第7章二值图像处理与形状分析

到x上，那么S将完全包含于X中。用集合的方式定义可写为
XS {x | S x X }
腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。
腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、 小凸起)去除;
如果两个物体之间有细小的连通，结构元素足够 大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。
1 腐蚀 腐蚀的方法：拿S的原点和X上的点一个一个地对比， 如果S上的所有点都在X的范围，则S的原点对应的点保留， 否则将该点去掉。
AV＝{a| -a∈A}。
y y 5 y 3 2 1 1 2 (a) 3 4 x 0 b 1 2 (b) 3 4 x 4 3
5
4 3 2
x
-4
-3 -2 -1
0
-1
-2 -3 -4 1 2 (c) 3 4 x (d) y
2 1
0
1
0
5、二值图像的逻辑关系
逻辑运算尽管本质上很简单，但对于实现以形态学为基础的图像处 理算法是一种有力的补充手段。 在图像处理中用到的主要逻辑运算时与、或、和非（或补）。下 表总结了这些运算的性质。
数字图像处理
燕山大学电气工程学院赵彦涛 燕山大学西校区电气馆A315 http://blog.sina.com.cn/ysuimage
第七章 二值图像处理与形状分析
7.1二值图像的连接性 7.2 形态学处理 7.3 形状特征
7.1
二值图像的连接性
7.1.1 灰度图像转二值图
图像的二值化处理就是常用的阈值化处理， 即选择 一阈值，将图像转换为黑白二值图像。图像的二值化处理 的变换函数表达式为：
I=imread('circles.png'); I1=im2bw(I);
7.2 形态学处理
7.2.1 数学形态学基础 数学形态学的数学基础和所用语言是集合论。数学形态 学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性， 并除去不相干的结构。
基本思想是用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像
中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
对全部(i,j),有gk+1(i,j)= gk(i,j)时，gk便是所求的距离变换图像。 在经过距离变换得到的图像中，最大值点的集合就形成骨架， 即位于图像中心部分现状的集合，也可看作是图像各内接圆中 心的集合。
7.3.4 边界跟踪
许多时候，我们需要沿区域的边界点跟踪像素，此 过程称之为边界跟踪。下面介绍一种方法。 (1)根据光栅扫描发现像素从0开始变为1的像素p0时， p0作 为边界的起点，存储其坐标(i,j). (2)从像素(i,j-1) 开始反时针方向在像素(i,j)的8-邻域里寻找1 像素，当第一次出现1像素记为pk (k=1) ，存储pk的坐标。 (3)同上，反时针方向从pk-1以前的pk像素开始在像素的8-邻 域内寻找1像素，把最先发现的1像素记为pk+1 (4)当pk = p0，并且pk+1 = p1时，跟踪结束。其他情况按照(3) 处理，反复进行。
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
设P为B(p)=1的像素区域，
P
Q为B(q)=0的像素区域，求P中任意像 素到Q区域的最小距离叫做二值图像的 距离变换
Q
对二值图像f(i,j),计算gk(i,j)。当f(i,j)=1时，g0(i,j)=C(非常 大)；f(i,j)=0时， g0(i,j)=0。当k‡0时进行如下处理(以4-邻接为 例)
设目标图像X 和结构元素S， S在X上移动。在每一个
当前位置x,， S+x只有三种可能的状态：
(1) S+xX S+x与X相关最大
X S S S
(2) S+x XC S+x与X不相关
(3) S+x∩X与S+x∩XC均不为空
S+x与X部分相关
1 腐蚀
X 用S 腐蚀的结果是这样的点的集合，即如果S的原点位移
原始图像
腐蚀后的图像
膨胀后的图像
考虑：膨胀和腐蚀是逆运算吗？
7.2.3 开、闭运算 1. 基本概念 膨胀和腐蚀不互为逆运算，可以级连结合使用，构造出 形态学运算族，它由膨胀和腐蚀两个运算的复合与集合操作 组合成的所有运算构成。 例如，可先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，称为 开运算,或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果,称为闭运算。 开运算和闭运算是形态学运算族中两个最为重要的组合运算。
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 b a
7.1.4 连接成分
在二值图像中，把互相连接的像素的集合汇集成一 组，把这些组叫做连接成分，也叫连通成分。 在研究一个二值图像连接成分的场合，若1-像素的 连接成分用4-/8-连接，则0像素连接成分必须用8-/4-连 接，否则会产生矛盾。 0-像素的连接成分中，如果存 在和图像外围的1行和1列的0-像素 不相连接的成分，称之为孔。不包 含孔的1-像素连接成分成为单连接 成分，含有孔的1-像素连接成分叫 多重连接成分。
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
多重连接成分
0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
对图像X 及结构元素S，用符号X○S表示S 对图像X 作
开运算，用符号X●S表示S 对图像X作闭运算，定义为
X○S = (XS) S X●S = (X S) S X○S:对腐蚀图像X
S用膨胀来进行恢复
X●S:对膨胀图像X S用腐蚀来进行恢复 这种恢复不是信息无损的。
原始图像
开运算之后的图像
0 g( x , y ) 1
f ( x, y ) T f ( x, y ) T
此图像的二值化处理的关键是求出阈值T。
Im2bw(ຫໍສະໝຸດ Baidu)
7.1.2 邻域和邻接 1、 4-邻域、4-邻接 {p0,p2,p4,p6}称为像素P的4-邻域； 互为4-邻域的两像素叫4-邻接 2、 8-邻域、8-邻接 {p0---p7}称为像素P的8-邻域； 互为8-邻域的两像素叫8-邻接
m n m01 m n jG jf ( i , j ) / f ( i , j ) m00 i 1 j 1 i 1 j 1
中心矩定义为
M pq ( i iG )q ( j jG )q f ( i , j )
i 1 j 1
A∩B A∪B AC
A A B
B A
B
集合的交集、并集和补集
3.击中（Hit）与击不中（Miss） 设两幅图像A和B，
A∩B≠ ，称B击中A，记为B↑A，
A∩B= ， 称B击不中A。
A
B
A
B
(a)
(b)
4.平移和反射
设A是一幅数字图像，b是一个点。 定义：A被b平移后的结果为A＋b＝{a＋b| a∈A}， A的反射是A中的每个点以原点取反
0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
单连接成分
孔
0 0 0 0 0 0 0 0
7.1.5 欧拉数 在二值图像中，1-像素连接成分数C减 去孔数H得到的差值叫做这幅图像的欧拉数 E。 E=C-H 对于一个1-像素连接成分，减去这个连接 成分中所包含的孔数的差值叫做这个1-像素 连接成分的欧拉数。 二值图像的欧拉数是所有1-像素连接成 分欧拉数之和。
0 1 0
腐蚀的结构元素
原始图像
如何要对这个图像中的文字进行腐蚀？？
腐蚀后的图像
原始图像
膨胀后的图像
0 1 0
1 1 1
0 1 0
膨胀： 白色（1）的膨胀 黑色（0）的腐蚀
膨胀的结构元素
原始二值图像中包含许多个边长为1、3、5、7、9和15个像 素点的正方形。假设想留下最大的正方形而去除其他的正方形， 如何做？
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p与q
0 0 0 1
p或q
0 1 1 1
非(p)p
1 1 0 0
7.2.2
二值图像的腐蚀与膨胀
二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合，S为结 构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。二值形态学中两 个最基本的运算——腐蚀与膨胀。
二值图像 腐蚀 膨胀
1 腐蚀
1. 元素和集合
把一幅图像称为一个集合。
对于二值图像，习惯上景物取值为1，用阴影表示，背景取 值为0，用白色表示。
集合表示：{•}，例如：C={w |w=-d, d ∈D}
对于图像A，点a在A区域内， 则a是A的元素，记为a∈A， 否则，记作a A。
b a A (a) (b) B A
2. 交集、 并集和补集

m pq


x p y q f ( x , y )dxdy
m n
p , q { 0 ,1,2...}
m pq i q j q f ( i , j )
i 1 j 1
0阶矩是灰度图像f(i,j)的总和。二值图像的零阶矩表示？
m n m n m10 iG if ( i , j ) / f ( i , j ) m00 i 1 j 1 i 1 j 1
0 1 0
1 1 1
0 1 0
膨胀的结构元素 闭运算之后的图像
原始图像
采用结构元素A进行开运 算之后的图像
采用结构元素B进行开运 算之后的图像
0 1 0
1 1 1
0 1 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A膨胀的结构元素
B膨胀的结构元素
( A B) B
采用结构元素B
7.3.3 线图形化 将给定图形变换成线图形有时很重要，下面介绍几种 方法。 （1）距离变换和骨架 距离变换是把任意图形转换成线划线图的有效方法 之一。它是求二值图像中各1像素到0像素的最短距 离。
+
x
s
腐蚀运算示例
xΘs
注意：结构元素的原点坐标很重要，如果结构元素形状不变， 而原点坐标改变，则腐蚀运算结果是不一样的。
2 膨胀
将X 中的每一个点x扩大为S+x，它的定义为
X S = {x| S+x∩X≠ } 膨胀的结果会使目标变大。 膨胀的方法：拿S的中心点和X上的点及X周围的点一个一个 地对，如果S上有一个点落在X的范围内，则该点存在且为黑。
min{ g k ( i , j ), g k ( i , j 1 ) 1,g k ( i 1, j ) 1, g k ( i , j 1 ) 1, g k ( i 1, j ) 1} f ( i , j ) 1 g k 1( i , j ) f ( i, j ) 0 0
用腐蚀和膨胀运算还可以实现图像的平移。如果在自定
义结构元素时选择不在原点的一个点作为结构元素，则得
到的图像形状没有任何改变，只是位置发生了移动。
0 1 0
1 1 1
0 1 0
腐蚀的结构元素
原始图像
腐蚀后的图像
原始图像
膨胀后的图像
0 1 0
1 1 1
0 1 0
腐蚀的结构元素
0 1 0
1 1 1
p3 p4 p5 p2 p p6 p1 p0 p7
4-邻域 8-邻域
7.1.3 像素的连接 对于二值图像中具有 0 0 相同值的两个像素点A和B。 0 0 如果具有和A，B具有相同 0 0 值的像素点a1，a2，a3， a4…存在，且相邻的两个 0 0 像素点（ai，ai+1）互为 0 0 4-/8-邻域，则A和B叫做4- 0 0 /8-连接，以上的像素序列 0 0 (ai)叫做4-/8-路径。
p0
p1 p2
p3
p4
p5
p6
7.3形状特征
形状分析是在提取图像中各目标形状特征基础上， 对图像进行识别和理解。 1.拓扑描绘子： 欧拉数 2.凹凸性 3.区域的测量 (1) 面积：区域内像素的总和 (2)周长：边界像素间距离的总和；边界总像素数 (3)圆弧度：R=4π(面积)/(周长2)
4. 矩法 函数f(x,y)的(p+q)阶原点矩定义式为