矩阵理论2017-2018学年期末考试试题

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武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试线性代数B试题(A)

武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试线性代数B 试题（A ）1、（10分）若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,m n αααβααβα==计算四阶行列式()32112αααββ+.2、（10分）已知3阶方阵101020201A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3阶矩阵B 满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B .3、（10分）已知向量123,,e e e 不共面，试判断向量12312312332,,45e e e e e e e e e αβγ=+-=+-=-++是否共面。

4、（10分）设)(4321αααα，，，=A 为4阶方阵，其中4321αααα，，，是4维列向量，且234,ααα，线性无关，3214αααα++=.已知向量4321ααααβ+++=，试求线性方程组β=x A 的通解.5、（12分）设有向量组()T11,3,3,1α=,()T21,4,1,2α=,()T31,0,2,1α=,()T41,7,2,k α=（1）问k 为何值时，该向量组线性相关？（2）在线性相关时求出该向量组的一个极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

6、（10分）设A 是3阶方阵，互换A 的第一、第二列，得矩阵B ；再将B 的第二列加到第三列上得矩阵C ；然后再将矩阵C 的第一列乘以2得到矩阵D ;求满足AX D = 的可逆矩阵X .7、（10分）若矩阵22082006A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可以对角化，设与A 相似的对角矩阵为Λ；（1）试求常数a 的值及对角矩阵Λ，可逆矩阵P 使得1P AP -=Λ.8、（10分）已知321ααα，，与321βββ，，为所有3维实向量构成的线性空间3R 的两组基, 123ααα，，到321βββ，，的过渡矩阵为021102100P -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1T T T ααα===,试求：(1) 基321βββ，，；(2) 在基 321321,,,,βββααα与下有相同坐标的全体向量.9、（8分）设n 阶方阵A 的伴随矩阵为,A *证明：若,A O =则A O *=；10、（10分）设实二次型2221231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 为参数。

北理工2018-2019学年第一学期《矩阵理论及其应用》期末考试题

北京理工大学2018-2019学年第一学期
《矩阵理论及其应用》期末考试试题
1. 给出正规矩阵和Hermite 矩阵的定义，并给出这两类矩阵的包含关系（10分）；
2. A 是n ×n 维矩阵，给出e A ,sin (A ),cos⁡(A)的级数表达式（10分）；
3. 列举任意3种矩阵分解方法，并给出数学定义（10分）；
4. 对于任意m ×n 维复数矩阵A ，定义||A||=∑∑|a ij |n j=1m i=1，
证明||A||是矩阵范数（10分）；
5. 证明伪逆矩阵A +唯一（10分）；
6. 设A 是一个半正定H-阵且A ≠0,B 是一个正定的H-阵，证明|A +B|>|B|（10分）;
7. A 为正规矩阵，证明与A 酉相似的矩阵也是正规矩阵（10分）；
8. ||A ||<1，证明（E+A ）非奇异（10分）；
9. 证明ρ(A)≤||A||,其中ρ(A)为矩阵A 的谱半径，||A||为任意范数（10分）；
10. 已知V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间，证明dim (V 1)+dim (V 2)=dim (V 1+V 2)+dim⁡(V 1∩V 2)（10分）.。

矩阵论复习题带答案1

矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。

证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。

因此A 与B 的特征值相同。

#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。

天津大学矩阵论期末考试题

为实数。
共
5
页
第 7 页
5
页
第 6 页
1 O T r r 证 In A A In V U U O O O
O T Ir O T V I n V V O O O O T V I nr
I O T O V I r V V O O O
天津大学矩阵论期末考试
1 2 1 3 ，一、（8 分）设矩阵 A 2 2 1 1 1 （1）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值；（2）求 A 的行列式因子、不变因子和初等因子；
（3）求 A 的最小多项式，并计算 A 3 A 2I ；
i, j

所以

是C
nn
上的相容矩阵范数。
共
四（10 分）设微分方程组
5
页
第 4 页
d x Ax 5 0 8 1 dt ， A 3 1 6 ， x0 1 2 0 3 1 x(0) x0
At t
共
五（10 分）对下面矛盾方程组 Ax b
5
页
第 5 页
x3 1 x1 x2 x3 1 x x 1 1 2
（1）求 A 的满秩分解 A FG ；（2）由满秩分解计算 A ；（3）求该方程组的最小 2－范数最小二乘解 x LS 。

解
0 0 1 0 1 1 1 0 （1） A 1 1 1 1 1 FG （不唯一） 1 1 0 1 00 0 1
（1）求 A 的最小多项式 m A ( ) ；（3）求 e ；（3）求该方程组的解。

矩阵论试题及答案

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ；当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

线性代数试卷答案及评分标准

2017—2018 学年第二学期期末考试
课程名称：线性代数 B
闭卷 A 卷 120 分钟
题号一二
三四五六七八九合计
满分 16 10 实得分
12 12 12 10 12 10 6 100
姓名----------------- 重修标记
评阅人得分一、填空题（每小题 2 分，共 16 分）
0
−2
0
r
~
0
1
0
，求得基础解系为
4 2 −4 0 0 0
α3 = (1,0,1)T ..（10 分）
故相似变换矩阵为 P = (α1,α2 ,α3 ) .(11 分)
−1
相应的对角阵= 为 Λ
−1
.（12
分）
1
第5页共6页
评阅人得分
3 4
八、设
A
=
4
−3
2
，求 0
A4
1
（10 分，写出分块阵得 2 分，其余每个箭头的 1 分，如先计算逆矩阵得 4 分）
−1
所以
X
=A
( A − 2E)−1 B
=4 −
5 2
−
1 2
−
7 2
−4
−
1 2
= −−120
1
−14
−2
.（12
分）
4
评阅人得分
五、求解非齐次线性方程组
6 x1 x1
− −
2 x2 x2
5 5
= 1.设 A
= 12 −21 32, B
1
−1
2
3
,则 ( BA)T
=
0
−5

矩阵期末试题及答案

矩阵期末试题及答案一、选择题1. 矩阵的主对角线元素是指：A. 矩阵的第一行元素B. 矩阵的第一列元素C. 矩阵的第一行和第一列元素D. 矩阵从左上角到右下角的元素答案：D2. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则矩阵A的转置矩阵为：A. [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B. [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]C. [1 2 3; 7 8 9; 4 5 6]D. [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]答案：B3. 若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则矩阵A乘以矩阵B得到的矩阵维度为：A. m×pB. n×pD. n×n答案：A4. 若矩阵A = [2 4; 6 8; 10 12]，则矩阵A的行数和列数分别为：A. 3，2B. 2，3C. 3，3D. 2，2答案：A5. 矩阵的逆矩阵存在的条件是：A. 矩阵可逆B. 矩阵为零矩阵C. 矩阵是方阵D. 矩阵不存在逆矩阵答案：C二、填空题1. 一个3×4矩阵由36个元素构成，其中每个元素都是实数。

则该矩阵共有________个元素。

2. 若矩阵A = [1 0; 0 -1]，则矩阵A的特征值为________。

答案：1，-13. 以矩阵A = [1 2; 3 4; 5 6]为被乘矩阵，矩阵B = [7 8; 9 10]为乘矩阵，两矩阵相乘的结果为矩阵C = ________。

答案：[25 28; 57 64; 89 100]4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的转置矩阵为矩阵______。

答案：[1 3; 2 4]5. 设矩阵A = [2 4; 6 8]，矩阵B = [1 2; 3 4]，则矩阵A与矩阵B的乘积为矩阵______。

答案：[14 20; 30 44]三、计算题1. 计算矩阵A = [2 1; -3 4; 5 6]的转置矩阵。

矩阵分析期末试题及答案

矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。

期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。

本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。

1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。

答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。

行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。

矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。

(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。

答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。

对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。

逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。

(4) 请简述特征值和特征向量的定义。

答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。

特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。

(5) 请解释矩阵的秩和行列式。

答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。

(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。

答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。

幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。

(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。

答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。

奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。

(8) 请解释矩阵的迹和范数。

答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。

范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。

(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。

答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。

块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。

(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。

矩阵理论试题答案最终版

阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt

矩阵论试题

矩阵论试题一、选择题1.设A是n阶方阵，若|A|=0，则A（）。

A. 一定是可逆矩阵B. 一定是不可逆矩阵C. 可能是可逆矩阵，也可能是不可逆矩阵D. 以上说法均不正确答案：B2.若矩阵A与B相似，则A与B具有（）。

A. 相同的特征值B. 相同的特征向量C. 相同的秩D. 相同的行列式答案：A、D（相似矩阵具有相同的特征值和行列式，但特征向量不一定相同，秩也一定相同，但此题只问具有什么，故A、D为正确答案）3.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）。

A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 上三角矩阵D. 任意方阵答案：A（单位矩阵是正交矩阵的一种特殊情况）二、填空题1.设矩阵A=(1324)，则A的行列式|A|=______。

答案：-2（根据行列式的定义和计算方法，有|A|=1×4-2×3=-2）2.若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B为______。

答案：可交换矩阵（或称为可交换的）3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A，则|A|=______。

答案：|A|(n-1)）三、计算题1.设矩阵A=(2113)，求A的逆矩阵A^(-1)。

解答：首先求|A|，有|A|=2×3-1×1=5≠0，所以A可逆。

然后利用逆矩阵的公式A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A*是A的伴随矩阵。

A的伴随矩阵A=(3−1−12)（伴随矩阵的元素是A的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置）。

所以A^(-1)=(1/5)×A=(3/5−1/5−1/52/5)。

2.设矩阵A=147258369，求A的秩R(A)。

解答：对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。

通过初等行变换，可以得到A的行最简形为1002−303−60。

所以R(A)=2（非零行的个数）。

四、证明题1.证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。

证明：根据可逆矩阵的定义，若矩阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）。

上海第二工业大学2017-2018学年第一学期期末考试《线性代数》试卷

上海第二工业大学（试卷编号：B0602A ） 2017-2018学年第一学期期末考试《线性代数》试卷姓名：学号：班级：成绩：一、填空题（每题3分，共15分）1．设ab c d b cd a D c da b b b b b =，ij A 为元素ij a 的代数余子式，则11121314A A A A +++= _____；2．已知四阶行列式D 中第一行上元素分别为1,2,0,4-；第3行上元素的余子式依次为6,,19,2x ；则x 的值为___________；3．设04110210A ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭，则1______________A -=； 4．设A 为23⨯矩阵，()2R A =，已知非齐次线性方程组AX b =有解12,ηη，且112112,111ηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则对应齐次线性方程组0AX =的通解为______________； 5．设二次型2221234124122434(,,,)224f x x x x x x x x x x x x x =-+-++，则二次型矩阵为A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

二、选择题（每题3分，共15分）1．已知,A B 为三阶方阵，1,2A B ==-，则*1(2)AB A -=（）（A ）132；（B ）18；（C ）2；（D ）122．设,A B 为n 阶方阵，则下面结论正确的是（）（A ）若A 或B 可逆，则AB 必可逆；（B ）若A 或B 不可逆，则AB 必不可逆；（C ）若,A B 均可逆，则A B +必可逆；（D ）若,A B 均不可逆，则A B +必不可逆。

3．设向量组123,,ααα线性无关，234,,ααα线性相关，则（）（A ）4α可能被23,αα线性表示；（B ）4α不能被23,αα线性表示；（C ）1α可能被234,,ααα线性表示；（D ）4α不能被123,,ααα线性表示；4．下列向量集合中能构成向量空间的是（）（A ）1123123123{(,,)231,,,}V X x x x x x x x x x R ==++=∈；（B ）21313{(,0,),}V X x x x x R ==∈；（C ）2223123123123{(,,)1,,,}V X x x x x x x x x x R ==++=∈；（D ）4123123123{(,,)0,,,}V X x x x x x x x x x R ==⋅⋅=∈。

吉林大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B

共 4 页第 1 页吉林大学考试卷（B 卷）课程名称线性代数B 考试学期 17-18-2 得分适用专业 13、42系考试形式开卷考试时间长度 120分钟一、填空题(30分，每空3分) 1. 设)1,2(),1,1(=−=βα，则=T αβ ；=+βα ； 2. 设 −−=1111A ， −=11B ，则=AB ；=)(AB r ； 3. 设n 阶矩阵A 满足O E A A =−+2，则=+−1)(E A ； 4. 与向量)0 ,1 ,1(1−=α和)2 ,1 ,1(2−=α均正交的单位向量=3α ； 5. 设A 是53×阶矩阵，秩3)(=A r ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中含有个解向量； 6. 设3阶矩阵B A ~，且矩阵A 的特征值为2,1,1−，则矩阵E B +的3个特征值分别是；行列式=+E B ； 7. 二次型32212321321424),,(x x x x x x x x x f +−+=对应矩阵=A 。

二、计算题（8分）计算行列式411211111−=D共 4 页第 2 页三、（12分）假设=200011012A ，求矩阵方程X A E AX +=−的解。

四、（12分）设向量组A ： −=42111α， =21302α；与B ： =147031β，=105122β。

1. 证明向量组A 与B 等价；2. 求向量组A 与B 相互线性表示的表示系数。

共 4 页第 3 页五、（15分）给定线性方程组 −=++−=++−=++322321321321λλλλx x x x x x x x x1. 参数λ取什么值时，上面的线性方程组无解、有唯一解和无穷解？2. 在方程组有无穷多解时，求出其通解。

六、（15分）设二次型323121232221321222222),,(x tx x tx x tx x x x x x x f −−−++=。

中国海洋大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷

一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18分)1. n 阶行列式122222222222322222122222n n−的值为______.2. 设矩阵001110123010,010,023*********A C D −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3阶方阵B 满足ABC D =，则1B −=______. 3. 已知2R 中两组基为ααββ===−=1212(1,1),(0,1);(1,1),(1,2),T TTT则从基αα12,到基ββ12,的过渡矩阵是，已知α在基αα12,下的坐标为(3,0)T ，则α在基ββ12,下的坐标为 .4.设111101,1101a A b α−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为A 的属于特征值2−的特征向量，则a =______，b =______.5.设3阶实对称矩阵A 的秩()2r A =且A 满足22A A O −=(O 表示零矩阵)，则4I A −=______.6. 已知实二次型22212312313(,,)2f x x x x ax x x x =+++经正交变换x Py =可化为标准型221223f y y =+，则a =______.二、选择题(共 8题，每题 3分，共 24分) 1. 下列(2)n n ≥阶行列式的值必为0的是（）.(A) 行列式主对角线上的元素均为0 (B) 行列式零元素的个数多于n 个 (C) 行列式零元素的个数多于2n n −个 (D) 行列式非零元素的个数比+1n 少2. 将2阶方阵A 的第二列加到第一列得方阵B ，再交换B 的第一行与第二行得单位矩阵，则A =（）.（A ）0111⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）0111⎛⎫ ⎪−⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1110−⎛⎫ ⎪⎝⎭3．设A 是n 阶矩阵，O A =3，则 =−−1)(A I （）.（A ）2A A I +− （B ）2A A I ++ （C ）2A A I −+ （D ）2A A I −−4. 齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在3阶非零矩阵B 使得AB O =，则（）.中国海洋大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷（A ）2λ=−且0B = （B ）2λ=−且0B ≠ （C ）1λ=且0B = （D ）1λ=且0B ≠ 5. 已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同解，12,αα是对应齐次方程组0Ax =的基础解系，则Ax b =的一般解是（）.（A ）1211212()2k k ββααα−+++ （B ）1211221()2k k ββααα++−+（C ）1211212()2k k ββαββ−+++ （D ）1211212()2k k ββαββ++−+6.下列矩阵中不能对角化的是（）.（A ）1101⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 1102⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C) 1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1212⎛⎫ ⎪⎝⎭注：以下两道为多选题 7. 对向量组12,,,m ααα，其中,1,2,,n i R i m α∈=，下列说法正确的是（）.(A)设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性相关，则12,,,m A A A ααα也线性相关 (B) 设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性无关，则12,,,m A A A ααα也线性无关(C) 12,,,m ααα线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出 (D) 若12,,,m ααα中有一个是零向量，则此向量组线性相关(E)零向量可由12,,,m ααα线性表出8. 下列说法正确的是（）.(A)对矩阵A 不管施行初等行变换还是初等列变换都不会改变矩阵的秩的值 (B)若A 、B 均可逆，则()()r ACB r C =(C)若n 阶方阵A 的秩()1r A n =−，则*()0r A =，其中*A 为A 的伴随矩阵 (D)若1212=(,,,),=(,,,),m n a a a b b b αβ，其中,i j a b (1,2,,;1,2,,i m j n ==)均非零，则()1T r αβ=三、计算题 (共 3题，共24分)1．（8分）已知4阶行列式42134102315211152D =−,ij A 表示第i 行第j 列元素ij a 的代数余子式，求1323432A A A ++的值。

复旦大学《线性代数》2017-2018学年第二学期期末试卷A卷

复旦大学考试试卷A2017~2018学年二学期线性代数课程时间110分钟32学时，2学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%18年月日班级姓名学号成绩一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则|(3A)-1|＝。

2、若n 阶方阵满足A 2＝A ＋E ，其中E 是n 阶单位矩阵，则A ＋E 可逆，且(A ＋E)-1＝。

3、已知向量组, )1 1,- 2, ,1(1'=α )0 k, 0, ,2( 2'=α， , )2- 5, 4,- 0,(3'=α若矩阵A ＝(α1α2α3)的秩为3，则k ＝。

4、齐次线性方程组A 5×7X ＝O 的基础解系中含有两个线性无关的解，那么方程组中非自由未知量有个。

5、在三维向量空间R 3中，由自然基ε1，ε2，ε3，到基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,0( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη的过渡矩阵Q ＝6、设α是n 阶实对称矩阵A 对应于λ的特征向量，则矩阵(P -1AP)’对应于特征值λ的特征向量为。

二、单项选择题（每小题2分，共12分）1、a 32a 2r a 14a 51a 4s 是五阶行列式展开式的一项，则对r ，s 的取值，及该项的符号，正确的选择是（）。

(A)r ＝3，s ＝5，符号为+；(B)r ＝3，s ＝5，符号为-；(C)r ＝3，s ＝2，符号为+；(D)r ＝5，s ＝3，符号为-。

2、A 为任意n (n≥3)阶方阵，则kA 的伴随矩阵(kA)*＝（）。

(A)kA *(B)k n-1A *(C)k n A *(D)k -1A *3、A 、B 是同阶方阵，则下列叙述正确的是（B ）。

(A)若A 、B 可逆，则A+B 可逆；(B)若A、B 可逆，则A B 可逆；(C)A+B 可逆，则A-B 可逆；(D)A+B 可逆，则A 、B 均可逆。

4、设A 为n 阶方阵，则|A|=0的必要条件是（）。

矩阵论期末试题及答案

矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）线性无关的最大个数，下面关于矩阵秩的说法中，错误的是：A. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个行（列）线性无关。

B. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。

C. 设A，B为n×m矩阵，若A的秩为r，B的秩为s，则AB的秩至少为max{r,s}。

D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。

题目2：对于阶梯形矩阵，以下说法正确的是：A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。

B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。

C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。

D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。

题目3：设A为n阶矩阵，下列说法正确的是：A. 若A为可逆矩阵，则A的行秩和列秩都为n。

B. 若A的行秩和列秩都为n，则A为可逆矩阵。

C. 若对于非零向量 x，都有Ax=0，则称矩阵A为零矩阵。

D. 若A为可逆矩阵，则方程Ax=b存在唯一解。

题目4：对于实对称矩阵A，以下说法正确的是：A. A一定有n个线性无关的特征向量。

B. A的所有特征值都是实数。

C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n，则称A为满秩矩阵。

D. A一定可以对角化。

2. 计算题题目1：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。

解答：转置矩阵的行与列互换，故矩阵A的转置矩阵为：A^T = [1, 3; 2, 4]题目2：已知矩阵B = [2, 1; -1, 3]，求矩阵B的逆矩阵。

解答：逆矩阵满足BB^(-1) = I，其中I为单位矩阵。

对于矩阵B，可以使用伴随矩阵法求解：B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素：B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3：已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]，求矩阵C的行列式的值。

北京航空航天大学2017年度-2018年度第一学期矩阵B试题

2017－2018 学年第一学期期末试卷学号姓名任课教师成绩考试日期：2018年 1 月23日考试科目：《矩阵理论》（B）注意事项：1、考试8个题目共9页2、考试时间120分钟题目：一、（本题 21 分）二、（本题 10 分）三、（本题 10 分）四、（本题 10 分）五、（本题 15 分）六、（本题 12 分）七、（本题 12 分）八、（本题 10 分）1. （21分）填空（1）A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1111111111111111, A 的满秩分解为( ).（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 20021，则A + = ( ).（3）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011021010, 则 A 的Jordan 标准型J = ( ).（4）设q m q p n m C D C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,, 则矩阵方程D AXB =相容的充要条件是( ).（5）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432321210, 则 ||A||1 = ( ), ||A||∞= ( ), ||A||F = ( ).（6）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200120012, k 为正整数，则A k =( ).（7）设三阶矩阵A 的特征值为-1,0,1. 则矩阵A e sin 的行列式是（）.2．（10分）设 T 是线性空间3R 上的线性变换，它在3R 中基321,,ααα下的矩阵表示是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=512301321A . （1）求T 在基321321211,,αααβααβαβ++=+==下的矩阵表示. （2）求T 在基321,,ααα下的核与值域.3．(10分) 设A = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.06.06.02.0, 求证矩阵幂级数∑∞=12k kA k 收敛并求和.4．（10分）设 A = ⎪⎪⎭⎝-110, 求A 的奇异值分解.5．（15分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎝--5334y x的二重特征值2=λ有两个线性无关的特征向量. （1）求y x ,.（2）求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵.（3）求A 的谱分解表达式.6．（12分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----354113211101，b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-333.（1）用满秩分解求+A . （2）判断方程组Ax = b 是否有解. （3）求Ax = b 的极小范数解或极小最小二乘解.7．(12分) (1) 设n n R A ⨯∈. 证明A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值n λλ,,1Λ为实数，且存在正交矩阵n n R Q ⨯∈，使得},,{1n T diag AQ Q λλΛ=.(2) 设k n n m C B C A ⨯⨯∈∈,, R(A)与R(AB) 分别表示A 与AB 的值域. 证明: R(A)=R(AB)的充分必要条件是存在矩阵,n k C D ⨯∈使得ABD=A.8．（10分）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----222132021，求e At ..。

矩阵期末练习题及答案

矩阵期末练习题及答案例1若A 是对称矩阵，则A T -A=______。

答案：0例2若矩阵A 可逆，则（A T ）-1=____.答案：（A -1）T例3设A ，B 均为方阵，若AB =I ，则A -1=_____,B -1=______.答案：B ，A例2 矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020100，则A -1=（）。

答案：⎢⎢⎢⎣⎡001 0210 ⎥⎥⎥⎦⎤-100 例3、设A 、B 均为方阵，则下列结论正确的是（）。

A ．（AB ）T =A T B TB ．AA T =A T AC ．若A T =A ，则（A 2）T =A 2D ．若A T =A ，B T =B ，则（AB ）T =AB 。

答案：（C ）。

例4、设A 是三角形矩阵，若主对角线上元素（），则A 可逆。

A ．全部为0B ．可以有零元素C ．不全为0D ．全不为0答案：（D ）例5、设A=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101，B=⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109，求A.B 。

解：A.B=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109=⎢⎢⎢⎣⎡-132822 ⎥⎥⎥⎦⎤--173628例6、设A=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 ⎥⎥⎥⎦⎤313，求A -1。

解：（AE ）=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 313 001 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 222-- 653-- 321-- 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022- 153-- 121-- 110- ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 153 121 110-⎥⎥⎥⎦⎤-100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 100 132-- 163-- ⎥⎥⎥⎦⎤-153→⎢⎢⎢⎣⎡001 020 100 131- 163- ⎥⎥⎥⎦⎤--152→⎢⎢⎢⎣⎡001 010 100 1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252 ∴A -1=⎢⎢⎢⎣⎡1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252例7．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA -T . 解 C BA -T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210例8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321221211A ，求1-A ．．解因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110011010001211100321010221001211)(I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→110100011010001211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********001 所以，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1100112121A ．例9．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=143102010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I ，求1)(-+A I ．解因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+243112011A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-103210012110001011100243010112001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→115100012110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→115100127010001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→115100127010126001所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-115127126)(1A I 例10、解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X . 解因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321 所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12例8、证明：若A 2=I ，且AA T =I ，则A 为对称矩阵。

矩阵理论历年试题汇总及答案

矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。

历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。

以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。

矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。

答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。

接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。

特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。

答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。

计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。