辽宁省鞍山市高考数学一轮复习：37 空间几何体的结构及其三视图和直观图
高考数学一轮总复习第7章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课件文
【变式训练 1】 锥；
以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆 ②以直角梯形 的一腰为 轴旋转一 周所得 的旋转体是 圆 台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( A．0 B ．1 C ．2 ) D ．3
解析
命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变， “三变” 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半， 图形改变 . 平行性不改变， “三不变” 与x， z轴平行的线段的长度不改变， 相对位置不改变 .
3．直观图与原图形面积的关系 2 S 直观图＝ S 4
原图形
(或 S
3． [2017· 宁德质检] 如图是正方体截去阴影部分所得的几 何体，则该几何体的侧视图是( )
解析
此几何体侧视图是从左边向右边看，故选 C.
π 4 ． [2015· 山 东 高 考 ] 在 梯 形 ABCD 中 ， ∠ ABC ＝ ， 2 AD∥BC，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的 直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( 2π A. 3 4π B. 3 5π C. 3 D ．2 π )
1．画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两轴相 交于点 O ′，且使∠x′O′ y′＝45° (或 135° )，已知图形中 平行于 x 轴的线段， 在直观图中仍平行于 x′轴， 长度不变 ____， 平行于 y 轴的线段仍平行于 y′轴，长度减半． _____
[ 解析 ]
A 错， 如图 1； B 正确， 如图 2， 其中底面 ABCD
高考一轮练习(7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图)
课时提升作业(四十二)一、选择题1.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱的母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中,真命题的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)12.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④3.(2013·沈阳模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )4.如图,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=错误！未找到引用源。
BB′=CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′的主视图是( )5.(2013·宁波模拟)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为( )(A)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
(B)2+错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
6.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图为( )7.(2013·西安模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图是( )(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④二、填空题8.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=错误！未找到引用源。
,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.9.(2013·临沂模拟)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是错误！未找到引用源。
高考数学一轮复习第八章立体几何第1节空间几何体的结构三视图直观图课件理
棱锥．(
)
(2)圆柱的侧面展开图是矩形．(
)
(3) 水 平 放 置 的 圆 柱 的 正 视 图 和 侧 视 图 均 为 全 等 的 矩
形．(
)
(4)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三
角形．(
)
(5)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯
形．(
)
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
个几何体为(
)
A．圆锥 C．三棱柱
B．三棱锥 D．三棱台
[解析] 根据俯视图与侧视图，可得该几何体为三棱柱． [答案] C
6.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体 积为 2 3，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧(左) 视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
[解析] 设棱柱的底面边长(侧棱长)为 a， 据题意，12a2×sin60°×a＝2 3，
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可
能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
(2)设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是 矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．
(1)圆柱可以由_矩_形____绕其任一边旋转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其_直__角_边_____旋转得 旋 到． 转 (3)圆台可以由直角梯形绕_直__角_腰____或等腰梯形 体 绕 _上__下_底__中_点__连__线_____ 旋 转 得 到 ， 也 可 由 __平__行_于__圆_锥__底_面________的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕_直__径___旋转得到.
高考数学第一轮复习08-空间几何体结构、三视图和直观图
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图2014高考会这样考1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.考查三视图、直观图及其应用．复习备考要这样做1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．[难点正本疑点清源]1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．3．三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．1．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________．(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．2．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体4．(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是()5. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是() 题型一空间几何体的结构特征例1设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3题型二几何体的三视图例2 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()题型三空间几何体的直观图例3已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．典例：(5分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．方法与技巧1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．失误与防范1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是() A．0 B．1 C．2 D．32．(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱3．(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()二、填空题(每小题5分，共15分)5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．6. 如图所示，E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________．(填序号)7．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.三、解答题(共22分)8．(10分)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．9．(12分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．02. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为()3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是() A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤二、填空题(每小题5分，共15分)4. 在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.5．用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．6. 如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．三、解答题7．(13分)已知正三棱锥V—ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。
高考数学一轮复习 第7章 第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图课件 新人教A版
直观图为如图 7－1－2 所示的一个正方形，则原来
的图形是( )
图7－1－2
【解析】 根据斜二测画法的规则知，选A.
【答案】 A
精选ppt
10
4．若某几何体的三视图如图 7－1－3 所示，则 这个几何体的直观图可以是( )
图7－1－3 【解析】 根据正视图与俯视图可排除A、C，根据侧视 图可排除D.故选B. 【答案】 B
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【思路点拨】 根据常见几何体的结构特征，借助于常见
的几何模型进行判断．
【尝试解答】 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在
底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不
是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角
形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B
错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，
精选ppt
3
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多 边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形．侧 棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多 边形的中心的棱锥叫做正棱锥，特别地，各棱均相等的正三棱锥 叫正四面体．反之，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的 射影是底面正多边形的中心．
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的
面积的关系：S
＝ 直观图
2 4S
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
精选ppt
7
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是
()
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
高考数学第一轮复习：《空间几何体的结构、三视图和直观图》
高考数学第一轮复习：《空间几何体的结构、三视图和直观图》新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.会画某些建筑物的三视图和直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸线条等不作严格要求)【教材导读】1．平行投影和中心投影的区别和联系？提示：中心投影与人们感官的视觉效果是一致的，它常用来进行绘画；平行投影中，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同．2.两面平行，其余各面都是平行四边形的几何体就是棱柱吗？提示：不是，其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行，如图几何体就不是棱柱．3．几何体三视图中的实线与虚线如何区分？提示：看得见的轮廓线和棱为实线，看不见的为虚线．4．怎样画物体的三视图和直观图？提示：三视图是利用物体的三个正投影来表示空间几何体的方法，利用平行投影画三视图；利用斜二测画法画几何体的直观图．1．多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台2.旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线圆锥直角三角形一直角边所在的直线圆台直角梯形直角腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称：①形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的；②名称：三视图包括正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法：①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线；②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、左前方、正上方观察几何体画出的轮廓线．4．空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．【重要结论】1．几何体的三视图中，正视图和侧视图的高相等，正视图和俯视图的长相等，侧视图与俯视图的宽相等，简记为正侧等高，正俯等长，侧俯等宽．2．平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．1．下列结论正确的是()(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D解析：A错误，如图(1)，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥．B错误，如图(2)(3)，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，则侧棱长必然要大于底面边长．D正确．2．一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()(A)AB∥CD (B)AB与CD相交(C)AB⊥CD (D)AB与CD所成的角为60°答案：D3．下图中的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的()答案：A4．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．2 5C ．3D ．2B 解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M ，N 的位置如图①所示．①②圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径．ON ＝14×16＝4，OM ＝2，∴ |MN |＝OM 2＋ON 2＝22＋42＝2 5. 故选B.5．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填上所有可能的几何体的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解析：四棱柱与圆柱的正视图不可能为三角形，三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥的正视图都有可能是三角形．答案：①②③⑤考点一 空间几何体的结构特征下列说法中正确的是( )(A)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 (B)用一个平面去截一个圆锥，可以得到一个圆台和一个圆锥 (C)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥(D)将一直角三角形绕其一条直角边旋转一周，所得圆锥的母线长等于斜边长解析：如图，可以判断A、C不正确；又圆台是用平行于底面的平面截圆锥所得，故B 也不正确．【反思归纳】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．【即时训练】底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E是侧棱AA1的中点，F是正方形ABCD的中心，则直线EF被球O所截得的线段长为________．解析：因为底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O 的表面上，所以球O的半径R＝1＋1＋42＝62，如图，设矩形ADD1A1的中心为Q，连接EQ，OQ，OE，OF，则EQ＝OQ＝12，OE＝14＋14＝22，在Rt△OEF中，OF＝1，EF＝1＋12＝62.设球心O 到EF 的距离为d ，则12×OE ×OF ＝12×EF ×d ，所以d ＝12×22×112×62＝33.所以直线EF 被球O 所截得的线段长为2R 2－d 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫622－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝423. 考点二 空间几何体的三视图考查角度1：根据几何体的结构特征确认其三视图．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，用过点A ，C ，E 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )A 解析：如图所示，取B 1C 1的中点F ，则EF ∥AC ，即平面ACFE 即平面ACE 截正方体所得的截面，据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A 所示．故选A.【反思归纳】 根据几何体确认三视图的方法(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．(2)对于简单组合体的三视图，首先要确认正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．考查角度2：根据三视图还原几何体的直观图．如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为1，则此几何体的体积为( )(A)83 (B)163 (C)4(D)203 B 解析：由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为2的正方体截去两个角所得的组合体，其直观图如下图所示：故组合体的体积V ＝23－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×2×2×2＝163.故选B.【反思归纳】 根据三视图还原几何体的策略 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉；(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图；(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．考查角度3：已知几何体的三视图中的某两视图，确定另外一种视图．一个长方体去掉一具小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C【反思归纳】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．考点三空间几何体的直观图如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为________．解析：建立如图所示的坐标系xOy″，△A′B′C′的顶点C′在y″轴上，边A′B′在x轴上，把y″轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin 45°，所以OC′＝sin 120°sin 45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC ＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.答案：6 2a2【反思归纳】用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．【即时训练】一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求该平面图形的面积．解析：直观图的面积S′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S＝S′24＝2＋ 2.忽略三视图中的虚实线而致误如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的某几何体的三视图，则这个几何体的体积为()(A)323 (B)403 (C)563(D)643C 解析：还原三视图可得几何体，如图所示，棱长为4的正方体被平面ABCD 截得的后面部分的几何体，其中B ，C 为棱的中点．如图连接DE ，BE ，则几何体的体积可分为三棱锥D －ABE 的四棱锥B －EFCD . V D －ABE ＝13×12×4×4×4＝323，V B －EFCD ＝13×(2＋4)×42×2＝243. 所以几何体的体积为323＋243＝563， 故选C.易错提醒：(1)此题在解答时，很容易根据已知侧视图，忽略了从前往后看，看不到棱BC ，侧视图中应该是虚线．(2)正视图、俯视图都是直角梯形，用正方体做模板去还原几何体，有利于少出现错误．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )(A)球(B)三棱锥(C)正方体(D)圆柱D解析：考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得．球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.2．下列命题中正确的是()(A)有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥(D)棱台各侧棱的延长线交于一点D解析：棱柱的结构特征有三个方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形所在面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．由此可知选项A，B均不正确；各面都是三角形的几何体并不一定是棱锥，如正八面体，故选项C不正确．棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面截去一部分得到的，故可知棱台各侧棱的延长线交于一点．故选D.3．如图(1)所示，在三棱锥D－ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ACD，∠ACB ＝90°.若其正视图、俯视图如图(2)所示，则其侧视图的面积为()(1)(2)(A)6(B)2(C) 3 (D) 2D解析：由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2，另一直角边的底面三角形ABC的边AB上的中线，其长度为2，则其侧视图的面积为S＝12×2×2＝2，故选D.4．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为()(A)32(B)327(C)64(D)647C解析：依题意，题中的几何体是三棱锥P－ABC(如图所示)，其中底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，P A⊥平面ABC，BC＝27，P A2＋y2＝102，(27)2＋P A2＝x2，因此xy＝x102－[x2－(27)2]＝x128－x2≤x2＋(128－x2)2＝64，当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64，选C.5．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()(A)2 2 (B)2(C)2 5 (D) 5A解析：由三视图知，该几何体是棱长为2的正方体截去两个角后得到的，几何体的直视图是多面体P ABCDEF，如图所示．易知其最长棱为正方体的一条面对角线，其长为22，故选A.6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是()(A)2 (B)92 (C)32(D)3C 解析：依题意，由三视图还原出原几何体的直观图如图所示，原几何体为四棱锥，且其底面积为12×2×(1＋2)＝3，高为x ，所以其体积V ＝13×3x ＝32，所以x ＝32.故选C.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧视图如图所示，那么此三棱柱正视图的面积为________．解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正视图是一个矩形，其中一边的长是侧视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3.答案：2 38．正三角形ABC的边长为4，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是________．解析：画出坐标系x′O′y′，作出△ABC的直观图△A′B′C′(如图所示)．易知O′A′＝12OA.所以S△A′B′C′＝12×22S△ABC＝24×34×42＝ 6.答案： 69．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱，其中正确命题的序号是________．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCDA1B1C1D1中的四面体ACB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．答案：①10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．如图，在四棱锥P ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝62(cm)．由正视图可知，AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62＝63(cm)．能力提升练(时间：15分钟)12．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()(A)8π＋2 (B)10π＋2 (C)6π＋2 (D)12π＋2A解析：由三视图可知，该几何体上面为半球，下面是一个圆柱去掉13个半圆柱，∴其表面积S＝12×4π×12＋π×1×3＋π×1×2＋π×12＋2×1＝8π＋2.故选A.13．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P －BCD的正视图与侧视图的面积之比为()(A)1∶1 (B)2∶1(C)2∶3 (D)3∶2A解析：根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A.14．如下图，点0为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为棱BB′的中点，点F为棱B′C′的中点，则空间四边形OEFD′在该正方体的面上的正投影不可能是()C解析：由题意知光线从上向下照射，得到B，光线从前向后照射，得到A光线从左向右照射得到D故选C.15．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，从两个角度观察得到的图形如图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是________块．解析：由主观图知几何体有三层由俯视图知底层有7个小正方体，中间一层至少2个，最上层最少1个，搭该几何体至少需要10个小正方体．答案：1016．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm3.解析：根据几何体的三视图，得：该几何体是上部为四棱锥，下部为半个圆柱的组合体，四棱锥的高为2，底面矩形的宽为2，长为4，圆柱的高为4，底面半径为1∴该组合体的体积为V ＝13×2×4×2＋12×π×12×4＝163＋2π.答案：163＋2π.。
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辽宁省鞍山市高考数学一轮复习：37 空间几何体的结构及其三视图和直观图
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共13题；共26分)
1. （2分）一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）在斜二测画法，圆的直观图是椭圆，则这个椭圆的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2019高二上·定远期中) 已知底面为正方形，侧棱相等的四棱锥S－ABCD的直观图和正视图如图所示，则其侧视图的面积为（）
A .
B .
C . 2
D . 2
4. （2分）用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（）
A . 2 倍
B . 2倍
C . 倍
D . 倍
5. （2分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A . 8
B . 12
C .
D .
6. （2分） (2016高二上·包头期中) 利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是（）
A . ①②
B . ①
C . ③④
D . ①②③④
7. （2分） (2016高二上·镇雄期中) 如图所示的圆锥的俯视图为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则原梯形的面积为（）
A . 2
B .
C . 2
D . 4
9. （2分） (2018高二上·铜梁月考) 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图
(如图所示)，其中，，，则直角梯形边的长度是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2018高三上·丰台期末) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）
A . 2
B .
C .
D . 3
11. （2分） (2017高二上·汕头月考) 如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）
A . 6 cm
B . 8 cm
C . (2＋3 ) cm
D . (2＋2 ) cm
12. （2分）(2018·凯里模拟) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
13. （2分）(2017·福州模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线和虚线画出的是某四面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）
A . 2
B . 4
C . 6
D . 4
二、填空题 (共4题；共4分)
14. （1分） (2018高二上·佛山月考) 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直
角梯形(如图),，，，，则这块菜地的面积为________．
15. （1分）一个正方体内接于一个高为，底面半径为1的圆锥，则正方体的棱长为________
16. （1分） (2016高一上·清远期末) 图是某个圆锥的三视图，根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．
17. （1分） (2018高二上·遵义月考) 正三角形ABC的边长为，那么△ABC的平面直观图△ 的面积为________.
三、解答题 (共2题；共10分)
18. （5分）用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
19. （5分） (2018高二上·万州月考) 如图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为4cm的正三角形、俯视图中正方形的边长为4cm，
（1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤）；（2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少；（3）求出这个几何体的表面积。
参考答案一、单选题 (共13题；共26分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共2题；共10分)
18-1、
19-1、
19-2、
19-3、。