流体力学第11章

问题：
差 分
用差分方法离散上述对流方程定解问题时，似乎
网
FTCS、FTFS和FTBS三种格式都可以。那么，
格 、
是不是对任一微分方程其差分格式都可以是任
差
意的？
分
方
程
答：对于一个定解微分方程，可以用不同的差分
格式离散，但不是任意的一个格式都可以获得 合理的解；而且即使都是可用的（即可获得合 理解的）差分格式，它们之间一般也存在着优 劣。所以，为获得有意义的微分方程数值解， 差分离散时应当遵循一定的基本原则、满足一 定的条件。
差 分 网 格 、 差 分 方 程
11.1.3 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
采用有限差分法求解由微分方程所描述的流体流
动问题时，在确定差分离散格式是否可用之前
必须回答三个问题：当差分网格的时间与空间
步长趋向于零时，差分方程是否充分wk.baidu.com近原微
u0 = u6 = 0
由差分方程确定的代数方程及其解分别为：
2u1
u2

Cl 2 36
u1

2u 2

u3


Cl 2 36
u 2
u3


Cl 2 72
u1

u5

5Cl 2 72
u2

u4

Cl 2 9
u3

Cl 2 8
f (x) f (x) f (x x) x
一阶向后差商； 称
f (x) f (x x) f (x x) 2x
差 为一阶中心差商。
商 、
而称
逼
f (x) f (x x) 2 f (x) f (x x)
近
(x) 2
误
差 二阶中心差商。
限 差
以上定解条件的解析解为：
分 法 简 例
u

Cl2 2

y2 l2

y l

图11-1 平面泊肃叶流动
有 根据平面泊肃叶流动二阶线性常微分方程构造的 限 差分方程为：
差
Cl 2
分 法
u j1 2u j u j1 36
j = 1, 2, …, 5
简
例 边界条件为：

uin1 uin
t

u
n i
uin1
0
x

ui0
f (xi )
差 分 网 格 、 差 分 方 程
差
图11-3 格式图
分
a) FTCS格式 b) FTFS格式 c) FTBS格式
网
格
、
差
分
方
程
FTCS、FTFS和FTBS三种格式对 t 都是一阶精 度；对 x ，FTCS格式为二阶精度、FTFS和 FTBS为一阶精度。这三种格式都只涉及两个 时间层的量，只要已知第n层上的函数值就可 以显式地计算第n+1层上的函数值，因而都是 显式差分格式。
第11章 有限差分法
11.1 有限差分法理论基础
有限差分法求解偏微分方程定解问题的步骤：
1）利用网格线将连续的定解域划分为有限离散
点（节点）集；
2）选取适当的途径将微分方程离散化为网格节
点上的差分方程；
3）将定解条件化为节点上的网格函数关系式；
有 限
4）通过解差分方程和离散的定解条件构成的代
差 数方程组，得到在离散点集上由近似值组成的离

u
n1 i

u
n i
uin1 uin
0
t
x

u
0 i

f (xi )
像上式这样的时间导数和空间导数都采用向前差
差 分
商近似的格式称为FTFS（Forward Time Forward Space）格式。
网
格
、
差
分
方
程
若采用时间向前差分、空间向后差分，则可得到 一维对流方程的FTBS（Forward Time Backward Space）差分格式：
从以上的差商表达式可知，所取差商不同，逼近 误差也不同。对于一阶导数来说，向前差商和
向后差商的逼近误差相同，都是 x 量级，具
一阶精度；而一阶和二阶中心差商的逼近误差
同是（ x ）2量级，都具有二阶精度。对于一
阶导数的差商逼近，中心差商的精度比向前差 商和向后差商都要高。
差 商 、 逼 近 误 差
2) 将微分方程差分化。这包括：
●把定解域离散化，选定网格步长，建立网 格，并将未知函数离散成节点值；
●在所建立的网格上构成微分方程和定解条
有 限
件的差分格式，形成关于未知节点函数值的代
差
数方程组。
分 法
3) 解代数方程组求得流动问题的数值解。
简
例
11.1.2 差分格式及其基本构造方法
1. 差商、逼近误差
有 将以上数值结果与解析解比较，可以看出二者完
限 差
全相同。当然这是指在节点上二者完全相同。但
分 解析解是连续函数，而差分解是离散数值解，节
法 点之间的流速分布要通过插值决定。
简
例
从本例可看出应用有限差分法求解流体流动问题 大致应包含以下三个部分：
1) 根据物理条件写出问题的控制微分方程和定解 条件。
设有x的解析函数y = f (x) ，则
y f (x x) f (x)
x
x
称为函数y = f（x）在点x的差商，而 y 、x分别 称为函数及自变量的差分
差 商 、
称 f (x) f (x x) f (x) x
逼 表示的差商称为一阶向前差商，
近
误
差
类似地，称
分 法
散解；
理 5）节点之间的近似解应用插值方法确定。
论
基
础
11.1.1 有限差分法简例
平面泊肃叶流动：两固定平行平板间不可压粘性 流体在压差作用下的定常平面平行流动。
平面泊肃叶流动的求解最后就归结为一个二阶线 性常微分方程的边值问题：
有
d2u C
dy 2
：0< y < l
，u（0）= u（ l）= 0
2. 差分网格、差分方程
【例11-1】一维对流方程初值问题的差分格式构 建。微分方程和初值条件为
u u 0
t x
u(x,0) f (x)
t 0, const. x x
差
分
网
格
、
差
分
方
程
图11-2 网格剖分
在上述的网格剖分下，可写出对流方程定解问题 的差分格式如下：

u
n1 i

uin
uin1
uin1
0
t
2x

ui0

f (xi )
像上式这样的时间导数采用向前差商近似，空间
差 分
导数采用中心差商近似的格式称为FTCS （Forward Time Central Space）格式。
网
格
、
差
分
方
程
上述一维对流方程初值问题也可采用时间和空间 都向前差分的格式来近似，这时差分方程成为: