-反证法教案

§29.2反证法

教学目标：

1、知识与能力：（1）、通过实例，体会反证法的含义

（2）、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.

2、过程与方法：（1）、了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.

（2）、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.

3、情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.

教学重点：

体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证题的步骤。

教学难点：

理解反证法的推理依据及方法，用反证法证明简单的命题是教学难点.

教学方法：

讲练结合教学.

教学过程：

提问：

师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？

生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？

生：共分三步：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2 +b2 ＝c2

二、探究

问题：

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。

探究：

假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。

三、应用新知

例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠∠ C

证明：假设，∠B ＝∠C

则AB＝AC

这与已知AB≠AC矛盾．

假设不成立．

∴∠B ≠∠ C

小结：

反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确

例2、已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b

证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。

那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。

∴a//b.

小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾

例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知：△ABC , 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°

∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°

即∠A+∠B+∠C>180°

这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．

∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

例4．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，教师引导）

已知：；

求证：；

证明：假设，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有条直线与直线c平行，这与“过直线外一点”。矛盾,则假设不成立。

∴。

三、课堂练习：

1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

2、求证两条直线相交只有一个交点.

3、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.

4、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.

5、求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.

6、“a

A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b

7、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）

A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c

C．a⊥b D．a与b相交

8、用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设

___________．

9、用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．

10、请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．

11、如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．

证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．

12、完成下列证明．

如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．

证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．

综上所述，假设不成立．

∴∠B一定是锐角．

13、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（）

A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

14、若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．

15、已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.

求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.

16、三角形内角中至多有一个内角是钝角.

17、求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.

18、求证：一个三角形中不能有两个直角.

四、课时小结

本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。

五、课后作业：课本

六、板书设计

§29.2 反证法

1.反证法证明命题的步骤。

2.反证法应用：例题。

小结：

七、教学反思：