深圳市高级中学必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．
2
13(1)i
i +=+（ ） A ．
3122
i - B ．
3122
i + C ．3122
i -
- D ．3122
i -
+ 2．若复数()2
34sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
3π或23
π 3．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）
A B ．2
C ．
D 4．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）
A ．
1
2
B 1
C ．1
D ．
1
2
5．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝
A ．
B ．2
C ．4
D
7．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）
A ．
2
B ．
12
C
D ．2
8．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；
②复数1z i =-对应的点在第四象限；
③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；
④若22
1223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．已知复数z 满足
()2
11i i z
+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ）
A ．1i +
B ．1i -+
C ．1i -
D ．1i --
10．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．已知复数21ai
z i
+=-是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．5
B ．2
C ．3
D ．2
12．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则
01z -的取值范围是（ ）
A ．
()
172,172-+ B ．
()
171,171-+ C ．(
)
32,32-+
D ．(
)
31,31-+
二、填空题
13．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________.
14．如果复数
212bi
i
-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 15．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.
16．已知复数34z i =+所对应的向量为OZ ，把OZ 依逆时针旋转θ得到一个新向量为
1OZ ．若1OZ 对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是________．
17．已知复数（
，是虚数单位）的对应点在第四象限，且
，那么
点
在平面上形成的区域面积等于____
18．已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______ 19．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________； 20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.
三、解答题
21．已知复数()212(24)z a a i =--+，()
2
21z a a i =-+，12z z z =-（i 为虚数单位，
a R ∈）.
（1）若复数12z z z =-为纯虚数，求12z z ⋅的值； （2）若1z z i +=-，求z i +的值.
22．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）． （1）设复数121m i
z i
+=
-，求1z ； （2）设复数2017
2a i z z
-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
23．复数()()()2
152615z i m i m i =++-+-．
（1）实数m 取什么数时，z 是实数； （2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；
（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．
24．若z C ∈，i 为虚数单位，且|22|1z i +-=，求|22|z i --的最小值.
25．已知z 为虚数，4
2
z z +-为实数． （1）若2z -为纯虚数，求虚数z ；
（2）求|4|z -的取值范围．
26．已知复数()()21,,z a i bi a b R =+-∈，其中i 是虚数单位. （1）若5z i =-，求a ，b 的值；
（2）若z 的实部为2，且0a >，0b >，求证：
21
4a b
+≥.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
首先计算2
(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】
()
2
131331
222
1i
i i i i ++=
=-+， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.
2．B
解析：B 【解析】
分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.
详解：若复数()2
3412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：
234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨
+≠⎩，即：2
3sin 4
1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-
⎪⎩
，
结合()0,θπ∈
，可知：sin 21
cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，故3πθ=. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．D
解析：D 【解析】
分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31
(3)(1)212
i z i i i i +==+-=-+,
因此z = 选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b
(,)a b 、共轭为
.-a bi
4．A
解析：A 【解析】 【详解】
∵(
)11z i i i i -=-+，
∴)
()
()(
)
111i i z i i +===
-+，则z
的实部为
1
2
，故选A. 5．C
解析：C 【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】
对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i
,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复
数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】
由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2
x x y =⎧⎨=⎩
，
则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．A
解析：A 【解析】
由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11
i 1i 1i 1i 22z -=
+++-＝＝，
2z ∴=＝故选A ． 8．A
解析：A 【解析】
对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若(
)(
)
2
2
132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2
2
12230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.
9．B
解析：B 【解析】
因为
()2
11i i z
+=-，所以22(1)112
i i
z i i i =
=+=-- ，选B. 10．D
解析：D 【解析】
()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,
2
2
z z =+=+13i,2
2
z z
=-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.
11．B
解析：B 【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202
a
+≠，即可求解. 【详解】
由题意，复数()()()()
2122211122ai i ai a a
z i i i i +++-+=
==+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202
a
+≠，解得2a =， 所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．A
解析：A 【分析】
根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.
01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.
【详解】
因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<
由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.
01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=
则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A
【点睛】
本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.
二、填空题
13．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值
解析：1 【分析】
复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出． 【详解】 解：
复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π． 则22|2||cos (sin 2)|(sin 2)54sin 1z i i cos θθθθθ-=+-+--，当且仅当sin 1θ=时
取等号． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
解析：2
3
-
【分析】
先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b
---=即得解. 【详解】
由题得
2(2)(12)22(4)12(12)(12)5
bi bi i b b i
i i i -----+==++-， 因为复数
212bi
i -+的实部和虚部互为相反数， 所以2242
+0,553
b b b ---=∴=-. 故答案为：2
3
-
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题 解析：2i ±
【分析】
设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数. 【详解】
设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，
即()()4
5a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405
a c
b d a
c b
d ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨
-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结
合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或1
1b d =-⎧⎨
=⎩
.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ± 【点睛】
本小题主要考查复数运算，属于中档题.
16．【分析】确定复数对应点在第一象限旋转后在轴的正半轴上计算复数模得到答案【详解】对应的点为在第一象限逆时针旋转最小正角时对应的点在轴的正半轴上故纯虚数为故答案为：【点睛】本题考查了复数对应的点复数的旋 解析：5i
【分析】
确定复数对应点在第一象限，旋转后在y 轴的正半轴上，计算复数模得到答案. 【详解】
34z i =+，对应的点为()3,4在第一象限，
逆时针旋转最小正角时，对应的点在y 轴的正半轴上，22345z =+=，故纯虚数为5i . 故答案为：5i . 【点睛】
本题考查了复数对应的点，复数的旋转，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
17．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0 解析：
【分析】
先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而
可得点P 在平面上形成的区域面积． 【详解】
由题得，z 在第四象限，则有，整理得，
由得，化简得，则点在不等式组
所表示的平面区域内，如图阴影部分：
则其面积
.
【点睛】
本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．
18．【分析】由题意画出图形数形结合得答案【详解】|z ﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点（11）距离为1的点的轨迹如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(30)的距离由图可知|z ﹣3|的最大值为故 解析：51+
【分析】
由题意画出图形，数形结合得答案． 【详解】
|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹， 如图：
|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.
由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=． 51． 【点睛】
本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
19．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：2i +
【分析】
先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z . 【详解】
因为()1243i z i +=+，所以43212i
z i i
+==-+,即2.z i =+ 【点睛】
本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi
20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i
解析：3i
【解析】
设z=a+bi(a,b ∈R),
因为|z|=3,所以a 2+b 2=9.
又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,
所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.
=⎧⎨≠-⎩ 又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.
三、解答题
21．（1）123626z z i ⋅=--；（2）1或
4
. 【分析】 （1）由复数12z z z =-为纯虚数，可得2220230
a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，从而可求出a 的值，进而可求
出12z z ⋅的值；
（2）由1z z i +=-，可得复数z 在直线y x =-上，所以22232a a a a --=-++，从而可求出a 的值，进而可得z i +的值
【详解】
解：（1）()()
22122241()z z a a a a i a R -=--+--++∈为纯虚数， ∴2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩
，解得2a =， ∴128z i =-，225z i =-，
∴12(28)(25)3626z z i i i ⋅=-⋅-=--.
（2）()()2212223z z z a a a a i =-=--+--， ∵1z z i +=-，
∴复数z 对应的点22(2,23)a a a a ----在直线y x =-上，
即22232a a a a --=-++，解得1a =-或52a =
. 当1a =-时，0z =，1z i +=；
当52a =时，7744z i =-，7344z i i +=-=. 【点睛】
此题考查复数的有关概念，考查复数的模，考查计算能力，属于中档题
22．（1）12
z =
；（2）13a > 【分析】 (1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =-
-，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10
a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310
a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】
∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.
又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩
，解得3m =-．∴13z i =-.
（1）13251122i z i i -+==---，∴1z = （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-=
=-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，
∴30310
a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】
如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．
23．（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12
m =
或2- 【分析】
复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．
（1）由22150m m --=，解得m 即可得出． （2）由225602150
m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得m 即可得出． （3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．解出即可得出．
【详解】
解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．
（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．
5m ∴=或3-时，复数z 为实数．
（2）由225602150
m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．
（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．
化为：22320m m +-=， 解得12m =或2-． 12
m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．3
【分析】
根据|22|1z i +-=，结合复数减法的模的几何意义，判断出z 对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得|22|z i --的最小值.
【详解】
由|22|1z i +-=得|(22)|1z i --+=，因此复数z 对应的点Z 在以022z i =-+对应的点0Z 为圆心，1为半径的圆上，如图所示.
设|22|y z i =--，则y 是Z 点到22i +对应的点A 的距离.又04AZ =，∴由图知min 0||13y AZ =-=.
【点睛】 本小题主要考查复数减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 25．（1）22z i =+或22z i =-；（2）()0,4.
【分析】
（1）由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠，根据2z -为纯虚数，求得x 的值，再由42z z +
-为实数求出y 的值，即得虚数z ； （2）由42
z z +-为实数且0y ≠，可得22(2)4x y -+=，根据2204(2)y x =-->，求得x 的范围，根据复数的模的定义，化简为4164z x -=-164x -的范围，即
可得出|4|z -的取值范围．
【详解】
解：由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠，
（1）则22z x yi -=-+，
由2z -为纯虚数，得2x =，
2z yi ∴=+， 又因为42z z +
-为实数， 则(442)242z yi y i R z yi y +
=++=+-∈-， 得40y y
-=，2y =±， 所以22z i =+或22z i =-. （2）
2222(4442)4[]22(2)(2)x y z x yi x y i R z x yi x y x y -+=++=++-∈-+--+-+， 因为42
z z +-为实数， ∴22
40(2)y y x y -=-+， 0y ≠，22(2)4x y ∴-+=，
224(2)0y x =-->∴，
则2(2)4x -<，解得：(0,4)x ∈，
∴|4||4|z x yi -=+-
由于(0,4)x ∈，则016416x <-<
，所以04<<，
即0|4|4z <-<，
所以|4|z -的取值范围为()0,4.
【点睛】
本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法以及复数求模，考查运算求解能力．
26．（1）31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
;（2）见解析. 【分析】
（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i =+--，由5z i =-可知2521a b ab +=⎧⎨-=⎩
，从而可求出a ，b 的值；
（2）由z 的实部为2可得22a b +=，结合“1”的代换可知211442a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，由基
本不等式可证明
214a b
+≥. 【详解】 （1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i =+-=+--=-，则2521
a b ab +=⎧⎨-=⎩ ， 解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
（2）证明：由题意知，22a b +=，所以
()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 因为0a >，0b >
，所以
44a b b a +≥=， 当且仅当4a b b a =，即11,2
a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。