普朗克公式推导斯忒藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律
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c1 k 4 4 M B (T ) = 6.494 4 4 T = σT 4 h c
c1 k 4 8 2 4 其中 σ = 6.494 4 4 = 5.710 × 10 − W / m ⋅ k h c 为了推导维恩位移定律，需求出（ ） 为了推导维恩位移定律，需求出（2）式的极大值 x max
d e x − 1 5x 4 − x 5e x M B (x, T ) = ⋅ =0 5 5 x 2 dx (e − 1) h c c1 k 5T 5
因此黑体在一定温度T时的辐出度是： 因此黑体在一定温度 时的辐出度是： 时的辐出度是
M B (T ) = ∫ M B (λ , T )dλ =
∞ 0
c1 k 4T 4 h c
4 4
∫
∞
0
dx e −1
x
x
3
x max
查表可得
∫
∞
0
x3 dx = 6.494 x e −1
于是可得斯忒藩－ 于是可得斯忒藩－玻尔兹曼定律
由普朗克公式
M B (λ , T ) = 2πhc λ ⋅
2 −5
1 e
hc kλ T
−1
推导斯忒藩－ 推导斯忒藩－玻尔兹曼定律和 维恩位移定律 hc 2 x= C1 = 2πhc 令 kλT 则 λ = hc kTx
k 2 hc hc k T x dx= − 2 dλ = − ⋅ 2 2 dλ = − Tx dλ hc kT h c kλ T
hc xm = = 4.956 kλ m T
即 则
λm =
hc hc 1 = kTx m 4.956k T
λmT = b
hc b= = 2.897 × 10 − 3 m ⋅ k 4.956k
其中
(
)
(
)
由此可得
5e − xe − 5 = 0
x x
的超越方程， ，这是x的超越方程，可用作图法求解。 这是 的超越方程 可用作图法求解。
将上式改为
来自百度文库
5 − x = 5e − x ，作直线 y = 5 − x
y = 5e − x ，它们的交点就是方程的解。可得 它们的交点就是方程的解。 和负指数曲线
2 2 2
（1） ）
hc dx dλ = − 2 kTx
将（1）式代入普朗克公式，得 ）式代入普朗克公式，
（1） ）
c1λ−5 c1 x5 c1 x5 c1k5T 5 x5 1 1 MB (λ,T) = x = 5 5 ⋅ x = ⋅ x = 5 5 ⋅ x = MB ( x,T) 5 e − 1 x λ e − 1 hc e − 1 h c e − 1 kT
c1 k 4 8 2 4 其中 σ = 6.494 4 4 = 5.710 × 10 − W / m ⋅ k h c 为了推导维恩位移定律，需求出（ ） 为了推导维恩位移定律，需求出（2）式的极大值 x max
d e x − 1 5x 4 − x 5e x M B (x, T ) = ⋅ =0 5 5 x 2 dx (e − 1) h c c1 k 5T 5
因此黑体在一定温度T时的辐出度是： 因此黑体在一定温度 时的辐出度是： 时的辐出度是
M B (T ) = ∫ M B (λ , T )dλ =
∞ 0
c1 k 4T 4 h c
4 4
∫
∞
0
dx e −1
x
x
3
x max
查表可得
∫
∞
0
x3 dx = 6.494 x e −1
于是可得斯忒藩－ 于是可得斯忒藩－玻尔兹曼定律
由普朗克公式
M B (λ , T ) = 2πhc λ ⋅
2 −5
1 e
hc kλ T
−1
推导斯忒藩－ 推导斯忒藩－玻尔兹曼定律和 维恩位移定律 hc 2 x= C1 = 2πhc 令 kλT 则 λ = hc kTx
k 2 hc hc k T x dx= − 2 dλ = − ⋅ 2 2 dλ = − Tx dλ hc kT h c kλ T
hc xm = = 4.956 kλ m T
即 则
λm =
hc hc 1 = kTx m 4.956k T
λmT = b
hc b= = 2.897 × 10 − 3 m ⋅ k 4.956k
其中
(
)
(
)
由此可得
5e − xe − 5 = 0
x x
的超越方程， ，这是x的超越方程，可用作图法求解。 这是 的超越方程 可用作图法求解。
将上式改为
来自百度文库
5 − x = 5e − x ，作直线 y = 5 − x
y = 5e − x ，它们的交点就是方程的解。可得 它们的交点就是方程的解。 和负指数曲线
2 2 2
（1） ）
hc dx dλ = − 2 kTx
将（1）式代入普朗克公式，得 ）式代入普朗克公式，
（1） ）
c1λ−5 c1 x5 c1 x5 c1k5T 5 x5 1 1 MB (λ,T) = x = 5 5 ⋅ x = ⋅ x = 5 5 ⋅ x = MB ( x,T) 5 e − 1 x λ e − 1 hc e − 1 h c e − 1 kT