抛物线中三角形的面积.ppt

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2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(二)》ppt

x1,3，x2 三个数构成等差数列，则线段|AB|的长为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
答案
高考一轮总复习•数学
第23页
解析：如图，设准线 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作准线 l 的垂线 AD，
交 l 于点 D．由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝4.因为点 F 是线段 AC 的中点，
所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以 2p＝4，解得 p＝2.所以抛物线的方程为 y2＝4x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以 x1＝3，所以 A(3,2 3)．又 F(1,0)，所以 kAF＝32－31＝ 3，所以直线 AF 的方程为 y＝ 3(x－1)，将此方程与抛物线方程 y2＝4x 联立后消去 y 并整理，得 3x2－10x＋3＝0，所以 x1＋x2＝130，所以|AB|＝x1 ＋x2＋p＝130＋2＝136.故选 C．
y1y＝px1＋x→过A的切线，由yy221y＝＝2ppxx12，＋x→过B的切线，
y22＝2px2，
得两切线交点 Qy21py2，y1＋2 y2，又由 y1y2＝－p2 知 xQ
＝－p2，即 Q 点轨迹方程为准线 x＝－p2. 易验证 kQA·kQB＝－1，即 QA⊥QB．
高考一轮总复习•数学
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
直线与抛物线的位置关系联立yy2＝＝k2xp＋x，m，得 k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①相切：k≠0，Δ＝0； ②相交：k≠0，Δ>0 或 k＝0； ③相离：k≠0，Δ<0.
高考一轮总复习•数学
第6页

探究抛物线中三角形面积求法

★探究抛物线中三角形面积求法OK 1.欢迎指导2、3、4、5、6、7、8、9、10.感谢各位专家和老师11.谢谢指导 12、冲向中考：答案（1）y=-21x 2+25x-2 ；(2)设D(m ，-0.5m 2+2.5m-2)，作DH ⊥OX 轴于点H 则①当0≤m ≤1时S △DCA =-m 2+4m(=S △OAC －S △DHC －S 梯形OADH )；②当1≤m ≤4时S △DCA =-m 2+4m(=S △OAC －S △DHC +S 梯形OADH )；当m=2时S △DCA 最大=4；此时D(2,1) 13、解：由y=2x 及y=x 2-2x+3解得x=1,y=2及x=3,y=6.∴A(1,2)，B(3,6)又C(0,3)，分别作AH ⊥OX,BM ⊥OX 于H,M 点，S △ABC ==S 梯形OCBM - S 梯形OCAH -S 梯形HABM =227-25-8=314、15、16、Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上。

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。

（2）有一点D坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC与点E。

①当△BDE是等腰三角形时，求此时E点坐标。

（要过程）②又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由；解（1）∵△ABC为Rt△∴∠1＋∠2=90°又由ox⊥oy∴∠1＋∠3=90°∴∠1=∠3在△AOC △ACB中∠1=∠1，∠2=∠3∴△AOC∽△ACB∴OA:AC=OC:BC=AC:AB∴AC2=5OA又在Rt△AOC中OA2+OC2=AC2∴OA2+4=5OA∴OA2-5OA +4=0∴OA=4或OA=1∵OA＜OB∴A(-1,0),B(4,0) ∴OA=1，OB=4。

双曲线抛物线焦点三角形面积公式

双曲线抛物线焦点三角形面积公式1. 概述双曲线和抛物线是数学中常见的曲线类型，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

而三角形则是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质和面积公式对于理解空间形态和解决实际问题都具有重要意义。

本文将结合双曲线和抛物线的性质，推导出利用焦点和顶点坐标计算三角形面积的公式。

2. 双曲线和抛物线的定义双曲线是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上两条直线L1和L2，满足这两条直线的距离的差是一个常数，且常数小于0，那么平面上的点P(x, y)满足L1到P点的距离减去L2到P点的距离等于一个常数。

而抛物线则是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上的一个点P(x, y)和一条直线L，使得点P到直线L的距离等于点P到定点F的距离。

其中，定点F称为焦点。

3. 双曲线和抛物线的焦点性质双曲线和抛物线都具有焦点的性质，利用这一性质可以推导出三角形的面积公式。

对于双曲线而言，对于平面上的两点A和B，满足A点到焦点的距离减去B点到焦点的距离等于一个常数。

而对于抛物线而言，对于平面上的三点A、B和C，满足A点到焦点的距离等于B点到焦点的距离等于C点到焦点的距离，并且这个距离等于直线L到焦点的距离。

4. 根据焦点坐标计算三角形面积公式根据双曲线和抛物线的焦点性质，我们可以推导出利用焦点和顶点坐标计算三角形面积的公式。

以双曲线为例，假设A(x1, y1), B(x2, y2)为双曲线上的两个点，F(p, q)为焦点坐标，则三角形FAB的面积可以表示为S = |(x1 - p)(y2 - q) - (x2 - p)(y1 - q)|而以抛物线为例，假设A(x1, y1), B(x2, y2),C(x3, y3)为抛物线上的三个点，F(p, q)为焦点坐标，则三角形ABC的面积可以表示为S = |x1(y2 - y3)+x2(y3 - y1)+x3(y1 - y2)|/25. 应用举例通过以上公式，我们可以快速、准确地计算双曲线和抛物线上任意三角形的面积。

第五讲+抛物线中三角形的面积问题

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

三角形标准二次抛物线的面积形心公式必须牢记

Ai
第6章
6.3 结构位移计算的一般公式单位荷载法
一、虚功方程的意义及应用
[uN
vQ
m
]BI AI

(i)
(i)
BI ( pu qv m)ds
Ai
BI (N Q M )ds ( i ) Ai
1、意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的乘积。
第6章
4、上述各种位移统称为“广义位移”。与广义位移相对应的力称为“广义力”。
二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600。
2、计算超静定结构必须考虑位移条件。
3、施工技术的需要。
P
P
P
P
P
P/2
P/2
c
c CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。
复习思考
（1）图乘法的适用条件是什么？
（2）图乘法的公式是怎样的？说明各符号的物理意义。如何图乘？
（3）使用图乘法时应注意什么问题？
第6章
图乘法应满足的条件 1、杆件为等截面直杆。 2、EI为常数。 3、MK、MP图形中至少有一个为直线图形。
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第6章
图乘法公式及其物理意义
ห้องสมุดไป่ตู้
y
MP(x)
d
dx
T P
4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：
（1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，它应满足静力平衡条件。
（2）虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，它应满足变形协调条。
第6章
二、变形杆件体系的虚功方程
“杆件AB处于一静力可能的力状态，设另有一与其无关的几何可能的位移状态，则前者的外力由于后者的位移所做的虚外功T等于前者的切割面内力由于后者的变形所作的虚变形功V”。

抛物线焦点三角形面积公式及推导

抛物线焦点三角形面积公式及推导抛物线焦点三角形是指以一条抛物线为边的三角形，其中焦点为顶点，两边切线交于顶点的角度相等。

根据抛物线的特性，可知：在抛物线上，任一点P到焦点F距离的平方等于点P到直线l（抛物线的准线）的距离，即PF²=PL²。

因此，可以推导出抛物线焦点三角形面积的公式为：
S=1/2*AF*BF*sin(θ)
其中，A、B为三角形的底边两个顶点，F为顶点，θ为底边两条切线夹角的一半。

推导过程如下：
由于具体证明的过程较为复杂，此处不再赘述，请有兴趣的读者自行查询相关资料。

总之，通过上述公式，就可以求解出抛物线焦点三角形的面积了。

抛物线阿基米德三角形面积

抛物线阿基米德三角形面积在几何学中，抛物线阿基米德三角形是一个有趣的形状，它与抛物线的性质密切相关。

本文将探讨如何计算抛物线阿基米德三角形的面积，以及这个形状的一些特点。

首先，让我们来了解一下什么是抛物线阿基米德三角形。

它由一条抛物线和两条直线组成，具有以下特征：抛物线的焦点位于椭圆的中心，两条直线从焦点出发，分别与抛物线相交于两个不同的点，然后再相交于一个顶点。

这个顶点就是抛物线阿基米德三角形的顶点。

要计算抛物线阿基米德三角形的面积，我们可以使用以下公式：面积=底边长度×高÷2。

底边长度可以通过计算两条直线的交点之间的距离获得，而高则可以通过计算顶点到底边的垂直距离来确定。

为了更好地理解这个公式，让我们通过一个具体的例子来计算抛物线阿基米德三角形的面积。

假设我们有一个抛物线阿基米德三角形，其底边长度为10个单位，高为6个单位。

那么根据公式，面积=10×6÷2=30个单位。

除了计算面积，抛物线阿基米德三角形还具有其他一些有趣的性质。

例如，它的底边和顶点之间的距离是一个常数，这意味着无论抛物线的形状如何变化，这个距离始终保持不变。

此外，抛物线阿基米德三角形也满足相似三角形的性质，即其两个底角之和等于顶角。

总结一下，抛物线阿基米德三角形是一个由抛物线和两条直线组成的形状。

要计算其面积，我们可以使用底边长度乘以高再除以2的公式。

除了面积，抛物线阿基米德三角形还具有其他一些有趣的性质，如底边和顶点之间的距离恒定以及满足相似三角形的性质。

希望本文对您对抛物线阿基米德三角形有所帮助，并且不包含任何会对阅读体验产生负面影响的元素。

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《构建模型,一题多解》---抛物线中动点三角形的最大面积问题

构建模型一题多解
——抛物线中动点三角形的最大面积问题
例、已知如图，二次函数 y -x2 2x 3，和x轴交于点A、B 两点（点A在左边），与y轴交于点C
（1）求直线BC的解析式；
（2）若D为直线BC上方二次函数图象上的一个点，当点D
运动到什么位置时，△BCD的面积最大，求出此时点D的坐标和△BCD的最大面积。
Bx
yD
C E
Ao
（3,0）
Bx
小结：
1、重视归纳整理，提炼模型； 2、敢于一题多解，拓展思维；
解法一构建函数模型解法二巧用几何模型 3、巧用化归思想，事半功倍。
y
C
（0,3）
Ao
（3,0）
Bx
S S S A 铅垂高
ABC
ABD
ACD
C
h
h2
C
1 2
AD h1
1 2Biblioteka ADh2D
B
B
h1
a
1 AD (h h )
2
1
2
a
1
ah
2
水平宽
铅垂高法
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
解：（构建二次函数模型）
作DE∥y轴，交BC于点E,
设D（m, m2 2m 3), 则E（m,-m+3)（0<m<3）
DE (m2 2m 3) (m 3) m2 3m
SBCD SDCE SDBE = 1 DE OB 2
= 1 3 (m2 3m) 2
yD
=- 3 m2 9 m 22
（0,3）C
当m b 3 时， 2a 2
SBCD最大
=
27 8
，此时D(

抛物线与三角形的面积问题：两定点和一动点

个性化辅导授课案授课目的与考点分析：两定点、一动点的有关面积和最短距离问题授课内容：1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A （-4,0）B （0，-4）C （2,0）三点。

（1）求抛物线的解析式（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数式，并求出S 的最大值。

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．42246105510CBAOM2、（本题14分）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线2=上．y ax(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2) 水平平移抛物线2=，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)y ax是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．4、如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B.(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CABS ；(3)是否存在一点P ，使S △PAB=89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图12-2xCOy ABD1 1。

抛物线焦点弦三角形的面积(抛物线的弦相关的问题)

抛物线焦点弦三角形的面积本内容主要研究抛物线焦点弦三角形的面积.以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，称为抛物线的焦点弦三角形.给出三种抛物线焦点弦三角形的面积公式，根据已知条件合理选择.例：过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322 D.22解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),因为|AF |=3,所以x 1+1=3,x 1=2,代入抛物线方程得122y =,故A (2,22),所以直线AB 的方程为22(1)=-y x ,由22220,4x y y x⎧--=⎪⎨=⎪⎩得2240y --=. 所以122y y +y 1y 2=－4,则22121219||1()[()4]222AB y y y y ⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦.又可求得圆点O 到直线AB 的距离为223,故△AOB 的面积为1922322222S =⨯⨯=.[一题多解]设∠AFx =θ(0<θ<π)及|BF |=m ,则点A 到准线l :x =－1的距离为3,得1323cos cos 3θθ=+⇔=,又 232cos()1cos 2,=+π-⇔===+m m BF m m θθ,△AOB 的面积为113||||sin 1(3)22233S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 答案：C注意：前法是解决此类问题的通法,一般通过求弦长和点到直线的距离进行求解,后法则有一定的技巧性.整理：B AOF过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,且11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点.则△AOB 的面积为(1)121||||2S OF y y =⨯⨯-=; (2) 1||2=⨯⨯S AB d ,d 为点O 到直线AB 的距离; (3)11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅其中∠AFx =θ(0<θ<π).再看一个例题：例：设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0), ∠AFx =60°所以直线AB 的方程为3(1)=-y x ,由23(1),4⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x得231020-+=x x . 所以12103x x +=,则1216||3AB x x p =++=. 又11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅ 故△AOB 的面积为116341=32323∆=⨯⨯⨯OAB S总结：1.根据已知条件合理选择我三种抛物线焦点弦三角形的面积公式.2.掌握抛物线的焦点弦长计算方法.练习：1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,焦点为F (1,0),经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程;(Ⅱ)若△AOB 的面积为4,求|AB |.2. 设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )C.6332D.943. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,当A 点坐标为(3,y 0)时,△AEF 为正三角形,则此时△OAB 的面积为( )A.4C.3D.3。

抛物线的焦半径、焦点弦、焦点三角形面积的夹角公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2、掌握抛物线焦点三角形面积公式夹角式 .
学习重难点：
重点：理解公式的推导过程&识记结论并解决相关问题.
难点：公式的灵活使用.
思&议
问题1：如图所示，过抛物线 2 = 2 > 0 的焦点的直线交抛物线于
, 两点(其中点位于轴上方)，若该直线的倾斜角为. 试用, 表示：
1 焦半径和；
2 焦点弦长；
3 焦点三角形面积△ .
思&议
问题2：由问题1的结果，你能进一步用, 表示下面的量吗？
4
1

+
1

； 5

； 6
∙ .
思&议
问题3：如图所示， , 为抛物线 = > 的两条互相垂直
的焦点弦，由问题1的结果，你能用表示出
圆锥曲线的方程
微专题 — 抛物线的焦半径、焦点弦、焦点三角形面积的夹角公式
引
以开口朝右的抛物线: = > 为例，前面我们学习过
抛物线焦半径、焦点弦的坐标公式：
= +

；

= +

；

= + + .
也学习过抛物线焦点三角形面积的坐标公式：△ =

=
；
1+
2
= 2 ；

2
△ =
；
2
1
1
2
+
= ；

1+
=
；

1−
2
∙ = 2 .

8
1

抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略

抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题是很多数学教师都会遇到的问题。

求得抛物线中三角形面
积最大值，就先要分析抛物线的基本参数，因为抛物线是一种比较复杂的曲线，需要对其
有一定的了解才可以解答此问题。

抛物线的标准方程为y=ax2+bx+c，a为抛物线的系数，a>0，抛物线呈转弯向上，a<0，呈
转弯向下；b表示抛物线的开口方向，b>0，表示开口向右，b<0，表示开口向左。

因此，
得知抛物线在某一瞬间的顶点位置，以及抛物线的开口位置，就可以求出抛物线上三角形
的端点位置。

在定位了三角形端点位置后，只需要利用海伦公式就可以求出三角形面积：S=√[p(p-
a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，a,b,c分别为三角形的三边长。

最后，把求的所有的三角形面积按从大到小排列，那么最大的面积就是抛物线中三角形面
积最大值了。

抛物线中三角形面积最大值问题，要求求解者要完全把握和理解方程抛物线的特征，以及
三角形的基本定义，之后再结合海伦公式求出最大面积。

海伦公式和抛物线方程是相结合，那么广大教师和学生并不必对此感到困惑，只需要把这两个概念理解深入，就能在一定的
时间内得出满意的答案。

抛物线焦点三角形面积公式二级结论

抛物线焦点三角形面积公式二级结论好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习数学的过程中，抛物线可是个常客。

而其中关于抛物线焦点三角形面积公式的二级结论，那更是隐藏在知识丛林中的宝藏。

先来说说什么是抛物线焦点三角形。

它呀，就是以抛物线的焦点和抛物线上的两点为顶点组成的三角形。

这听起来有点抽象，咱们举个例子。

就像有一次，我在课堂上讲这个知识点，看到同学们一脸懵的样子，我就决定用一个简单的例子来帮大家理解。

假设抛物线方程是 y² = 2px（p>0），焦点是 F，抛物线上有两点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)。

我们设直线 AB 的倾斜角为θ。

这时候，这个抛物线焦点三角形的面积公式就登场啦！它的面积 S= p² / (2sinθ) 。

有的同学可能会问，这公式咋来的呀？别着急，咱们慢慢捋一捋。

我们先通过抛物线的定义，把焦点和抛物线上的点的关系搞清楚。

然后利用三角函数和一些几何关系，经过一系列的推导就能得出这个公式。

这个公式在解决一些问题的时候，那可真是太好用啦！比如说，给你一个具体的抛物线方程，让你求某个焦点三角形的面积，直接把相关的数据代入这个公式，答案很快就能算出来。

还记得有一次考试，就有这么一道题，很多同学都用常规方法在那苦苦计算，花费了大量的时间。

但是有几个同学用了这个二级结论，很快就得出了答案，节省了不少时间，最后成绩也很不错。

所以说呀，掌握这个二级结论，就像是在数学的战场上拥有了一件秘密武器，能让我们在解题的时候更加得心应手。

但是同学们要注意哦，不能死记硬背这个公式，得理解它的推导过程，这样才能真正地掌握它，灵活运用。

希望大家在学习抛物线焦点三角形面积公式这个二级结论的时候，都能轻松拿下，让数学成为我们的好朋友，而不是可怕的大怪兽！。

抛物线焦点三角形的面积公式

抛物线焦点三角形的面积公式
1、有一边在坐标轴上：S=1/2xa-xb×yc，有一边与坐标轴（x轴）平行：S=1/2xa-xb×yc-ya。

（得出结论）
2、抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。

它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

（原因解释）
3、抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

（内容延伸）抛物线焦点三角形面积公式
P²／2Sina。

任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点。

那么△PAB称作阿基米德三角形。

该三角形满足以下特性：
1、P点必在抛物线的准线上
2、△PAB为直角三角形，且角P为直角
3、PF⊥AB（即符合射影定理）
另外，对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下特性
抛物线焦点三角形面积公式
焦点三角形面积=b*b*tan(r/2)(其中b为短半轴长，r表示椭圆周角)设焦点为f1，f2，椭圆上任意点为a，设角f1af2为角r推导方式是设三角形另外一点是a，af1+af2=2aaf1向量-af2向量=f2f1向量。

两式都两边平方再整理得mn=2b^2/(1-cosa)(0度可以不考虑)面积就是1/2mnsina，把上面带入即得。

{注：m，n为af1和af2的长}。