信号与系统实验讲义正文2012.3.28

实验一 信号的分解与合成

一、实验目的

1．了解非正弦周期信号分解与合成原理；

2．观察方波信号的分解，观测基波与各次谐波的合成； 3．掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法；

4．用同时分析法观测方波信号的频谱，并与其傅里叶级数的各项频率的系数作比较。

二、实验仪器设备

信号与系统实验箱、双踪示波器。

三、预习练习

课前认真阅读教材中周期信号傅里叶级数的分解以及如何将各次谐波进行叠加。

四、实验原理

1．周期信号傅里叶分析的数学基础

信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。任何一个满足狄利克雷条件的周期为T 的函数

()f t 都可以表示为傅里叶级数

∑∞

=Ω+Ω+=1

0)s i n c o s ()(n n n t n b t n a a t f （1-1）

其中： 202

2()d T

T a f t t

T -=⎰ 22

2

()cos d T

n T a f t n t t

T -=Ω⎰

22

2()sin d T

n T b f t n t t

T -=Ω⎰

式（1-1）中，0a 为常数，相当于信号的直流分量；Ω为角频率，称为基频；n a 和

n b 称为第n 次谐波的幅值，

1

1cos sin a t b t Ω+Ω称为基波分量，cos sin n n a n t b n t Ω+Ω称为n 次谐波分量，1n >。

任何信号都是由各种不同频率、幅度和初相的正弦波叠加而成的。对周期信号

由它的傅里叶级数展开式可知，信号

()f t 是由直流分量和许多余弦（或正弦）分

量组成，各次谐波的频率为基波频率的整数倍。而非周期信号包含了从零到无穷大的所有频率成分，每一频率成分的幅度均趋向于无穷小，但其相对大小是不相同的。

由上式可知，任何周期信号都可以表示为无限多次谐波的叠加，谐波次数越高，振幅越小，它对叠加的贡献就越小，当小至一定程度时（如谐波振幅小于基波振幅的5%），则高次的谐波就可以忽略而变成有限次谐波的叠加。

周期为T ，幅值为m u 的方波的傅里叶级数展开式为

4111()sin sin 3sin 5sin 35m u f t t t t n t n π⎡⎤

=

Ω+Ω+Ω++Ω+⎢⎥⎣⎦ （1-2）

2．实验装置的结构图

在本实验中采用同时分析法进行非周期正弦信号的频谱分析，50Hz 非正弦周期信号的分解与合成实验模块的结构图如图1-1所示，其中LPF 为低通滤波器，可分解出非正弦周期信号的直流分量；BPF 1～BPF6为调谐在基波、二次谐波、三次谐波、四次谐波、五次谐波和六次谐波上的带通滤波器；加法器用于信号的合成。

图1-1 实验结构图

同时分析法的基本工作原理是采用多个带通滤波器（见图1-1中的BPF1～BPF6），把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上。当被测信号同时

加到所有滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。在被测信号发生的实际时间内可以同时测得信号所包含的各频率分量。

3．周期信号的分解

通过一个选频网络可以将电信号中所包含的某一频率成分提取出来。本实验采用最简单的选频网络，是一个LC谐振回路。将被测信号加到分别调谐于基波和各次谐波频率的一系列并联谐振回路串联而成的电路上，从每一谐振回路两端可以用示波器观察到相应频率的正弦波形。若有一个谐振回路既不谐振于基波又不谐振于各次谐波，则观察不到任何波形。

若被测信号是50Hz的方波，由傅里叶级数展开式可知，L1C1谐振于50Hz；L3C3谐振于150Hz；L5C5谐振于250Hz；L7C7谐振于350Hz；L9C9谐振于450Hz；则一定能从各谐波回路两端观察到基波或各奇次谐波的波形。在理想的情况下，各次谐波幅度比例为1׃（1/3）׃（1/5）׃（1/7）׃（1/9），各次谐波频率比例为1׃3׃5׃7׃9。

4．谐波的合成

由若干频率、振幅和初相各不相同的正弦波可以合成各种非正弦波形。如将频率为50Hz、150Hz、250Hz、350Hz、450Hz……幅度比为1׃（1/3）׃（1/5）׃（1/7）׃（1/9）……等一系列正弦波形叠加可以合成一个方波。若相叠加的正弦波信号的频率和幅度发生变化，则合成后的信号波形也随之变化。值得注意的是，若两个相叠加的信号频率和幅度都不变，仅是初相角发生变化，则其合成后的信号波形也大不一样。

五、实验内容及步聚

1．调节函数信号发生器，使其输出频率为50Hz、幅值为1v的方波。将其接至该实验模块的输入端，再细调函数信号发生器的输出频率，使该模块的基波50Hz 成分BPF的输出为最大。然后，将各滤波器的输出分别接至示波器或交流数字毫伏表，观测直流分量和各次谐波的波形、频率和幅度（或有效值），并记录在下表1-1中。

根据实验测量所得的数据，在同一坐标平面上绘制方波及其基波、三次谐波和五次谐波的波形（频率和幅度要注意比例关系）。

2．完成方波的分解后，将方波分解所得的基波和三次谐波分量接至加法器的

输入端，观测基波和三次谐波合成后的波形，并将方波和基波、三次谐波的合成波形绘制在同一坐标平面上。

3．在步聚2的基础上，再将五次谐波分量接至加法器的输入端，观测基波、三次谐波和五次谐波合成后的波形，并将方波和基波、三次谐波、五次谐波的合成波形绘制在同一坐标平面上。

4．（选做）分别将50Hz正弦半波、全波、矩形波和三角波的输出信号接至信号的分解与合成实验模块的输入端，观测各次谐波的幅值、波形和加法器的输出波形。

六、思考题

1．方波信号在哪些谐波分量上幅度为零？

2．什么样的周期性函数没有直流分量和余弦项？

七、实验报告要求

1．按要求记录各实验数据，填写表1-1。

2．根据实验测量所得的数据，在同一坐标平面上绘制方波及其基波、三次谐波和五次谐波的波形（要求标出各个波形的幅值，频率和幅度要注意比例关系）。

3．将方波和基波、三次谐波的合成波形绘制在同一坐标平面上。

4．将方波和基波、三次谐波、五次谐波的合成波形绘制在同一坐标平面上。

5．分析理论合成波形与实验测到的合成波形之间误差产生的原因。

6．回答思考题，并对实验进行总结，写结论及体会。