表面积与体积练习题及答案

表面积与体积

一、填空题

1. (2010·南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．

2. 各棱长为1的正三棱锥的全面积为________．

3. 长方体的一个顶点上三条棱的长分别为2,4,6，，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为________．

4. 一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为9的正方形，则此三棱柱的体积为________．

5. 一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是________．

6. (2010·湖北)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.

7. (2010·宁夏)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．

8. 在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱侧面面积S＝________cm2.

9. (2010·全国Ⅱ)已知正四棱锥S -ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．

二、解答题

10. 已知正三棱柱形木桶，底面边长为2，侧棱长为3，这样的

桶里能否放进一个体积为π

3的小球(桶壁厚度忽略不计)?

11. (2011·扬州中学期中试题)如图，某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)．已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐，现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大4 m(高不变)，二是高度增加4 m(底面直径不变)．

(1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积； (2)分别计算按这两个方案所建仓库的侧面积； (3)哪一个方案更经济些？

12. (2009·辽宁改编)正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，求三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC的体积之比．

参考答案

1. 2π解析：圆锥的底面半径为r=22-3=1，则圆锥的侧面积为S侧=2π.

2. 3解析：每个正三角形的面积为

3

4，全面积为

3

4⨯4= 3.

3. 56π解析：长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线．设球半径为R，由题意知2R=22+42+62=214，则R=1

4.所以球的表面积为S=4πR2=56π.

4. 813

4解析：该正三棱柱的底面边长为3，高为9，则其体积

为V=Sh=

3

4⨯3

2⨯9=

813

4.

5. 3π解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l=2r.

由题意知，轴截面面积S=

3

4(2r)

2=3r2=3，∴r=1.

故圆锥的全面积S=πr⋅l+πr2=3π.

6. 4解析：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3⨯4 3

πr3+πr2⨯8=πr2⨯6r，解得r=4.

7.

7 3πa 2解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知AP=

2

3

⨯

3

2a=

3

3a，OP=

1

2a，所以球的半径R满足：R

2=

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

3

3a

2+

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

2a2=

7

12a

2，故S球=4πR2=

7

3πa

2.

8. 2 600π解析：S=(50+80)⨯20π=2 600π.

9. 2解析：设底面边长为a，则高h=SA2-

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

2

2a

2=12-

a2

2，

所以体积为V =13a 2h =13a 212-12a 2

=

1312a 4-12a 6，设y =12a 4-12

a 6

，则y ′=48a 3-3a 5，令y ′=0解得a =0或4，易得当a =4时，V 最大，此时h =2.

10. 设球的半径为R ，则43πR 3=π

3，解得R 3=14，而正三棱柱底面内

切圆半径r =36⨯2=33，则R 6=116，r 6=1

27，则R 6＞r 6，即R ＞r ，故这

样的桶里不能放进一个体积为π

3的小球．

11. (1)当仓库底面直径比原来大4 m 时，底面半径为8 m ，高为

4 m ，体积V 1=13π⋅82⋅4=256

3π m 3；

当仓库的高比原来大4 m 时，底面半径为6 m ，高为6 m ，体积为V 2=13π⋅62

⋅8=96π m 2.

(2)当仓库底面直径比原来大4 m 时，底面半径为8 m ，高为4 m ， 侧面积为S 1=π⋅8⋅82+42=325π m 3.

当仓库高度比原来大4 m 时，底面半径为6 m ，高为8 m ， 侧面积为S 2=π⋅6⋅82+62=60π m 2.

(3)∵V 1S 1=835，V 2S 2=85，且835＜85.

所以第二个方案更经济一些．