函数及其表示专题

函数及其表示1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( ) (2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( ) (3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )2. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3. 下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A.y ＝(x ＋1)2B.y ＝3x 3＋1 C.y ＝x 2x ＋1D.y ＝x 2＋14. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (1))＝( )A.0B.12C.1D.25. 函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________.6. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.【例1】 (1) 函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( )A.(－1，3]B.(－1，0)∪(0，3]C.[－1，3]D.[－1，0)∪(0，3](2) 已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋8－2x 的定义域为( ) A.[0，3] B.[0，2] C.[1，2] D.[1，3]【训练1】 (1) 已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1] (2)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域是________.考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【训练2】 (1)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.(2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝______.考点三 分段函数 角度1 分段函数求值【例3－1】 函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，11－x ，x <1，则不等式f (x )≤1的解集为( )A.(－∞，2]B.(－∞，0]∪(1，2]C.[0，2]D.(－∞，0]∪[1，2](2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________.【训练3】 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3（x ＋m ）－1，x ≥0，12 020，x <0的图象经过点(3，0)，则f (f (2))＝( )A.2 020B.12 020C.2D.1(2) 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.(3) 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.强化训练 一、选择题1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.42. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2）， 若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.－2B.8C.1D.23.如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )4.已知函数f (x )＝2x 2－a ，f (3)＝14，则f (－2)＝( )A.1B.－18C.12D.185. 已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (2x －1)的定义域为( ) A.(－1，0) B.(－2，0) C.(0，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，06.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋5107. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0. 若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.88.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.10. 函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－5，x ≤2，3sin x ，x >2的值域为________.11.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.12.设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.13. 已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( )A.[2，2]B.[2，4]C.[4，8]D.[1，2]14.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( )A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2)15.已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________.16.(多填题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.17.(组合选择题)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：①y ＝x －1x ； ②y ＝ln 1－x1＋x ； ③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①答案函数及其表示专题1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.(3)错误.f(x)＝x－3＋2－x中x不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2. 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].答案 B3. 下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )A.y＝(x＋1)2B.y＝3x3＋1C.y＝x2x＋1 D.y＝x2＋1解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系分别相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数. 答案 B4. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (1))＝( )A.0B.12C.1D.2解析 由题意，知f (1)＝12－2×1＝－1，所以f (f (1))＝f (－1)＝2－1＝12.答案 B5. 函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________.解析 要使函数有意义，需7＋6x －x 2≥0，即x 2－6x －7≤0，即(x ＋1)(x －7)≤0，解得－1≤x ≤7.故所求函数的定义域为[－1，7]. 答案 [－1，7]6. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.解析 令t ＝1x (t ≠0)，所以x ＝1t，所以f (t )＝1t 2＋5t ＝5t ＋1t2.故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0).答案5x ＋1x 2(x ≠0)考点一 求函数的定义域【例1】 (1) 函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( )A.(－1，3]B.(－1，0)∪(0，3]C.[－1，3]D.[－1，0)∪(0，3](2) 已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋8－2x 的定义域为( ) A.[0，3] B.[0，2] C.[1，2]D.[1，3]解析(1)要使函数有意义，x 需满足⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. (2)因为f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义，x 满足⎩⎨⎧0≤12x ≤2，0≤8－2x，解得0≤x ≤3. ∴g (x )的定义域为[0，3]. 答案 (1)B (2)A规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.【训练1】 (1) 已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1] (2)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域是________.解析 (1)由函数f (x )的定义域为[－1，1]， 令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0， 所以函数g (x )的定义域为(0，1).(2)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k ∈Z).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1， 所以⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.(2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝______. 解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴2ax ＋b ＝2x ＋2，则a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋c ＝0，且有两个相等实根. ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)3x 考点三 分段函数 多维探究角度1 分段函数求值【例3－1】 函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (15)＝f (－1)＝12，因此f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.答案22角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，11－x，x <1，则不等式f (x )≤1的解集为( )A.(－∞，2]B.(－∞，0]∪(1，2]C.[0，2]D.(－∞，0]∪[1，2](2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________.解析 (1)当x ≥1时，不等式f (x )≤1为log 2x ≤1，1≤x ≤2；当x <1时，由11－x ≤1，得x ≤0.综上，f (x )≤1的解集为{x |x ≤0或1≤x ≤2}. (2)∵f (1)＝2，且f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＝－2. 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，∴a ＝－3； 当a >0时，f (a )＝2a >0，此时，f (a )≠－2. 综上可知a ＝－3. 答案 (1)D (2)－3规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3（x ＋m ）－1，x ≥0，12 020，x <0的图象经过点(3，0)，则f (f (2))＝( ) A.2 020B.12 020C.2D.1(2) 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.(3) 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)因为函数f (x )的图象过点(3，0)，所以log 3(3＋m )－1＝0，解得m ＝0.所以f (2)＝log 32－1<0，故f (f (2))＝12 020.(2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋x ＋12>1，该不等式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立，综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.(3)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ (3)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 强化训练 一、选择题1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 图象①关于x 轴对称，x >0时，每一个x 对应2个y ，图象②中x 0对应2个y ，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象. 答案 B2. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2）， 若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.－2B.8C.1D.2解析 当m ≥2时，m 2－1＝3，解得m ＝2或m ＝－2(舍)；当0<m <2时，log 2m ＝3，解得m ＝8(舍).综上，m ＝2. 答案 D3.如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )解析 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意.答案 D4.已知函数f (x )＝2x 2－a ，f (3)＝14，则f (－2)＝( )A.1B.－18C.12D.18解析 f (3)＝23－a ＝14，∴3－a ＝－2，则a ＝5，因此f (x )＝2x 2－5，所以f (－2)＝2－3＝18.答案 D5. 已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (2x －1)的定义域为( ) A.(－1，0) B.(－2，0) C.(0，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0解析 由题意，知－1<x ＋1<1，则f (x )的定义域为(－1，1).令－1<2x －1<1，得0<x <1.∴f (2x －1)的定义域为(0，1). 答案 C6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310. 答案 B7. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0. 若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8 解析 由f (x )的定义域，知a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8，当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立. 综上可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝8.答案 D8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a ＝0时，显然不成立.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于－a 2－2a <0，解得a <－2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 答案 D 二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1]. 答案 (0，1]10. 函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－5，x ≤2，3sin x ，x >2的值域为________.解析 当x ≤2时，f (x )＝2x －5单调递增，则－5<f (x )≤－1； 当x >2时，sin x ∈[－1，1]，∴f (x )＝3sin x ∈[－3，3]. 故f (x )的值域是(－5，3]. 答案 (－5，3]11.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.解析 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1②联立①②解得f (－2)＝72.答案 7212.设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝2或x ＝22.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，2213. 已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( )A.[2，2]B.[2，4]C.[4，8]D.[1，2] 解析 f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，∴1≤log 2x ≤2，则2≤x ≤4，f (x )定义域为[2，4]， 故φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)满足⎩⎨⎧2≤2x ≤4，2≤x 2≤4， ∴2≤x ≤2，则φ(x )的定义域为[2，2]. 答案 A14.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( )A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2)解析 当a ≥1时，2a ≥2.∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立.当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ， ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立， 由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞). 答案 C15.已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 解析 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2x16.(多填题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.解析 由题意知f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， 所以f [f (－3)]＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min＝22－3<0；当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. 答案 0 22－317.(组合选择题)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln1－x 1＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ).所以满足“倒负”变换的函数是①③. 答案 B。