海淀区高三一模数学试卷及答案(理科)

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2023年北京海淀区高三一模数学试题及答案

海淀区2022—2023学年第二学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题（11）(,2)(1,)−∞−+∞（12）2（13）2π （答案不唯一，[,]62ϕππ∈）（14）1；(,0][2,)−∞+∞（15）①③三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由直三棱柱111−ABC A B C 可知1BC CC ⊥，又因为AC BC ⊥，且1ACCC C =,所以BC ⊥平面11CC A A .由1C D ⊂平面11CC A A ，所以1BC C D ⊥.在矩形11CC A A 中，111,2AD DA CC ===，所以1DC DC ==.可得22211C C C D CD =+，所以1C D CD ⊥.又因为BC CD C =，所以1C D ⊥平面BCD .（Ⅱ）由题意可知，1,,CA CB CC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz −，则(0,0,0)C ，(1,0,1)D ，(0,1,0)B ，1(0,0,2)C ，(1,1,1)BD =−，1(0,1,2)BC =−,(1,0,1)CD =. 设平面1BC D 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y z y z −+=⎧⎨−+=⎩令1z =，则2y =，1x =，得(1,2,1)=n . 设直线CD 与平面1BC D 所成角为θ，则sin |cos ,|θ⋅=<>==CD CD CD n n n ，所以直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值为3.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）由sin 23sin b A a B 及正弦定理，得sin sin 23sin sin B A A B .由倍角公式得2sin sin cos 3sin sin B A A A B .在ABC △中，sin 0,sin 0A B ，得3cos 2A .因为π(0,)2A ，所以π6A .（Ⅱ）记ABC △的面积为ABC S △.选条件②：由（Ⅰ）知π6A ，又由题知33ABC S △，可得1sin 2△ABC S bc A 得123bc . 又由条件②，即334b c ，解得33,4b c .由余弦定理，得2222cos 32716233427a b c bc A，所以7.a选条件③：又由条件③，即cos C =(0,π)C ∈，可得sin C =. 所以sin sin()sin cos cossin B A C AC A C =+=+12=+= 由（Ⅰ）知π6A，又由题知33ABCS △，可得1sin 2△ABC S bc A . 得123bc .由正弦定理得::sin :sin :sin 7:a bc A B C ==.可设7,,a kbc ===.由bc =k =.得a =（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设该户网购生鲜蔬菜次数超过20次为事件C ，在A 组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则3()10P C =.（Ⅱ）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为710. X 的取值范围为{}0,1,2.3721(0)(1)(1)1010100P X ==−⨯−=， 373729(1)(1)(1)1010101050P X ==⨯−+−⨯=， 3721(2)1010100P X ==⨯=. 212921()012110050100E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）12()()D D ξξ=.19. （本小题14分）解：（Ⅰ）依题意可得：22,b =⎧⎪⎨=⎪⎩解得 1.a b ⎧⎪⎨=⎪⎩椭圆E 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）依题意, 可设直线l 方程为(0)y kx m km =+≠，1122(,),(,)M x y N x y . 联立方程221,5.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(51)10550k x kmx m +++−=.22222(10)4(51)(55)10020200km k m k m ∆=−⋅+−=−+>，即2251k m >−.1221051km x x k +=−+，21225551m x x k −=+. 在直线l 方程y kx m =+中，令0y =，得m x k=−，得(,0)m P k −.依题意得11'(,)M x y −，得直线'M N 方程为211121()y y y x x y x x −=+++. 令0x =，得122112Q x y x y y x x +=+.所以△OPQ 的面积为1221121122OPQ P Q x y x y m S x y k x x ∆+=⋅=⋅+. 122112211212()()2()x y x y x kx m x kx m kx x m x x +=+++=++222225510102515151m km k k k k k −−=⋅−=+++. 即1102210OPQ m k S k km=⋅=△，解得14k =±，经检验符合题意. 所以k 的值为14±.解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =−.则(0)1f =.求导得'()e 1x f x =−，得'(0)0f =.所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）求导得'()e 1ax f x a =−.当0a ≤时，'()0f x <恒成立，此时()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令'()0f x =，解得ln =a x a −.()f x 与()f x '的变化情况如下：由上表可知，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a−+∞. 综上，当0a ≤时，()f x 的减区间为(,)−∞+∞，无增区间；当0a >时，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a −+∞. （Ⅲ）将()f x 在区间[1,1]−上的最大值记为max ()f x ，最小值记为min ()f x .由题意，若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，即max ()3f x ≥或min ()3f x ≤−. 当[1,1]x ∈−时，()e 1ax f x x x =−>−≥−.所以若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，只需max ()3f x ≥. 由（Ⅱ）可知()f x 在区间[1,1]−上单调或先减后增，故max ()f x 为(1)f −与(1)f 中的较大者，所以只需当(1)3f −≥或(1)3f ≥即可满足题意.即(1)e 13a f −−=+≥或(1)e 13a f =−≥.解得ln2a ≤−或ln 4a ≥.综上所述，a 的取值范围是(,ln 2][ln 4,)−∞−+∞.解：（Ⅰ）（ⅰ）不满足.令3i j ==，16i j a a =不是数列{}n a 中的项.（ⅱ）满足. 对于任意()i j b b i j ,≥，(21)(21)2(21)1i j b b i j ij i j =−−=−−+−.由于211ij i j −−+≥，故令21k ij i j =−−+即可.（Ⅱ）（1）对于有穷数列{}n a 记其非零项中，绝对值最大的一项为p a ，绝对值最小的一项为q a .故令i j p ==时，存在一项2||||k i j p a a a a ==.又p a 是数列{}n a 非零项中绝对值最大的，所以2||p p a a ≥，即0||1p a <≤. 再令i j q ==时，存在一项2||||k i j q a a a a ==.又q a 是数列{}n a 非零项中绝对值最小的，所以2||q q a a ≤，即||1q a ≥. 又1||||1q p a a ≤≤≤,所以数列所有非零项的绝对值均为1.又数列{}n a 的各项均不相等，所以其至多有0,1,1−共3项.所以3m ≤.（2）构造数列{}:0,1,1n a −.其任意两项乘积均为0,1,1−之一，满足性质①. 其连续三项满足0(1)10−−−=，满足性质②. 又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时3m =.（3）由（1）（2），m 的最大值为3.（Ⅲ）（1）首先证明：当120,1a a ><−时，数列满足2120,0,t t a a −><且2||||,1,2,3,t t a a t +<=.（*）因为对于任意数列的连续三项12,,n n n a a a ++，总有12121()()02n n n n n n a a a a a a ++++−−−−=. 即21n n n a a a ++=−或2112n n n a a a ++=−. 不论是哪种情形，均有当10n n a a +>>时，21102n n n n a a a a ++≥−>>，即2||||n n a a +>. 当10n n a a +<<时，21102n n n n a a a a ++≤−<<，亦有2||||n n a a +>. 又1201a a >>−>，故性质（*）得证.（2）考虑123,,a a a 三项，有312a a a =−或31212a a a =−. 若312a a a =−, 则1321a a a =+<，此时令1i j ==，有211a a <，由性质（*）知不存在k 使得0k a >，且211k a a a =<.高三数学参考答案第7页（共7页）故只有31212a a a =−，此时1321322a a a =+<. 因为534323311155()22242a a a a a a a ≥−≥−−>=, 所以令1i j ==时，21594a a <<. 由性质（*）知，只有211a a =或213a a =. 当213a a =时，12132()4a a a a ==−=，此时令2,1i j ==，214a a =−但423152a a a ≤−=，即421||||a a a >，由性质（*）知不存在k 使得21k a a a =. 所以211a a =，即11a =，从而22a =−.（3）经验证，数列{}n a ：1222,2,nn n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数，是偶数满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列. 假设s a 是第一个不满足上述通项公式的项，4s ≥.当21,2s t t =+≥时，只能为11212122(2)32t t t t t t a a a −−+−=−=−−=⋅. 令21,3i t j =−=，则2t i j a a =.但21212t t t a a −+<<，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =.当2,2s t t =≥时，只能为11222221112232222t t t t t t t a a a −−−−−=−=−−=−⋅>−. 则2222122122211115119()222224216t t t t t t t t t t a a a a a a a a ++−−≤−≤−−=−=−⋅<−. 令22,3i t j =−=，则2t i j a a =−，但2222t t t a a +>−>，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =. 故不存在不满足上述通项公式的项.综上，数列{}n a 的通项公式为1222,2,nn n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数,是偶数.。

北京海淀区高三理科数学一模试题.doc

高三第二学期期中练习数学（理科）20XX ．5学校________________ 班级_______________姓名_________________参考公式:三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=l c c S )(21/+=台侧，其中/c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=示斜高或母线长 )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= 台体的体积公式)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-= h S S S S V ）（台体++=//31其中S /、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 函数y =xx --2)1(log 2的定义域是 ( )(A) (1,]2 (B) (1, 2) (C) (2, +∞) (D) (-∞,2)(2) 极坐标系内，点（2,2π）关于直线 1cos =θρ 的对称点坐标为 ( ) (A) (4,22π) (B) (2, 4π) (C) (0, 0) (D) (2, 0)(3) 直角梯形ABCD 中，AB//DC, AB = 2CD, ∠A = 45, AD = 2. 以直线AB 为轴将梯形ABCD 旋转一周所得旋转体的体积为 ( )BDA C(A)π328 (B)π34(C) π3210 (D) π24 (4) 已知复数i z +=1，复数23-+=z z ω，那么ω的三角形式为（）(A) 2)4sin 4(cos2ππi + (B) 2)43sin 43(cos 2ππi + (C) 2)45sin 45(cos 2ππi + (D) 2)47sin 47(cos 2ππi +(5) 函数y = cosx (-π< x < 0) 的反函数为 ( )(A) y = arccosx (-1 < x < 1) (B) y = - arccosx (-1 < x < 1) (C) y = -π+ arccosx (-1 < x < 1) (D) y =π- arccosx (-1 < x < 1)(6) 将正方体的纸盒展开(如图)，直线AB, CD 在原正方体中的位置关系是 ( ) (A) 平行 (B)垂直 (C) 相交且成60角 (D) 异面且成60角(7)从7人中选出5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（）（A ）5551057P P C 种（B ）5551057P C P 种（C ） 57510C C 种（D ）51057P C 种(8) 已知a, b 是直线，γβα,,,是平面，给出下列命题：①b a a =βαβα ,//,//，则b a //；②γβγα⊥⊥,,则βα//；③b a b a ⊥⊥⊥,,βα,则βα⊥；④αγββα⊥a ,//,//，则γ⊥a . 其中正确命题的序号是 ( )(A) ①②④ (B) ①③④ (C) ②④ (D) ②③（9）等比数列{a n }公比为q, 则“a 1 > 0, 且q > 1”是“对于任意自然数n, 都有a n+1 > a n ”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件（10）已知f (x )是奇函数，定义域为{x | x ∈R, x ≠0}. 又f (x )在区间(0, +∞)上是增函数，且f (-1) = 0, 则满足f (x) > 0的x 的取值范围是 ( ) (A) (1, +∞) (B) (0, 1) (C) (-1, 0) (1, +∞) (D) (-∞, -1) (1, +∞)（11）若不论k 为何值，直线y = k(x – 2) + b 与曲线x 2 – y 2 = 1总有公共点，则b 的取值范围是 ( )(A) )3,3(- (B) []3,3- (C) (-2, 2) (D) [-2, 2]（12）在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（） (A) 22 (B) 23 (C) 24 (D) 25二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. (13) 若 (x +x )n 的展开式中第三项系数为36，则自然数n 的值是_________. (14) 若集合{(x, y )| x + y – 2 = 0且x – 2y + 4 = 0}⊂{(x, y )| y = 3x + b }, 则b = _________ . (15) 现有两个定值电阻,串联后等效电阻值为R,并联后等效电阻值为r.若R=k r ,则实数k 的取值范围是 ________________.(16) 已知函数f (x) = |x 2 –2ax + b | (x ∈R).给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0) = f (2)时f (x )的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2–b < 0，则f (x )在区间[a , +∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2–b |. 其中正确命题的序号是___________________ .三.解答题:本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分) 已知3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f . （I ）化简)(x f 的解析式;（II ）若πθ≤≤0,求θ使函数)(x f 为偶函数;（III ）若)(x f 为偶函数, 求满足)(x f =1,],[ππ-∈x 的x 的集合.(18) (本小题满分12分)解关于x 的不等式:]1)2([log )1(log 42+->-x a x (1>a )(19) (本小题满分12分)如图所示，正四棱锥P-ABCD 中,侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26. （I ）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小 ;(II) 若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值; (III) 在侧面PAD 上寻找一点F, 使EF ⊥侧面PBC.试确定F 点的位置, 并加以证明.BCPDE(20) (本小题满分12分)矩形ABCD 的顶点A 、B 在直线m x y +=2上,C 、D 在抛物线x y 42=上,该矩形的外接圆方程为0422=---+t y x y x .(I)求矩形ABCD 对角线交点M 的坐标; (II)求此矩形的边长,并确定t m ,的值.(21) (本小题满分12分)这是一个计算机的程序的操作说明： (1)初始值x = 1，y = 1, z = 0, n = 0；(2) n = n + 1 （将当前n + 1的值赋予新的n ）； (3) x = x + 2（将当前x + 2的值赋予新的x ）； (4) y = 2y （将当前2y 的值赋予新的y ）； (5) z = z + xy (将当前z + xy 的值赋予新的z ); (6)如果z > 7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； (7)打印n, z ； (8)程序终止.由语句（7）打印出的数值为______,_______. 以下写出计算过程：(22) (本小题满分14分) 已知函数xxa x f 22)(-=. (I)将)(x f y =的图象向右平移两个单位,得到函数)(x g y =,求函数)(x g y =的解析式; (II)函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称,求函数)(x h y =的解析式. (III)设)()(1)(x h x f ax F +=,已知)(x F 的最小值是m 且72+>m ,求实数a 的取值范围.高三数学期中练习（理科）参考答案20XX ．5一．选择题（每小题5分，共60 分）(1) B (2) A (3) A (4) D (5) B (6) D (7) D (8) B (9) A (10) C (11) B (12) C二．填空题 (每小题4分，共16分)(13) 9 (14) 2 (15) [4, +∞﹚ (16) ③三.解答题(17) 本小题满分12分解：(I) ]1)2(cos 2[3)2sin()(2-+++=θθx x x f 2分=)]2cos(3)2sin(θθ+++x x 4分 =)62cos(2πθ-+x（或)32sin(2)(πθ++=x x f 6分（II ）当6πθ=时,)(x f 为偶函数. 8分(III) 由212cos ,12cos 2,1)(=∴=∴=x x x f 10分 .665],,[ππππ±=±=∴-∈x x x 或 ∴所求x 的集合是=x x {}.665ππ±=±x 或 12分（18）本小题满分12分解：原不等式可化为]1)2([log )1(log 222+->-x a x 1分原不等式成立的必要条件是⎩⎨⎧>+->-.01)2(,01x a x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧->>.12,1a x x 3分由 1>a 且 0111)12(>-=--a a , 故 .12ax -> 5分∴原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧+->-->.1)2()1(,122x a x ax ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>--->.0)2)((,12x a x ax 7分若,21<<a 则⎪⎩⎪⎨⎧><->212x a x a x 或又0)1()12(2<--=--a a a a ， ∴a a<-12. 9分 ∴212><<-x a x a或. 若2=a , 则 ⎪⎩⎪⎨⎧≠>.2,23x x ∴23>x 且.2≠x 10分若a >2,则⎪⎩⎪⎨⎧><->.2,12a x x ax 或 ∵ 2>2-a 1, ∴ 212或<<-x aa x >. 12分综上,当1< 2<a 时 ,不等式的解集是{x 12或a x a<<-2>x }当 2=a 时 , 不等式的解集是{x23>x 且2≠x } 当 a >2时 , 不等式的解集是{x 212或<<-x aa x >}(19) 本小题满分12分DOCPG F BM E解：(Ⅰ) 连结AC,BD 交于O,连结PO. ∵P-ABCD 为正四棱锥, ∴PO ⊥底面ABCD.作PM ⊥AD 于M,连结OM, ∴OM ⊥AD.∴ ∠PMO 为侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的平面角. 2分 ∵ PO ⊥底面ABCD,∴ ∠PAO 为PA 与底面ABCD 所成的角.∴tg ∠PAO=26. 设AB=a , ∴ AO=,22a MO=2a. ∴PO=26⨯a a 2322=. ∴tg ∠PMO=3=MOPO .∴ ∠PMO=60，即侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为60. 4分 (Ⅱ) 连结EO,∵E 为PB 的中点，O 为BD 的中点，∴EO//PD.∴∠AEO 为异面直线AE 与PD 所成角 6分 ∵ Rt △PAO 中, AO=,22a PO=,23a ∴PA=a 25. ∴EO=21PD=a 45.由AO ⊥截面PDB,可知AO ⊥EO. 在Rt △AOE 中 tg ∠AEO=1052=EO AO . 即异面直线AE 与PD 所成角的正切值是1052. 8分(Ⅲ) 延长MO 交BC 于N,连结PN,取PN 中点G ,连结EG,MG .∵P-ABCD 为正四棱锥且M 为AD 的中点, ∴N 为BC 中点. ∴BC ⊥MN,BC ⊥PN. ∴BC ⊥平面PMN. ∴平面PMN ⊥平面PBC.∵PM=PN, ∠PMN=60,∴△PMN 为正三角形, ∴MG ⊥PN, ∴MG ⊥平面PBC. 取AM 中点为F,连结FE, 则由EG//MF 且EG=MF 得到MFEG 为平行四边形,∴FE//MG. ∴FE ⊥平面PBC. 12分 (20) 本小题满分12分解: (I)∵M 是矩形外接圆的圆心,外接圆的方程为417)2()21(22+=-+-t y x ∴ M 点坐标为()2,21. 3分 (II) ∵CD//AB, ∴可设CD 的直线方程为n x y +=2.与抛物线方程联立,消x ,得0222=+-n y y (*) 设弦CD 的中点为N,则22122,12nn y x y y y N N D C N -=-==+=. 由MN ⊥CD,得21-=--N M N M x x y y ,即 2121-=n ,解得4-=n . 6分由方程(*),684=-=-n y y D C ,53)()(22=-+-=D C D C x x y y CD 8分N 点坐标为（)1,25，N 关于M 的对称点是N /坐标为（-)3,23， N /在直线AB 上，代入方程可得.6=m 10分 M 点到CD 的距离为,55421=--=MN ∴522==MN AD . 圆半径r 满足,465||||222=+=NC MN r ∴.12=t 12分即此矩形的分别边长为.12,6,52,53==t m (21) 本小题满分12分解: 设n= i 时,x ,y ,z 的值分别为i i i z y x ,,,.依题意,.2,110+==-n n x x x ∴{}n x 是等差数列, 12+=n x n . 2分.2,110-==n n y y y ∴{}n y 是等比数列, nn y 2=. 4分.,010n n n n y x z z z +==- 5分 ∴n n n y x y x y x z +++= 2211=nn 2)12(27252332⋅+++⋅+⋅+⋅ ∴=n z 214322)12(2)12(272523+⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅n nn n以上两式相减,得 z n =1322)12(22222223+⋅++⋅--⋅-⋅-⋅-n nn=22)12(2)12(22112+⋅-=⋅+++-+++n n n n n 9分依题意,程序终止时：7000,70001≤>-n n z z ，即⎩⎨⎧≤+->+-+.700022)32(,700022)12(1nn n n 可求得7682,8==z n . 12分 (22) 本小题满分14分解: (I) 2222)2()(---=-=x x a x f x g . 2分(II) 设)(x h y = 图象上一点P ),(y x ,点P 关于1=y 的对称点为Q )2,(y x -, 4分由Q 在)(x g y =的图象上, ∴y a x x -=---22222, 于是-=2y 2222--+x x a , 即 =)(x h -22222--+x x a . 7分(III) 2)21)(14(2)411(244222121)(+-+-=+-+-=x x x x x x a a a a x F . 8分 (1) 当0<a 时,0411<-a , ,014<-a 由xx )21(,2值域是),0(+∞,可得,2)(<x F 这与72)(+>≥m x F 矛盾;(2) 当410≤<a 时, 0411>-a ,,014≤-a )(x F 是(-+∞∞,)上的增函数, 设,)(0m x F =则当0x x <时, ,)(m x F <这与已知矛盾. (3) 当4≥a 时,0411≤-a ,,014>-a )(x F 是(-+∞∞,)上的减函数, 设,)(0m x F =则当0x x >时, ,)(m x F <这与已知矛盾. 11分由(1),(2),(3)可知,.441<<a 此时0411>-a ,,014>-a24)14)(4(22)21)(14(2)411(2)(+--=+--≥aa a a a x F x x , 当且仅当x x a a )21)(14(2)411(-=-,即aa a x --=4)14(42时,)(x F 取得最小值 24)14)(4(2+---=aa a m .由72+>m 及441<<a 得⎪⎩⎪⎨⎧<<>--,441,474)14)(4(a a a a 解得, 221<<a . 14分说明:其它正确解法按相应步骤给分.。

北京海淀区高三一模数学(理)试题答案

在等腰直角三角形中，，，
所以，，所以 ………………8分
又平面，平面，所以平面 ………………9分
（Ⅲ）因为，
所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，
所以
由（Ⅱ）可知，
为平面的法向量………………10分
，
设平面的一个法向量为 ,
则，即，
令则平面的一个法向量为 ………………12分
设二面角的大小为，则
所以二面角余弦值为 ………………14分
18. 解：（I）因为所以 ………………2分
因为函数在处取得极值
………………3分
当时，，，随的变化情况如下表：0 Nhomakorabea0
极大值
极小值
………………5分
所以的单调递增区间为 ,
单调递减区间为 ………………6分
(II)因为
令 , ………………7分
所以该考场有人………………1分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 ………………3分
(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
………………7分
（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20………………8分
，
，
所以的分布列为
16
17
18
19
20
………………11分
所以
所以的数学期望为 ………………13分
17.证明：(I) 因为是正三角形，是中点，
所以 ,即 ………………1分
又因为，平面， ………………2分
又，所以平面 ………………3分
又平面，所以 ………………4分（Ⅱ）在正三角形中， ………………5分

海淀区2020届高三一模数学(理)试题及答案(官方word版)

是否n =n +1开始n =1n >9结束输出S输入11主视图1俯视图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 函数()f x =A.[0,)+∞B.[1,)+∞C.(,0]-∞D.(,1]-∞2. 某程序的框图如图所示，若输入的i z =（其中i 为虚数单位），则输出的S 值为A.1-B.1C.i -D.i3. 若,x y 满足 +20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12z x y=+的最大值为A.52B.3C.72D.44. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 C. D.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在极坐标系中，圆1:2cos C ρθ=与圆2:2sin C ρθ=相交于,A B 两点，则AB = A.1 D.27. 已知函数sin(),0,()cos(), 0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能．．成立的是 A. ππ,44a b ==- B. 2ππ,36a b == C. ππ,36a b == D. 5π2π,63a b ==8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知向量(1,),(,9),t t ==a b 若a b P ，则__.t = 10. 在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为___. 11. 在三个数1231, 2, log 22-中，最小的数是__.12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为π3，则C 的离心率为__;若C 的一个焦点到l 的距离为2,则C 的方程为__.13. 如图,在在三角形三条边上的6个不同的圆内填上数字1,2,3其中的一个.(i) 当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有___种； (ii) 当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有__种.14. 已知函数()f x ，对于给定的实数t ，若存在0,0a b >>，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得 |()()|2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t . （i ）当()2f x x =时，(0)H =___；（ii ）当2()f x x =且[1,2]t ∈时，函数()H t 的值域为___.DABC三、解答题共6小题，共80分。

2023年北京市海淀区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2023年北京市海淀区高考数学一模试卷1. 已知集合，，则( )A. B. C.D.2. 若，其中i 是虚数单位，则( )A.B. 1C.D. 33. 在等差数列中，，，则( )A. 9B. 11C. 13D. 154. 已知抛物线的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 的横坐标为4，则( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 若，则( )A.B. 1C. 15D. 166. 已知直线与圆O ：交于A ，B 两点，且为等边三角形，则m 的值为( )A. B.C.D.7. 在中，，，的平分线交BC 于点若则( )A.B.C. 2D. 38. 已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是( )A. B.C. D.9.已知等比数列的公比为q ，且，记……，则“且”是“为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 刘老师沿着某公园的环形跑道周长大于按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为( )A. 7B. 8C. 9D. 1011. 不等式的解集是______.12. 已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为______ .13. 已知函数若在区间上单调递减，则的一个取值可以为______ .14. 设函数①当时，______ ；②若恰有2个零点，则a的取值范围是______ .15. 在中，，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点不与A，B重合，过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B 折起后的位置记为点P，得到四棱锥，如图所示，给出下列四个结论：①平面PEF；②不可能为等腰三角形；③存在点E，P，使得；④当四棱锥的体积最大时，其中所有正确结论的序号是______ .16. 如图，直三棱柱中，，，，D是的中点.证明：平面BCD；求直线CD与平面所成角的正弦值.17. 在中，求；若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值.条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为4组和8组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小结论不要求证明19.已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为求椭圆E的方程；设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为，直线与y轴交于点Q，若的面积为2，求k的值.20. 已知函数，当时，求曲线在点处的切线方程；求的单调区间；若存在，，使得，求a的取值范围.21. 已知数列给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意连续三项，，，均有分别判断一下两个数列是否满足性质①，并说明理由；有穷数列：；无穷数列：…若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；若数列满足性质①和性质②，且，，，求的通项公式.答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，，则故选：根据交集定义，找出两个集合的公共元素即可．本题考查集合的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，则，，故选：根据复数相等，可得a，b的取值．本题考查复数的相等，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：在等差数列中，，，，解得，，则故选：利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：抛物线方程为，，又点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，故选：根据抛物线的几何性质，即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．5.【答案】C【解析】解：设，则故选：设，再根据赋值法，即可求解．本题考查赋值法的应用，属基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意，圆心到直线的距离为，，，故选：确定圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数m的值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属基础题．7.【答案】B【解析】解：设，因为，，所以，又AD是的平分线，所以，，，又，所以，，所以故选：根据角平分线定理可得，利用三角形法则先将表示出来，再利用向量相等可求出，本题考查向量的表示，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：二次函数，对任意的，有，令得，，即，故CD都不可能，对于B，二次函数的对称轴方程为，由图象可知，设的图象与x轴的两个交点为，，且，则，所以，所以，当时，，两者相矛盾，故B不可能．故选：由题意可得，所以CD都不可能，对于B，由图象可知，与时，相矛盾，所以B不可能．本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：①当，时，则，，充分性不成立，②若为递增数列，则，则，，当，时，则，则可能成立，当，时，则，则可能成立，当，时，则，则可能成立，当，时，则，则恒成立，且是为递增数列的必要不充分条件．故选：利用举实例判断充分性，利用等比数列的通项公式、充要条件的定义判定必要性．本题考查了等比数列的通项公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：设公园的环形道的周长为t，刘老师总共跑的圈数为x，，则由题意，所以，所以，因为，所以，又，所以，即刘老师总共跑的圈数为故选：利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解．本题考查不等关系，考查不等关系在实际中的应用，属于中档题．11.【答案】或【解析】解：不等式即为或，解得或则解集为或故答案为：或不等式即为或，由一次不等式的解法，即可得到解集．本题考查分式不等式的解法，可以运用符号法则或化为整式不等式，注意等价变形，属于基础题．12.【答案】2【解析】解：由题意，双曲线的渐近线方程为，故答案为：2利用双曲线的渐近线方程为，可得，结合离心率公式，即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．13.【答案】答案不唯一【解析】解：令，，可得，，的单调减区间为，，又在区间上单调递减，，，，，，，又，，可取故答案为：答案不唯一先求出在R上的单调减区间，再根据题意建立不等式组，即可求解．本题考查三角函数的单调性，不等式思想，属中档题．14.【答案】【解析】解：①当时，，；②令，得或，又，当，即时，，此时恰有2个零点，，；当时，易知恰有2个零点，1，；当，即时，要使恰有2个零点，则，，综合可得a的取值范围是故答案为：①1；②①代值计算，即可求解；②分类讨论，根据二次函数的性质，对数函数的性质，不等式思想，即可求解．本题考查函数值的求解，二次函数的性质，对数函数的性质，分类讨论，不等式思想，属中档题．15.【答案】①③【解析】解：①因为，平面PEF，平面PEF，所以平面PEF，故①正确；②因为是等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形，则，因为，，所以，且，当时，≌，所以，此时是等腰三角形，故②错误；③因为，且，，且平面PCF，平面PCF，所以平面PCF，平面ABC，所以平面平面PCF，且平面平面，如图，过点P作，连结DM，则平面ABC，平面ABC，所以，若，，平面PDM，平面PDM，所以平面PDM，平面PDM，所以，如图，，延长MD，交AB于点N，则和都是等腰直角三角形，则，点N到直线AC的距离等于，这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则，设，则，则，则存在点E，P，使得，故③正确：④当底面ACFE的面积一定时，平面平面PEF时，即平面ABC时，四棱锥的体积最大，设，，，，，得舍或，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时，故④错误；故答案为：①③根据线面平行的判断定理，判断①；证明≌，即可判断②；利用垂直关系转化，结合反证法，即可判断③；表示四棱锥的体积后，利用导数计算最值，即可判断④．本题考查空间中线面的位置关系，利用导数求最值，属于难题．16.【答案】证明：在直三棱柱中，平面ABC，且，点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，点、、、，、、，所以，，，则，，因为，CB、平面BCD，因此，平面解：设平面的法向量为，，则，取，可得，所以，，，因此，CD与平面所成角的正弦值为【解析】以点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面BCD；利用空间向量法可求得直线CD与平面所成角的正弦值．本题考查空间向量的应用，属于中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以；选条件①：；由知，，根据正弦定理知，，即，所以角C有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件．选条件②：；因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以选条件③：；因为，所以，由，得到，又，由知，所以，又由正弦定理得，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以【解析】利用正弦定理：边转化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；条件①，可得角C是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转化成边，再结合条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，利用余弦定理，即可求出结果．本题考查正余弦定理，属于中档题．18.【答案】解：设C事件为“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20“，又在A组10户中超过20次的有3户，由样本估计总体可得所求概率为；由得：从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，同理：从二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，，1，2，又，，，；根据题意可得，的取值可能为0，1，2，且得，服从超几何分布，又，，，，，，，，，，【解析】根据古典概型的概率公式，即可求解；根据题意可知，1，2，再分别求出对应的概率，从而可求解；根据方差公式计算，即可求解．本题考查根据样本估计总体，古典概型的概率公式，离散型随机变量的期望的求解，超几何分布列的期望与方差的求解，属中档题．19.【答案】解：依题意可得，解得，椭圆E的方程为；依题意，可设直线l的方程为，，，联立方程，可得，，即，，，在直线l的方程中，令，得，得，依题意得，得直线的方程为，令，得，，，，解得的值为【解析】依题意可得，求解即可；可设直线l的方程为，联立方程组可得，，求得的方程，进而可得，计算可得结论．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．20.【答案】解：当时，，则，，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线的方程为，当时，恒成立，则在R上单调递减，当时，令得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，综上所述，当时，在R上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增．在区间上的最大值为，最小值为，所以存在，使得成立，即或，当，，所以存在，使得成立，只需，由可知在区间上单调或先单调递减后递增，所以为与中的较大者，所以只需或，即可满足题意，即或，解得或，综上所述，a的取值范围为【解析】当时，，计算，由导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为，进而可得答案．求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性．在区间上的最大值为，最小值为，存在，使得成立，即或，由于当，，只需，由可知在区间上单调或先单调递减后递增，为与中的较大者，只需或，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：有穷数列：不满足性质①．令，则不是数列中的项，有穷数列不满足性质①；无穷数列：…满足性质①．对于任意的，，有，，令即可，无穷数列满足性质①．对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，故令时，存在一项，即，再令时，存在一项，即，又，数列所有非零项的绝对值均为1，又数列的各项均不相等，其最多有0，，1，共3项，，构造数列：0，，1，其任意两项乘积均为0，，1之一，满足性质①，其连续三项满足，满足性质②，又其各项均不相等，该数列满足条件，此时，综上，项数m的最大值为首先证明：当，时，数列满足，，且，，2，3，，对于任意数列的连续三项，，，总有，即或，不论是哪种情形，均有：当时，，即，当时，，即，，性质得证．考虑，，三项，有或，若，则，此时令，有，由性质知不存在k，使得，且，只有，此时，，令时，，由性质知，只有或，当时，，此时令，，，但，即，由性质知不存在k，使得，，即，从而，经验证，数列：满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列，假设是第一个不满足上述通项公式的项，则，当，时，只能为，令，，则，但，由性质，不存在k，使得，当，时，只能为，则，令，，则，但，由性质，不存在k，使得，不存在不满足上述通项公式的项，综上，数列的通项公式为【解析】利用性质①直接判断．对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，令时，得，令时，得，由此能求出项数m的最大值．首先证明当，时，数列满足，，由此能求出数列的通项公式．本题考查数列的性质、新定义、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

北京市海淀区高三数学一模考试试题理

北京市海淀区高三数学一模考试试题理选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B A A. {}32<<x x B. {}32<≤x x C. {}322<≤-≤x x x 或 D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0B ．1C ．2D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 4 8．已知抛物线M ：24yx ，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ，则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,CBD 乙丙甲演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；(Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）ADF E BG C已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ；（Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考 2011．4选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分）解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . (3)分因为180A B C =-- , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分（II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . ............8分所以sin B =sin C =. (9)分由sin sin a cA C=得a = …………………11分所以ABC∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又,AE EB EB EF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,HA DFEB G C∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分 ∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,EB =<>==θn …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为6- …………………………14分17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. (8)分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分（III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-，因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时，可得()h x 最小值为(1)h a +，因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ② ……………2分由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤. ………………………13分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分由已知可得OP OA OB=+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=-⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分由22003412x y +=得2200443x y =-，所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，故2OP ≤≤. ………………………13分所求OP的取值范围是. ………………………14分 20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++==== 112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123()n M a a a a b =-+++++ 123()n a a a a n =-+++++ …………………12分 ∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答题应写出解答步骤。

15. （本题满分13分）（Ⅰ）2()cos 2cos 16666f ππππ=+- 2121222⎛=⨯+⨯- ⎝⎭ 2= ······················ 3分（Ⅱ）()2cos 2f x x x =+2sin(2)6x π=+ 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），令222262k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得 36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），故()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+（k ∈Z ） ···· 13分16. （本题满分13分）（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用i A 表示事件抽取的月份为第i 月，则123456789101112{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个基本事件，26891011{,,,,,}A A A A A A A =共6个基本事件，所以，61()122P A ==. ················ 4分（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2. 242662(0)155C P X C ====，1124268(1)15C C P X C ===，22261(2)15C P X C === 随机变量X 的分布列为（Ⅲ）M 的最大值为58%，最小值为54%. ·········· 13分17.（本题满分14分）（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以 PO OB ⊥因为 AC OB O =I ，,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ················ 4分所以平面PAC ⊥平面ABC方法2：OC A B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥，因为 PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以 POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以 PO OB ⊥因为 AC OB O =I ，,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ················ 4分所以平面PAC ⊥平面ABC方法3：OC A设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以 PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB .因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以 OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以 PQ AB ⊥.因为 PQ OQ Q =I ，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以 AB ⊥平面OPQ因为 OP ⊂平面OPQ所以 OP AB ⊥因为 AB AC A =I ，,AB AC ⊂平面ABC OPC ABQ所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC················4分所以平面PAC⊥平面ABC（Ⅱ）由PO⊥平面ABC，OB AC⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(1,0,0)C，(0,1,0)B，(1,0,0)A-，(0,0,1)P由OB⊥平面APC，故平面APC的法向量为(0,1,0)OB=u u u r由(1,1,0)BC=-u u u r，(1,0,1)PC=-u u u r设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=r，则由BCPC⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u ru u u rnn得：x yx z-=⎧⎨-=⎩令1x=，得1y=，1z=，即(1,1,1)n=rcos,||||n OBn OBn OB⋅<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --········· 9分（Ⅲ）设BN BP μ=u u u r u u u r ，01μ≤≤，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r令0BM AN ⋅=u u u u r u u u r得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12[,]33λ∈时，12[,]45μ∈，所以12[,]45BNBP ∈ ··················14分18. （本题满分13分）（Ⅰ）当0a =时，ln ()xf x x =故221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ············ 4分（Ⅱ）方法1：22ln 1ln '()()()x a a x x x x f x x a x a +-+-==++ 令()1ln ag x x x=+- 则221'()0a x a g x x x x+=--=-< 由()0a g =>e e ，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e+++=+-+=⋅-<e 故存在10(,)a x +∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <故021()f x =e故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e············ 13分故a 的值为2e .（Ⅱ）方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e 且存在0(0,)x ∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x ≥-e 且存在 0(0,)x ∈+∞，使得200ln a x x ≥-e ，等价于2()ln g x x x =-e 的最大值为a . Q 2'()1g x x=-e ，令'()0g x =，得2x =e .故()g x 的最大值为22222()ln g =-=e e e e e ，即2a =e . ···· 13分（19）（本小题14分）（Ⅰ）由题意222224112a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：a =b =c = 故椭圆C 的标准方程为22182x y += ··········· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440x x -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线111:1(2)2y TP y x x --=--，直线221:1(2)2y TQ y x x --=--故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+--1212224()111122x x x t x t--=-++-+-121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++-22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+-4= ··················· 14分方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k 由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+-- 121211112222x t x t x x +-+-=+-- 121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=-- 21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=-- 0=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零故TMN TNM ∠=∠故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ················· 14分20. （本题满分13分）（Ⅰ）A 是“N -数表 ”，其“N -值”为3，B 不是“N -数表”. 3分（Ⅱ）假设,i j a 和','i j a 均是数表A 的“N -值”，① 若'i i =，则,,1,2,',1',2',','max{,,...,}max{,,...,}i j i i i n i i i n i j a a a a a a a a ===； ② 若'j j =，则,1,2,,1,'2,','','min{,,...,}min{,,...,}i j j j n j j j n j i j a a a a a a a a === ；③ 若'i i ≠，'j j ≠，则一方面,,1,2,,'1,'2,','','max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=，另一方面','',1',2',',1,2,,,max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=；矛盾. 即若数表A 是“N -数表”，则其“N -值”是唯一的. 8分（Ⅲ）方法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯=. 定义数表,1919()j i B b ⨯=如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即,,j i i j b a =（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有：① 数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素 ③ 数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素 ④ 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值. 定义数表,1919()j i C c ⨯=如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即,,362j i j i c b =-（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯= ① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值即对任意的19A ∈Ω，其“N -值”为,i j a （其中119i ≤≤，119j ≤≤），则19C ∈Ω，且其“N -值”为,,,362362j i j i i j c b a =-=-.记()C T A =，则()T C A =，即数表A 与数表()C T A =的“N -值”之和为362，故可按照上述方式对19Ω中的数表两两配对，使得每对数表的 “N -值”之和为362，故X 的数学期望()181E X =. ·············· 13分方法2：X 所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343.记19Ω中使得X k =的数表A 的个数记作k n ，19,20,21,...,341,342,343k =，则218182136119[(18)!]k k k n C C --=⨯⨯⨯.则218182362361119[(18)!]k k k k n C C n ---=⨯⨯⨯=，则343343343362191919343343343191919(362)()k k k k k k k k kk k k nk n k n k E X n n n -======⋅⋅⋅-===∑∑∑∑∑∑，故34334319193433431919(362)2()362k k k k k kk k nk n k E X n n ====⋅⋅-=+=∑∑∑∑，()181E X =. ··· 13分。

海淀区高三年级第二学期一模试题（理科）参考答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）参考答案及评分标准．4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDBCACAB第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④ 12．1 13．12(,)35 14．π；18π+.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω，………………2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π………………6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x = ………………9分所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即 (Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……………12分故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈. ……………13分 16．（本小题满分13分）解：设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C .则111(),(),()632P A P B P C ===.………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+=………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次. 随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………………7分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=………………10分P0 30 6090120X 14 13518 19 136………………12分其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .………13分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点，所以1AO AC ⊥.………………1分又由题意可知，平面11AAC C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1A O ⊂平面11AA C C ，所以1A O ⊥平面ABC .………………4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴==所以1A 1B 1z得:11(0,0,0),(0,1,0),3),(0,1,0),3),(1,0,0)O A A C C B - 则有：11(0,1,3),(0,1,3),(1,1,0).A C AA AB =-== ………………6分设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有103000AA y z x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得31,x z =-= 所以3(1,1,)=-n . ………………7分 11121cos ,7|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ………………9分因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C 所成锐角互余，所以21sin 7θ=.………………10分（Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==………………11分即000(1,,)(3)x y z λ-=-，得000123x y z λλλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,23),E λλλ=-得(1,23),OE λλλ=- ………………12分令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ， (13)分即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点.………………14分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x'=-………………2分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可，所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩，由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可，所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-. ……………12分综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ..……………1分222233532(11)()(11)()42222a ∴=++-+=+=..……………3分2,a ∴=又1c = 2413b =-=，……………4分故椭圆的方程为22143x y +=..……………5分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意..……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=，.……………7分显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k -+=-⋅=++.……………8分又422221212222644(412)||1()41(34)34k k AB k x x x x k k k-=++-⋅=+-++即 2222212112(1)||13434k k AB k k k++=+=++， .……………9分又圆2F 的半径2211r kk==++.……………10分所以2222221112(1)12||1122||,22343471AF Bk k k S AB r k k k∆++==⨯==+++化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±所以，221r k==+.……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=..……………13分（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t+=⋅=-++……………8分所以 221212122223636||()4(43)43t y y y y y y t t -=+-⋅=+++22143t t +=+.……………9分又圆2F 的半径为2211r tt==++，.……………10分所以22121212211122||||||2437AF Bt S F F y y y y t ∆+=⋅⋅-=-==+，解得21t =，所以221r t==+……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=..……………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=. ………………3分（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121111221222n n n n n n n a a b b +--++++===+， ∴ 112n n b b +-=.∴ 数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列.∴ 12n n b -=. …………………………………………………………7分（Ⅲ）对于任意的正整数k ，当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<；当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>. ……………………………………8分证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<；其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；…………………9分41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()()()2212212121222222122120k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=所以，1n n a a +=.…………………10分43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>.综上可知：结论得证.…………………12分对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>，满足（＊）式。

北京市海淀区2024届高三下学期期中练习(一模)数学试题(解析版)

海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（）A.(2,1)--B.[2,1]--C.(2,1){2}-- D.[2,1){2}-- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，所以[2,1){2}U A =-- ð.故选：D2.若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是()A.1i --B.1i +C.1i -+D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.4.已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】将||2a b +=两边同时平方，将条件带入计算即可.【详解】由已知||2,2a b ==，所以()22224222cos ,44a b a b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：C.5.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为（）A.2214x y -= B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a b =，c =，再结合222+=a b c ，求出,a b ，即可求出结果.【详解】由题知c =，根据题意，由双曲线的定义知2a b =，又222+=a b c ，所以255a =，得到221,4a b ==，所以双曲线的方程为2214y x -=，故选：D.6.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A .7.已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B 【解析】【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.8.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（）A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos 0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.9.函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A.[0,2]B.[3,0][3,4)-C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)- 【答案】D 【解析】【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，112111221112A A A A OA ==….若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【详解】由题意可知，114cm OA =，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在11OA 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离依次为：1114,2,222482⨯⨯⨯ ，则31353842155722244+⨯++⨯=+>+=，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在11OA 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即1311432164316841+281142282331144++⎛⎫⎛⎫++++++≈+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，综合可得培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为8cm ，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在11OA 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知ln 2ab=，则22ln ln a b -=_______.【答案】4【解析】【分析】直接利于对数的运算性质求解.【详解】因为ln2ab=，所以22222ln ln ln ln 2ln 4a a a a b b b b ⎛⎫-==== ⎪⎝⎭.故答案为：4.12.已知22:(1)3C x y -+= ，线段AB 是过点(2,1)的弦，则AB 的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】借助直径与弦AB 垂直时，AB 有最小，计算即可得.【详解】由22(21)123-+=<，故点(2,1)在圆的内部，且该圆圆心为()1,0设圆心到直线AB 的距离为d ，由垂径定理可得2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即AB =，故当d 取最大值时，AB 有最小值，又max d ==故2AB =≥=.故答案为：2.13.若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =_______；13024a a a a a +=++_______.【答案】①.16②.4041-【解析】【分析】借助赋值法，分别令0x =、1x =、=1x -计算即可得.【详解】令0x =，可得40(02)a -=，即40216a ==，令1x =，可得443210(12)a a a a a -=++++，即()44321011a a a a a ++++=-=，令=1x -，可得443210(12)a a a a a --=-+-+，即()443210381a a a a a -+-+=-=，则()()()4321043210420218182a a a a a a a a a a a a a +++++-+-+=++=+=，即42082412a a a ++==，则()42103114140a a a a a =-++==-+-，故130244041a a a a a +=-++.故答案为：16；4041-.14.已知函数π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为_______.【答案】①.1-②.π(,0)4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数表达式，代入即可求出5π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的函数值，根据条件，先求出使()0f x =的一个取值π4x =-，再证明π(,0)4-是()f x 的一个对称中心即可.【详解】因为π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以55ππππsin()sin(214444f ⎛⎫=+⨯=- ⎪⎝⎭，因为()f x 定义域为R ，当π4x =-时，ππππ()sin sin()04442f ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，下证π(,0)4-是()f x 的一个对称中心，在π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上任取点()00,P x y ，其关于π(,0)4-对称的点为00π(,)2P x y '---，又00000000ππππππ()sin sin 2()sin()sin(π2)sin()sin(2)224244f x x x x x x x y ⎛⎫--=--+--=----=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为π(,0)4-，故答案为：1-；π(,0)4-（答案不唯一）15.已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -=-=kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x +=或242k x -=（负值舍去），则20122k x ++=>=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x =或242k x +=（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则22211711744242412222k t x ⎫⎛⎫---⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===>=-，即212k x =>-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，sin cos 2b C B c =.（1）求B ∠；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin 2B B +=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中π6B =及条件，由余弦定理得到22126c b c +-=，再结合4b c +=，即可求出2c =，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【小问1详解】因为sin cos 2b C B c =，由正弦定理可得sin sin cos 2sin B C C B C =，又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，得到sin 2B B +=，即π2sin(23B +=，所以πsin()13B +=，又因为(0,π)B ∈，所以2ππ3B +=，得到π6B =.【小问2详解】由（1）知π6B =，所以2223cos 22a cb B ac +-==，又a =，得到22126c b c +-=①，又4b c +=，得到4b c =-代入①式，得到2c =，所以ABC 的面积为11πsin 2sin 226ABC S ac B ==⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP .（1）求证：2BC AD =；（2）若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD -存在且唯一确定.（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（ⅱ）设平面CDP ⋂平面BAP l =，求二面角C l B --的余弦值.条件①：BP DP =；条件②：AB PC ⊥；条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）77【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i ）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】取PC 的中点N ，连接,MN ND ，因为M 为BP 的中点，所以1,//2MN BC MN BC =，因为//AD BC ，所以//AD MN ，所以,,,M N D A 四点共面，因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，AM ⊂平面MNDA ，所以//AM DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN AD =，所以2BC AD =；【小问2详解】（i ）取BC 的中点E ，连接,AE AC ，由（1）知2BC AD =，所以EC AD =，因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以1,EC AD AE CD ===，因为1AB CD ==，所以112AE BC ==，所以90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，选条件①：BP DP =，因为1,AB AD PA PA ===，所以PAB 与PAD 全等，所以PAB PAD ∠=∠，因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=o ，所以90PAD ∠= ，即AP AD ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ；（ⅱ）由（i ）知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP AC ⊥，因为,1PA AB AP ⊥=，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,1,0,,,22P C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,12222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z = ,则0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102213022x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令x =，则1,y z =-=，于是1,n =-，因为AC 为平面PAB 的法向量,且7cos ,7AC n AC n AC n ⋅===-⋅,所以二面角C l B --的余弦值为77.选条件③：CBM CPM ∠=∠，(i)因为CBM CPM ∠=∠，所以CB CP =，因为1,AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC △全等，所以90∠=∠= PAC BAC ，即PA AC ⊥，因为PA AB ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i ）可得AB AC ⊥，又PA AB ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，即AB PC ⊥是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100x ≤≤4108090x ≤<3a 7080x ≤<2b 6070x ≤<123060x ≤<02（1）当35a =时，（i ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X 的数学期望()E X ；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y .若根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立，直接写出a 的最小值.【答案】（1）（i ）0.45；（ⅱ）589；（2）7.【解析】【分析】（1）（i ）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i ）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出1Y 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值2Y 的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当35a =时，（i ）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29，X 的所有可能值为6，7，8，7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=，224(8)9981P X ==⨯=，所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由表知，10232100a b ++++=，则65b a =-，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，则1Y 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y ，要12Y Y ≤恒成立，当且仅当2min ()69Y ≥，显然2Y 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此2min 1683()108070(65)602302]10010a Y a a +=⨯++-+⨯+⨯=，则6836910a+≥，解得7a ≥，所以根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立的a 的最小值是7.19.已知椭圆22:G x my m +=的离心率为12,,2A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（1）求m 的值及点F 的坐标；（2）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M .比较2MP 与12MA MA ⋅的大小.【答案】（1）2m =，()1,0F （2）122MA A MP M <⋅【解析】【分析】（1）借助离心率计算即可得；（2）设()00,P x y ，表示出M 与Q 点坐标后，可得2MP 、12MA MA ⋅，借助作差法计算即可得.【小问1详解】由22:G x my m +=，即22:1x G y m+=，由题意可得1m >，故2=，解得2m =，故22:12x G y +=1=，故()1,0F ；【小问2详解】设()00,P x y ，00,0x y ≠，0x <<，有220012x y +=，由PF FQ ⊥，则有()()001210Q x y y -⋅-+⋅=，即01Q x y y -=，由0PQ k ≠，故有0002Q My y y x x x -=--，即有()()()2000000000200000022211M Q y x y x y x x x x x x y y x y y y ---=-=-=------()200320000022000012222422x x x x x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=-=---()()32320000002200000002222242222x x x x x x x x x x x x x ----+=-==---，由22:12x G y +=可得()1A、)2A ，则22222222000000022200002444441322x x MP x y x y x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-++-=-+ ⎪⎝⎭，1220002242MA MA x x x ⎛⋅==- ⎝，则222001222004432122x x MP MA MA x x -⋅=-+-+=-，由0x <<，故20102x -<，即212MP MA MA <⋅.20.已知函数12()ea x f x x -=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222ee e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+.【小问2详解】令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.21.已知：()2*12:,,,2,m Q a a a m m ≥∈N为有穷正整数数列，其最大项的值为m ，且当0,1,,1k m =- 时，均有(1)km i km j a a i j m ++≠≤<≤.设00b =，对于{0,1,,1}t m ∈- ，定义{}1min ,t t n b n n b a t +=>>，其中，min M 表示数集M 中最小的数.（1）若:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，写出13,b b 的值；（2）若存在Q 满足：12311b b b ++=，求m 的最小值；（3）当2024m =时，证明：对所有2023,20240Q b ≤.【答案】（1）11b =，36b =（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义逐个计算出1b 、2b 、3b 即可得；（2）当3m =时，可得12310b b b ++≤，故4m ≥，找到4m =时符合要求的数列Q 即可得；（3）结合题意，分两段证明，先证10122024b ≤，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，再证得2024k C b k ≤，即可得证,【小问1详解】由:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，00b =，则{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，故23b =，则{}3min 3,2n b n n a =>>，故36b =；【小问2详解】由题意可知，3m ≥，当3m =时，由1n a ≥，{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，由题意可得123a a a ≠≠，故2a 、3a 总有一个大于1，即22b =或23b =，{}32min ,2n b n n b a =>>，由456a a a ≠≠，故4a 、5a 、6a 总有一个大于2，故36b ≤，故当3m =时，12310b b b ++≤，不符，故4m ≥，当4m =时，取数列:4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4Q ，有11b =，23b =，37b =，即12311b b b ++=，符合要求，故m 的最小值为4；【小问3详解】因为{}11min ,,0,1,,2023t n b nn b a t t +=>>= ∣，所以11,0,1,,2023i b b t +>= ，(i)若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至少有t 个，②存在,i i t b n ≤=，这样的n 至多有t 个，所以小于1t b +的n 至多有2t 个，所以1121t b t t t +≤++=+，令212024t +≤，解得11012t +≤，所以10122024b ≤，(ii)对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且()1202420241t l k b k ++<≤+，因为{}1min ,t l t l n b nn b a t l +++=>>+∣，所以当()12024,t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：①n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；②存在,i t i i l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个，所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++，令212024t l ++≤，解得20232t l -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即202512t t l +⎡⎤++≤⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，所以当12024t t b k b +≤<时，()2025220241t b k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤+；综上所述，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则2024k C b k ≤，依次可得：2345671518,1771,1898,1961,1993,2009C C C C C C ======，89102017,2021,2023C C C ===，所以202320241020240b ≤⨯=.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。

北京市海淀区高三一模理科数学试题及参考

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018. 4本试卷共 4 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

（1）已知会合 A {0, a}, B { x | 1 x 2} ，且A B ，则a能够是(A) 1 (B) 0(C) 1 (D) 2（2）已知向量 a (1,2) ， b ( 1,0) ，则a 2b(A) ( 1,2) (B) ( 1,4)(C) (1,2) (D) (1,4)（3）履行以下图的程序框图，输出的S值为(A) 2 (B) 6(C) 8 (D) 10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点构成的会合记为M , 且P( x, y)为 M 中随意一点，则 y x 的最大值为(A) 1 (B) (C) 1 (D) 2 2（5）已知a，b为正实数，则“ a 1 ， b 1”是“lg a lg b 0 ”的()(A) 充分而不用要条件(B)必需而不充分条件(C) 充分必需条件(D)既不充分也不用要条件（6）以下图，一个棱长为 1 的正方体在一个水平搁置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光芒照耀，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则 S 的值不行能是6(A) 1(B)54 3(C)(D)3 2（ 7）以下函数 f ( x) 中，其图象上随意一点P( x, y) 的坐标都知足条件 y x 的函数是(A)f ( x) x3 (B) f ( x) x (C) f ( x) e x 1 (D) f (x) ln( x 1) （8）已知点M 在圆 C1 : ( x 1)2 ( y 1)2 1上，点N 在圆C2 :( x 1)2 ( y 1)2 1 上，则以下说法错误的选项是uuuur uuur3 2 2,0]（A）OM ON 的取值范围为 [uuuur uuur2]（B）| OM ON |的取值范围为 [0, 2uuuur uuur2,2 2 2]（C）| OM ON | 的取值范围为 [2 2uuuur uuur的取值范围为 [ 3 2 2, 3 2 2]（D）若OM ON ，则实数第二部分（非选择题，共110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

北京海淀区高考一模试题解析：数学（理）

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（海淀·理科·题1）1．在复平面内，复数1iiz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 C ；()()1i 1i i 1i iz -==--=--，该复数对应的点位于第三象限．（海淀·理科·题2）2．在同一坐标系中画出函数log a y x =，x y a =，y x a =+的图象，可能正确的是（）【解析】 D ；y x a =+在B 、C 、D 三个选项中对应的1a >，只有选项D 的图象正确．（海淀·理科·题3）3．在四边形ABCD 中，AB DC =，且0AC BD ⋅=，则四边形ABCD （） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形【解析】 B ；∵AB DC =即一组对边平行且相等，0AC BD ⋅=即对角线互相垂直； ∴该四边形ABCD 为菱形．（海淀·理科·题4）4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是（）A ．π1,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．4π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 C ；PyO x1-311xyO B 11x yO A 11xyO C 11xyO D易知()22132ρ=+-=，()π2π3k k θ=-∈Z ．（海淀·理科·题5）5．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A ．63B ．8C ．83D ．12【解析】 A ；设该三棱柱底面边长为a ，高为h ，则左视图面积为23h ．由三视图可得： 2312343232a h a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得43a h =⎧⎨=⎩．于是2363h =为所求．（海淀·理科·题6）6．已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（） A ．3或3- B ．3或1- C ．3 D ．3- 【解析】 C ；()()221235050a ba b ab b =+⎧⎪+=⋅+⎪⎨+≠⎪⎪+≠⎩，解得47a b =⎧⎨=⎩．因此该等差数列的公差为3．（海淀·理科·题7）7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）第 7 题结束输出 a i = i +1否是a = 1-1ai ≥ 2010a = 2 , j = 1开始A ．1-B ．1C ．2D ．12【解析】 A ；第 5 题a = -1 , j = 3a = 12, j = 2a = 2 , j = 1∵()20100mod 3i ==，∴对应的1a =-．（海淀·理科·题8）8．已知数列()1212:,,,0,3nn A a a a a a a n <<<≤≥具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：① 数列0,1,3具有性质P ； ② 数列0,2,4,6具有性质P ；③ 若数列A 具有性质P ，则10a =；④ 若数列()123123,,0a a a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=．其中真命题有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 B ；① ∵134+=，132-=-都不在数列中，∴数列0,1,3不具有性质P ； ② 容易验证数列0,2,4,6具有性质P ；③ 取i j n ==，则0j i a a -=在数列中，而数列中最小的数10a ≥，因此10a =； ④ 由对②的分析可知，10a =．由于210a a >=，32a a +3a >不在数列中，因此32a a -必然在数列中．又32a a >，故320a a ->1a =，于是322a a a -=，等式1322a a a +=成立．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（海淀·理科·题9）9．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为．【解析】 30；由10.040.120.140.052x ++++=，解得0.15x =．于是在这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为0.15100230⨯⨯=．（海淀·理科·题10）10．如图，AB 为O 的直径，且8AB =，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为．【解析】 7；由8AB =得2,6AP PB ==．由已知和相交弦定理得 :3:4CP PD AP PB CP PD ⋅=⋅⎧⎨=⎩，解得34CP PD =⎧⎨=⎩．于是347CD CP PD =+=+=．（海淀·理科·题11） 11．给定下列四个命题：① “π6x =”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；② 若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；③ 若a b <，则22am bm <；④ 若集合A B A =，则A B ⊆．其中为真命题的是（填上所有正确命题的序号）．【解析】 ①，④；（海淀·理科·题12）12．在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为．【解析】 1；由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭．当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．（海淀·理科·题13）13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为()1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是．【解析】 12,35⎛⎫⎪⎝⎭；如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为1,a c ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为2,a c ，12,PF m PF n ==，则PF 2F 1O yx1222102m n a m n a m n c+=⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪=⎩1255a c a c =+⎧⇒⎨=-⎩，问题转化为已知125c c <<-，求5c c +的取值范围．设5c x c =-，则51x c x =+，11521242c x c x x ==-+++． ∵12x <<，∴11111126242210x -<-<-+，即111232425x <-<+．（海淀·理科·题14）14．在平面直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y xy =+≤，{(,)|4,0,340}B x y x y x y =-≤≥≥，则（1）点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；（2）点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为．【解析】π；18π+．； xy131OQPFED CBAO 43yx（1）如左图所示，点集P 是以()3,1为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π；（2）如右图所示，点集Q 是由三段圆弧以及连结它们的三条切线段围成的区域，其面积为()1π433451π18π2OPQ OABP PCDQ OFEQ S S S S ++++=⨯⨯+++⨯+=+△．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（海淀·理科·题15） 15．（本小题满分13分）已知函数()()()sin 0,||πf x x ωϕωϕ=+><的图象如图所示．（Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设π()()4g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间．【解析】（Ⅰ）由图可知ππ4π24T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，y Ox1π2π4-12π2T ω==，又由π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得()sin π1ϕ+=，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-∵||φπ<，∴π2ϕ=-，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭因为()π()cos 2cos 2cos 2sin 22g x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-⋅--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1sin 42x =所以，ππ2π42π22k x k -+≤≤，即ππππ()2828k k x k -+∈Z ≤≤．故函数()g x 的单调增区间为ππππ,()2828k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（海淀·理科·题16） 16．（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．【解析】设指针落在A 、B 、C 区域分别记为事件A 、B 、C ．则1()6P A =，1()3P B =，1()2P C =．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域．∵111()()632P P A P B =+=+=即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120．111(0)224P X ==⨯=；111(30)2233P X ==⨯⨯=；11115(60)2263318P X ==⨯⨯+⨯=；111(90)2369P X ==⨯⨯=；111(120)6636P X ==⨯=；所以，随机变量X 的分布列为：P0 30 60 90 120X14 13 518 19 136其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（海淀·理科·题17） 17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA AC AC ===，AB BC =，且AB BC ⊥，O 为AC 中点．（Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置．【解析】（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点，所以1AO AC ⊥．又由题意可知，平面11AAC C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1A O ⊂平面11AA C C ，所以1A O ⊥平面ABC ．（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知，112A A AC AC ===，又,AB BC AB BC =⊥ ∴1,12OB AC ==．所以得：()0,0,0O ，()0,1,0A -，()10,0,3A ，()0,1,0C ，()10,2,3C ，()1,0,0B ，则有：()10,1,3AC =-，()10,1,3AA =，(1,1,0)AB =．设平面1AA B 的一个法向量为(),,x y z =n ，则有 103000AA y z x y AB ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1x =-，33z =-所以31,1,3⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭n ． 11121cos ,7|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ．因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C 所成锐角互余，所以21sin 7θ=．（Ⅲ）设()000,,E x y z =，1BE BC λ=即()()0001,,1,2,3x y z λ-=-，得000123x y z λλλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩．所以()1,2,3E λλλ=-，得()1,2,3OE λλλ=-令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ，即120λλλ-++-=，得12λ=，即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点．（海淀·理科·题18） 18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x a x =+，其中a 为常数，且1a -≤．（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e ,e ]（e 2.71828=）上的值域；（Ⅱ）若()e 1f x -≤对任意2[e ,e ]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）当1a =-时，()ln f x x x =-，得1()1,f x x'=-令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在()1,+∞上为增函数，据此，函数()f x 在2[e ,e ]上为增函数，而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e ,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--．（Ⅱ）由()1a f x x '=+，令()0f x '=，得10ax+=，即x a =-，当()0,x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在()0,a -上单调递减；当(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(),a -+∞上单调递增；若1e a -≤≤，即e 1a --≤≤，易得函数()f x 在2[e ,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x -≤对2[e ,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f -≤即可，所以有2e 2e 1a +-≤，即2e e 12a -+-≤．而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解．若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e ,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数，要使()e 1f x -≤对2[e ,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f -⎧⎨-⎩≤≤，即21e e 12a a -⎧⎪⎨-+-⎪⎩≤≤，由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤．若2e a -≥，即2e a -≤，易得函数()f x 在2[e ,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x -≤对2[e ,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f -≤即可，所以有e e 1a +-≤，即1a -≤，又因为2e a -≤，所以2e a -≤．综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1,2⎛⎤-+--∞ ⎥⎝⎦．（海淀·理科·题19） 19．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F =，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2AF B ∆1222F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ．∴222233532(11)()(11)()42222a ++-++=．∴2a =，又1c =，2413b =-=，故椭圆的方程为22143x y +=．（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2222(34)84120k x k x k +++-=．显然0∆>成立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -⋅=+．又422221212222644(412)||1()41(34)34k k AB k x x x x k k k -=++-⋅=+-++即222212112(1)||134k k AB k k ++=+=+，又圆2F 的半径2211r k k=++．所以222221112(1)12||1122||22341AF Bk k k S AB r k k∆++==⨯==++，化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±．所以，221r k ==+故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=．（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122643t y y t +=+，122943y y t ⋅=-+．所以2121212||()4y y y y y y -+-⋅22223636(43)43t t t =+++2121t +=又圆2F 的半径为21r t=+21t=+所以212121||||2AF B S F F y y ∆=⋅⋅-12||y y =-2121t +=1227=21t =，所以21r t+2= 故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=．（海淀·理科·题20） 20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,n =．（Ⅰ）求567,,a a a 的值；（Ⅱ）设212nn n a b -=，试求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系．【解析】（Ⅰ）∵10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=，∴52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=．（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有： 121112n n n a b +-++=211222n n n a -++=12n b =+， ∴112n n b b +-=． ∴数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列． ∴12n n b -=．11 / 11（Ⅲ）对于任意的正整数k ，当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<；当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>．证明如下：首先，由10a =，21a =，32a =，43a =可知1,3n =时，1n n a a +<；其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，1221n n k k a a a a ++-=-()()1212k k a k a =+-++0k =-<； 41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()22121212k k k a a +=++-+221222k k k a a +=+-()()2212212k k k a k a =++-++0=所以1n n a a +=．43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()212222212k k k a a ++=++-+21222122k k k a a ++=++-()()121212212k k k k a a +=++++-+()141k k k a a +=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥…（*）（证明见后），所以此时1n n a a +>．综上可知：结论得证．对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>，满足（*）式．2）当1k =时，1211a a +==，满足（*）式． 3）当()*21k m m =+∈N 时，1212221k k m m k a a m a a ++++-=++-()()1211212m m m m a a +=++++-+ 13122m m m a a +=++-()()121m m m a a m +=+-++于是只须证明10m m m a a ++-≥，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（*）得证．。

北京市海淀区高三一模理科数学试题及参考答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学〔理科〕2021.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一局部〔选择题，共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

〔1〕集合A{0,a},B{x|1x2}，且AB，那么a可以是(A)1(B)0(C)1(D)2〔2〕向量a (1,2)，b(1,0)，那么a2b(A)(1,2)(B)(1,4 )(C)(1,2)(D)(1,4)〔3〕执行如下列图的程序框图，输出的S值为(A)2(B)6(C)8(D)10〔4〕如图，网格纸上小正方形的边长为1，假设四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M,且P(x,y)为M中任意一点，那么yx的最大值为(A)1(B)2(C)1(D)2〔5〕a，b为正实数，那么“a1，b1〞是“lgalgb0〞的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件6〕如下列图，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，那么S的值不可能是6(A)1(B)543 (C)(D)32〔7〕以下函数f(x)中，其图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足条件 y x 的函数是(A)f(x)x 3(B)f(x)x(C)f(x) e x1 (D) f(x) ln(x 1)〔8〕点M 在圆C 1:(x 1)2 (y 1)21上，点N 在圆C 2 :(x 1)2 (y 1)2 1上，那么以下说法错误的选项是uuuur uuur 3 2 2,0]〔A 〕OM ON 的取值范围为[uuuur uuur [0,2 2]〔B 〕|OM ON|的取值范围为uuuur uuur 2 2,2 2 2]〔C 〕|OM ON|的取值范围为[2uuuur uuur的取值范围为[ 3 22,32 2]〔D 〕假设OM ON ，那么实数第二局部〔非选择题，共 110分〕二、填空共 6小，每小5分，共30分。

北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准、选择题共8小题，每小题 5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答题应写出解答步骤。

15.(本题满分13分)(I) f ( )2』3 sin cos 2cos 1(□) f(X ) 、、3sin 2x cos2x因为函数y sinx的单调递增区间为2k -,2k-( k Z)，令2k2x - 2k(k Z ),2 62解得kx k _ (k Z ),36故f (x)的单调递增区间为[k , k ]( k Z ).................. 13分3616.(本题满分13分)(I )设事件A :从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播•用A 表示事件抽取的月份为第i 月，则{A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A s , A 7, A s , A 9, A 10, A 1, A 2}共 12 个基本事件， A {A 2,A 6,A 8,A 9, AI 0,A 11}共 6 个基本事件，所以，P( A) 6- . ................................................................................. 4分 12 2(n)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月2018.46 6 62 .................................................................................................... •分份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0 , 1, 2 .2随机变量的分布列为（川）的最大值为58%，最小值为54%. ................................................................-13分 17.（本题满分14分）（I ）方法1 :设AC 的中点为0,连接BO ，PO .由题意PA PB PC 2， P0 1，AO BO CO 1因为在 PAC 中，PA PC ，O 为AC 的中点所以PO AC ，因为在 POB 中，PO 1，OB 1，PB 、、2 所以PO OB因为 AC^OB O ，AC,OB 平面 ABC 所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC ............................................................................. 4分所以平面PAC 平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ,连接BO , PO . 因为在 PAC 中,PA PC ,O 为AC 的中点所以 PO AC ,因为 PA PB PC , PO PO PO , AO BO CO所以 POA 也 POB 也 POC所以POAPOBPOC 90所以 PO OB因为 AC |>B O , AC,OB平面ABC所以 PO平面 ABC因为 PO 平面 PAC ................. 4分所以平面PAC 平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ,连接PO ，因为在 PAC 中，PA PC , 所以PO ACP(X0)Cl6_ C !15 -,P(X 5C 1C 1 i )CC C 6 -,P(X152)1 15x设AB 的中点Q ,连接PQ , OQ 及OB . 因为在 OAB 中，OA OB , Q 为AB 的中点所以OQ AB .因为在 PAB 中，PA PB , Q 为AB 的中点所以PQ AB .因为 PQ^OQ Q , PQ,OQ 平面 OPQ 所以 AB 平面OPQ 因为 OP 平面OPQ 所以 OP AB因为 AB p| AC A , AB, AC 平面 ABC 所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC ......................................................... 所以平面PAC 平面ABC(n)由PO 平面ABC , OB AC ，如图建立空间直角坐标系，则O(0,0,0) , C(1,0,0) , B(0,1,0), A( 1,0,0) , P(0,0,1) 由OB 平面APC ，故平面 APC 的法向量为O B 由 B C (1,1,0), P C (1,0,1)0得:1 2当［3刁时,设平面PBC 的法向量为n(x,y,z)，则(0,1,0)令x 1，得y 1 (1,1,1)由二面角A PC B 是锐二面角, 所以二面角APC B 的余弦值为(出)设B N B P ,令B M AN1，则得(1(1) (1,□是关于入的单调递增函数,所以 B N [I,：2]BP 4 514分18.(本题满分13分)(I)当a 0时,f(x)In x故 f'(x)In令 f '(x)1 ln x 2x0，得0故f (x)的单调递增区间为(0,e)(n)方法1： f'(x)x a ,ln x x ______彳 a i1 ln x x (x 令 g(x) 1 a .In xXa 1 x a -则 g2 2 0X XX由 g(e) a a 1a 0，g(e ) 1a 1(1 a)1a (F1)。

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