1987~2013武汉大学数学分析考研试题

武汉大学数学分析19921．给定数列如下：}{n x 00>x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=−+11)1(1k n n n x a x k k x ，",2,1,0=n （1）证明数列收敛。

}{n x （2）求出其极限值。

2．设函数定义在区间)(x f I 上，试对“函数在)(x f I 上不一致连续”的含义作一肯定语气的（即不用否定词的）叙述，并且证明：函数在区间x x ln ),0(+∞上不一致连续。

3．设函数在区间上严格递增且连续，)(x f ],0[a 0)0(=f ，为的反函数，试证明成立等式：。

)(x g )(x f []x x g a x x f a f a d )(d )()(00∫∫−=4．给定级数∑+∞=+01n nn x 。

（1）求它的和函数。

)(x S （2）证明广义积分x x S d )(10∫收敛，交写出它的值。

5．对于函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x y x y x f ，证明：（1）处处对),(y x f x ，对可导；y （2）偏导函数，有界；),(y x f x ′),(y x f y ′（3）在点不可微。

),(y x f )0,0(（4）一阶偏导函数，中至少有一个在点不连续。

),(y x f x ′),(y x f y ′)0,0(6．计算下列积分：（1）x x x x a b d ln 10−∫，其中为常数，b a ,b a <<0。

（2），其中为平面上由直线∫∫−D y y x e d d 2D x y =及曲线31x y =围成的有界闭区域。

武汉大学数学分析19941．设正无穷大数列（即对于任意正数}{n x M ，存在自然数，当时，成立），N N n >M x n >E 为的一切项组成的数集。

试证必存在自然数}{n x p ，使得E x p inf =。

2．设函数在点的某空心邻域内有定义，对于任意以为极限且含于的数列，极限都存在（有限数）。

)(x f 0x 0U 0x 0U }{n x )(lim n n x f ∞→（1）试证：相对于一切满足上述条件的数列来说，数列的极限是唯一确定的，即如果和是任意两个以为极限且含于的数列，那么总有 }{n x )}({n x f }{n x }{n x ′0x 0U )(lim )(lim n n n n x f x f ′=∞→∞→。

（2）记（1）中的唯一确定的极限为，试证：)}({n x f A A x f x x =→)(lim 0。

3．设函数在点的邻域)(x f 0x I 内有定义，证明：导数)(0x f ′存在的充要条件是存在这样的函数，它在)(x g I 内有定义，在点连续，且使得在0x I 内成立等式：)()()()(00x g x x x f x f −+=，又这时还有)()(00x g x f =′。

4．已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的。

现假设有一函数，在区间上有定义，有界（存在正数)(x f ],[b a M ，],[b a x ∈∀，有M x f <)(）；有唯一间断点（在其余点连续）。

试根据函数可积条件证明函数在可积。

a )(x f )(x f ],[b a 5．给定幂级数""+−⋅++⋅+⋅)1(231232n n x x x n（1）确定它的收敛半径和收敛区间；（2）求它的和函数。

)(x S 6．计算线积分()y x y e x y xe I x x C d cos d )sin 2(422++−=−−∫+，其中是从点到点的半圆+C )0,1(A )0,1(−B 21x y −=（11≤≤−x ）。

武汉大学数学分析19951．设上无界，证明存在子序列，使得}{n a }{k n a +∞→k n a （当+∞→k ）2．证明：。

1d lim 10=∫+∞→x e nx n 3．设在上连续，证明：)(x f ]1,0[[]210d )(21d d )()1(x x f y x x f y f D∫∫∫=−。

其中为三角形区域，，。

D )0,0(O )1,0(A )0,1(B 4．计算下列积分：∫−+−+−L y z x x y z z x y d )(d )(d )(。

其中平面与三坐标平面的交线，其方向为从看，曲线是逆时针方向。

L 1=++z y x )1,1,1(L 5．判断级数∑+∞=⋅−1)1(n n n n n 是否绝对收敛，条件收敛，为什么？6．设二元函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1cos )(),(22222222y x y x y x y x y x f 。

（1）求，。

)0,0(x f )0,0(y f （2）证明，在不连续。

),(y x f x ),(y x f y )0,0(（3）证明：在可微。

),(y x f )0,0(7．设对任意自然数n ，在)(x f n [)+∞,a 上连续，且反常积分x x f n a d )(∫+∞关于n 一致收敛，又对任意，在上有（当a M >],[M a )()(x f x f n →→+∞→n ），证明： （1）反常积分收敛。

x x f a d )(∫+∞（2）。

x x f x x f a n a n d )(d )(lim ∫∫+∞+∞+∞→=8．设证，问)|sin(|),(3y x y y x F +=（1）在附近是否满足)0,0(0),(=y x F 的隐函数存在定理条件？（2）在附近关于是否严格单调？)0,0(),(y x F y （3）在附近，是否存在过在的唯一连续隐函数？为什么？)0,0()0,0(（3）若存在隐函数过点，问其导函数为何？)0,0(武汉大学数学分析19961．设)(+∞→→n a a n ，令⎩⎨⎧≤>=+0,00,n n n na a a a ， ⎩⎨⎧≤>=0,00,a a a a 证明：。

)(+∞→→++n a a n 2．设，在可微，且A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00),(y x g ),(00y x 0),(00=y x g 。

证明：（1）α+=A y x f ),(，()20200)()()(y y x x o x x −+−=−α，（）； ),(),(00y x y x →（2）在可微。

),(),(y x g y x f z =),(00y x 3．设当，，],[b a x ∈0)(≥x f 0/)(≡x f ，且在上连续，证明：。

)(x f ],[b a 0d )(>∫x x f b a 4．给定级数n n x n n )(!)!2(!)!12(1−−∑∞=，证明： （1）121!)!2(!)!12(+<−n n n ； （2）此级数的收敛域为(；]1,1−（3）在是此级数不一致收敛。

(]1,1−5．设)(x ϕ，是连续函数，且有，当时)(x f 0>R R x ≥||0)(=x ϕ，证明：（1）当时有∞→n )0()()(f x n x f x ϕϕ→→⎟⎠⎞⎜⎝⎛，+∞<<∞−x 。

（2）若还有，则1d )(=∫+∞∞−x x ϕ)0(d )()(lim f x x f nx n n =∫+∞∞−+∞→ϕ。

5．计算积分，其中是椭球面y x xyz S d d ∫∫S 1222222=++cz b y a x 在，部分并取其外侧，（）0≥x 0≥y 0,0,0>>>c b a武汉大学数学分析19971．设且不趋于，证明数列中存在子序列是收敛的子序列。

0>n a n a ∞+}{n a }{k n a 2．设为连续函数，且)(x f {}],[0)(b a x f x ⊂≠，+∞<|||,|b a ，证明： 0d )(1lim=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∫+∞∞−+∞→y y f n y f n 。

3．设为连续函数，且当),(y x f )0,0(),(≠y x 时，，及满足，。

证明存在0),(>y x f ),(),(y x cf cy cx f =0>∀c 0,>βα，使得2222),(y x y x f y x +≤≤+βα。

4．设有二阶连续偏导数，),,,(z y x t u u =Ω为空间的一有界闭集，它有光滑边界，处的单位外法向矢量为，证明：),,(z y x Ω∂Ω∂νz y x u t S u t u z y x u t u d d d d d 21d d d d 2(∫∫∫∫∫∫∫∫ΩΩΩ∂∇−∂∂⋅∂∂=∆⋅∂∂ν外侧） 其中222222z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇z u y u x u u ,, 5．设{}在上有定义，满足一致Lipschitz 条件： )(x f n ],[b ax x N x f x f n n ′−⋅≤′−)()(，N ∈∀n ，],[,b a x x ∈′∀其中为一常数，且逐点有（当0>N )()(x f x f n →+∞→n ）。

证明：（1）在上连续。

)(x f ],[b a （2）)()(x f x f n →。

6．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(),(22y x y x y x y x g y x f ，证明（1）若，0)0,0(=g g 在可微，且)0,0(0)0,0(d =g ，则在可微，且。

f )0,0(0)0,0(d =f （2）若g 在可导，且在可微，则)0,0(f )0,0(0)0,0(d =f 。

武汉大学数学分析1998 1．设数列有一子序列}{n a {}k n a 收敛，且{}{}n n a a k 2∩及{}{}12+∩n n a a k 都有无穷多元，而及{都为单调数列，问是否收敛？为什么？{}n a 2}12+n a }{n a 2．设在上满足Lipschitz 条件，即存在，对任意有)(x f [)+∞,00>m [)+∞∈′′′,0,x x x x m x f x f ′′−′≤′′−′)()(，证明（)(αx f 10<<α为常数）在[)+∞,0上一致连续。

3．证明：0d 1lim 10=+∫∞→x xx nn 。

4．设331)(xn x x f n +=，，证明： [)+∞∈,0x （1）0→n f ，[)+∞∈,0x ；（2）。

0)d (lim 0=∫+∞∞→x x f n n 5．设收敛，证明∑∞=12n n a ∑∞=1ln n n n n a 收敛（） 0>n a 6．证明函数方程在0)|sin(|tan 3=+y x y ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∈4,4ππx 内有唯一隐函数解。