(浙江专版)2019版高考数学大一轮复习第七章数列与数学归纳法第2节等差数列及其前n项和学案理

第2节 等差数列及其前n 项和

最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系．

知 识 梳 理

1．等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．

数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *

，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b

2

．

2．等差数列的通项公式与前n 项和公式

(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *

)． (2)等差数列的前n 项和公式

S n ＝n （a 1＋a n ）2

＝na 1＋n （n －1）2

d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．

3．等差数列的有关性质

已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *

)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .

(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当

d ＝0时，{a n }是常数列．

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *

)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

S n ＝d 2

n 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1－d 2n .

数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2

＋Bn (A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． [常用结论与微点提醒]

1．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列．

2．利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数．

诊 断 自 测

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *

，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )

(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )

(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 解析 (4)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数． (5)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数． 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×

2．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1

B ．0

C ．1

D ．6

解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B. 答案 B

3．(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪

⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，

得⎩

⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，

6a 1＋15d ＝48，解得d ＝4. 答案 C

4．(2018·宁波十校适应性考试)等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 21＝a 2

17，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是( ) A ．8或9 B ．9或10 C ．10或11

D ．11或12

解析 由题意知，a 1＝±a 17，又因为d ＜0，所以a 1＝－a 17，故a 1＝－8d ，a 9＝0，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －9)d ，当a n ≥0时，n ≤9，所以当n ＝8或9时，S n 取最大值． 答案 A

5．(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________． 解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 180

6．(2018·湖州调研)设等差数列{a n }的公差是d ，前n 项和是S n .若a 1＝1，a 5＝9，则公差d ＝______，S n ＝______． 解析 公差d ＝a 5－a 1

5－1

＝2，前n 项和S n ＝na 1＋

n （n －1）

2

d ＝n ＋n (n －1)＝n 2.

答案 2 n 2

考点一 等差数列基本量的运算

【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100

B ．99

C ．98

D ．97

(2)(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24

B ．－3

C ．3

D ．8

解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1，所以

a 100

＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. (2)等差数列中a 1＝1，根据题意得

a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2

＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，

解得d ＝－2，d ＝0(舍去)．

所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.

答案 (1)C (2)A