-反证法教案
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
八年级数学上册《反证法》教案、教学设计
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
反证法教案——精选推荐
反证法教案选修2-2 反证法教学设计⼀、教学⽬标1.知识与能⼒通过实例，培养学⽣⽤反证法证明简单问题的推理技能，进⼀步培养观察能⼒、分析能⼒、逻辑思维能⼒及解决问题的能⼒.2.过程与⽅法了解反证法证题的基本步骤，会⽤反证法证明简单的命题.3.情感、态度、价值观培养学⽣观察、探究、发现的能⼒和空间想象能⼒、逻辑思维能⼒.让学⽣在观察、探究、发现中学习，在⾃主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强⾃信⼼，树⽴积极的学习态度，提⾼学习的⾃我效能感.⼆、教学重点与难点重点：1、理解反证法的概念.2、掌握反证法证题的步骤及体会反证法证明命题的思路⽅法3、能利⽤反证法证明相关的数学问题。
难点：理解“反证法”证明得出“⽭盾的所在”即⽭盾依据。
三、学法指导通过⾃学和⽼师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路⽅法，总结反证法证题的基本步骤。
反证过程中的批判思想更有助于学⽣正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学⽣利⽤反证法对客观世界的认识提出⾃⼰的问题，这正是反证法教学所要教给学⽣的，应该具有的数学能⼒，也是培养学⽣数学素质与数学素养的很好教学机会.四、【教学过程】⼀、引⼊新课上节课我们学习了⽤，直接证明问题的⽅法。
⼀般的，我们⽤综合法来书写过程，⽤分析法来书写步骤，那么还⽤没有其他的证明⽅法呢？2、情景创设-----王戎的故事王戎(⽣于魏青龙元年，卒于晋永兴⼆年，233-305)字睿冲，琅琊临沂⼈。
晋司徒、封安丰县侯，出⾝魏晋⾼门琅琊王⽒。
他是”⽵林七贤”之⼀.⼩故事-----《路边苦李》古时候有个⼈叫王戎，7岁那年的某⼀天和⼩伙伴在路边玩，看见⼀棵李⼦树上的果实多得把树枝都快压断了，⼩伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。
他说：“李⼦是苦的,我不吃。
”⼩伙伴摘来⼀尝，李⼦果然苦的没法吃。
⼩伙伴问王戎:“这就奇怪了!你⼜没有吃,怎么知道李⼦是苦的啊?”假如你就是王戎，应该如何回答？【设计意图】通过对这个问题的解答，使学⽣⾃主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导⼊新课。
反证法教案
《反证法》教案课题：反证法教材分析反证法又称归谬法。
用它来证明命题的基本过程分以下三个步骤：(1）做待证命题的否命题；（2）根据所做出的否命题，结合已知条件或已知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的地方；（3）否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性。
反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。
中学阶段，是一个人形成价值观的重要阶段。
这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去其糟粕？学生可以利用反证法。
我们现行的教材中，许多的内容可以说是矛盾的，学生如果能正确的分析问题，不是被动的接受书本或是教师的灌输，对其今后的学习、工作，无疑将有很大的帮助。
在教学过程中，我们重视的不是学生如何解决矛盾，而是非常高兴地看到学生利用反证法对客观世界的认识提出了自己的问题，正是反证法教学所要教给学生的。
这些正是学生学习数学应该学会的能力.教学目标(1)结合实例了解“反证法”，明确反证法证明命题的思路和步骤．(2)能应用反证法证明一些简单的数学命题。
（3）知道证明一个命题除用直接证法外，还有间接证法，开拓学生的视野，发展逻辑思维能力。
教学重点和难点重点：对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．难点：反证法证题中在推理过程中发现矛盾．教学过程设计（一）故事导入3个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里一棵大树下躺下来休息一会儿，结果都睡着了．这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额．三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来．但这并没有引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑．其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了．他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？为了方便用甲、乙、丙代表这三个哲学家，并不妨设甲已经发觉自己的脸给涂黑了．那么甲这样想，“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑．如果我的脸没给涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪．因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了．然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我．由此可知，我的脸也给涂黑了”．这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了．因此，这是一种间接的证明方法．这就是本节我们学习的“反证法”．仔细分析甲的思考过程，不难看出它分4个步骤：1．假设自己的脸没被涂黑；2．根据这个假设进行推理，推得一个与乙对丙的笑不感到奇怪的这个事实相矛盾的结果——乙应对丙的笑感到奇怪；3．根据这个矛盾，说明原来假设自己的脸没涂黑是错误的．4．根据原来的假设脸没被涂黑是错误的，便可做出没被涂黑的反面——涂黑了是对的结论．简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面——没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了．(二)复习回顾问题（1）：.如果√2是一个分数，那么√2可以表示为m/n(m、n是正整数，且没有大于1的公约数），即√2=m/n.根据平方根的意义，（m/n)的平方等于2，即m平方/n平方等于2，2*n的平方=m平方。
《反证法》 说课稿
《反证法》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《反证法》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“反证法”是高中数学选修 2-2 中推理与证明这一章节的重要内容。
推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
反证法作为一种间接证明的方法，在数学证明中有着广泛的应用。
通过本节课的学习，学生将进一步理解证明的意义和方法，提高逻辑推理能力和数学素养。
同时，反证法的思想也为后续学习数学归纳法等内容奠定了基础。
二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了直接证明的方法，如综合法和分析法，具备了一定的逻辑推理能力。
但是，对于反证法这种间接证明的方法，学生可能会感到陌生和难以理解。
此外，学生在思维上可能存在定式，习惯于从正面思考问题，而反证法需要从反面出发进行推理，这对学生的思维转换能力提出了一定的挑战。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）了解反证法的定义和反证法证明命题的一般步骤。
（2）能够运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标（1）通过对反证法的学习，培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。
（2）让学生经历反证法的探究过程，体会“正难则反”的数学思想。
3、情感态度与价值观目标（1）通过反证法的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
（2）让学生感受数学的严谨性，培养学生的辩证唯物主义观念。
四、教学重难点1、教学重点（1）理解反证法的概念和原理。
（2）掌握反证法的一般步骤，并能运用反证法证明简单的命题。
2、教学难点（1）如何正确地提出反设。
（2）如何在推理过程中导出矛盾。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。
（2）讲授法：讲解反证法的概念、步骤和原理，让学生对反证法有初步的了解。
（3）案例教学法：通过具体的案例，让学生体会反证法的应用，加深对反证法的理解。
反证法教案
第27章证明
第7课时反证法
初三（）班姓名：学号：
一、学习内容：反证法；
二、学习目标：1、反证法的定义和步骤；
2、会用反证法来证明；
三、学习过程：
1、用反证法证明命题的步骤是：
（1）假定；
（2）从出发，经过，推出与相矛盾；
（3）由矛盾判定，从而肯定命题的结论。
2、例：用反证法证明：等腰三角形的两底角必定是锐角。
四、分层练习：
1．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的
第一步是____ ____．
2．下列命题中，假命题是（）
A．平行四边形的对角线互相平分; B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等; D．菱形的对角线相等且互相平分
3．•命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是_______，这个命题是________命题．（填“真”或“假”）
4、试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角。
反证法授导型教案
反证法授导型教案第一章：反证法的概念引入1.1 教学目标让学生理解反证法的定义和基本思想。
能够识别和应用反证法解决简单问题。
1.2 教学内容反证法的定义和基本思想介绍。
举例说明反证法的应用。
1.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解反证法的概念。
提供练习题，让学生应用反证法解决问题。
1.4 教学评估检查学生对反证法概念的理解程度。
评估学生应用反证法解决问题的能力。
第二章：反证法的基本步骤2.1 教学目标让学生掌握反证法的基本步骤。
能够独立完成反证法的应用。
2.2 教学内容介绍反证法的基本步骤：假设反面、推导矛盾、得出结论。
提供具体的例题，讲解每一步的运用。
2.3 教学方法通过讲解和示例，让学生熟悉反证法的步骤。
分组讨论和练习，让学生互相学习和巩固。
2.4 教学评估检查学生对反证法步骤的理解和应用能力。
提供练习题，评估学生的独立解决问题的能力。
第三章：反证法在几何中的应用3.1 教学目标让学生了解反证法在几何中的应用。
能够运用反证法证明几何命题。
3.2 教学内容介绍反证法在几何中的典型应用案例。
讲解如何运用反证法证明几何命题。
3.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解反证法在几何中的应用。
提供练习题，让学生运用反证法证明几何命题。
3.4 教学评估检查学生对反证法在几何中应用的理解程度。
评估学生运用反证法证明几何命题的能力。
第四章：反证法在代数中的应用4.1 教学目标让学生了解反证法在代数中的应用。
能够运用反证法解决代数问题。
4.2 教学内容介绍反证法在代数中的典型应用案例。
讲解如何运用反证法解决代数问题。
4.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解反证法在代数中的应用。
提供练习题，让学生运用反证法解决代数问题。
4.4 教学评估检查学生对反证法在代数中应用的理解程度。
评估学生运用反证法解决代数问题的能力。
第五章：反证法的拓展与应用5.1 教学目标让学生了解反证法的拓展与应用。
能够运用反证法解决更复杂的问题。
人教版数学九年级上册24.2.1反证法教案
在今天的课堂上，我们探讨了反证法这一重要的数学证明方法。通过教学，我发现学生们对反证法的概念和应用表现出浓厚的兴趣，但也存在一些理解和应用上的困难。
首先，反证法的逻辑推理过程对学生来说是一个挑战。他们在理解如何从假设的反面出发，通过推导出矛盾来证明原命题的正确性时，往往会感到困惑。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导学生逐步理解反证法的逻辑过程，通过更多具体的案例和练习，帮助他们掌握这种方法。
（3）反证法在解决实际问题中的应用：将反证法应用于解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。
举例：在一个比赛中，假设没有平局，通过反证法证明“如果每个队伍至少输了一场比赛，那么一定有一个队伍赢了所有比赛。”
2.教学难点
（1）反证法的逻辑推理：学生需要理解反证法背后的逻辑推理，即从假设的反面出发，通过严密的逻辑推导出矛盾，这需要较强的逻辑思维能力和对数学知识的深入理解。
其次，学生在识别矛盾方面也遇到了一些难题。有时候，他们会将非本质的矛盾与真正的矛盾混淆，或者在推导过程中忽略了矛盾的出现。我意识到，在这方面，我需要加强对学生的引导，让他们学会如何识别并利用矛盾来解决问题。
此外，小组讨论的环节让我看到了学生们的合作精神和思维碰撞。他们在讨论反证法在实际生活中的应用时，提出了许多有趣的观点和问题。这也让我意识到，将数学知识与学生们的日常生活联系起来，能够激发他们的学习兴趣，提高课堂参与度。
本节课将围绕以上内容展开教学，让学生掌握反证法的基本概念，学会运用反证法进行数学证明，并能够将反证法应用于解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用反证法进行严密的数学证明；
2.提高学生的批判性思维，学会从反面思考问题，善于发现问题的矛盾之处；
反证法高中数学教案
反证法高中数学教案
主题：反证法
教学目标：
1. 理解反证法的基本原理和应用方法；
2. 掌握运用反证法证明数学定理的能力；
3. 提高逻辑推理能力，培养思维严谨的数学思维。
教学内容：
1. 反证法的基本原理；
2. 反证法在证明数学定理中的应用；
3. 经典反证法例题分析。
教学步骤：
1. 引入反证法的概念，解释其基本原理；
2. 通过一个简单的例子，让学生体会反证法的思维过程；
3. 结合具体数学定理，教授学生如何运用反证法进行证明；
4. 给学生分发若干反证法相关的练习题，让他们在课堂上进行实践训练；
5. 教师梳理反证法的应用技巧和注意事项，强化学生的学习效果；
6. 结束课堂，布置反证法相关的家庭作业。
教学评估：
1. 基于课堂练习题，检查学生对反证法的理解和掌握情况；
2. 评判学生在应用反证法进行证明时的逻辑推理是否严谨；
3. 针对学生的反证法运用能力进行评估，给予相应的指导和补充。
教学延伸：
1. 拓展反证法在其他领域的应用，如物理学、哲学等；
2. 鼓励学生自主尝试应用反证法解决数学难题；
3. 组织讨论会，分享学生在反证法中的心得体会。
以上是一份反证法高中数学教案范本，希望能够帮助教师更好地设计和开展相关教学工作。
祝教学顺利！。
反证法-华东师大版八年级数学上册教案
反证法-华东师大版八年级数学上册教案一、教学目标1.了解反证法的概念与基本思想；2.掌握运用反证法解决数学问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和创新意识；3.学会从题目中找出可以采用反证法证明的问题；4.能够灵活运用反证法，掌握证明过程的表达方法；5.培养学生认真、严谨、细心、勤奋的学习态度和团队合作精神。
二、教学重难点1.掌握反证法的概念、基本思想与方法。
2.学会如何运用反证法证明数学命题，具体可以从题目中提取出可以用反证法证明的问题进行练习。
3.学会证明过程的表达方法，掌握如何正确阐述证明思路。
三、教学内容1.反证法的概念反证法是数学证明的一种方法，通俗的说就是设定反面推出正面。
假设所要证明的命题不成立，然后用推理法或对照法得出一种矛盾的结论，这时就可以得出所要证明的命题成立。
2.反证法的基本思想反证法的证明方法建立在对命题成立性的形式化的假设、否定及相关逻辑措辞的基础上。
反证法的方式通常包括以下两个步骤：（1）假定所要证明的命题不成立。
（2）根据已知条件或已证明命题推导出与已有的事实相矛盾的结论，从而推出所要证明的命题是成立的。
3.反证法解题实例下面通过一些例子来介绍如何使用反证法证明一些命题。
（1）证明根号 2 是无理数。
反证法证明：假设根号 2 是有理数，则可以写成根号 2=a/b，其中 a 和 b 是整数，且 a、b 互质。
则有 2=a²/b²，移项有 2b²=a²，即 a²是 2 的倍数。
如果 a 为偶数，则 b 也是偶数，与 a、b 互质相矛盾；如果 a 为奇数，则 a²为奇数，而 2b²为偶数，也与 a²是 2 的倍数相矛盾。
于是，假设不成立，根号 2 是一个无理数。
（2）证明在每个正整数 n2 + 1 的同余类中存在一个素数。
反证法证明：假设在每个正整数 n²+1 的同余类中没有素数，则每个 n²+1 的同余类中都只包含合数。
反证法教案 (1)
反证法一、教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．二、教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程．三、教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法．四、教学过程：（一）复习准备：1．讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2．提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”．讨论如何证明这个命题？点，则O在AB的中垂线l上，O又在B C的中垂线m上，即O是l与m的交点．但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆．（二）讲授新课：1．教学反证法概念及步骤：①练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么ba②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）．方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实．注：结合准备题分析以上知识．2．教学例题：①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．分析：如何否定结论？→如何从假设出发进行推理？→得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结O P，则由垂径定理：O P⊥AB，O P⊥CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分．（同上分析→板演证明，提示：有理②出示例2数可表示为/m n）=（m,n为互质正整数），/m n从而：2m n=，22(/)3=，可见m是3的倍数．3m n设m=3p（p是正整数），则222==，可见n也是3的倍数．39n m p这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）．=/m n数．③练习：如果1a+为无理数，求证a是无理数．提示：假设a为有理数，则a可表示为/p q（,p q为整数），即/=．a p q由1()/+=+，则1a p q qa+也是有理数，这与已知矛盾．∴a是无理数．3．小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）．。
反证法教案
反证法教案教学目标：1.了解反证法的概念和基本思想。
2.通过反证法的实例演示，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3.能够应用反证法解决实际问题。
教学重点：1.明确反证法的概念和基本思想。
2.学会运用反证法解决实际问题。
教学难点：1.理解反证法的思想和方法。
2.运用反证法解决实际问题。
教学方法：1.讲授法。
2.案例分析法。
教学过程：一、引入教师可以通过以下问题引入反证法：1.当我们想证明一个命题时，有哪些方法可以使用？2.如果一个命题是假的，我们如何证明它是假的？二、讲解反证法的概念和基本思想1.反证法的概念反证法是一种证明方法，它是一种通过假设命题的反面，然后推出矛盾的方法，从而证明原命题是成立的。
2.反证法的基本思想反证法的基本思想是：如果一个命题是假的，那么它的反命题就是真的。
因此，我们可以假设原命题的反面是成立的，然后推导出矛盾，从而证明原命题是成立的。
三、案例演示教师可以通过以下实例演示反证法的应用：例1. 证明：根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即根号2=a/b（a、b互质），则有2=a^2/b^2，即a^2=2b^2。
因此，a是偶数，设a=2k，则2b^2=a^2=4k^2，即b^2=2k^2。
因此，b也是偶数，与a、b互质矛盾。
因此，假设不成立，根号2是无理数。
例2. 证明：不存在最大的素数。
假设存在最大的素数p，那么p+1不是素数。
因为p+1是大于1的整数，所以它可以分解成若干个素数的积，即p+1=a1×a2×a3×…×an。
因为p是最大的素数，所以p 不可能是a1、a2、a3、…、an中的任何一个，因此，p+1不可能是素数，与假设矛盾。
因此，假设不成立，不存在最大的素数。
四、课堂练习教师可以让学生通过以下题目练习反证法的应用：1.证明：根号3是无理数。
2.证明：不存在两个相邻的自然数，它们的平方和是完全平方数。
3.证明：不存在有理数x和y，满足x^2=2y^2。
反证法”教学案例
反证法”教学案例反证法是一种常用的证明方法，其基本思想是通过推理假设的否定情况，得出一个与已知事实或假设矛盾的结论，从而推断出原先的假设是正确的。
这种证明方法在数学、逻辑学等领域得到广泛应用，以下是一个关于反证法的教学案例。
教学目标：1.了解反证法的基本思想和用途；2.掌握使用反证法进行证明的步骤和技巧；3.培养学生逻辑思维和推理能力。
教学准备：1.板书：反证法；2.课件：相关例题和解析；3.实物或图片：辅助理解教学内容；4.学生练习册：相关练习题。
教学过程：步骤一：导入(10分钟)1.引导学生回顾上一次课学习的内容，即直接证明法和间接证明法。
2.提问：在数学中，还有哪些证明方法可以使用？3.引入新内容：今天我们要学习一种重要的证明方法，那就是反证法。
1.板书：反证法的定义和基本思想。
2.解释定义：反证法是一种通过假设的否定情况来证明一个命题的方法。
3.分析基本思想：我们通过假设命题的反面，采用逻辑推理的方法，从而导致矛盾的结论，进而推断出原命题是正确的。
步骤三：案例分析(30分钟)1.提出案例：现有一数学问题，“证明根号2是无理数”，请你们思考一下怎么做？2.对讨论结果进行总结：学生可以提出通过假设根号2是有理数，然后推导出矛盾的结论，从而得出根号2是无理数的结论。
3.分析假设的反面：假设根号2是有理数，即可以写成分数a/b的形式，其中a和b互质。
4.推导矛盾结论：根据假设推导出根号2可化简为a/b的形式，进而可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2a）根据整数的性质可知，如果整数a的平方是偶数，则a也是偶数，反之亦然。
b）令a=2k，则2b^2=(2k)^2=4k^2，得到b^2=2k^2c）同样可知，b也是偶数。
即a和b都是偶数，与a和b互质的假设矛盾。
5.得出结论：原命题假设不成立，根号2是无理数。
1.总结反证法的基本步骤：假设命题的反面，推导出矛盾的结论，得出原命题是正确的。
2.强调反证法的使用条件：适用于能逐步进行推理和假设的情况。
初中反证法教案
教案：初中反证法教学目标：1. 让学生了解反证法的概念和基本步骤。
2. 培养学生运用反证法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维能力和创新意识。
教学重点：1. 反证法的概念和基本步骤。
2. 运用反证法解决问题的方法。
教学难点：1. 反证法的逻辑推理过程。
2. 灵活运用反证法解决实际问题。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学案例和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的证明方法，如直接证明、间接证明等。
2. 提问：有没有同学听说过反证法？反证法是什么？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解反证法的概念：反证法是一种从反面出发，通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明结论成立的证明方法。
2. 讲解反证法的基本步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发，推导出矛盾；（3）得出结论成立的结论。
3. 举例讲解反证法的应用：案例1：证明线段AB大于线段AC。
步骤1：假设线段AB不大于线段AC；步骤2：从假设出发，推导出矛盾；步骤3：得出线段AB大于线段AC的结论。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固反证法的理解和应用。
2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结反证法的概念和基本步骤。
2. 强调反证法在实际问题中的应用和重要性。
五、课后作业（课后自主完成）1. 进一步巩固反证法的理解和应用。
2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
教学反思：本节课通过讲解反证法的概念和基本步骤，以及案例分析，使学生了解了反证法，并能够运用反证法解决问题。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，鼓励学生提出疑问，提高学生的逻辑思维能力和创新意识。
同时，通过课后作业的设置，使学生能够进一步巩固反证法的理解和应用。
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生的创新意识和批判性思维。
二、教学重难点1、教学重点理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明简单命题。
2、教学难点如何正确地提出反设，以及如何通过推理得出矛盾。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过一个有趣的故事引入反证法。
故事：有一个人被指控偷了邻居的钱，他宣称自己没有偷。
法官问他：“如果不是你偷的，那钱怎么会在你的口袋里？”这个人无法回答。
提问学生：法官的这种推理方法有什么特点？2、讲解概念（1）给出反证法的定义：先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的方法叫做反证法。
（2）强调反证法的关键在于“反设”和“归谬”。
3、示例讲解（1）例 1：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。
分析：假设三角形的三个内角都大于 60°，然后推出矛盾。
证明过程：假设三角形的三个内角都大于 60°，则三角形的内角和大于 180°，这与三角形内角和定理矛盾。
所以，原命题成立。
（2）例 2：证明“根号 2 是无理数”。
分析：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），然后推出矛盾。
证明过程：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），则 2 ＝ m²／ n²，即 m²＝ 2n²。
因为 2n²是偶数，所以m²是偶数，从而 m 是偶数。
设 m ＝ 2k（k 为正整数），则 4k²＝ 2n²，即 2k²＝ n²，所以 n 也是偶数，这与 m、n 互质矛盾。
《反证法》教案范文
《反证法》教案范文教案：《反证法》一、教学目标1.了解反证法的基本概念和基本思想。
2.掌握运用反证法解决问题的方法和步骤。
3.提高学生的逻辑思维和证明能力。
二、教学重点1.反证法的基本思想和基本概念。
2.运用反证法解决问题的方法和步骤。
三、教学难点1.运用反证法解决较为复杂的问题。
2.培养学生的证明能力和逻辑思维。
四、教学准备1.教材：《数学》（普通高中课程标准实验教科书）。
2.学具：黑板、彩色粉笔、投影仪。
五、教学过程1.导入（8分钟）教师可以通过提问，引导学生对“反证法”进行初步了解。
如：“如果一道数学题要求你用证明的方法解决，你会怎么做呢？”“你曾经解决过反证法的问题吗？你是怎么做的呢？”等。
2.正文（60分钟）（1）引入新知识通过教师的介绍，使学生了解“反证法”的基本概念和基本思想。
教师可以通过举例，让学生理解“反证法”的基本思路和过程。
（2）例题讲解教师选择一些例题进行讲解，指导学生掌握运用反证法解决问题的方法和步骤。
例如：已知a、b是有理数，且a/b是无理数，证明a和b不可能是有理数；已知方程x^2=2有理数解，证明与此相矛盾。
（3）学生练习教师布置一些练习题，要求学生运用反证法解决问题。
学生进行自主练习，教师巡回指导，及时解答学生疑问。
例如：1.证明：如果正整数n^2是偶数，则n是偶数。
2.已知n是一个整数，证明15n-7不是一个完全平方数。
（4）示范演练教师选取一些典型的复杂题目，进行示范演练。
可以通过投影仪将题目在黑板上呈现给学生，步骤和思路画在黑板上，让学生参考。
同时要鼓励学生在解题时思考多个角度和方法。
（5）讲解反证法的应用领域教师通过讲解反证法在数学、哲学、物理等领域的应用，培养学生将抽象的概念运用到实际问题中的能力。
3.拓展与巩固（15分钟）教师布置一些拓展题和巩固题，让学生进行练习巩固已学知识。
同时，可以鼓励学生通过查阅相关资料，了解一些反证法的著名定理和问题。
4.总结与归纳（7分钟）教师与学生一起总结本节课的学习内容，回答学生提出的问题。
初中数学初三数学下册《反证法》教案、教学设计
1.通过教师引导，让学生自主探究反证法的原理和步骤，培养学生的学习兴趣和自主学习能力。
2.通过小组讨论、合作学习，让学生在讨论和实践中掌握反证法的应用，提高学生团队协作能力和沟通能力。
3.设计不同难度层次的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步掌握反证法，提高问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
1.必做题：
a.请学生运用反证法证明勾股定理。
b.选取课本中一道几何证明题，要求学生使用反证法进行证明。
c.结合本节课的案例，自选一个数学问题，运用反证法求解，并详细说明解题过程。
2.选做题：
a.探索反证法在代数问题中的应用，如求解不等式、方程等，并给出至少两个例题的解答过程。
b.阅读相关数学资料，了解反证法在数学发展史上的重要地位和作用，撰写一篇简短的阅读心得。
1.教学内容：反证法的定义、步骤和注意事项。
2.教学方法：采用讲解、演示、举例等方式，让学生理解并掌握反证法的基本知识。
3.教学过程：
a.教师讲解反证法的定义，解释其基本原理。
b.教师通过具体例题，演示反证法的步骤，强调注意事项。
c.学生跟随教师思路，学习反证法的应用。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：将学生分成小组，针对几个典型的数学问题，讨论如何运用反证法进行求解。
3.关注学生个体差异，实现因材施教，提高教学质量。
4.激发学生对数学学习的兴趣，树立正确的数学观念，为学生的终身学习奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以一个与学生生活息息相关的问题导入新课，如“一个数字谜语：一个三位数，它的百位数是3，十位数是它的一半，个位数是十位数的两倍。这个三位数是什么？”
反证法教学设计
反证法教学设计[学习目标]1、知识与技能：理解反证的概念，掌握反证法证题的步骤。
2、过程与方法：通过反证的学习，体会直接证明和间接证明之间的辩证关系。
3、情感、态度与价值观：通过反证法的学习，培养审慎思维的习惯，学会逆向思维，认识数学的科学价值。
[重点] 反证法的概念，一般步骤[难点] 正确否定原结论及矛盾焦点的选择[教法] 启发引导式教学法[学法] 小组讨论合作探究法[学习过程]一、复习引入除了极少数的原始命题，不需要证明而公认其为真命题（我们称之为公理）之外，绝大多数命题必须经过合乎逻辑的证明才能判断是否成立。
那么，如何去证明一个命题就值得研究了。
例如两点确定一条直线(公理)；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(定理)；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(定理)。
二、案例分析：例1：若都是正数，且,求证：和中至少有一个成立.，且两式相加，得，即，这与已知矛盾，故三、概念形成及深化：1、反证法的定义：反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行推理，引出矛盾，于是认可否定的结论不成立，则原结论当然正确。
这种方法称为反证法。
2、反证法证明步骤：（1）反设：假定命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，这个假设叫做“反面假设”；（2）归谬：由反证假设出发，运用已知条件，进行正确推理，导致矛盾；（3）肯定：由所得矛盾，断定反证假设不成立，从而肯定结论成立。
其中第（2）步是关键，主要寻找以下矛盾：①与反证假设相矛盾②与已知条件相矛盾③与已知事实、定义、公理、定理相矛盾④自相矛盾四、典型例题例2：求证素数有无穷多个证明：（反证法）假设素数仅是有限个，由小到大排列如下：2,3,5,……,P。
为了推翻这个假设，举出一个反例，即构造一个新数N=2•••••3•5•……•P+1（1）如果N是素数，那么N>P,这与反证假设矛盾。
（2）如果N是合数，由2,3,5,……,P都不能整除N，这就推出合数N在2,3,5,……,P这些素数之外还有新素数是它的约数，这也与反证假设矛盾。
反证法教案
§反证法教学目标：1、知识与能力：（1）、通过实例，体会反证法的含义（2）、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.2、过程与方法：（1）、了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.（2）、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.3、情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证题的步骤。
教学难点：理解反证法的推理依据及方法，用反证法证明简单的命题是教学难点.教学方法：讲练结合教学.教学过程：提问：师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？生：共分三步：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2 +b2 ＝c2 二、探究问题：若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。
假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。
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§29.2反证法
教学目标：
1、知识与能力：（1）、通过实例，体会反证法的含义
（2）、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.
2、过程与方法：（1）、了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.
（2）、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.
3、情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.
教学重点：
体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证题的步骤。
教学难点：
理解反证法的推理依据及方法，用反证法证明简单的命题是教学难点.
教学方法：
讲练结合教学.
教学过程：
提问：
师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？
生：共分三步：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2 +b2 ＝c2
二、探究
问题：
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
探究：
假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。
假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。
象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知
例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠∠ C
证明：假设，∠B ＝∠C
则AB＝AC
这与已知AB≠AC矛盾．
假设不成立．
∴∠B ≠∠ C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
例2、已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。
那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。
∴a//b.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知：△ABC , 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°
这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
例4．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，教师引导）
已知：；
求证：；
证明：假设，则可设它们相交于点A。
那么过点A 就有条直线与直线c平行，这与“过直线外一点”。
矛盾,则假设不成立。
∴。
三、课堂练习：
1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
2、求证两条直线相交只有一个交点.
3、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
4、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.
5、求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.
6、“a<b”的反面应是（）
A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
7、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
8、用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设
___________．
9、用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．
10、请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．
11、如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．
12、完成下列证明．
如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
13、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
14、若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．
15、已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.
求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.
16、三角形内角中至多有一个内角是钝角.
17、求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.
18、求证：一个三角形中不能有两个直角.
四、课时小结
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。
对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。
五、课后作业：课本
六、板书设计
§29.2 反证法
1.反证法证明命题的步骤。
2.反证法应用：例题。
小结：
七、教学反思：。