M1⊥x 轴，P2M2⊥x 轴，垂足分别 为 M1，M2，所以 cos47π＝OM1，cos57π＝ OM2.
知识点 2 三角函数线
高一数学必修4：1-2-1单位圆中的三角函数线精品PPT课件
第一章 1.2 .1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] (1)由题可知759°23′8″为第一象限角，∴ sin759°23′8″>0；
－759°23′8″为第四象限角，sin(－759°23′8″)<0，－ 153π为第三象限角tan(－135π)>0，471π为第四象限角cos471π>0.
第一章 1.2 .1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
空白部分，此时若 OA 取6π，则 OB 应为－6π.(3)解简单的三角不 等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的 范围．如本题转化为求终边在优弧A︵B对应的扇形区域内角的范 围．
第一章 1.2 .1
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随堂应用练习 课后强化作业
第一章 1.2 .1
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课前自主预习
第一章 1.2 .1
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温故知新
1．角α的终边经过P(2,3)，则有( )
A．sinα＝2
13 13
B．cosα＝
13 2
C．sinα＝3
13 13
D．tanα＝23
第一章 1.2 .1
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3．在下列各式中填上适当的不等号： (1)sin759°28′8″________0； (2)sin(－759°23′8″)________0； (3)tan(－153π)________0；
41 (4)cos 7 π________0. [答案] > < > >
[答案] D
第一章 1.2 .1
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[解析] (1)由题可知759°23′8″为第一象限角，∴ sin759°23′8″>0；
－759°23′8″为第四象限角，sin(－759°23′8″)<0，－ 153π为第三象限角tan(－135π)>0，471π为第四象限角cos471π>0.
第一章 1.2 .1
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空白部分，此时若 OA 取6π，则 OB 应为－6π.(3)解简单的三角不 等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的 范围．如本题转化为求终边在优弧A︵B对应的扇形区域内角的范 围．
第一章 1.2 .1
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随堂应用练习 课后强化作业
第一章 1.2 .1
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课前自主预习
第一章 1.2 .1
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温故知新
1．角α的终边经过P(2,3)，则有( )
A．sinα＝2
13 13
B．cosα＝
13 2
C．sinα＝3
13 13
D．tanα＝23
第一章 1.2 .1
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3．在下列各式中填上适当的不等号： (1)sin759°28′8″________0； (2)sin(－759°23′8″)________0； (3)tan(－153π)________0；
41 (4)cos 7 π________0. [答案] > < > >
[答案] D
第一章 1.2 .1
高中数学三角函数.22单位圆与三角函数线课件新人教A版必修4
(2)求下列函数的定义域： ①y＝ 2sinx＋1； ②y＝lg ( 2－2sinx)．
解 (1)如图，过点 A(1,0)作单位圆 O 的切线，在切线 上沿 y 轴正方向取一点 T，使 AT＝ 33，过点 O，T 作直线，
则当角 α 的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包
含 y 轴)时，tanα≥ 33.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，
【跟踪训练 1】 在单位圆中画出满足 sinα＝12的角 α 的终边．
解 如图作直线 y＝12交单位圆于 P，Q，则 OP，OQ 为角 α 的终边．
探究 2 利用三角函数线比较大小
例 2 利用三角函数线比较下列各组数的大小．
(1)sin23π与 sin45π；
(2)cos23π与 cos45π；
课堂达标自测
1.如图，在单位圆中角 α 的正弦线、正切线完全正确的 是( )
A．正弦线 PM，正切线 A′T′ B．正弦线 MP，正切线 A′T′ C．正弦线 MP，正切线 AT D．正弦线 PM，正切线 AT
解析 正弦线由垂足指向 α 的终边与单位圆的交点；正 切线由切点 A 指向切线与 α 的终边(或其反向延长线)的交 点．
∵|MP|<|AT|，∴sin25π<tan25π.
故
6π 2π 2π cos 5 <sin 5 <tan 5 .
5．已知 sinx>－12，且 cosx>12，利用三角函数线写出满 足条件的角 x 的集合．
解 由图知，当 sinx>－12，且 cosx>12时，角 x 的集合为
x－π6＋2kπ<x<π3＋2kπ，k∈Z
.
拓展提升 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注 意以下三点： (1)先找到“正值”区间，即 0～2π 之间满足条件的角 θ 的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间； (3)解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不 等式成立的角的范围，取其公共部分．
解 (1)如图，过点 A(1,0)作单位圆 O 的切线，在切线 上沿 y 轴正方向取一点 T，使 AT＝ 33，过点 O，T 作直线，
则当角 α 的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包
含 y 轴)时，tanα≥ 33.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，
【跟踪训练 1】 在单位圆中画出满足 sinα＝12的角 α 的终边．
解 如图作直线 y＝12交单位圆于 P，Q，则 OP，OQ 为角 α 的终边．
探究 2 利用三角函数线比较大小
例 2 利用三角函数线比较下列各组数的大小．
(1)sin23π与 sin45π；
(2)cos23π与 cos45π；
课堂达标自测
1.如图，在单位圆中角 α 的正弦线、正切线完全正确的 是( )
A．正弦线 PM，正切线 A′T′ B．正弦线 MP，正切线 A′T′ C．正弦线 MP，正切线 AT D．正弦线 PM，正切线 AT
解析 正弦线由垂足指向 α 的终边与单位圆的交点；正 切线由切点 A 指向切线与 α 的终边(或其反向延长线)的交 点．
∵|MP|<|AT|，∴sin25π<tan25π.
故
6π 2π 2π cos 5 <sin 5 <tan 5 .
5．已知 sinx>－12，且 cosx>12，利用三角函数线写出满 足条件的角 x 的集合．
解 由图知，当 sinx>－12，且 cosx>12时，角 x 的集合为
x－π6＋2kπ<x<π3＋2kπ，k∈Z
.
拓展提升 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注 意以下三点： (1)先找到“正值”区间，即 0～2π 之间满足条件的角 θ 的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间； (3)解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不 等式成立的角的范围，取其公共部分．
人教课标版高中数学必修4《单位圆在三角函数中的应用》复习课件
OAcos AP sin cos cos sin sin
y
P'
A
C P
o BM
x
1、 相当于角 的终边顺时针旋转了 角度。
2、体现了角的旋转变换思想的运用
3、同理可得如果逆时针旋转则为
4、使用诱导公式可以得出sin( ) sin cos cos sin
5、如果 则为倍角公式 sin 2 2sin cos
3、数学和物理的有机结合可以方便理解相关概念。
a
突出 重点
函数线
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
三角函数线
函数线：用有向2、余弦线: OM 3、正切线: AT
o M A(1, 0) x
突破
在其他象限又该如何表示呢？
难点
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
思路：利用面积大小比较
三角定义 函数线
cos 2 cos2 sin2
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
归纳总结
1、充分挖掘和利用单位圆的相关性质，结合角度的变换， 从而更加形象深刻地理解相关的公式。
2、把单位圆作为联系的桥梁，全面掌握角度的对称变换、 旋转变换和相关的意义。
单位圆在三角函数中的应用
三角定义
函数线 诱导公式
一般形式 恒等变换
三角 定义
函数 线
诱导 公式
一般 形式
恒等 变换
单位圆
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式
单位圆定义
恒等变换
单位圆：平面内到坐标原点的距离为1的所有点的集合 圆心（0,0）半径为1
y
P'
A
C P
o BM
x
1、 相当于角 的终边顺时针旋转了 角度。
2、体现了角的旋转变换思想的运用
3、同理可得如果逆时针旋转则为
4、使用诱导公式可以得出sin( ) sin cos cos sin
5、如果 则为倍角公式 sin 2 2sin cos
3、数学和物理的有机结合可以方便理解相关概念。
a
突出 重点
函数线
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
三角函数线
函数线：用有向2、余弦线: OM 3、正切线: AT
o M A(1, 0) x
突破
在其他象限又该如何表示呢？
难点
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
思路：利用面积大小比较
三角定义 函数线
cos 2 cos2 sin2
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
归纳总结
1、充分挖掘和利用单位圆的相关性质，结合角度的变换， 从而更加形象深刻地理解相关的公式。
2、把单位圆作为联系的桥梁，全面掌握角度的对称变换、 旋转变换和相关的意义。
单位圆在三角函数中的应用
三角定义
函数线 诱导公式
一般形式 恒等变换
三角 定义
函数 线
诱导 公式
一般 形式
恒等 变换
单位圆
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式
单位圆定义
恒等变换
单位圆：平面内到坐标原点的距离为1的所有点的集合 圆心（0,0）半径为1
(人教B)高二数学必修4课件：1.2.2单位圆与三角函数线
明目标、知重点
思考2 设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin α ＋cos α>1吗？ 答 设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴， 垂足为M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP， 即sin α＋cos α>1.
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角 的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
明目标、知重点
故 cos
6 5π<sin
2 5π<tan
2 5π.
明目标、知重点
探究点二 三角函数线的应用 三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数 定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝 对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负. 思考1 若α为任意角，则sin α，cos α的取值范围是多少？ 答 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 －1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.
∴x|2kπ＋π3≤x<2kπ＋34π，k∈Z.
明目标、知重点
反思与感悟 求三角函数定义域时，一般应转化为求不 等式(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不 等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在单位圆中作 出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分.
明目标、知重点
跟踪训练3 求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域.
思考2 设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin α ＋cos α>1吗？ 答 设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴， 垂足为M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP， 即sin α＋cos α>1.
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角 的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
明目标、知重点
故 cos
6 5π<sin
2 5π<tan
2 5π.
明目标、知重点
探究点二 三角函数线的应用 三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数 定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝 对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负. 思考1 若α为任意角，则sin α，cos α的取值范围是多少？ 答 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 －1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.
∴x|2kπ＋π3≤x<2kπ＋34π，k∈Z.
明目标、知重点
反思与感悟 求三角函数定义域时，一般应转化为求不 等式(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不 等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在单位圆中作 出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分.
明目标、知重点
跟踪训练3 求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域.
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又当角的终边相同时有
2
2k , k Z
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
三角定义 函数线
一、图像
诱导公式 一般形式 恒等变换
1、通过单位圆和三角函数线以及运动变化来绘制正弦 图像 2、合理运用诱导公式以及平移思想来得出余弦图像
三角定义 函数线
诱导公式
二、y Asin(x ) 图像
一般形式
恒等变换
三角定义 函数线
诱导公式
二、y Asin(x ) 图像变换
一般形式
恒等变换
1.对于函数 y=Asin(x+) (A>0, >0):
A --- 振幅,
T 2 --- 周期,
x+ --- 相位, --- 初相.
f 1 ---Leabharlann 频率,T--- 圆周运动角速度.
2.图象的变换: 周期变换
单位圆定义法：
正弦： 余弦： 正切：
AB
sin b
OA
cos OB a
OA
tan AB b (a 0)
OB a
y
A(a, b)
oB
x
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
1
r
a2 b2 1,sin b,sin
3 2
2 cos a,cos 1
2
3 tan b (a 0),tan 3
(1)伸缩变换 振幅变换
( ----- 形状变换)
左右平移 (2)平移变换 上下平移
( ----- 位置变换)
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
一、恒等变换理论依据以及公式推导
cos( ) cos cos sin sin
OM OB BM OB CP
cos 2 cos2 sin2
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
归纳总结
1、充分挖掘和利用单位圆的相关性质，结合角度的变换， 从而更加形象深刻地理解相关的公式。
2、把单位圆作为联系的桥梁，全面掌握角度的对称变换、 旋转变换和相关的意义。
单位圆在三角函数中的应用
三角定义
函数线 诱导公式
一般形式 恒等变换
三角 定义
函数 线
诱导 公式
一般 形式
恒等 变换
单位圆
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式
单位圆定义
恒等变换
单位圆：平面内到坐标原点的距离为1的所有点的集合 圆心（0,0）半径为1
y
o
x
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
三角函数定义
OAcos AP sin cos cos sin sin
y
P'
A
C P
o BM
x
1、 相当于角 的终边顺时针旋转了 角度。
2、体现了角的旋转变换思想的运用
3、同理可得如果逆时针旋转则为
4、使用诱导公式可以得出sin( ) sin cos cos sin
5、如果 则为倍角公式 sin 2 2sin cos
诱导公式
诱导公式
一般形式
恒等变换
一、角的对称变换
1、关于X轴对称
y
sin( ) sin( )
P(a, b)
cos( ) cos( ) tan( ) tan( ), ( k , k Z )
2
o
x
p/(a, b)
同理可得：关于y轴对称
,
2
关于原点对称 ,
3、数学和物理的有机结合可以方便理解相关概念。
a
突出 重点
函数线
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
三角函数线
函数线：用有向线段表示
y
PT
1、正弦线: MP 2、余弦线: OM 3、正切线: AT
o M A(1,0) x
突破
在其他象限又该如何表示呢？
难点
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
思路：利用面积大小比较
三角定义 函数线