2019成都市高三三诊考试数学理科试题及答案解析
2019届四川省成都市高三第三次诊断性检测数学(理)试题(解析版)
成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测数学(理科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A. {}1,3- B. {}1,0- C. {}0,3 D. {}1,0,3-【答案】A 【解析】 【分析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A. 【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A. 33i - B. 33i + C. 13i + D. 13i -【答案】D 【解析】 【分析】直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.3.已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ）A. 2B. 2-C. 1a +D. 1a -【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可得，(1)(1)2f f =--=-【详解】∵3()sin f x x a x =+其中3()g x x =为奇函数，()sin t x a x =也为奇函数 ∴()()()f x g x t x =+也为奇函数 ∴(1)(1)2f f =--=- 故选：B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）A. CEB. CFC. CGD. 1CC【答案】B 【解析】 【分析】连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，可证四边形1A OCF 为平行四边形，可得1//A O CF ，利用线面平行的判定定理即可得解．【详解】如图，连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，则O 为AC 的中点，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11A C AC =，O Q 、F 分别为AC 、11A C 的中点，1//A F OC ∴且1A F OC =，所以，四边形1A OCF 为平行四边形，则1//CF A O ，CF ⊄Q 平面1A BD ，1AO ⊂平面1A BD ，因此，//CF 平面1A BD . 故选：B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．5.已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，2z x y =+等价于2y x z =-+，作直线2y x =-，向上平移，易知当直线经过点()2,0时z 最大，所以max 2204z =⨯+=，故选D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6.若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A. b a > B. b a < C. b a < D. b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】令23abt ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >. 故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 7.已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A. 79-B. 29-C.29D.79【答案】A 【解析】 【分析】由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9α=-【详解】∵1sin 243απ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭又∵cos()sin 2παα+=-∴7sin 9α=- 故选：A【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题 8.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值.【详解】根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =， 执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M满足MA MO= ，则·OM ON u u u u r u u u r的取值范围是（ ） A. []0,2B. 0,⎡⎣C. []22-,D. -⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M的参数方程，则·os OM ON θ=u u u u r u u u r ，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON u u u u r u u u r结果. 【详解】设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·os OM ON θ=u u u u r u u u r又∵cos [1,1]θ∈-∴·[OM ON θ=∈-u u u u r u u u r故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A. 75B. 65C. 55D. 45【答案】B 【解析】 【分析】计算1225+++L 的和，然后除以5，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为12525122526555+⨯+++==L ，故选B.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A.23 B.2或3C. 23D. 2或3【答案】D 【解析】 【分析】设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PFF ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m=，2PF n =，则121125cos 7mMF PN PF PF PF F ===∠=， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527mm a -=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯， 整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =. 故选：D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．12.已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A. 5022449+B. 5022549+C. 4922449+D. 4922549+【答案】C 【解析】 【分析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当2x =时有极大值(2)1f =，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点n a 的通项公式2n a n =，且相应极大值12n n b -=，分组求和即得【详解】当13x ≤≤时，()cos 22x f x πππ-⎛⎫'=⎪⎝⎭， 显然当2x =时有，()0f x '=， ∴经单调性分析知2x =为()f x 的第一个极值点又∵3100x <≤时，()2(2)f x f x =- ∴4x =，6x =，8x =，…，均为其极值点 ∵函数不能在端点处取得极值 ∴2n a n =，149n ≤≤，n Z ∈ ∴对应极值12n nb -=，149n ≤≤，n Z ∈∴()4949491(298)491(12)22449212i i i a b =+⨯⨯-+=+=+-∑ 故选：C【点睛】本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分把答案填在答题卡上。
2019年最新(统考)四川省成都市高三三诊模拟理科数学试题及答案解析
（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 （元）.求随机变量 的分布列和数学期望.
2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
20.如图，设抛物线 的准线 与 轴交于椭圆 的右焦点 为 的左焦点.椭圆的离心率为 ，抛物线 与椭圆 交于 轴上方一点 ，连接 并延长其交 于点 ， 为 上一动点，且在 之间移动.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，知圆 和直线 ．
（1）求圆 与直线 的直角坐标方程；
（2）当 时，求圆 和直线 的公共点的极坐标．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5: ABDCC 6-10: ADACB 11、12：CA
A． B．
C. D．
7.执行如图的程序框图，则输出 的值是（）
A．2016 B．1024 C. D．-1
8.已知 是椭圆 上的一点， 是 的两个焦点，若 ，则 的取值范围是（）
A． B． C. D．
9.等差数列 中的 是函数 的两个极值点，则 （）
A． B．4 C. D．
10.函数 的最小正周期是（）
21.解：（1）当 时， ，原题分离参数得 恒成立，右边求导分析即可，问题背景实际是泰勒展开的前三项．答案：
（2） ，
①当 时， ，所以 ，所以 在 上为单增函数，无极大值；
②当 时，设方程 的根为 ，则有 ，即 ，所以 在 上为增函数，在 上为减函数，所以 的极大值为 ，即 ，因为 ，所以 ，令 则 ，
四川省成都市2019-2020学年高考三诊数学试题含解析
四川省成都市2019-2020学年高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =±【答案】C【解析】【分析】 由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上. 由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c a MOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos a MOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±. 故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.2．直线0(0)ax by ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 【答案】D【解析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．【详解】解：由题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，∵圆心到直线的距离为d =222a b ab +≥Q ，1d ∴≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．3．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27B ．33C ．39D ．44【答案】B【解析】【分析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝ 【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝． 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，．(2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.4．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i+的虚部是1 ，故选C. 5．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.故选：B.【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -= B ．2213y x -= C ．2213x y -= D ．22144x y -= 【答案】A【解析】【分析】 点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan a BPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a a a a m m APB APF BPF a a b b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立， 此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b == 所以双曲线的方程为22122x y -=． 故选：A【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．复数12i i--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】【详解】 试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系8．复数12i 2i +=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 9．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1e C ．21e D 【答案】C【解析】【分析】 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】 Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-， 可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '< 当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln 1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n n m n f m n e++≥= Q 11(,)n n f m n e+-'= 令110n n e +-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e =故选：C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【答案】C【解析】【分析】 根据函数的奇偶性得3322(2)(2)a f f =-=3222,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项. 【详解】 依题意得3322(2)(2)a f f =-=，322223log 8log 9<==<=<Q ， 当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以x y e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，322(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.11．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92D ．92+【答案】B【解析】【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，将3sin 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为关于tan θ的形式，结合终边所在的直线可知tan θ的值，从而可求3sin 22πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为222222223sin cos tan 1sin 2cos 2sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθθθθ--⎛⎫+=-=-== ⎪++⎝⎭，且tan 2θ=， 所以3413sin 22415πθ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解22sin cos m n θθ+值的两种方法：（1）分别求解出sin ,cos θθ的值，再求出结果；（2）将22sin cos m n θθ+变形为222222sin cos tan sin cos tan 1m n m n θθθθθθ++=++，利用tan θ的值求出结果. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
成都石室中学高2019届三诊模拟考试-数学理科试题答案解析
一名高三学生，其成绩不低于 115 分的概率是（ ）
A. 0.23
B. 0.27
C. 0.46
D. 0.54
解 析 ： 由 于 X N(105, 2 ) ， P(95 X 115) 0.54 ， 则 P(105 X 115) 0.27 ， 所 以
P(x 1 1 5 ) 0 . 5 0 . 2，7故选0A. 2 3
解析：
z
i 2018 i2019 1
i50442 i50443 1
i2 i3 1
1 i 1
1 2
1 2
i
，所以复数
z
的虚部是
1 2
，故选
D
.
2.
已知集合 A {x | x 3}, B {x | log 4 x
1} ，则（ 2
）
A. A B
B. (CU A) B R
2
2
B. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 e2
D. [0, ] ，使 e1 e2 2
解析： e1 e2 | e1 | | e2 | cos cos 1，故选 D .
4. 经统计，成都市高三二诊理科数学成绩 X N(105, 2 ) ，且 P(95 X 115) 0.54 ，则从成都市任选
．
解 ： 设 OC h, OMC 30 , OM 2h,OA 3h, 延 长 MC 交 圆 C 于 B , 在 RT OBC 中 ，
BC 2 2h 4 h 2 ， S 42 2 16 2 ;
3
3
16．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 且斜率大于 0 的动直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点，B 在 x 轴
2019年5月13日四川省成都市2019届高2016级高三毕业班第三次诊断性考试文数理数学试题及参考答案答题卡汇编
１ ∴sinAcosB ＝ ２sinB ＋sinAcosB ＋cosAsinB ．
∴cosAsinB
＋
１ ２sinB
＝０,得cosA
１ ＝－２
．
∵０＜ A
＜ π,∴ A
２π ＝３
．
(Ⅱ
)sin２B
＋sin２C
＋sinBsinC
＝sin２A
������sin２B
＋sin２C ＋sinBsinC sin２A
１９．解:(Ⅰ)由 (０．００７＋０．０１６＋a＋０．０２５＋０．０２０)×１０＝１,
解 得a＝０．０３２．
������ ������２ 分
保险公司每年收取的保费为:
１００００(０．０７x＋０．１６×２x＋０．３２×３x＋０．２５×４x＋０．２０×５x)＝１００００×３．３５x ．
������ ������４ 分
取平面 APD 的法向量为m ＝(０,１,０)．
������ ������９ 分 ������ ������１０ 分
∴cos＜
m
,n
＞＝
－
１ ５
＝
－
５ ．
５
∵ 二面角 B－PD －A 为锐二面角,
������ ������１１ 分
∴
二面角 B－PD －A
的余弦值为
５ ５．
������ ������１２ 分
������������ ６分
{由
y ＝kx ＋m ,得 x２ ＋２y２ ＝２
(２k２
＋１)x２
＋４kmx
＋２m２
－２＝０．
∴x１＋x２＝２－k４２k＋m１,x１x２＝２２mk２２＋－１２,Δ＝１６k２－８m２＋８＞０．
【精选五套高考模拟卷】四川省成都市2019年高考数学三诊试卷(理科)含答案解析
2019年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x03．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．14．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2D．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．489．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C． D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．13．已知椭圆C： +=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f（x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；②存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n的最小值．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．2019年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员的人数为 42×=6．故选：C．2．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是：“∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0”，故选：D．3．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵z=﹣i=，∴|z|=．故选：A．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面β内的一条直线，且m⊥α，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥α，所以不一定能得到m⊥α，所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B．5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵||=2，•（﹣）=﹣3，∴•﹣=•﹣22=﹣3，∴•=1，∴向量在方向上的投影为=．故选：C．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元【考点】简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值．【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=3×6+4=22万元，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解．【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m==，n=0.6﹣2=，p==，可得，＞＞，即：n＞m＞p．故选：A．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．48【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B．9．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C． D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3m+1﹣x，x∈（3m，3m+1]，在直角坐标系中画出f （x）的图象和直线y=k（x﹣1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，所以f（t）=3f（），取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，因为当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，所以f（）=3﹣，则f（x）=…=3m f（）=3m+1﹣x，且y=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）：因为函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），且函数g（x）恰好有两个零点，所以f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）恰好由两个交点，由图得，直线y=k（x﹣1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，因，，所以k的范围是[，3），故选：D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，即有x12+x22=1+2＜4，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．故选：A．二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos（25°+35°）=cos60°=，故答案为：．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接OC，则∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5．于是cos∠SCO=．【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4．∴棱锥的侧棱长为5．连接OC，∵SO⊥平面ABCD，∴∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角．∵AB=BC=6，∴OC=AC=3．∴cos∠SCO==．故答案为：．13．已知椭圆C： +=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值．【解答】解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16，即有|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|===，即为10=16﹣，解得n=12．故答案为：12．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，可得：a+b=1．（a＞﹣1，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，∴+b﹣1=0，化为：a+b=1（a＞﹣1，b＞0）．∴+=（a+1+b）=≥=，当且仅当a=2﹣3，b=4﹣2时取等号．故答案为：．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f（x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；②存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有②③④（写出所有正确命题的序号）．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．【解答】解：当a=1，b=1时，函数f（x）=，①当x=时，f（）==﹣2， =2，故f（x）＞不成立，故①不正确；②当x0=时，f（）=＜0，tan=1，故存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立，故②正确；③则函数f（x）=与y轴交于（0，﹣1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx，则y′=，设切点为（x0，lnx0），∴切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，∴•=﹣1，解得x0=1，∴切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故③正确，④令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（，）、（﹣，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π，故④正确，综上所述：其中的正确命题有②③④，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．=sin2x+sin（2x+）+．=2sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，得：﹣+kπ≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]，（k∈Z）．（2）∵f（A）=1+，∴A=，∵sinB=2sinC=2sin（﹣B），∴cosB=0，即B=，∴由正弦定理得： =，∴b=．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BE∥HF，从而∥平面GHF，BE∥平面GHF，由此能证明平面ABED∥平面GHF．（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由已知得三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，∴，∵G，H分别为AC，BC的中点．，∴AB∥GH，EF∥BH，EF=BH，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF，∵AB⊄平面GHF，HF⊂平面GHF，∴AB∥平面GHF，BE∥平面GHF，又AB∩BE=B，AB，BE⊂平面ABED，∴平面ABED∥平面GHF．解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即AC⊥BC，又FC⊥底面ABC，∴以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取AB=2，由BC=CF=，得BC=CF=1，AC=，则A（），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），E（0，，1），D（，0，1），平面DEF的一个法向量=（0，0，1），设平面ABED的法向量=（x，y，z），， =（﹣，），由，取x=2，得=（2，2），cos＜＞===，由图形得二面角A﹣DE﹣F的平面角是钝角，∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为﹣．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由题意得，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．【解答】解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，∴P（A）=，解得n=2，∴m=4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，∴P（B）=1﹣=．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，E（X）==．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过3S n+a n﹣3=0与3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0作差，进而可知数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，利用公式计算即得结论；（2）通过（1）及3S n+a n﹣3=0计算可知b n=﹣n﹣1，裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵3S n+a n﹣3=0，∴当n=1时，3S1+a1﹣3=0，即a1=，又∵当n≥2时，3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0，∴3a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1，∴数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，故其通项公式a n=•=3•；（2）由（1）可知，1﹣S n+1=a n+1=，∴b n==﹣n﹣1，∵==﹣，∴T n==﹣+﹣+…+﹣=﹣，由T n≥可知，﹣≥，化简得：≤，解得：n≥2019，故满足条件的n的最小值为2019．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x﹣2）2+y2，化简得y2=4x，∴动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x．（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为（1+，）．由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ=．所以，直线PQ的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，记k2+=t∵k2+≥2，∴t≥2，∴|PQ|2=4[（t+）2﹣]，∴t=2，即k=±1时，|PQ|的最小值为4．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求函数g（x）的解析式，求导，根据a的取值，分别解关于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；（2）根据已知条件将其转化成， +x1＞+x2，且x1＞x2，构造辅助函数F（x）=﹣（m﹣1）x﹣1，求导，分离变量求得m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=e x（x2+ax﹣2a﹣3），a∈R．∴g′（x）=e x[x2+（a+2）x﹣a﹣3]，=a（x﹣1）（x+a+3），当a=﹣4时，g′（x）=a（x﹣1）2≥0，∴g（x）在R上单调递减，当a＞﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜﹣a﹣3或x＞1，∴g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得﹣a﹣3＜x＜1，∴g（x）在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞﹣a﹣3，∴g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得1＜x＜﹣a﹣3，∴g（x）在（1，﹣a﹣3）上单调递减，综上所述：当a=﹣4时，g（x）在R上单调递减；当a＞﹣4时，g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减．（2）h（x）=f（x）﹣mx2﹣x=e x﹣mx2﹣x，，∴x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1），∴﹣＞x2﹣x1，不等式﹣＞x2﹣x1，等价于+x1＞+x2，且x1＞x2，记F（x）==﹣（m﹣1）x﹣1，∴F（x）在[，2]上单调递增，F′（x）=﹣（m﹣1）≥0在x∈[，2]上恒成立，m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，记P（x）=+1，∴P′（x）=＞0，∴P（x）在[，2]上单调递增，P（x）min=P（）=1﹣2．∴实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣2]．2019年8月13日数学高考模拟试卷（理科） 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
四川省成都市七中2019届高三三诊模拟考试理数试题Word版含解析
四川省成都市七中2019届三诊模拟考试高三理数试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题是“甲抛的硬币正面向上”，是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A. B. C. D.【答案】A2. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得：，，则，故选B.3. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知：，则 .本题选择D选项.4. 设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知：.本题选择C选项.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C6. 设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由平面向量基本定理可得：，故选A.7. 执行如图的程序框图，则输出的值是（）A. 2016B. 1024C.D. -1【答案】D输出值为： .本题选择D选项.8. 已知是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A9. 等差数列中的是函数的两个极值点，则（）A. B. 4 C. D.【答案】C【解析】由，得，由，且是的极值点，得，，∴，则，故选C.10. 函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】化简，则其最小正周期为，故选B.11. 某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名。
无论是否把我算在内，下面说法都是对的。
在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士.”请你推断说话的人的性别与职业是（）A. 男医生B. 男护士C. 女医生D. 女护士【答案】C12. 设集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合A表示以(3,4)为圆心,半径为的圆，集合B表示以(3,4)为圆心,半径为的圆，集合C在λ>0时,表示以(3,4)为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如图所示，若(A∪B)∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，点睛：解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13. 已知向量，且，则向量的夹角的余弦值为__________．【答案】【解析】解：由题意可知：，则： .14. 二项式的展开式中，含的项的系数是，若满足，则的取值范围是__________．【答案】15. 成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加.若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有__________种.（用数字作答）【答案】150种【解析】第一步：将5名学生分为3份，共有种；第二步：分到三个社团种，则不同的选择方案有种，故答案为.16. 已知函数，若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】解：绘制函数的图象，实数为过点且与函数图象只有一个交点的直线的斜率，据此可得：.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对应的边分别为，已知，.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）（2）（1）因为，所以，解得，（舍去）．所以，又，所以．（2）因为，所以，又，所以，所以，又因为，由得，所以．点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.18. 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券。
2019年四川省教考联盟高考数学三诊试卷(理科)
2019年四川省教考联盟高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合U＝R，集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|0＜x≤2}，则集合（∁U A）∩B＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，2]2．（5分）在复平面内，复数z对应的点是z（﹣1，2），则复数z的共轭复数＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（）A．7200B．2880C．120D．604．（5分）已知向量＝（，﹣），＝（cosα，sinα），则||的最大值为（）A．1B．C．3D．95．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．﹣1B．0C．D．16．（5分）几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．729B．428C．356D．2437．（5分）下列说法中错误的是（）A．先把高二年级的1000名学生编号为1到1000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法．B．正态总体N（1，9）在区间（﹣1，0）和（2，3）上取值的概率相等C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．若一组数据1、a、2、3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是28．（5分）A，B是⊙O：x2+y2＝1上两个动点，且∠AOB＝120°，A，B到直线l：3x+4y﹣10＝0的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最大值是（）A．3B．4C．5D．69．（5分）已知四面体ABCD外接球的球心O恰好在AD上，等腰直角三角形ABC的斜边AC为2，DC＝2，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．12πD．16π10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，其图象向左平移个单位后所得图象关于y轴对称，则f（x）的单调递增区间为（）A．[﹣]，k∈ZB．[﹣]，k∈ZC．[﹣]，k∈ZD．[﹣]，k∈Z11．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，不等式xf′（x）＞1﹣f（x）．若对∀x∈R，不等式e x f（e x）﹣e x+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．14．（5分）已知等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝，则a1a2+a2a3+…+a5a6＝．15．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（x+2）＝0，且f（1）＝﹣2，则f（2019）+f（2018）的值为．16．（5分）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C与圆O：x2+y2＝5有公共点P（1，﹣2），且圆O在点P处的切线与双曲线C的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培．槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物．云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（1）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a≥b的概率；（2）从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上（包含20颗）的同学中随机抽取3人，求被抽到B班同学人数的分布列和数学期望．18．（12分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，且AD⊥AC，sin∠BAC＝，AD＝1，AB＝．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．19．（12分）如图，在棱长为1的正方体PB1N1D1﹣ABND动点C线段BN动，且有＝λ（0＜λ≤1）．（1）若λ＝1，求证：PC⊥BD（2）若二面角B﹣PC﹣D弦值为﹣，求实数λ的值．20．（12分）已知点M（x，y），与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x＝4的距离的比是常数点M轨迹为曲线C．（1）求曲线C方程；（2）若直线l1：y＝kx交曲线C于A，B两点，当点M不在A、B两点时，直线MA，MB的斜率分别为K1，K2，求证：K1，K2之积为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝4cosθ，过点p（2，﹣1）的直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求线段|MN|的长和|PM|•|PN|的积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣1|．（1）若正数a，b，满足a+2b＝f（﹣1），求的最小值；（2）解不等式f（x）．2019年四川省教考联盟高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：A＝{x|x＜﹣1，或x＞1}；∴∁U A＝{x|﹣1≤x≤1}；∴（∁U A）∩B＝（0，1]．故选：C．2．【解答】解：由题意，z＝﹣1+2i，则，故选：B．3．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，从1，3，5，7，9中任取3个数字，有C53＝10种选法，从2，4，6，8中任取2个数字，有C42＝6种选法，则5个数字的选法有10×6＝60种，②，在选出的2个偶数数字中任选1个，安排在个位，有2种情况，③，将剩下的4个数字全排列，安排在前4个数位，有A44＝24种情况，则组成的五位数中偶数的个数为60×2×24＝2880；故选：B．4．【解答】解：＝＝；∴时，取最大值9，取最大值3．故选：C．5．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1满足条件i≤3，执行循环体，S＝2，i＝2满足条件i≤3，执行循环体，S＝6，i＝3满足条件i≤3，执行循环体，S＝14，i＝4此时，不满足条件i≤3，退出循环，可得S＝sin＝﹣1．输出S的值为：﹣1．故选：A．6．【解答】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P﹣ABCD；几何体的体积为：＝243．故选：D．7．【解答】解：先把高二年级的1000名学生编号为1到1000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法．满足系统抽样的定义，正确；正态总体N（1，9）在区间（﹣1，0）和（2，3）上取值的概率相等，满足正态分布的性质，正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1，也可以是﹣1，所以不正确；若一组数据1、a、2、3的众数是2，所以a＝2，则这组数据的中位数是2，正确；故选：C．8．【解答】解：设A（cosθ，sinθ），则B（cos（θ+），sin（θ+）），d1+d2＝+因为A，B在直线l的同侧，所以d1+d2＝＝＝，所以当sin（θ+φ）＝﹣1时，d1+g2取得最大值5．故选：C．9．【解答】解：如图，取AC的中点E，AD的中点O，由题意，E为ABC所在球小圆的圆心，OE⊥平面ABC，O即为球心，由中位线可知，CD∥OE，∴CD⊥平面ABC，在直角三角形ACD中，AC＝2，CD＝，求得球O的直径AD＝，故球O的表面积为＝12π．故选：C．10．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin （2x+φ）．其图象向左平移个单位后，可得y＝sin（2x++φ）的图象；根据所得图象关于y轴对称，可得+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故选：B．11．【解答】解：数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则：a2＝a1+a1+1×1＝3＝1+2，a3＝a1+a2+1×2＝6＝1+2+3，…，a n＝1+2+3+…+n＝，所以：，所以：＝，＝2（），＝，＝．故选：C．12．【解答】解：定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，∴函数f（x）为R上的偶函数．令g（x）＝xf（x）﹣x，则g（x）为奇函数．g′（x）＝xf′（x）+f（x）﹣1．当x≥0时，不等式xf′（x）＞1﹣f（x）．∴g′（x）＞0，g（x）在[0，+∞）单调递增．∴函数g（x）在R上单调递增．对∀x∈R，不等式e x f（e x）﹣e x+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，⇔e x f（e x）﹣e x＞axf（ax）﹣ax⇔g（e x）＞g（ax）．∴e x＞ax．当x＞0时，a＜＝h（x），则h′（x）＝，可得x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝e．∴a＜e．此时正整数a的最大值为2．a＝2对于x≤0时，e x＞ax恒成立．综上可得：正整数a的最大值为2．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：已知得到可行域如图：z＝的几何意义是表示区域内的点与（4，0）点连接直线的斜率，由图可知，直线DA的斜率最小，解得A（2，3），所以z＝的最小值为：＝﹣；故答案为：﹣．14．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2＝2，a5＝，∴＝2×q3，解得q＝．∴a1＝＝＝4．则a1a2＝8，n≥2时，＝q2＝．则a1a2+a2a3+…+a5a6＝＝．故答案为：．15．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x）+f（x+2）＝0，即f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）＝f（2+4×504）＝f（2），f（2019）＝f（5×505﹣1）＝f（﹣1），又由f（﹣2）＝f（2）且f（﹣2）＝﹣f（2），则f（2）＝f（﹣2）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，则f（2019）+f（2018）＝f（2）+f（﹣1）＝2；故答案为：2．16．【解答】解：∵圆O在P处的切线方程为：2x﹣y＝5，即y＝2x﹣5，不妨设双曲线焦点在x轴上，设双曲线方程为：﹣＝1，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴，解得a＝，∴双曲线的实轴长为2a＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分17．【解答】解（1）A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有3×3＝9种不同情况．其中a≥b的情况有（11，11），（14，11），（14，12）三种，故a≥b的概率P＝＝．（2）因为所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上（包含20颗）的同学中，A班有2人，B班有3人，共有5人，设抽到B班同学的人数为X，∴X的可能取值为1，2，3．P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，．∴X的分布列为：数学期望为E（X）＝1×+2×+3×＝．18．【解答】解：（1）因为AD⊥AC，所以∠BAD＝∠BAC﹣，所以cos∠BAD＝cos（∠BAC﹣）＝sin∠BAC＝．在△BAD中，由余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝7+1﹣2××＝4．解得：BD＝2，（2）在△BAD中，由（1）知，cos∠ADB＝＝＝﹣．所以∠ADB＝．则∠ADC＝．在Rt△ADC中，易得AC＝．S△ABC＝AB•AC sin∠BAC＝×××＝，所以△ABC的面积为．19．【解答】证明：（1）当λ＝1时，C与N重合，连接AN，则在正方形ABND中，BD⊥AN．又在正方体PB1N1D1﹣ABND中，P A⊥底面ABND，而BD⊂平面ABND，所以P A⊥BD．P A∩AN＝A，所以BD⊥平面P ANN1，而PN⊂平面P ANN1，所以PN⊥BD，也即PC⊥BD．解：（2）依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C（1，λ，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0）．＝（1，λ，﹣1），＝（1，0，﹣1），＝（0，1，﹣1）．设平面PBC的一个法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（1，0，1）．设平面PCD的一个法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（1﹣λ，1，1）．所以|cos＜＞|＝＝＝，解得或λ＝﹣13．因为0＜λ≤1，所以．20．【解答】解：（1）由题意，，将上式两边平方，化简：3x2+4y2＝12，即曲线C的方程为；（2）把y＝kx代入3x2+4y2＝12，得（4k2+3）x2﹣12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则：x1+x2＝0，．y1+y2＝kx1+kx2＝0，．＝＝＝．即K1，K2之积为定值．21．【解答】解：（1）函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，（a∈R）；∴f′（x）＝2ax+（a﹣2）﹣＝＝（x＞0），…（2分）当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）内单调递减；……（3分）当a＞0时，则f（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增；……（5分）备注：求导正确给1分，因式分解正确得2分；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）内单调递减，最多只有一个零点，舍去；…（5分）a＞0时，f（x）min＝f（）＝a•+（a﹣2）•﹣ln＝﹣+1+lna；……（7分）当x→0+时，f（x）＞0；当x→+∞时，f（x）＞0；∴当f（）＝1+lna﹣＜0，令g（a）＝1+lna﹣，则g′（a）＝+，∴g′（a）＞0；…（10分）则g（a）在（0，+∞）上单调递增；又g（1）＝0，解得a＜1；∴当0＜a＜1时，函数f（x）有两个不同的零点．…（12分）备注：其他解法也可以酌情相应给分．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解（1）由ρsin2θ＝4cosθ，也即（ρsinθ）2＝4ρcosθ，即得曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．由消去参数t得直线l的普通方程为x+y﹣1＝0．．（2）将直l的参数方程代入y2＝4x中得t2﹣2t﹣7＝0，则有t1+t2＝2，t1t2＝﹣7．不妨设M，N两点对应的参数分别为t1、t2，则M（2+t1，﹣1﹣t1），N（2+t2，﹣1﹣t2），∴|MN|＝＝＝8．|PM||PN|＝•＝2|t1t2|＝14．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解（1）由题意得a+2b＝f（﹣1）＝1，所以+＝（+）×（a+2b）＝4++≥4+2＝8．所以+的最小值为8．当且仅当a＝，b＝，时等号成立．所以+的最小值为8．（2）因为f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣1|．①当x≤1时，f（x）＝2﹣x﹣（1﹣x）＝1，由f（x），解得x≤1；②当1＜x＜2时，f（x）＝3﹣2x，由f（x）＞，即3﹣2x，解得x＜，又1＜x＜2，所以1＜x＜；③当x≥2时，f（x）＝﹣1不满足f（x），此时不等式无解；综上，不等式f（x）的解集为（﹣∞，）．。
成都石室中学高2019届三诊模拟考试-数学理科试题答案
石室中学高2019届2018~2019学年三诊模拟考试数学参考答案（理科）1-5.DCDAA 6-10.CABCD 11-12.BC13.12-. 14． 14425. 15.17. 解：（Ⅰ）由题意知， 34ADC π∠=，AD = 由正弦定理得sin sin AD AC C ADC=∠……………………………………………2分 所以1sin 2C =，因为C 为锐角，所以6C π=………………………….4分所以sin sin()464BAC ππ∠=+=…………………………………6分 （Ⅱ）因为3BD CD =，所以ACD ∆面积14ACD ABC S S ∆∆=设,AB x BC y ==，所以1142216ACD S xy xy ∆=⋅⋅=，…………………..8分 在ABC ∆中，由余弦定理2242x y xy +=≥，所以 4xy ≤=+x y =时，xy 最大值是4+………………11分所以ACD ∆面积的最大值为14)164=……………………………12分 18. 解：(1)如图，连接CA 交BQ 于F ,//AP 面MQB ,又面MQB ⋂面PAC MF =,AP ⊆面//PAC MF AP ⇒， ………………………3分 又//AQ BC BCDQ =⇒为平行四边形，F ⇒平分AC M ⇒平分,PC 12PM PC =；…………5分(2)如图，以Q 为坐标原点O ,,,OA OB OP 分别为轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -,则有x(0,0,0),(1,0,0),(O A B C-P ;则面BQC 的法向量为：1(0,0,1),n =过M 作MH QC ⊥交QC 于H ,作HE QB ⊥交QB 于E ,060MEH ∠=为二面角M BQ C --的平面角，设,,EH a MH ==由0,130,CD OB BC COB ===⇒∠=2,QH a ∴=,MH PQ ==2,CH a ∴=42CB a ∴==,12a ∴=,H ∴平分QC , M ∴平分PC ,…………………………………8分1(2M ∴-(AB ∴=-,1(,2CM =, 设ABM 的法向量为2(,,),n x yz =则22003002x n AB n AM x y z ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩2(3,1,2),n =………………………10分2(|cos|14CM n ∴<⋅>== 故CM 与平面ABM ………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题知用A 配方生产的产品为二级品的概率为25，用B 配方生产的产品为二级品的概率为14， 所以恰好抽到3件二级品的概率22112222222132319()()()()544554100P C C C C =⋅⋅+=； ……………..5分 （Ⅱ）A 配方生产的产品的分布列为： B 配方生产的产品的分布列为：∴A 配方生产的产品平均利润率2()20.6E A t t =+…………………..7分∴B 配方生产的产品平均利润率2() 1.30.7E B t t =+………………………..9分∴2()()0.70.10.1(71)E A E B t t t t -=-=-综上，当10,()()7t E A E B <<<，投资B 配方产品平均利润率较大；当1,()()7t E A E B ==，投资A 配方和B 配方产品平均利润率一样大； 11,()()75t E A E B <<>，投资A 配方产品平均利润率较大……………………………..12分 20． 【答案】(1)2212x y +=；【解析】(1)22222,c a b c ==+ 221a b ∴=+设(,)A A A x y，由对称性可知12OA BA == A A x y =223A A x x ∴=⇒=即A .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分将A 代入椭圆方程222211x y b b +=+422232(1)(32)0b b b b ⇒--=-+= 221,2b a ∴==，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 (2) 设直线:(0)l y kx b b '=+≠，1122(,),(,)M x y N x y 联立方程2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 可得222(12)4220k x kbx b +++-=因为有两个交点，即22222(4)4(12)(22)88160kb k b b k ∆=-+-=-+>2212b k ⇒<+① 由韦达定理12221224122212kb x x k b x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，121222()212b y y k x x b k ∴+=++=+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 PM PN =即P 为MN 的中点，P ∴的坐标为222(,)1212kb b P k k -++ P 在y x =上222112122kb b k k k -∴=⇒=-++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 将12k =-代入①可得232b ⇒<12MN x =-，O 到直线l '的距离为o MN d-1122MON o MN S MN d -∴=⋅⋅=23b =23(0)2b <<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分∴当234b =，即b =时， MON ∆．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 21. 解析：（Ⅰ）当4a =时，()84x f x xe x =-+，(1)4f e =-，()8x x f x xe e '=+-，(1)28f e '=-，所以切线方程为(4)(28)(1)y e e x --=--，即(28)4y e x e =--+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 （Ⅱ）因为2()()()(2)(1)x h x f x g x x e a x =-=-+-，所以()(1)(2)x h x x e a '=-+.①当0a >时，()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(,1)-∞上单调递减.因为(1)0,(2)0h e h a =-<=>，所以()h x 在(1,)+∞上有且只有一个零点.下面考虑()h x 在(,1)-∞上零点的情况（考虑到()h x 中含有x e ,为了化简()h x ，所以想到ln 2a ），取b ，使0b <，且ln 2a b <，则223()(2)(1)()022a hb b a b a b b >-+-=->，即()h x 有两个不同的零点.⋯⋯6分 ②当0a =时，()(2)x h x x e =-，此时()h x 只有一个零点. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分③当0a <时，令()0h x '=，得1x =或ln(2)x a =-.（i ）当2e a =-时，()(1)(),()0x h x x e e h x ''=--≥恒成立，所以()h x 在R 上单调递增. ⋯⋯⋯⋯8分 （ii ）当2e a >-时，即ln(2)1a -<，当ln(2)x a <-或1x >时，()0h x '>； 当ln(2)1a x -<<时，()0h x '<， 所以()h x 在(,ln(2))a -∞-和(1,)+∞上单调递增，在(ln(2),1)a -上单调递减. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 （iii ）当2e a <-时，即ln(2)1a ->，当1x <或ln(2)x a >-时，()0h x '>； 当1ln(2)x a <<-时，()0h x '<， 所以()h x 在(,l)-∞和(ln(2),)a -+∞上单调递增，在(1,ln(2))a -上单调递减. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 当0a <时，因为(1)0h e =-<，22(ln(2))(2)[ln(2)2][ln(2)1][(ln(2)2)1]0h a a a a a a a -=---+--=--+<，所以无论上述（i ）（ii ）（iii ）哪一种情况，()h x 都没有两个零点，不符合题意.综上，a 的取值范围是(0,)+∞.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22． 【答案】(1)221x y +=； (2) 1.【解析】(1)将直线,l l 12的参数方程化一般方程，分别为:()l y k x 1=+1①， :()l y x k21=--1② ················································ 2分 ①⨯②消去k 可得：221x y +=,即P 的轨迹方程为：221x y +=. ·························· 5分(2) 设,M N 的极坐标分别为(,)3M M πρ,(,)3N N πρ曲线C 的极坐标方程为1ρ=，∴1M ρ= ······················································ 7分 将()03πθρ=≥2N ρ= ···························· 9分 ∴由极坐标的几何意义可得1N M MN ρρ=-=． ············································ 10分23．解析：（Ⅰ）当2a =时，26,2,()|4|2,24,26, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时，由()4|4|f x x ≥--得264x -+≥，解得1x ≤；当24x <<时，()4|4|f x x ≥--无解；当4x ≥时，由()4|4|f x x ≥--得264x -≥，解得5x ≥；所以()4|4|f x x ≥--的解集为{|1x x ≤或5}x ≥.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）记()(2)2(),h x f x a f x =+-则2,0,()42,0,2,.a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩由|()|2h x ≤，解得1122a a x -+≤≤. 又已知|()|2h x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，所以11,21 2.2a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，于是解得3a =. ⋯⋯⋯⋯⋯10分。
四川省成都市2019届高三第三次诊断性考试数学(理)附答案
成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x∈Z|x2≤2x+3），集合A={0，1，2)，则=(A){-1，3）(B){-1，0）(C){0，3} (D){-1，0，3}2．复数z=(2+i)(1+i)的共轭复数为(A)3- 3i (B) 3+3i (C) 1+3i (D) 1- 3i3．已知函数f(x) =x3 +asinx，a∈R.若f(-l)=2，则f(l)的值等于(A)2 (B) -2 (C)1+a (D) 1-a4．如图，在正方体ABCD -A1B l C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E=EF=FG =GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是(A) CE (B) CF (C) CG (D) CC15．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)46．若非零实数a，b满足2a=3b，则下列式子一定正确的是(A)b>a (B)b<a (C)|b|<|a| (D)|b|>|a|7．已知，则slna的值等于(A)- (B)- (C) (D)8．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为(A)1 (B)2(C)3 (D)49．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，-2)，N(l，0)．若动点M满足，则的取值范围是(A)[0，2] (B)[0，] (C)[-2，2] (D)[- ，]10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前n2个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示)．则“5阶幻方”的幻和为(A) 75 (B) 65 (C) 55 (D) 4511．已知双曲线C=1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2= 2px(p>0) 与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且,则双曲线C的离心率为(A) 或(B) 或3 (C)2或(D)2或312.已知函数f(x)= ,若函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，…，a n，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，则的值为(A) 250+2449 (B) 250 +2549 (C) 249 + 2449 (D) 249 +2549第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．(2+x)5的展开式中，含x2项的系数为（用数字作答）．14.已知公差大于零的等差数列{a n）中，a2，a6，a32依次成等比数列，则的值是____．15．某学习小组有4名男生和3名女生．若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为____．16．三棱柱ABC –A1B l C1中，AB =BC =AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3,若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为___ _______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且(I)求角A的大小；(Ⅱ)求sin2B+,sin2C+sinB sinC的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD上平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．（I）证明：BD⊥平面PEF；(Ⅱ)若∠BAD =60°，求二面角B-PD-A的余弦值．19．（本小题满分12分）某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30)，[30，40)，[40，50），[50，60)，[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，(I)用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求z精确到整数时的最小值x0；(Ⅱ)经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（I）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y 元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: =l(a >b >0)的短轴长为2，直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M．当M与0连线的斜率为时，直线l的倾斜角为（I）求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若|AB|=2，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：|OP|≤.21．（本小题满分12分）已知函数f(x) =xlnx-2ax2 +3x-a，a∈Z.(I)当a=1时，判断x=1是否是函数f(x)的极值点，并说明理由；(Ⅱ)当x>0时，不等式f(x)≤0恒成立，求整数a的最小值，请考生在第22,23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(I)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x) =x2 -a|x-1|-1，a∈R.(I)当a=4时，求函数f(x)的值域；(Ⅱ) x0∈[0，2]，f(xo)≥a|x o+1|，求实数a的取值范围．。
四川省成都市2019-2020学年高考三诊数学试题含解析
四川省成都市2019-2020学年高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =±【答案】C【解析】【分析】 由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上. 由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c a MOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos a MOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±. 故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.2．直线0(0)ax by ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 【答案】D【解析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．【详解】解：由题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，∵圆心到直线的距离为d =222a b ab +≥Q ，1d ∴≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．3．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27B ．33C ．39D ．44【答案】B【解析】【分析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝ 【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝． 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，．(2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.4．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i+的虚部是1 ，故选C. 5．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.故选：B.【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -= B ．2213y x -= C ．2213x y -= D ．22144x y -= 【答案】A【解析】【分析】 点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan a BPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a a a a m m APB APF BPF a a b b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立， 此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b == 所以双曲线的方程为22122x y -=． 故选：A【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．复数12i i--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】【详解】 试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系8．复数12i 2i +=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 9．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1e C ．21e D 【答案】C【解析】【分析】 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】 Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-， 可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '< 当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln 1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n n m n f m n e++≥= Q 11(,)n n f m n e+-'= 令110n n e +-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e =故选：C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【答案】C【解析】【分析】 根据函数的奇偶性得3322(2)(2)a f f =-=3222,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项. 【详解】 依题意得3322(2)(2)a f f =-=，322223log 8log 9<==<=<Q ， 当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以x y e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，322(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.11．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92D ．92+【答案】B【解析】【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，将3sin 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为关于tan θ的形式，结合终边所在的直线可知tan θ的值，从而可求3sin 22πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为222222223sin cos tan 1sin 2cos 2sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθθθθ--⎛⎫+=-=-== ⎪++⎝⎭，且tan 2θ=， 所以3413sin 22415πθ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解22sin cos m n θθ+值的两种方法：（1）分别求解出sin ,cos θθ的值，再求出结果；（2）将22sin cos m n θθ+变形为222222sin cos tan sin cos tan 1m n m n θθθθθθ++=++，利用tan θ的值求出结果. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川成都2019届高中毕业班第三次诊断性检测理科数学试卷及答案(pdf版)
设 A(x１,y１),B(x２,y２)．
由
ìïx１２ ïa２ íïx２２
y１２ ＋b２
y２２
＝１ ,两
式
相
减
,得
y１ x１
－y２ －x２
＝
b２ －a２
������x１ y１
＋x２ ＋y２
．
îïa２ ＋b２ ＝１
������ ������１ 分 ������ ������２ 分
数学(理科)“三诊”考试题参考答案 第 ２ 页(共４页)
∵ P(X ＝１５０)＝４ ５９ ０ ,P(X ＝２１５０)＝５１０ ,
������ ������７ 分
∴EX ＝１５０×４ ５９ ０＋２１５０×５１０＝１４７＋４３＝１９０(元)．
������ ������８ 分
②若该老人没有购买此项保险,则Y 的取值为０,１２０００．
∵ P(Y ＝０)＝４ ５９ ０ ,P(Y ＝１２０００)＝５１０ ,
＝０,得 ＝０
x＋ ３y＝０．令x＝ ３ ,得n ＝(３,－１,－１)． x＋ ３z＝０
取平面 APD 的法向量为m ＝(０,１,０)．
������ ������９ 分 ������ ������１０ 分
∴cos＜
m
,n
＞＝
－
１ ５
＝
－
５ ．
５
∵ 二面角 B－PD －A 为锐二面角,
������ ������１１ 分
������������ ６分
{由
y ＝kx ＋m ,得 x２ ＋２y２ ＝２
(２k２
＋１)x２
＝
３ ４
������b２
＋c２ a２
＋bc
．
由余弦定理,得a２ ＝b２ ＋c２ －２bccos２３π＝b２ ＋c２ ＋bc ．综 上 ,得来自sin２B＋sin２C
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成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测数学 （理科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集U={x ∈Z|2x ≤2x+3},结合A={0，1，2}，则U C A=（ ）A {-1，3}B {-1，0}C {0，3}D {-1，0，3}【解析】【考点】①集合的定义与表示方法；②全集，补集的定义与性质；③补集运算的基本方法。
【解题思路】运用集合的表示方法把全集U 化简成列举法表示的集合，利用补集运算的基本方法通过运算求出U C A ，从而得出选项。
【详细解答】 U={x ∈Z|2x ≤2x+3}={x ∈Z|-1≤x ≤3}={-1，0，1，2，3}, A={0，1，2}，∴U C A={-1，3}，⇒A 正确，∴选A 。
2、复数Z=（2+i ）（1+i ）的共轭复数为（ ）A 3-3iB 3+3iC 1+3iD 1-3i【解析】【考点】①复数的定义与代数表示方法；②共轭复数的定义与性质；③复数运算法则和基本方法；④虚数的定义与性质。
【解题思路】运用复数运算法则和基本方法通过运算得到复数Z ，根据共轭复数的性质确定复数Z 的共轭复数Z ，从而得出选项。
【详细解答】 Z=（2+i ）（1+i ）=2+2i+i+ 2i =1+3i ，∴Z =1-3i ，⇒D 正确，∴选D 。
3、已知函数f(x)= 3x +asinx ，a ∈R ，若f(-1)=2，则f(1)的值等于（ ）A 2B -2C 1+aD 1-a【解析】【考点】①函数值的定义与求法；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】运用求函数值的基本方法，结合问题条件得到含asin （-1）的式子，从而求出asin （-1）的值，根据三角函数的诱导公式求出asin1的值，从而求出f(1)的值就可得出选项。
【详细解答】 f(-1)= 3(1)-+ asin （-1）=-1+ asin （-1）=2，∴asin （-1）=3，sin （-1）=- sin1，∴asin （-1）=- asin1=3，⇒ asin1=-3，∴ f(1)= 31+ asin1=1-3=-2，⇒B 正确，∴选B 。
4、如图在正方体ABCD —1A 1B 1C 1D 中，已知E ，F ，G 分别是线段1A 1C ，上的点，且 1A E=EF=FG=G 1C ，则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）A CEB CFC CGD C 1C【解析】【考点】①正方体的定义与写着；②直线平行平面的定义与判定；③判定直线平行平面的基本方法。
【解题思路】运用判定直线平行平面的基本方法，结合问题条件分别判定直线CE ，CF ，CG ，C 1C 是否与平面1A BD 平行，就可得出选项。
【详细解答】如图，连接AC ，交BD 于点M ，连接1A M ， ABCD —1A 1B 1C 1D 是正方体，E ，F ，G 分别是线段1A 1C ，上的点，且1A E=EF=FG=G 1C ，∴1A F//CM ，1A F=CM ，⇒四边形1A FCM 是平行四边形，∴1A M//CF ，1A M ⊂平面1A BD ，CF ⊄平面1A BD ，∴CF//平面1A BD ，⇒B 正确，∴选B 。
（4题图） （8题图） （10题图）5、已知实数x ，y 满足 x-y ≥0，则z=2x+y 的最大值为（ ）A 1B 2 x+y-2≤0，C 3D 4【解析】 y ≥0，【考点】①不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③最优解的定义与求法。
【解题思路】运用确定不等式表示平面区域的方法，不等式组表示平面区域的确定方法，结合问题条件作出约束条件所表示的可行域，利用求最优解的基本方法求出z=2x+y 的最大值就可得出选项。
y【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，由 2 A x-y =0 x-y =0，得 x=1，⇒点A （1，1），B （2，0）， 1 x+y-2=0， x+y-2=0， y=1，当目标函数经过点A （1，1）时， Bz=2⨯1+1=2+1=3；当目标函数经过点,B （2，0）时， 0 1 2z=2⨯2+0=4+0=4，∴z=2x+y 的最大值为4，⇒D 正确，∴选D 。
6、若非零实数a ，b 满足2a =3b，则下列式子一定正确的是（ ）A b>aB b<aC |b|<|a|D |b|>|a|【解析】【考点】①指数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③指数函数的图像与画法。
【解题思路】情况分别考虑，求出实数a ，b 【详细解答】a ，b 为非零实数，2a =3b ，①当a>0，b>0时，如图可知b<a ，⇒|b|<|a|；②当a<0，b<0时，如图可知b>a ，⇒ |b|<|a|，∴综上所述，当， 2a =3b ，一定有 |b|<|a|正确，⇒C 正确∴7、已知sin （2α+4π）=13，则sin α的值等于（ ） A - 79 B - 29 C 29 D 79 【解析】【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】运用三角函数二倍角公式，结合问题条件求出cos （α+2π）的值，利用三角函数诱导分公式求出sin α的值就可得出选项。
【详细解答】 sin （2α+4π）=13，∴ cos （α+2π）=1-2sin 2（2α+4π）=1-29=79，⇒ cos （α+2π）=- sin α=79，∴ sin α=-79，⇒A 正确∴选A 。
8、执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A 1B 2C 3D 4【解析】【考点】①程序框图的定义与性质；②运用程序框图运算的基本方法。
【解题思路】运用程序框图的性质，结合问题条件，通过运算求出n 的值就可得出选项。
【详细解答】当a=0，b=0，n=0时，∴a=a+1=0+1=1，b=b+2=0+2=2，⇒2(10)a -+2(10)b -=2(110)-+2(210)-=81+64=145>40，∴a=a+1=1+1=2，b=b+2=2+2=4，⇒2(10)a -+ 2(10)b -=2(210)-+2(410)-=64+36=100>40，∴a=a+1=2+1=3，b=b+2=4+2=6，⇒2(10)a -+ 2(10)b -=2(310)-+2(610)-=49+16=65>40，∴a=a+1=3+1=4，b=b+2=6+2=8，⇒2(10)a -+2(10)b -=2(410)-+2(810)-=36+4=40≤40，∴a=4<5，b=8，n=n+1=0+1=1，⇒ a=a+1=4+1=5，b=b+2=8+2=10，⇒2(10)a -+2(10)b -= 2(510)-+ 2(1010)-=25+0=25≤40，∴a=5≥5，b=10，n=n+1=1+1=2，⇒输出的n 的值为2，⇒B 正确∴选B 。
9、在平面直角坐标系XOY 中，已知点A （0，-2），N （1，0），若动点M 满足||||MA MO ， 则则OM .ON 的取值范围是（ ）A [0，2]B [0，-2，2] D [，【解析】【考点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法；③一元二次函数最值的求法。
【解题思路】设M （x ，y ），运用向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于x ，y 的等式，从而把y 表示成关于x 的式子，根据平面向量数量积坐标运算法则和基本方法，结合问题条件通过运算求出OM .ON 关于x 的函数，通过求函数值域的方法求出OM .ON 的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设M （x ，y ），||||MA MO ，∴22(2)x y ++=2（22x y +），⇒2x =-2y +4y+4，OM =（x ，y ），ON =（1，0），∴OM .ON =x+0=x=±±⇒-2≤OM .ON ≤⇒D 正确，∴选D 。
10、“幻方”最早记载于公元前500年的春秋时期《大载礼》中，“n 阶幻方（n ≥3，n ∈N *）”是由前2n 个正整数组成的一个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示），则“5阶幻方”的幻和为（ ）A 75B 65C 55D 45【解析】【考点】①“n 阶幻方”的定义与性质；②幻和的定义与性质；③求幻和的基本方法。
【解题思路】运用“n 阶幻方”的定义与性质可知“5阶幻方”是由前25个正整数组成的一个5阶方阵，根据“n 阶幻方”排列的规律得到“5阶幻方”，利用求幻和的基本方法求出“5阶幻方”的幻和就可得出选项。
【详细解答】“5阶幻方” 是由前25个正整数组成的一个5阶方阵，由3阶方阵可知，第二列的中间一个正整数是前9个正整数的中位数，且该列数是以3+1=4为公差的等差数列，∴在这个5阶方阵中，第三列的数依次为1，7，13，19，25，⇒ “5阶幻方”的幻和为1+7+13 +19+25=65，⇒B 正确，∴选B 。
11、已知双曲线C ：22x a -22y b=1（a >0，b >0），的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2y =2px （p >0）与双曲线C 有相同的焦点，设P 为双曲线C 与抛物线的一个交点，且cos ∠P 1F 2F=57，则双曲线C 的离心率为（ ）3 C 22或3【解析】【考点】①双曲线的定义与几何性质；质；④曲线交点的定义与求法；【解答思路】题中给出了双曲线方程，已经明确焦点在X 轴上，根据问题条件结合双曲线，抛物线的定义与性质分别求出a ，c 的值，然后由双曲线离心率的公式e=c a 求出双曲线的离心率就可得 出选项。
【详细解答】如图，过1F 作垂直于X 轴的直线l ，过＞0）与双双曲线C 有相同的焦点，P 是抛物线与 双曲线C 的一个交点，∴|PQ|=|P 2F |， ∠QP 1F =∠2F 1F P ， cos ∠P 1F 2F =57，∴cos ∠QP 1F =1||||PQ PF =21||||PF PF =57， ⇒|P 2F |=57|P 1F |，设|P 1F |=7，则|P 2F |=5，⇒|P 1F |-|P 2F |=7-5=2=2a ，⇒a=1，在∆P 1F 2F 中， |2F P|2= |P 1F |2+||1F 2F |2-2|P 1F ||1F 2F | cos ∠P 1F 2F ，∴25=49+42c -2⨯7⨯2c ⨯57，⇒2c -5c+6=0，⇒c=2或c=3，∴ e= c a = 21或e= c a = 31⇒e=2或e=3，⇒D 正确，∴选D 。