2020年湖南省六校联考数学试卷(4月份)

2020年湖南省六校联考数学试卷（4月）

一、选择题

1．已知集合A＝{y|y＝2x﹣1}，，则A∪B＝（）

A．（0，4）B．∅C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）2．若复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限

3．已知条件p：k＝1，条件q：直线y＝kx+1与圆相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a

5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3＝（）

A．17B．29C．23D．35

6．函数f（x）＝的部分图象大致是（）

A．B．

C．D．

7．已知非等向量与满足，且，则△ABC为（）

A．等腰非等边三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．三边均不相等的三角形

8．在正方体内随机放入n个点，恰有m个点落入正方体的内切球内，则π的近似值为（）A．B．C．D．

9．执行如图所示的程序框图，若输出的数S＝3，那么判断框内可以填写的是（）

A．k≥6？B．k≤6？C．k≥7？D．k≤7？

10．已知函数f（x）＝cos x•|sin x|，给出下列四个说法：

①，

②函数f（x）的一个周期为2π；

③f（x）在区间上单调递减；

④f（x）的图象关于点（π，0）中心对称．

其中正确说法的序号是（）

A．①②B．③④C．②④D．②③

11．定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），当x≤0时，恒有，若g（x）＝x3f（x），则不等式g（2x）＞g（1﹣3x）的解集为（）

A．B．

C．D．

12．如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为（）

A．B．C．D．

二、选择题

13．在的展开式中x的系数为﹣85．

14．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝1，a n+1＝2S n+1（n∈N*），则a3+a4+a5+a6＝360．15．若实数x，y满足不等式，则的最大值为2．

16．若点P是曲线C1：y2＝16x上的动点，点Q是曲线C2：（x﹣4）2+y2＝9上的动点，点O为坐标原点，则的最小值是．

【解答】解：设P的坐标（x，y），由抛物线的方程y2＝16x，可得焦点F（4，0），恰好

为圆：（x﹣4）2+y2＝9的圆心，

因为P在抛物线上，所以|OP|＝＝，|PQ|的最小值为P到圆心的距离减半径3，即P到准线的距离减3，

所以|PQ|＝x+4﹣3＝x+1，

所以＝，设t＝x+1，x＝t﹣1，

所以＝＝，令a＝，

＝＝

当a＝时，最小，且为，

所以的最小值为．

故答案为：．

三、解答题

17．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；

（2）若时，求2b﹣c的取值范围．

18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝CC1＝4，BC＝2，D为棱A1C1上的动点．

（1）若D为A1C1的中点，求证：BC1∥平面ADB1；

（2）若平面A1ACC1⊥平面ABC，且∠AA1C1＝60°．是否存在点D，使二面角B1﹣AD ﹣C1的平面角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

19．已知圆C：（x+2）2+y2＝32，点D（2，0），点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．

（1）求点Q的轨迹方程．

（2）设点A（0，2），M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．

20．自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护．以下是湖南省2020年1月23日一31日这9天的新增确诊人数．

日期232425262728293031

时间x123456789新增确诊人数y151926314378565557经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒．

（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x，每天新增确诊人数作为变量y，通过回归分析，得到模型＝lnx+用于对疫情进行分析．

对表中的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：＝5，＝42.2，，＝384，（y i ﹣）＝100.86，2＝60，，ln10＝2.3．

根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数．

（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X，求X＝k最有可能（即概率最大）的值是多少．

附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的

最小二乘估计分别为＝，＝﹣．

21．已知函数f（x）＝ae x﹣cos x．

（1）证明：当a＝1时，f（x）有最小值，无最大值；

（2）若在区间上方程f（x）＝0恰有一个实数根，求a的取值范围，22．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t∈R），以

原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，（0≤θ≤2π）．

（1）求曲线C1的极坐标方程；

（2）射线l的极方程为θ＝α（0≤α≤π，ρ≥0），若射线l与曲线C1，C2分别交于异于原点的A，B两点，且|OA|＝4|OB|，求α的值．

23．若不等式|x+m|+|x+1|≤3的解集非空．

（1）求实数m的取值范围；

（2）设m的最大值为M，若a、b∈R+，且a+b＝M，求的最小值．