表面积与体积练习题及答案
表面积与体积练习题(含答案)汇编
空间几何体的表面积和体积练习（录自新教材完全解读）1、一个证四棱台的两底面边长分别为)(,n m n m >，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高位（ ） A.n m mn + B. n m mn - C. mn n m + D. mn nm - 2、一个圆柱的侧面展开图示一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ） A.ππ221+ B. ππ441+ C. ππ21+ D. ππ241+ 3、在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=090，0110111190,60,=∠=∠=∠==C BB C AA B AA a AC AB ,侧棱长为b ，求其侧面积。
ab )23(+4、一个三棱锥的底面是正三角形，侧面都是等腰直角三角形，底面边长为a ，求它的表面积。
2)33(41a + 5、已知圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，求圆台的侧面积。
100π6、若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )A.62 B. 32 C. 33 D. 32 7、已知圆台两底面半径分别为)(,n m n m >，求圆台和截得它的圆锥的体积比。
333m n m -8、直三棱柱（侧棱垂直底面的三棱柱）的高6，底面三角形的边长分别为3、4、5，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值。
)6(6π-9、如图，三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直，且6,3,1===SC SA SB ，求该三棱锥的体积。
BA2210、若两球表面积之比为4:9，则其体积之比为（ ）A.8:27B.16:81C.64:729D.2:311、如果三个球的半径之比是1:2:3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的（ ）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍 12、如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积。
（其中030=∠BAC ）22311R π+ 13、如图所示，长方体1111D C B A ABCD -中，c CC b BC a AB ===1,,,且0>>>c b a ，求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短路线的长。
正方体的体积与表面积练习题及答案
正方体的体积与表面积练习题及答案正方体是一种特殊的立体，它的六个面都是正方形。
计算正方体的体积和表面积是我们在几何学中经常遇到的问题。
下面是一些关于正方体体积和表面积的练题及答案。
练题1. 一边长为5厘米的正方体的表面积是多少？求解并写出计算步骤。
2. 一个正方体的表面积是96平方厘米，求它的边长。
求解并写出计算步骤。
3. 一个正方体的体积是125立方厘米，求它的边长。
求解并写出计算步骤。
4. 一个正方体的表面积是150平方厘米，求它的体积。
求解并写出计算步骤。
答案1. 解：正方体的表面积可以通过公式2×边长×边长来计算。
给定边长为5厘米，代入公式得到表面积为2×5×5=50平方厘米。
2. 解：设正方体的边长为x厘米。
根据题意可得出方程：2×x×x = 96。
求解该方程，得到x = √(96/2) = 4√6。
因为边长是正数，所以得到的边长为4√6厘米。
3. 解：正方体的体积可以通过公式边长×边长×边长来计算。
给定体积为125立方厘米，代入公式得到边长×边长×边长 = 125。
求解该方程，得到边长 = ∛125 = 5厘米。
4. 解：设正方体的边长为x厘米。
根据题意可得出方程：2×x×x = 150。
求解该方程，得到x = √(150/2) = 5√3。
因为边长是正数，所以得到的边长为5√3厘米。
以上是关于正方体的体积与表面积的练习题及答案。
通过计算和解答这些问题，我们可以更好地理解正方体的特性和计算方法。
希望这对你有帮助！。
高一数学(必修二)棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练习题及答案
高一数学（必修二）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练习题及答案一、单选题1．已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（ ） A ．30B ．15C ．10D ．602．一件刚出土的珍费文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆（如图），要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用为（ ）A ．4500元B ．4000元C ．2880元D ．2380元3．过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ） A ．4B ．6C ．203D ．1634．已知用斜二测画法画梯形OABC 的直观图O A B C ''''如图所示，3O A C B ''''=，C E O A ''''⊥，8OABC S =四边形，//C D y '''轴，2C E ''=，D 为O A ''的三等分点，则四边形OABC 绕y 轴旋转一周形成的空间几何体的体积为（ ）A ．152π3B ．48πC ．38π3D ．12π5．已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，侧面均为腰长为4的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）A ．1015+B ．34C ．201215+D ．686．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）A ．258B ．234C ．222D ．2107．在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（ ） A ．1(0,]6B ．1(0,]3C ．1(0,]2D ．(0,1)8．2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为（ ） A 2B ．23C 3D 2 二、多选题9．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ） A 3B 2C 22D 2310．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵．其一为阳马，其一为鳖臑”．意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）．若长方体的体积为V ，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为123,,V V V ，则下列选项不正确．．．的是（ ）A ．123V V V V ++=B ．122V V =C ．232V V =D ．36V V =11．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ︒∠=，侧面11AAC C 中心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）A ．直三棱柱侧面积是422+B ．直三棱柱体积是13C ．三棱锥1E AAO -的体积为定值 D ．1AE EC +的最小值为212．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面,//ABCD AB CD ，,O M 分别是,CD PC 的中点，且PO OD DA AB BC ====，记三棱锥,,P OBM M OBC M PAB ---的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．12V V =B ．212V V =C ．13B OMPD V V -= D ．12323P ABCD V V V V -=++三、填空题13．已知平行六面体各棱长均为4，在由顶点P 出发的三条棱上，取1PA =，2PB =，3PC =，则棱锥-P ABC 的体积是该平行六面体体积的______.14．某正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为{}3,2，则该棱台的体积为______． 15．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，且2AD BC =，过1A ，C ，D 三点的平面记为α，1BB 与平面α的交点为Q ．则此四棱柱被平面α分成上、下两部分的体积之比为__．16．给定依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个1234A A A A 的四个顶点满足：i i A α∈（1i =，2，3，4），则该正四面体1234A A A A 的体积为_________．四、解答题17．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O '且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO '和较小的棱锥PO '.(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱长为12cm ，小棱锥的底面边长为4cm ，求截得的棱台的侧面面积和表面积.18．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b ).（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且5AB =，113A B =，110AA =(1)求四棱台1111ABCD A B C D -的侧面积； (2)求四棱台1111ABCD A B C D -的体积．20．正三棱柱侧面展开图是边长为2和4的矩形，求它的表面积．21．棱锥是生活中最常见的空间图形之一，譬如我们熟悉的埃及金字塔，它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题，公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积，并给出了通用公式.公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识，解决下列问题：如图，正三棱锥S ABC -中，三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，侧棱长是3，底面ABC 内一点P 到侧面,,SAB SBC SAC 的距离分别为x ，y ，z .（1）求证：3x y z ++=；（2）若1113x y z++=，试确定点P 在底面ABC 内的位置.22．正四棱台1111ABCD A B C D -的下底边长3AB =3．（1）求正四棱台的表面积S 表；（2）求1AB 与底面ABCD 所成角的正弦值.参考答案1--8BBCBC CBB9．BCD 10．ACD 11．ACD 12．ACD 13．164147215．117165517．（1）设小棱锥的底面边长为a ，斜高为h ，则大棱锥的底面边长为2a ，斜高为2h ， 所以大棱锥的侧面积为1622122a h ah ⨯⨯⨯=，小棱锥的侧面积为1632a h ah ⨯⨯⨯=， 棱台的侧面积为1239ah ah ah -=，所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比12:3:94:1:3ah ah ah =. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm ，所以大棱锥的底面边长为8cm ， 因为大棱锥的侧棱长为12cm 1441682-=， 所以大棱锥的侧面积为2168821922cm 2⨯⨯⨯=， 所以棱台的侧面积为2321442cm 4=， 棱台的上，下底面的面积和为22233646824331203cm +==， 所以棱台的表面积为(231442cm .18．解：（1）如图所示:PO ⊥平面ABCD ，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45︒， 45PAO ∴∠=︒，2PO OA ∴=，1112PO O A =． 分别取AB ，11A B 的中点E ，1E ，连接OE ，11O E ． 则2223()()22b PE b +，22123()()22a PE a +=． ∴斜高113)EE PE PE b a =-=-．∴棱台的侧面积()))2213432S a b b a b a =⨯+-=-侧；（2）棱台的侧面积等于两底面面积之和，∴22114()2a b EE a b ⨯+⨯=+，2212()a b EE a b +∴=+． 222222111()[]()2()2a b b a abOO EE EO E O a b a b+-∴=---++． 19．（1）设棱台1111ABCD A B C D -是由棱锥P ABCD -截出的，如图，棱台的侧面是全等的等腰梯形，则棱锥P ABCD -的侧面是全等的等腰三角形，显然侧棱都相等， 设M 是底面ABCD 上AC 与BD 的交点，则M 是AC 的中点也是BD 中点，所以PM AC ⊥，PM BD ⊥，则PM ⊥平面ABCD ，M 正方形ABCD 中心，因此P ABCD -是正棱锥，棱台1111ABCD A B C D -是正棱台，在侧面11BB C C 内过1B 作1B H BC ⊥于点H ，则22153(10)()32B H -=-=， 棱台的侧面积为S 侧＝14(35)3482⨯+⨯=；（2）设N 是1111D C B A 的中心，显然N PM ∈，1MNB B 是直角梯形，2525BM ==，132B N高225232(10)()2222MN =--= 棱台的体积为221982(5533)223V =+⨯+⨯ 20．因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形, 所以有以下两种情况：当2是下底面的周长，4是正三棱柱的高时，正三棱柱的表面积为=+2=S S S 表侧底21232324+223⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭当4是下底面的周长，2是正三棱柱的高时，正三棱柱的表面积为=+2=S S S 表侧底21438342+223⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭故答案为：238321．（1）在正三棱锥S ABC -中，SA ，SB ，SC 两两垂直且AB =BC =CA ，P 为底面ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，PS ，如图，可将原三棱锥分成三个三棱锥P SAB P SBC P SAC ---,,， 它们的高分别为,,x y z ，由S ABC C SAB P SAB P SBC P SAC V V V V V -----==++， 即2111133(333333)3232x y z ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯+⨯， 得 3.x y z ++=（2）由31113x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，得1116x y z x y z +++++=.又0,0,0x y z >>>，∴1112,2,2x y z x y z +≥+≥+≥，∴1116x y z x y z +++++≥， 当且仅当1x y z ===时取等号.故当1113x y z ++=时，点P 为正三角形ABC 的中心. 22．（1）如图，做该正棱台的轴截面，GNE 中，3,33,90o GN NE GNE ==∠= ， 所以6,30o GE GEN =∠= ，根据对称性，30o QEG ∠= ， 故60,120,o o QEN MPQ ∠=∠= 所以60o MPG ∠= ，3,3,GM MP =∴=正四棱台上底面是一个边长为23的正方形，2222113[(23)(63)(23)(63)]33S ⋅=+⋅表 即111210812108=120+36=40+125233S =+⨯=表（）（） （2）正四棱台中，上下底面均为正方形，且侧棱长相等，1B 在底面的射影为M ， 所以1B M ABCD ⊥面 , 1AB 与底面ABCD 所成角为1B AM ∠ ,1123,6,43MQ B M BQ ==∴=43AQ =146AB =16sin 46B AM ∠=。
(完整版)长方体的表面积和体积练习题精选
(完整版)长方体的表面积和体积练习题精选\#\# 长方体的表面积和体积练题精选1. 题目：一个长方体的长度为10 cm，宽度为6 cm，高度为4 cm。
请计算它的表面积和体积。
答案：表面积 = 2 \* (长度\*宽度 + 长度\*高度 + 宽度\*高度) = 2 \* (10\*6 + 10\*4 + 6\*4) = 2 \* (60 + 40 + 24) = 2 \* 124 = 248 cm²；体积 = 长度\*宽度\*高度 = 10\*6\*4 = 240 cm³。
2. 题目：一个长方体的表面积为600 cm²，长度为12 cm。
如果宽度是高度的两倍，那么它的体积是多少？答案：设宽度为x cm，则高度为2x cm。
根据表面积公式，可得：2 \* (12\*x + 12\*2x + x\*2x) = 600。
解方程可得：4x² + 4x² + 24x = 300。
化简得：8x² + 24x - 300 = 0。
解二次方程可得：x = (-24 ± √(24² - 4\*8\*(-300))) / (2\*8) ≈ 5.42。
因为宽度不能是负数，所以宽度约为5.42 cm。
根据体积公式，可得体积为：12\*5.42\*2\*5.42 ≈ 657.17 cm³。
3. 题目：一个长方体的体积为1000 cm³，高度为10 cm。
如果宽度是长度的1.5倍，那么它的表面积是多少？答案：设宽度为1.5x cm，则长度为x cm。
根据体积公式，可得：x\*1.5x\*10 = 1000。
解方程可得：15x³ = 1000。
化简得：x³ = 66.667。
解方程可得：x ≈ 4.15。
宽度约为6.23 cm。
根据表面积公式，可得表面积为：2 \* (x\*1.5x + x\*10 + 1.5x\*10) = 2 \*(1.5\*4.15\*4.15 + 4.15\*10 + 1.5\*4.15\*10) ≈ 204.78 cm²。
六年级求表面积和体积的题
六年级求表面积和体积的题一、正方体相关题目1. 题目：一个正方体的棱长为5厘米，求它的表面积和体积。
- 解析：- 表面积：正方体的表面积公式为S = 6a^2（其中S表示表面积，a表示棱长）。
将a = 5厘米代入公式，可得S=6×5^2=6×25 = 150平方厘米。
- 体积：正方体的体积公式为V=a^3。
将a = 5厘米代入公式，可得V =5^3=125立方厘米。
2. 题目：正方体的体积是27立方米，求它的表面积。
- 解析：- 首先根据正方体体积公式V=a^3求出棱长a。
已知V = 27立方米，即a^3=27，解得a = 3米。
- 然后根据表面积公式S = 6a^2，将a = 3米代入，可得S=6×3^2=6×9 = 54平方米。
二、长方体相关题目1. 题目：一个长方体，长6厘米，宽4厘米，高3厘米，求它的表面积和体积。
- 解析：- 表面积：长方体表面积公式为S=(ab + ah+bh)×2（其中a为长，b为宽，h 为高）。
将a = 6厘米，b = 4厘米，h = 3厘米代入公式，可得S=(6×4+6×3 +4×3)×2=(24 + 18+12)×2=(42 + 12)×2=54×2 = 108平方厘米。
- 体积：长方体体积公式为V=abh，将a = 6厘米，b = 4厘米，h = 3厘米代入公式，可得V=6×4×3=72立方厘米。
2. 题目：一个长方体的体积是120立方分米，长是8分米，宽是5分米，求高和表面积。
- 解析：- 首先根据长方体体积公式V = abh求高h。
已知V = 120立方分米，a = 8分米，b = 5分米，由h=(V)/(ab)，可得h=(120)/(8×5)=(120)/(40)=3分米。
- 然后求表面积S=(ab + ah+bh)×2=(8×5+8×3+5×3)×2=(40 + 24+15)×2=(64 + 15)×2=79×2 = 158平方分米。
表面积和体积练习题
【求表面积：1、一个长方体的铁皮水箱，长和宽都是，深6dm。
做这样一个水箱，至少需要铁皮多少平方分米（水箱有盖）2、一个长方体罐头盒，底面长13cm、宽7cm，高。
如果在盒的四周贴上商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少多少平方厘米3、&4、五年级同学向贫困地区捐款。
小刚把一个长50cm、宽40cm、高24cm的长方体纸箱各面都贴上了红纸作为捐款箱，除去上面捐款口的面积为350c㎡。
至少需要多少平方分米的红纸5、一个长方体包裹，它的长、宽、高分别是4dm、3dm、2dm。
如果实际用纸是表面积的倍，包装这个包裹至少要用多少平方分米的包装纸`6、一个房间长6m、宽、高3m，门窗面积是8㎡。
现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥漆。
如果每平方米需要水泥漆，一共需要多少千克水泥漆7、一个机器零件（如下图），要在它的前后两个面涂上红色防锈漆，其他漏出的面（底面不涂）涂上灰色防锈漆，涂红色防锈漆和灰色防锈漆的面积各是多少—求体积：1、修路队要给一段长150m、宽20m的水泥路面铺一层5cm厚的沥青，一共需要沥青多少立方米?2、一块正方体木料的棱长是40cm。
这块木料的体积是多少立方厘米3、爸爸买回一块长方体形状的面包，面包长3dm、宽8cm、高5cm。
爸爸想把它平均分成5个长方体形状的小面包给五年人，每个人分到面包的体积是多少立方厘米\4、王大爷家要用砖砌一段长20m、宽25cm、高的院墙。
如果每立方米用砖500块，砌这段院墙一共要用多少块砖5、（6、某县在河道两旁修筑了亲水平台，亲水平台要安装如图所示的长方体、正方体水泥块各80块。
这些水泥块共要用水泥多少立方分米合多少方7、一个长方体的无盖玻璃鱼缸，长2m 、宽40cm、高80cm，（1）这个鱼缸的占地面积有多大《（2）做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃（3）这个鱼缸的体积是多少【7、某同学想测一块合金块的体积，他在量筒中放入了3块同等大的合金块，测量结果如图所示。
高中数学必修2第1章-1.3.2球的体积和表面积同步练习题及答案
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】1.3.2球的体积和表面积【课时目标】1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝________．一、选择题1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A．6π6B．π2C．2π2D．3ππ2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的() A．2倍B．22倍C．2倍D．32倍3．正方体的内切球和外接球的体积之比为()A．1∶ 3 B．1∶3C．1∶3 3 D．1∶94．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为()A．1∶2∶3 B．1∶2∶ 3C．1∶22∶3 3 D．1∶4∶75．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为()A．25πB．50πC．125πD．以上都不对6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为()A．4∶9 B．9∶4C．4∶27 D．27∶4二、填空题7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．三、解答题10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．能力提升12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则()A．以上四个图形都是正确的B．只有(2)(4)是正确的C．只有(4)是错误的D．只有(1)(2)是正确的13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．1．3．2 球的体积和表面积 答案知识梳理1．4πR 2 4 2．43πR 3作业设计1．A [先由面积相等得到棱长a 和半径r 的关系a ＝6π3r ，再由体积公式求得体积比为6π6．] 2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．] 3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a ，外接球的直径等于3a ．] 4．C [由表面积之比得到半径之比为r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，从而得体积之比为V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶33．]5．B [外接球的直径2R ＝长方体的体对角线＝a 2＋b 2＋c 2(a 、b 、c 分别是长、宽、高)．]6．A [设球半径为r ，圆锥的高为h ，则13π(3r)2h ＝43πr 3，可得h ∶r ＝4∶9．]7．4解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR 地球＝8，故R 地球＝4π(万里)，所以火星的半径为2π万里，其大圆的周长为4万里．8．3 cm解析 设球的半径为r ，则36π＝43πr 3，可得r ＝3 cm ．9．(1)球 (2)球解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为r ． (1)当6a 2＝4πr 2时，V 球＝43πr 3＝6πa 3>a 3＝V 正方体；(2)当a 3＝43πr 3时，S 球＝4πr 2＝63π6a 2<6a 2＝S 正方体．10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h ．依题意：13π×42×h ≥12×43π×43，解得h ≥8．即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πr h 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料．11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r)2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h)2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h＝315r ．即容器中水的深度为315r ．12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．] 13．解 设正方体的棱长为a ．如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2．②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2． ③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ， r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2． 综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3．。
五年级下册体积面积练习题及答案
五年级下册体积面积练习题及答案一、填空1 、叫做物体的体积。
2 、用字母表示长方体的体积公式是3 、棱长 2 分米的正方体，一个面的面积是，表面积是，体积是4 、一个长方体长是 0.4 米、宽 0.2 米、高 0.2 米，它的表面积是体积是5 、一个正方体的底面积是 2 平方厘米，它的表面积是平方厘米。
二、单位换算5 立方米 =立方分米2.8立方分米 =立方厘米0.08立方米 =升 = 毫升3.8升=升毫升0.8升=毫升 .7 立方米=升720立方分米 =立方米32立方厘米 =立方分米8000毫升 =升1200毫升 =立方厘米4.25立方米 =立方分米=升1.2立方米 =升 =毫升三、判断1、一个厚度为 2 毫米的铁皮箱的体积和容积完全相等。
2 、正方体的棱长扩大 2 倍，它的表面积就扩大 8 倍。
四、应用题1 、一块砖长 24 厘米，宽 1.2 分米，厚 6 厘米，它的 体积是多少立方分米？2 、一个正方体的玻璃鱼缸，从里面量棱长是 0.4 米， 这个鱼缸能装水多少升？3 、一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长 3 米，宽1.5 米，深 2 米，每立方米沙子重 1400 千克。
这个沙坑里共 装沙子多少吨？4 、有一根长 0.5 米的方木料， 横截面的边长为 2 厘米， 这根方木横放时占地面积有多大？体积是多少？5 、一种汽车上的油箱，里面长 8 分米，宽 5 分米， 高3.5 分米。
做这个油箱需要多少平方分米的铁皮？这个油箱可以装多少升汽油？长方体和正方体体积容积练习题 2.8 立方分米 =立方厘米 0.8 升 =毫升 720 立方分米 =立方米 1000 毫升 = 升 32 立方厘米 =立方分米 2.7立方米 =升 1200 毫升 =立方厘米 4.25 立方米 = 立方分米 =升1.24 立方米 =升 =毫升3.06 升 =升毫升1. 一个长方体，长 4 米，宽 3 米，高2.4 米，它的占地面积最大是多少平方米 ?表面积是多少平方米？体积是多少立方米？2. 有一块棱长是 80 厘米的正方体的铁块，现在要把它溶铸成一个横截面积是 20 平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？3. 一块正方体的石头，棱长是 5 分米，每立方米的石头大约重 2.7 千克，这块石头重有多少千克？4. 学校要砌一道长 20 米，宽 2.4 分米、高 2 米的墙，每立方米需要砖 525 块，学校需要买多少块砖？5. 一个长方体的药水箱里装了 60 升的药水，已知药水箱里面长 5分米，宽 3 分米，它的深是多少分米？6. 一个长方体油箱，长 6 分米，宽 5 分米，高 4 分米。
高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积
高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积一、圆柱的体积与表面积问题1：一个圆柱的高度为12 cm，底面半径为8 cm，求其体积和表面积。
解析：首先计算圆柱的体积。
圆柱的体积公式为V = πr²h，其中V 表示体积，π取近似值3.14，r表示底面半径，h表示高度。
代入已知数据，计算得到 V = 3.14 × 8² × 12 = 2419.52 cm³。
接下来计算圆柱的表面积。
圆柱的表面积包括底面积和侧面积两部分。
底面积为圆的面积，即 A₁ = πr²。
侧面积为矩形的面积，即 A₂ = 2πrh。
所以圆柱的总表面积为 A = 2A₁ + A₂ = 2πr² + 2πrh。
代入已知数据，计算得到 A = 2 × 3.14 × 8² + 2 × 3.14 × 8 × 12 = 659.84 cm²。
因此，该圆柱的体积为 2419.52 cm³，表面积为 659.84 cm²。
问题2：一个空心圆柱的高度为10 cm，内半径为4 cm，外半径为6 cm，求其体积和表面积。
解析：首先计算圆柱的体积。
由于是空心圆柱，体积需要减去内部圆柱的体积。
内部圆柱的体积为 V₁ = πr₁²h，外部圆柱的体积为 V₂ =πr₂²h。
所以空心圆柱的体积为 V = V₂ - V₁ = π(r₂² - r₁²)h。
代入已知数据，计算得到 V = 3.14((6²) - (4²)) × 10 = 376.8 cm³。
接下来计算圆柱的表面积。
空心圆柱的表面积也包括底面积和侧面积两部分。
底面积的计算方式与问题1相同。
侧面积为两个圆柱的高度差乘以底面周长，即 A₂ = 2π(r₂ - r₁)h。
五年级下册数学长方体正方体表面积和体积练习题
五年级下册数学长方体正方体表面积和体积练习题五年级下册数学长方体和正方体表面积和体积练题一、填空。
(每空1分，共30分)1.一个长方体的棱长总和是48cm，从一个顶点出发的三条棱的长度之和是（）cm。
答：18cm2.在括号里填上适当的数。
0.26L=（260）mL 4078mL=（4.078）dm³ 0.07m³=（70,000）cm³3050Ml=（3.05）L 7.23m³=（7,230） m³ ()dm³答：第一行括号内为260，第二行括号内为4.078，第三行括号内为70,000，第四行括号内为无法确定。
3.在括号里填上合适的单位。
一个微波炉的容积大约是24（升）。
一间教室大约占地48（平方米）。
一个游泳池的容积是1200（立方米）。
一块橡皮的体积大约是8（立方厘米）。
答：第一行括号内为升，第二行括号内为平方米，第三行括号内为立方米，第四行括号内为立方厘米。
4.由（）个棱长是1cm的小正方体，可以拼成一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体。
答：120个5.一根长方体木料，长4米，横截面的面积是0.06平方米。
这根木料的体积是（）立方米。
答：0.24立方米6.一个长方体的长是15 cm，宽是6 cm，高是3 cm，它的棱长和是（）cm，底面积是（）cm²，表面积是（）cm²，体积是（）cm³。
答：长方体的棱长和为42cm，底面积为90cm²，表面积为222cm²，体积为270cm³。
7.用一根长72cm的铁丝焊成一个正方体框架，正方体的表面积是（）cm²，体积是（）cm³。
答：正方体的表面积为2592cm²，体积为373.248cm³。
8.用一根36厘米长的铁丝，可以刚好焊成一个长3厘米，宽2厘米，高（）厘米的长方体。
答：高为10厘米。
完整版)五年级下册数学表面积和体积练习题
完整版)五年级下册数学表面积和体积练习题1、计算长方体钢材重量：长2米，横截面是边长为5厘米的正方形，每立方分米钢重7.8千克。
首先计算出长方体的体积为2m × 0.05m × 0.05m = 0.005立方米，然后将体积乘以钢的密度7.8千克/立方分米，得到钢材重量为0.005 × 7.8 =0.039千克。
2、一个棱长为5分米的正方体鱼缸，里面装满水，将水倒入一个底面积为48平方分米，高为6分米的长方体鱼缸里，求水深。
首先计算出正方体鱼缸的体积为0.05m × 0.05m ×0.05m = 0.立方米，然后将体积乘以水的密度1千克/立方分米，得到水的质量为0. × 1000 = 0.125千克。
将水倒入长方体鱼缸后，长方体鱼缸的底面积为48平方分米，高度为6分米，因此长方体鱼缸的体积为0.48立方米。
根据相似三角形的性质，可以得出两个鱼缸中水深的比例为5:12，因此水深为6分米 ×5/12 = 2.5分米。
3、将一块棱长为8厘米的正方体钢坯锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，求钢板的厚度。
由于锻造过程中损耗不计，因此钢坯的体积等于钢板的体积。
钢坯的体积为0.008立方米，钢板的体积为0.016m × 0.05m × h，其中h为钢板的厚度。
将两式相等，解得h=0.16厘米。
4、一个长方形铁皮长30cm，宽25cm，从四个角各切掉一个长为5cm的正方形，然后做成一个无盖的盒子，求铁皮的面积和盒子的容积。
首先计算出四个正方形的面积为4 ×0.05m × 0.05m = 0.01平方米，然后将这个面积从原来的长方形铁皮面积中减去，得到剩余的面积为0.75平方米。
这个面积即为盒子的表面积。
盒子的容积为(30cm-2×5cm)×(25cm-2×5cm)×5cm=2500立方厘米=0.0025立方米。
五年级数学表面积和体积的题
五年级数学表面积和体积的题一、题目。
1. 一个正方体的棱长为5厘米，求它的表面积和体积。
- 解析：- 正方体表面积公式为S = 6a^2（a为棱长），这里a = 5厘米，所以表面积S=6×5^2=6×25 = 150平方厘米。
- 正方体体积公式为V=a^3，所以体积V = 5^3=125立方厘米。
2. 一个长方体，长为8厘米，宽为6厘米，高为4厘米，求它的表面积和体积。
- 解析：- 长方体表面积公式S=(ab + ah+bh)×2（a为长，b为宽，h为高），这里a = 8厘米，b = 6厘米，h = 4厘米。
则S=(8×6 + 8×4+6×4)×2=(48 + 32+24)×2=(80 + 24)×2 = 104×2=208平方厘米。
- 长方体体积公式V=abh，所以体积V=8×6×4 = 192立方厘米。
3. 一个正方体的表面积是216平方厘米，求它的棱长和体积。
- 解析：- 设正方体棱长为a，由正方体表面积公式S = 6a^2，已知S = 216平方厘米，则6a^2=216，a^2=36，解得a = 6厘米。
- 正方体体积公式V=a^3，所以体积V = 6^3=216立方厘米。
4. 一个长方体的体积是360立方厘米，长是10厘米，宽是6厘米，求它的高和表面积。
- 解析：- 由长方体体积公式V = abh，已知V = 360立方厘米，a = 10厘米，b = 6厘米，则h=(V)/(ab)=(360)/(10×6)=6厘米。
- 长方体表面积公式S=(ab + ah+bh)×2=(10×6+10×6 + 6×6)×2=(60+60 + 36)×2=(120+36)×2 = 156×2 = 312平方厘米。
立体几何表面积体积练习题
柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（）A ．10cmB ．52cmC ．512+πcm D ．4252+πcm4．中心角为43π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于（）A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶85．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a <b ），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（）A ．33（b 2－a 2）B ．23（b 2－a 2）C ．3（b 2－a 2）D ．23（b 2－a 2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（）A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．1∶2∶4D ．1∶3∶97．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（）A ．3∶5B ．9∶25C ．5∶41D ．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A ．ππ221+B ．ππ421+C ．ππ21+D ．ππ241+9．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（）A ．91B ．94C ．41D ．3110．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（）A ．40B ．)31(20+C ．)31(30+D ．303 二、填空题11．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是______．12．正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．13．圆锥的高是10 cm ，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3 cm ，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm 2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a ，侧面积为S ，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A ，求一个动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程．柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（）A ．2倍B ．4倍C ．2倍D ．22倍2．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是（）A 、28cmB ．32 cmC ．36 cmD ．40 cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为（）A ．32321aB ．3233aC ．337a D ．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（）A ．1B ．3C ．2D ．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm 2，则此球的体积为（）A ．334cm πB ．386cm πC ．361cm πD ．366cm π6．正六棱锥的底面边长为a ，体积为323a，那么侧棱与底面所成的角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．125π7．正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（）A 、S Q 31B ．)(2122Q S Q -C 、)(2122Q S S -D 、)(6122Q S Q -8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A．1∶7 B．2∶7 C．7∶19 D．3∶169．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S1、S2、S3，下面关系中成立的是（）A．S3＞S2＞S1B．S1＞S3＞S2 C．S1＞S2＞S3D．S2＞S l＞S310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（）A．1∶5 B．1∶23 C．1∶11 D．1∶47二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a的正三棱锥的体积是_______．12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm和10cm的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h．18．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C l D l 的棱长为a ，E 为棱AD 的中点，求点A 1到平面BED 1的距离．球的体积和表面积一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ，8倍2．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是（）A ．π42cB ．π42cC ．π2c D ．2πc 23．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（）A ．916πB ．38πC ．4πD ．964π4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（）A 、1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（）A ．4πB ．4πC ．π32D ．42π7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm ，两个直径都是5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（）A 、35cmB ．310cmC ．340cmD ．65cm8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积为（）A 、916π B ．38π C ．4π D ．964π9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（）A ．S 球＞S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球＜S 正方体D ．大小关系不确定二、填空题11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V 1、V 2、V 3，则V 1＋V 2＝_____V 3．12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l ，则球的体积为_________．13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm 2的圆柱状容器中，容器水面升高34cm ，则玻璃球的半径为__________．14．将一个半径为R 的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．15．表面积为Q 的多面体的每个面都外切于半径为R 的一个球，则多面体与球的体积之比为______．16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm ，“大球”的外径为40 mm ，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．三、解答题17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为16的小球？18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大? 19．三棱锥A －BCD 的两条棱AB ＝CD ＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．参考答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．C 10．C 二、填空题11．331V提示：三个球半径之比为1∶2∶3，体积为1∶8∶27．12．36π设球的半径为R ，由题意得52－R －82－R ＝1， ∴R ＝3，∴V 球＝334R π＝36π．13．4cm 14．3938R 15．Q ∶4πR 2 16．361∶400三、解答题17．设球半径为R ，则343R π＝16π，∴R ＝433．而正三棱柱底面内切圆半径r ＝63，比较R 与r 的大小，R 6＝6243＝649＝62·327·641，r 6＝6627＝662·327＝62·327·2431， ∴R 6＞r 6，∴R ＞r ，所以不能放进一个体积为16π的小球．18．解：如图，设球半径为R cm ，切下的较小部分圆面半径为15cm ，∴OO ′＝R －5． Rt △OO ′A 中，R 2－（R －5）2＝15， ∴R =25（cm ）．V ＝334Rπ＝32534）（π＝362500π（cm 3）．19．设球半径为R ，三棱锥A －BCD 表面积为S ，则V 三棱锥＝3RS．取CD 中点M ，连结AM 、BM ．∵AC ＝AD ＝5，∴CD ⊥AM ．同理CD ⊥BM ，∴CD ⊥平面ABM ，∴V 三棱锥＝31（CM ＋MD ），S △AMB ＝2S △AMB ． ∵AM ＝BM ＝4，取AB 中点N ，连结MN ，则MN ⊥AB ，且MN ＝2234－＝7， ∴S △ABM ＝73，∴V 三棱锥＝76． 又三棱锥每个面面积和都为12，∴S ＝4×12＝48，∴V 三棱锥＝R 348＝16R ．20．解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，∵4πR 2＝324π，∴R ＝9，∴142＋（a 2）2＝182，∴a 2＝64，∴a ＝8． ∴S 四棱柱＝2a 2＋4a ·14＝64×2＋32×14＝576．参考答案一、选择题1．C 设正四棱柱的底面边长为a ，高为c ，由题意 2a 2＋c 2＝81①2a 2＋4ac 2＝144 即a 2＋2ac 2＝72②①×8－②×9得7a 2－18ac ＋8c 2＝0即（7a －4c ）（a －2c ）＝0，因此7a －4c ＝0或a ＝2c ，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C ． 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．D8．A 设底面圆半径为r ，母线即高为h ．∴h ＝2πr ．∴侧全S S ＝rh rh r πππ2222＋＝h h r ＋＝r r r ππ22＋＝ππ221＋．∴应选A ．9．A10．B 可计算出直截面的周长为5＋35，则S 侧＝4（5＋35）＝20（1＋3）．另解：如图，若∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°，则可证明□BB 1C 1C 为矩形，因此，S 侧＝2S □B B AA 11＋C C BB 11矩形S ＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋3）．二、填空题11．2222Mh N ＋．设长方体的长和宽分别为a ，b 则有a ·b ＝M ，22b a ＋·h ＝N ，2（a ＋b ）h ＝22）＋（b a ·h ＝M h N 2222＋·h ＝2222Mh N ＋．12．b a ab ＋ 13．π3200；60° 14．233cm ；211cm ，229cm三、解答题．15．设O ，O 1分别为下，上底面中心，连接OO 1，则OO 1⊥平面AB C ，上底面边长为x ，连接AO ，A 1O 1并延长交BC ，B 1C 1分别于D 、D 1两点． 则AD ⊥BC ，连接DD 1，则DD 1⊥BC ，∠ADD 1为二面角A －BC －D 1的平面角，即∠ADD 1＝60°，过D 1作D 1E ∥OO 1交AD 于E ，则D 1E ⊥平面ABC ．在正△ABC ，△A 1B 1C 1中，AD ＝a 23，A 1D 1＝x 23．在Rt △D 1ED 中，ED ＝OD －OE ＝31（AD －A 1D 1）＝63（a －x ）．则D 1D ＝2ED ＝33（a －x ），由题意S ＝3·233）－（）＋（x a a x ．即S ＝23（a 2－x 2）．解得x ＝Sa 3322－．16．如图SAB 是圆锥的轴截面，其中SO ＝12，OB ＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O 1C ＝x ，由△SO 1C ∽△SOB ，则C O SO 11＝OB SO ，SO 1＝OB SO ·O 1C ＝x512，∴OO 1＝SO －SO 1＝12－x 512，则圆柱的全面积S ＝S 侧＋2S 底＝2π（12－x 512）x ＋2πx 2＝2π（12x －257x ）． 当x ＝730cm 时，S 取到最大值7360cm 2．17．如图扇形SAA ′为圆锥的侧面展开图，AA ′即为所求的最知路程，由已知SA ＝SA ′＝3r ，θ＝SA r360°＝120°，在等腰△SAA ′中可求得AA ′＝r 33．参考答案一、选择题1．D2．B 解：由已知⎪⎩⎪⎨⎧③＝②＝＋＋①＝ac b ca bc ab c b a 2168··③代入①得b 3＝8，b ＝2，ac ＝4，代入②a ＋c ＝6．∴长方体棱长的和为4（a ＋b ＋c ）＝4×8＝32（cm 2）．3．D 4．B 5．C 6．B7．D 设正四棱锥的底面边长和高分别为a ，h ，斜高为h ′， 则h ′＝222）＋（a h ，S ＝21（4a ）h ′＝2a 224a h ＋解得 h ＝22244a a S －＝442Q Q S －＝Q Q S 2221－．V ＝31h ·Q ＝31（Q Q S 2221－）Q ＝）－（2261Q S Q ．8．C 9．B10．D 由E 、F 、G 分别为BB 1，B 1C 1，B 1A 1的中点，可证明平面EFG ∥平面BC 1A 1，因此1111A BC B EFGB V V －－＝31）（BC EF ＝（21）3＝81．即EFG B V －1＝81111A BC B V －＝81·31AD A BC B V 111－ ＝81（31·211111D C B A ABCD V －）＝4811111D C B A ABCD V －， EFG B D C B A ABCD EFGB V V V －－－－111111＝471．二、填空题． 11．3122a 12．π3613．938；8 14．314 15．三棱锥A －BCD 中，AB ＝6，设E 为AB 的中点，连结CE ，DE ，则CE ⊥AB ，DE ⊥AB ．在直角△AED 中，DE ＝22AE AD －＝2235－＝4．同理CE ＝4，F 为CD 中点，连接EF ，则EF ⊥CD ，在Rt △DFE 中， EF ＝2225）－（DE ＝22254）－（＝239． ∴S △CED ＝4395． V A －BCD ＝V A －ECD ＋V B －ECD ＝31AE ·S △CED ＋31BE ·S △CED＝31（AE ＋BE ）S △CDE ＝31×6×4395＝3925．16．设正三棱台的高为h ， 则斜高h ′＝22101563）］－（＋［ ⎝⎛h ＝12252＋h ， 由已知212251531032＋）＋（h ⨯⨯＝43（152＋102），解得h ＝32．因此V ＝31·32（43·102＋43·152＋2215·1043）＝2475（cm 3）． 别解：设上、下底面面积分别是S 1，S 2（S 1＜S 2），侧面与底面成二面角为α，由已知，S 侧＝S 1＋S 2①．又S 侧cos α＝S 2－S 1②， ②÷①，cos α＝2112S S S S ＋－＝22221043154310431543⨯⨯⨯⨯＋－＝135．然后再求棱台的高和体积．17．设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为31πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π（2a）2h ． 根据题意，有31πR 2h ＝π（2a ）2h ，解得R ＝a 23． 再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得 a a 23＝a h ，所以h ＝a 23．18．解：E D A S 11∆＝21A 1D 1·AA 1＝22a ．D 1B ＝3a ，D 1E ＝BE ＝22AB AE ＋＝2221a a ＋）（＝a25．等腰△EBD 1的高为2122）－（B D BE ＝222325）－（）（a a ＝a 22．1BED S ∆＝21（a 3）（a 22）＝246a．设A 1到平面BED 1的距离为h ，而11BED A V －＝E D A B V 11－， 即131BED S ∆·h ＝E D A S 1131∆·AB ． ∴31·246a ·h ＝31·22a ·a ，解得h ＝a 631．。
高中数学空间几何体的表面积与体积练习题及答案
空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )．A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16解析 每个面的面积为：12×2×2×32＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝43πR 3，知体积扩大到原来的22倍．3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． A.1423 B.2843 C.2803D.1403解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843. 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A ．8－2π3 B ．8－π3C ．8－2πD.2π3解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π3.5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π2据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2 cm 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94－π2 cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2D.⎝⎛⎭⎪⎫95＋π2 cm 2解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π4＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2.7．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( C)．A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝33x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中 ，BD ＝3(4－x )，所以33x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以三角形ABD 为正三角形，所以V ＝13S △ABD ×4＝ 3.二、填空题8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于__3______．解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×34×22×3＝ 3.9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．解析 设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r ＝2πr 3，球的体积是43πr 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr 343πr 3＝3∶2.10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___26_____．解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V＝13×1×1×22＝26.11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．解析由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πr2＋h22＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为___13_____cm. 解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．三、解答题13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积．解析(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V＝VPEFGH ＋V ABCDEFGH＝13×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示． (1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. .解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，2ar π=，底面圆的面积是24a π，于是全面积与侧面积的比是2221222a a a πππ++=， 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248⨯⨯⨯⨯=，于是8个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是65， 3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是 。
表面积和体积练习题
表面积和体积练习题(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除求表面积：1、一个长方体的铁皮水箱，长和宽都是2.5dm，深6dm。
做这样一个水箱，至少需要铁皮多少平方分米（水箱有盖）2、一个长方体罐头盒，底面长13cm、宽7cm，高8.5cm。
如果在盒的四周贴上商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少多少平方厘米？3、五年级同学向贫困地区捐款。
小刚把一个长50cm、宽40cm、高24cm的长方体纸箱各面都贴上了红纸作为捐款箱，除去上面捐款口的面积为350c㎡。
至少需要多少平方分米的红纸？4、5、一个长方体包裹，它的长、宽、高分别是4dm、3dm、2dm。
如果实际用纸是表面积的1.4倍，包装这个包裹至少要用多少平方分米的包装纸？6、一个房间长6m、宽3.5m、高3m，门窗面积是8㎡。
现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥漆。
如果每平方米需要水泥漆0.4kg，一共需要多少千克水泥漆？7、8、一个机器零件（如下图），要在它的前后两个面涂上红色防锈漆，其他漏出的面（底面不涂）涂上灰色防锈漆，涂红色防锈漆和灰色防锈漆的面积各是多少？9、一块正方体木料的棱长是40cm。
这块木料的表面积是多少平方厘米？求体积：1、修路队要给一段长150m、宽20m的水泥路面铺一层5cm厚的沥青，一共需要沥青多少立方米？2、一块正方体木料的棱长是40cm。
这块木料的体积是多少立方厘米？3、爸爸买回一块长方体形状的面包，面包长3dm、宽8cm、高5cm。
爸爸想把它平均分成5个长方体形状的小面包给五年人，每个人分到面包的体积是多少立方厘米？4、王大爷家要用砖砌一段长20m、宽25cm、高2.8m的院墙。
如果每立方米用砖500块，砌这段院墙一共要用多少块砖？5、某县在河道两旁修筑了亲水平台，亲水平台要安装如图所示的长方体、正方体水泥块各80块。
这些水泥块共要用水泥多少立方分米合多少方6、7、一个长方体的无盖玻璃鱼缸，长2m 、宽40cm、高80cm，（1）这个鱼缸的占地面积有多大？（2）做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃？（3）这个鱼缸的体积是多少？7、某同学想测一块合金块的体积，他在量筒中放入了3块同等大的合金块，测量结果如图所示。
六年级表面积和体积专项练习题
六年级表面积和体积专项练习题1、已知一个圆柱体的高为62.8厘米，侧面展开图为正方形，求其体积。
解：由于侧面展开图为正方形，所以圆柱体的高等于底面边长。
设底面半径为r，则底面周长为2πr，高为r，所以底面面积为πr²。
圆柱体体积为底面面积乘以高，即πr²×62.8=62.8πr²。
所以该圆柱体的体积为62.8πr²。
2、一个圆柱体底面周长和高相等，如果高减少了2厘米，表面积就减少12.56厘米。
求该圆柱体的表面积。
解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，则底面周长为2πr，高为h，所以底面面积为πr²。
圆柱体侧面积为2πrh，总表面积为2πr²+2πrh=2πr(r+h)。
当高减少2厘米后，圆柱体的侧面积为2πr(h-2)，总表面积为2πr²+2πr(h-2)=2πr(r+h-2)。
根据题意可得：2πr(r+h)-2πr(r+h-2)=12.56.化简得2πrh-4πr=12.56，即πrh-2πr=6.28.又因为底面周长和高相等，即2πr=h，所以πr(2πr-2)=6.28，解得r≈1.27.代入2πr(r+h)=2πr(3πr)=6πr²，得该圆柱体的表面积为6πr²≈24.12平方厘米。
3、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长300厘米、宽100厘米、厚5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多少厘米？解：长方体钢板的体积为300×100×5=立方厘米，底面积为20²π=400π平方厘米。
设截取的圆钢长度为x，则截取的圆钢体积为x×20²π=400xπ立方厘米。
由于截取的圆钢体积等于长方体钢板体积，所以400xπ=，解得x≈119.38.所以应该截取约119.38厘米长的圆钢。
4、一个无盖的圆柱体形铁桶，铁皮的面积是549.5平方厘米，底面半径为5厘米，求该铁桶的高。
长方体正方体的表面积和体积试题精选和答案解析
长方体正方体的表面积和体积练习卷答案1. 长方体表面积的求法:长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高）×2.如果用字母a、b、h 分别表示长方体的长、宽、高。
S表示它的表面积，则S=(ab+ac+bc）×2。
长方体的体积=长×宽×高。
字母表示：V=abc2. 正方体表面积的求法：正方体的表面积=棱长×棱长×6.如果用字母a表示正方体的棱长，S表示正方体的表面积，则正方体的表面积计算公式是:S=6a。
正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
字母表示:s=a*a＊a .1、一个长方体有（6）个面，他们一般都是(长方）形，也有可能（2)个面是正方形。
2、把长方体放在桌面上，最多可以看到(3）个面。
3、一个长方体，长12厘米，宽和高都是8厘米，这个长方体的表面积是( 512平方厘米）。
4、一个长方体，长8厘米,宽是5厘米,高是4厘米,这个长方体的表面积是(184平方厘米）,棱长之和是（68厘米）。
5、一个正方体的棱长之和是84厘米，它的棱长是（7厘米）,一个面的面积是（49平方厘米），表面积是（294平方厘米）。
6、把三个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是(14平方厘米），比原来3个正方体表面积之和减少了（4平方厘米）。
7、把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体,表面积是( 56平方分米），体积是（24立方分米）。
8、用棱长为1厘米的小正方体木块拼成一个较大的正方体，至少要（8）个这样的小木块才能拼成一个正方体。
9、一个正方体的棱长如果扩大2倍,那么表面积扩大（4 )倍，体积扩大（8)倍。
10、一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（10）个面。
11、有一根长52厘米的铁丝,恰好可以焊接成一个长6厘米，宽4厘米，高（3）厘米的长方体。
12、一个长方体的长宽高分别是a ，b， h,如果高增高3米，那么表面积比原来增加( ）平方米，体积增加（）立方米。
长方体和正方体表面积和体积测试卷及答案
表面积和体积检测卷班级：五年（）班姓名：成绩：一、填一填。
（1、2题每空1分，其余题目每空2分，共18分）1、3.5平方分米＝（）平方厘米85平方米＝（）平方分米4250厘米＝（）分米0.79平方米＝（）立方厘米2、在括号里填上适当的单位。
一本数学书的体积是450（）一间教室大约占地48（）一块橡皮的体积是9（）冰箱的体积约是500（）3、用一根96厘米长的铁丝正好制成一个长12厘米、宽8厘米、高（）厘米的长方体框架。
4、一个正方体的棱长总和是60厘米，他的棱长是（），体积是（），表面积是（）。
5、一根方木长20分米，把它锯成两段后，表面积增加了5平方分米，这根方木的体积是（）立方分米。
二、判断（对的打“√”，错的打“×”）。
共18分1、物体的大小叫做物体的体积。
（）2、2x=x·x （）3、一个正方体的棱长是原来的2倍，它的体积是原来的4倍。
（）4、在一个长方体中，从一个顶点出发的三条棱的和是7.5dm，这个长方体的棱长总和是30dm。
（）5、一个正方体的棱长是6厘米，它的体积和表面积相等。
（）6、有两个相对面是正方形的长方体，它的其余四个面完全相同。
（）7、体积是1立方分米的正方体，可以分成1000个体积是1立方厘米的小正方体。
（）8、把一块正方体的橡皮泥捏成一个长方体，体积不变。
（ ）9、至少要用4个体积是1立方厘米的正方体，才能拼成一个大正方体。
（ ）三、选择（把正确答案的序号填在括号内）。
共15分1、选择下列相对应的数量填入括号内。
一根木料长（ ） 一瓶药水（ ）一间客厅（ ） 一节火车车厢（ ）A 、130立方米B 、50毫升C 、3米D 、24平方米2、棱长是6分米的正方体，它的表面积和体积相比，（ ）。
A 、不变B 、增加C 、减少D 、不能比较3、把一个长方体分割成若干个小正方体，它的体积（ ），表面积 （ ）。
A 、不变B 、增加C 、减少4、正方体的棱长扩大2倍，则表面积扩大（ ），体积扩大（ ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
表面积与体积
一、填空题
1. (2010·南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．
2. 各棱长为1的正三棱锥的全面积为________．
3. 长方体的一个顶点上三条棱的长分别为2,4,6，，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为________．
4. 一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为9的正方形，则此三棱柱的体积为________．
5. 一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是________．
6. (2010·湖北)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
7. (2010·宁夏)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
8. 在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱侧面面积S＝________cm2.
9. (2010·全国Ⅱ)已知正四棱锥S -ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．
二、解答题
10. 已知正三棱柱形木桶，底面边长为2，侧棱长为3，这样的
桶里能否放进一个体积为π
3的小球(桶壁厚度忽略不计)?
11. (2011·扬州中学期中试题)如图，某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)．已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐，现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大4 m(高不变)，二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积； (2)分别计算按这两个方案所建仓库的侧面积； (3)哪一个方案更经济些？
12. (2009·辽宁改编)正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，求三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC的体积之比．
参考答案
1. 2π解析：圆锥的底面半径为r=22-3=1，则圆锥的侧面积为S侧=2π.
2. 3解析：每个正三角形的面积为
3
4，全面积为
3
4⨯4= 3.
3. 56π解析：长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线．设球半径为R，由题意知2R=22+42+62=214，则R=1
4.所以球的表面积为S=4πR2=56π.
4. 813
4解析：该正三棱柱的底面边长为3，高为9，则其体积
为V=Sh=
3
4⨯3
2⨯9=
813
4.
5. 3π解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l=2r.
由题意知，轴截面面积S=
3
4(2r)
2=3r2=3，∴r=1.
故圆锥的全面积S=πr⋅l+πr2=3π.
6. 4解析：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3⨯4 3
πr3+πr2⨯8=πr2⨯6r，解得r=4.
7.
7 3πa 2解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知AP=
2
3
⨯
3
2a=
3
3a，OP=
1
2a，所以球的半径R满足：R
2=
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3
3a
2+
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2a2=
7
12a
2，故S球=4πR2=
7
3πa
2.
8. 2 600π解析：S=(50+80)⨯20π=2 600π.
9. 2解析：设底面边长为a，则高h=SA2-
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2
2a
2=12-
a2
2，
所以体积为V =13a 2h =13a 212-12a 2
=
1312a 4-12a 6，设y =12a 4-12
a 6
，则y ′=48a 3-3a 5，令y ′=0解得a =0或4，易得当a =4时，V 最大，此时h =2.
10. 设球的半径为R ，则43πR 3=π
3，解得R 3=14，而正三棱柱底面内
切圆半径r =36⨯2=33，则R 6=116，r 6=1
27，则R 6＞r 6，即R ＞r ，故这
样的桶里不能放进一个体积为π
3的小球．
11. (1)当仓库底面直径比原来大4 m 时，底面半径为8 m ，高为
4 m ，体积V 1=13π⋅82⋅4=256
3π m 3；
当仓库的高比原来大4 m 时，底面半径为6 m ，高为6 m ，体积为V 2=13π⋅62
⋅8=96π m 2.
(2)当仓库底面直径比原来大4 m 时，底面半径为8 m ，高为4 m ， 侧面积为S 1=π⋅8⋅82+42=325π m 3.
当仓库高度比原来大4 m 时，底面半径为6 m ，高为8 m ， 侧面积为S 2=π⋅6⋅82+62=60π m 2.
(3)∵V 1S 1=835，V 2S 2=85，且835＜85.
所以第二个方案更经济一些．。