塑性力学第四章(1)-塑性本构关系

p
σθ σz
F
ε r = −ε z
ε ij =
3ε s ij 2σ
sθ = 0, s r = − s z
屈服条件： 屈服条件：
σ =σs
σ =
3 2 sθ + s r2 + s z2 2
[
]
σs
3
sθ = 0, s r = − s z = − sθ = 0 ⇒ σ 0 = σ θ
σs
3
σr =σ0 −
σ =σs
例1：已知一应力状态： σ 1 = 10 , σ 2 = 2 , σ 3 = − 5 . σ = 86 .5ε 已知一应力状态： 求： ε 1 , ε 2 , ε 3 材料为刚塑性
解：
Hencky — Iliushin 理论：刚塑性 理论：
ε ij =
3ε s ij 2σ
3 7 3ε 3ε s1 = ε1 = (σ 1 − σ 0 ) = 2 × 86 .5 10 − 3 = 0.133 2σ 2σ
F
p
σθ σz
F
若同时受轴向力F 若同时受轴向力F，材料的 σs 已知，欲保持直径不变只产生轴向伸长， 已知，欲保持直径不变只产生轴向伸长， 试求达到塑性状态时内压力和轴向力。 试求达到塑性状态时内压力和轴向力。
解： 直径不变： ε θ = 0 直径不变：
材料不可压缩： 材料不可压缩： ε θ + ε r + ε z = 0 F
e s ij = 2Ge ij
s ij = 2G ′e ij
σ =
3 s ij s ij 2
ε =
2 eij eij 3
s ij = 2G ′e ij
σ = 3G ′ε
G′ =
σ 3ε
2σ s ij = e ij 3ε
3ε eij = sij 2σ
2σ ex = sx 3ε 2σ ey = sy 3ε 2σ ez = sz 3ε
γ xy = γ yz =
τ xy
G
= =
2(1 + µ ) τ xy E 2(1 + µ ) τ yz E
τ yz
G
Θ = 3 Kθ
γ zx =
τ zx
G
=
2(1 + µ ) τ zx E
Hale Waihona Puke Baidu ε
x
ε
y
εz
1 σ x − µ σ y +σz E 1 σ y − µ (σ z + σ x = E 1 σz − µ σ x +σ y = E =
σ ij
强化材料
初始屈服面
后继屈服面
f (σ ij ) = 0
ϕ (σ ij , ha ) = 0
r dσ d σ ij
r n
d σ ij
d σ ij
ϕ (σ ij ) = 0
σ ij
o
∂ϕ ⋅ d σ ij > 0 ⇒ 加载 ∂ σ ij ∂ϕ ⋅ d σ ij < 0 ⇒ 卸载 ∂ σ ij
γ xy = γ yx = γ zx
3ε
σ
3ε
s xy s yz
σ 3ε s zx = σ
Hencky -Iliushin 理论
1 − 2ν ε kk = σ kk E 3ε e ij = s ij 2σ σ = Φ (ε )
Hencky — Iliushin 理论的应用： 理论的应用：
1. 已知应变分量求应力分量：
s ij = 2σ e ij 3ε
ε ij
e ij
s ij
σ ij
s1 , s 2 , s 3
2. 已知应力分量求应变分量：
σ ij
e ij =
σm
3ε s ij 2σ
s ij
ε1 ,ε 2,ε 3
e ij
比例变形与简单加载
简单加载的条件： 简单加载的条件： （1）外载荷按比例增加。 外载荷按比例增加。 （2）体积不可压缩。 体积不可压缩。 （3）应力与应变具有幂强化形式。 应力与应变具有幂强化形式。 （4）小变形。 小变形。
ε 2 = − 0.006
ε 3 = − 0.127
例2：薄壁圆筒，已知内半径为 R ，壁厚为 t ，承受内压为 p ， 薄壁圆筒， 试求完全进入塑性状态后主应变之比（材料不可压缩）。 试求完全进入塑性状态后主应变之比（材料不可压缩）。 p
σθ σz
解：
pR σθ = t pR σ0 = 2t pR sθ = 2t
σ = ϕ (ε )
σ = ϕ (ε )
应力强度与应变强度具有确定的关系，且可用单向拉伸实验 应力强度与应变强度具有确定的关系，且可用单向拉伸实验 结果确定出该函数关系。 结果确定出该函数关系。
σ = ϕ (ε )
σ = Eε
σ = ϕ (ε )
σ = Eε
σ = Aε m
σ =σs
σ = Aε m
[
(
)]
)]
εx =
[ [
(
)]
1 [(1 + µ )σ E 1 εy = ( 1 + µ )σ E 1 [(1 + µ )σ εz = E
x
− µΘ ]
[
y
− µΘ
]
z
− µΘ ]
εx −εm
1+ µ [σ x − σ m ] = E
1 1+ µ = sx ex = sx 2G E
1 1 = γ xy = τ xy 2 2G
3ε s ij ε ij = 2σ
pR σz = 2t
σr ≈ 0
F
p
σθ
F
sr = −
pR 2t
sz = 0
σz
3ε pR εθ = 2σ 2 t
εz = 0
3ε pR εr = − 2σ 2 t
ε θ : ε z : ε r = 1 : 0 : −1
若同时受轴向力F 若同时受轴向力F，材料的 σs 已知，欲保持直径不变只产 已知， 生轴向伸长，试求达到塑性状态时内压力和轴向力。 生轴向伸长，试求达到塑性状态时内压力和轴向力。
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E

[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
1 − 2µ σm) = E
Pn = tPn0
εm = 0
t>0
µ = 12
σ = Aε m
σ = Aε m
(ε m
单一曲线假设
在简单加载或偏离简单加载不太大的条件下， 在简单加载或偏离简单加载不太大的条件下，应力强度与 应变强度具有确定的关系，而且可以用单向拉伸曲线表示 用单向拉伸曲线表示， 应变强度具有确定的关系，而且可以用单向拉伸曲线表示， 与应力状态无关。 与应力状态无关。
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
弹性应力应变关系
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
σs
3
σθ = σ 0 +
第四章
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
ey =
1 sy 2G
ez =
1 sz 2G
1 τ zx 2G
e xy
e yz
1 = τ yz 2G
e zx =
偏量形式的广义胡克定律 量形式的广义胡克定律
ε kk
1 − 2ν = σ kk E
1 eij = sij 2G
2ε 2 − ε 1 − ε 3 2σ 2 − σ 1 − σ 3 = ε1 − ε 3 σ1 −σ3